Viša Geometrija - Front Slobode

4.1. UVOD U HIPERBOLIČNU GEOMETRIJU 33paralelne pravojanisu komplementne, pa u hiperboličkoj geometriji postoje dvijeprave koje sadrže tačkuB i paralelne su pravoja. Zato će i ugao paralelnosti tačkeB u odnosu na pravu a biti oštar. Štaviše, ovo tvdjenje je ekvivalentno aksiomuLobačevskog.Na osnovu Legendreovih teorema 3.4.20 i 3.4.21 neposredno možemo da ustanovimoda je aksiom Lobačevskog ekvivalentan tvrdjenju da je zbir unutraqvsnjih uglova bilo kog trougla manji od π. Stoga će u hipeeboličnoj geometrijispoljašnji ugao proizvoljnog trougla biti veći od sume njegovih dvaju unutrašnjihsusjednih uglova.Zbir unutrašnjih uglova bilo kojeg 4-ugla hiperbolične ravni biće manji od2π,a zbir unutrašnjih uglova bilo kojeg prostog ravnog n-tougla hiperbolične ravnije manji od (n−2)π. Odatle slijedi i da su uglovi na protivosnovici Sakerijevogčetverougla takodjer oštri.Ovim smo dokazali slijedeću:Teorema 4.1.4. Slijedeći iskazi su ekvivalenti aksiome Lobačevskog:1. Ugao paralelnosti je oštar.2. Zbir unutrašnjih uglova svakog trougla je manji odπ.3. Zbir unutrašnjih uglova svakog prostog ravnog četverougla je manji od2π.4. Uglovi na protivosnovici Sakerijevog četverougla su oštri.5. Postoji prava u ravni oštrog ugla koja je upravna na jednom kraku tog ugla,a ne sječe njegov drugi krak.Dokaz Sve osim tačke (6) smo već adresirali, a za tačku (6) koristimo Legendreoveteoreme - vidi Lučic poglavlje 23.Podudarnost trouglovaU apsolutnoj geometriji bilo je moguće dokazati pet stavova o podudarnosti trouglova.Pored pet navedenih stavova, u hiperboličkoj geometriji će važiti još jedan,takozvani šesti stav o podudarnosti trouglova kojim se karakteriše hiperboliškiprostor.Teorema 4.1.5. Dva trougla su podudarna ako i samo ako su im odgovarajućiuglovi medjusobno podudarni.