Viša Geometrija - Front Slobode

4.2. PARALELNOST I HIPERPARALELNOST 39Neka je M središte duži ST , n prava koje sadži M i upravna je u tački N napravoja. Neka suk i l prave koje sadžeM, takve da jek paralelna pravamaais,alpravamaait. Centralnom simetrijomS M svaka od pravihk il se preslikava nasebe, prave s i t jedna na drugu. Stoga su prave k i l paralelne i pravoj s i pravojt, pa je prava b osa refleksije kojom se prave k i l preslikavaju jedna na drugu.Kako se i osnom refleksijomS n pravek ilpreslikavaju jedna na drugu jer su objeparalelne pravoj a, pravebinće biti me ¯dusobno upravne.Ako bi pored pravenjoš neka pravambila upravna i na pravojaina pravojb,onda bi te dvije prave bile disjunktne jer bi u protivnom iz njihove predječne tačkepostojala dvije upravne na pravoja. Tada bi svaki od uglova četverougla čije ivicepripadaju pravamaa,m,b,n bio prav, što je nemoguće.Iz dokaza prethodne teoreme direktno slijedi da je upravna projekcija prave a napravojbotvorena dužST . Dakle:Teorema 4.2.9. Ako su prave a i b hiperparalelne, upravna projekcija jedne nadrugu je otvorena duž.4.2.3 Izometrije hiperboličke ravniVeć u apsolutnoj geometriji je bilo moguće utvrditi da su osna i klizna refleksijajedine indirektne izometrije ravni. U hiperboličkoj, kao i u Euclidskoj geometrijimožemo da klasifikujemo direktne izometrije.Ako su dvije hiperbolične ravni ne sijeku, onda su one ili me ¯dusobno paralelneili hiperparalelne. Stoga, ako nije ni rotacija ni translacija, direktna izometrijehiperbolične ravni je kompozicija osnih refleksija u odnosu na dvije me ¯dusobnoparalelne prave. Takvu trasformaciju zovemo paralelnim pomjeranjem.Teorema 4.2.10. Ako nije identičnost, direktna izometrija hiperbolične ravni jeili rotacija, ili translacija ili paralelno pomjeranje.Istaknimo još jednom da su sve izometrije hiperbolične ravni: identičnost,osna refleksija, rotacija, traslacija, paralelno pomjeranje i klizajuća refleksija.4.2.4 Prave i ravni u hiperboličnom prostoruAko prava p sa ravni π nema zajedničkih tačaka, tada je ona paralelne pravoj p ′koja sadrži njenu upravnu projekciju na π, ili je sa tom pravom hiperparalelna.Tada isti odnos pravapima sa ravniπ.Iz definicija i teorema 4.2.4 i 4.2.9 neposredno slijedi da je upravna projekcijaprave p koja je paralelna ravni π, na toj ravni otvorena poluprava, a da je njenaprojekcija na π otvorena duž ako je prava p hiperparalelna ravni π. Ako prava p