MATEMATIKA 1 Senka Banic PREDAVANJA (grupa G1): utorak i ...

More documents

Recommendations

Info

Eksponencijalni ili Eulerov oblik kompleksnog brojaMoe se pokazati da jee i' = cos ' + i sin ':Sada iz trigonometrijskog oblika kompleksnog brojaz = r (cos ' + i sin ') slijediz = r e i' :Ovaj oblik nazivamo eksponencijalni ili Eulerov oblikkompleksnog broja z:Racunske operacije:Ako su z 1 = r 1 e i' 1 , z2 = r 2 e i' 2 ; z = r e i' kompleksnibrojevi, onda jez 1 z 2 = r 1 e i' 1 r 2 e i' 2 = r 1r 2 e i(' 1+' 2 )z 1= r 1 e i' 1z 2 r 2 e i' 2z n == r 1r 2e i(' 1 ' 2 ) ; za z 2 6= 0r e i' n= r n e in'Kako bismo korjenovali kompleksne brojeve?
Zbog periodicnosti funkcija sinus i kosinus, osnovnogperioda P 0 = 2; vrijedi sljedećez = r e i' = r e i('+2k) ; k 2 Z:Potencirajmo gornju jednakost eksponentom 1 n ; n 2 Ntj. odredimo n-ti korijen:z 1 n =n p z == np rr e i('+2k) 1n= r 1 n ei '+2kn =cos ' + 2kn+ i sin ' + 2k ; k 2 Z: ()nKoliko u gornjem izrazu ima razlicitih kompleksnihbrojeva?Pogledajmo njihove argumente: ' + 2kn k 2 Z = '=n ; ' n + 2 n ; ' n + 4 n ; ::: ; ' n + 2 (nn1) ; ' n + 2 :Vidimo da je razlika argumenata dvaju uzastopnih 2 ni da zbog periodicnosti funkcija sinus i kosinus imamotocno n razlicitih kompleksnih brojeva u izrazu () :Stoga je dovoljno u tom izrazu uzeti
Page 1 and 2:
Sveucilište u SplituFakultet gra
Page 4 and 5:
Provjere znanja: dva parcijalna isp
Page 6 and 7:
0. SKUPOVI OSNOVNI POJMOVI
Page 8 and 9:
Denicija 1. Kaemo da je A podskup o
Page 10 and 11:
Operacije sa skupovimaDenicija 2. N
Page 12 and 13:
Neka su A; B 6= ? proizvoljni nepra
Page 14 and 15:
Ostali pomovi:Za skupove A i B kaem
Page 16 and 17:
1. LINEARNA ALGEBRA
Page 18 and 19:
Ako je m = n onda govorimo o kvadra
Page 20 and 21:
Jedinicna matricaJedinicna matrica
Page 22 and 23:
Operacije s matricamaZbrajanje matr
Page 24 and 25:
Svojstva:Neka je skalar i A, B; C;
Page 26 and 27:
1.2. DeterminanteNeka je M n skup s
Page 28 and 29:
Oznacimo s M 11 determinantu matric
Page 30 and 31:
Determinanta matrice ntog reda - La
Page 32 and 33:
Svojstva determinantiSljedeća svoj
Page 34 and 35:
1.3. Inverzna matricaDenicija 1.7.
Page 36 and 37:
Ako je A 2 M n je regularna. Tada v
Page 38 and 39:
Konacno prema formuli () dobivamo:2
Page 40 and 41:
Elementarne transformacije nam daju
Page 42 and 43:
1.4. Rang matriceDenicija 1.8. Rang
Page 44 and 45:
Primjer. Odredimo rang matrice2 31
Page 46 and 47:
Općenito, matricni zapis sustava o
Page 48 and 49:
Primjer. Zadani su sustavi:1. x1 +
Page 50 and 51:
2. Ekvivalentni sustavi:x 1 + 2x 2
Page 52 and 53:
Ponovimo: Matricni zapis sustava od
Page 54 and 55:
Primjeri. Promotrimo opet sustave i
Page 56 and 57:
Ako je u sustavu (S) b 1 = b 2 = ::
Page 58 and 59:
1.7. Gaussova metoda eliminacijeSus
Page 60 and 61:
2. 8
Page 62 and 63:
1.8. Cramerov sustavSustav od n lin
Page 64 and 65:
2. x1 + 2x 2 = 12x 1 + 3x 2 = 2Dete
Page 66 and 67:
1.9. Matricne jednadbePromatrajmo m
Page 68 and 69:
2. VEKTORSKA ALGEBRA
Page 70 and 71:
Orijentirane duine i vektoriDenicij
Page 72 and 73:
Skup svih vektora oznacavamo sa V (
Page 74 and 75:
Operacije s vektorimaDenicija 2.3.
Page 76 and 77:
Deniramo oduzimanje vektora kao~a ~
Page 78 and 79:
Koordinatizacija- olakšava baratan
Page 80 and 81:
Svakoj tocki T 2 je jednoznacno pr
Page 82 and 83:
Koordinatizacija prostora Odaberemo
Page 84 and 85:
Za tocke T; S 2 E 3 T (x 1 ; y 1 ;
Page 86 and 87:
Napomena. Ako je ~a = ~0 ili ~ b =
Page 88 and 89:
U pravokutnom koordinatnom sustavud
Page 90 and 91:
Slicno, cos = cos ] !a ; ~j=! a ~
Page 92 and 93:
Geometrijska interpretacija: Duljin
Page 94 and 95:
P =3 !a ! b = 3 j ! a j U koordinat
Page 96 and 97:
Sada je !a ! b~c = ! a ! bj~cjcos
Page 98 and 99:
Linearna nezavisnostNeka su ~a 1 ;
Page 100 and 101:
Svaka tri linearno nezavisna ~a, ~
Page 102 and 103:
Primjer. Pokaite da vektori ~a = ~i
Page 104 and 105:
8
Page 106 and 107:
3~a 2 ~ b + 5~c + ! d = ! 0 : 6=
Page 108 and 109:
3. ANALITI CKA GEOMETRIJA
Page 110 and 111:
RavninaSvaka ravnina u prostoru E
Page 112 and 113:
Primjer. Na ¯dite jednadbu ravnine
Page 114 and 115:
Razvojem determinante dobivamo opć
Page 116 and 117:
Parametarska jednadba ravnineVidjel
Page 118 and 119: dobivamox cos + y cos + z cos p
Page 120 and 121: PravacSvaki pravac p u prostoru E 3
Page 122 and 123: Primjer. Na ¯dite pravac koji prol
Page 124 and 125: Analizom sustavaA 1 x + B 1 y + C 1
Page 126 and 127: Kut izme ¯du dvije ravnineNeka su
Page 128 and 129: Kut izme ¯du pravca i ravnineNeka
Page 130 and 131: Parametarska jednadba pravca je8< x
Page 132 and 133: 4.1. Prirodni brojevi prvi pojam br
Page 134 and 135: Napomena: Skup N je na jedinstven n
Page 136 and 137: Binomni poucakPoopćenje:(x + y) 2
Page 138 and 139: Svojstva: n n1. = = 10n n n2. = =
Page 140 and 141: 4.2. Cijeli brojeviMotivacija: Svak
Page 142 and 143: 4.3. Racionalni brojeviMotivacija:
Page 144 and 145: 4.4. Realni brojeviMotivacija: Neke
Page 146 and 147: I. Operacija zbrajanja na RR R (x
Page 148 and 149: Intervali Podskupovi skupa realnih
Page 150 and 151: Geometrijski, jxj predstavlja udalj
Page 152 and 153: Ome ¯deni skupoviDenicija 4.4. Kae
Page 154 and 155: 4.5. Kompleksni brojeviMotivacija:
Page 156 and 157: Primjer.z 1 = 2 i = 2+( 1)i =)8>:Re
Page 158 and 159: Svojstva: Za sve z; z 1 ; z 2 2 C v
Page 160 and 161: N Tocku O = (0; 0) nazivamo ishodi
Page 162 and 163: Trigonometrijski oblik kompleksnog
Page 164 and 165: Racunske operacije s kompleksnim br
Page 166 and 167: Ako je z = r (cos ' + i sin '), ond
Page 170 and 171: k 2 f0; 1; 2; :::; n 1g :Za proizvo
Page 172 and 173: 5.1. FunkcijeDenicija 5.1. Funkcija
Page 174 and 175: Denicija 5.2. Za funkcije f : A 1 !
Page 176 and 177: Denicija 5.4. Kompozicija funkcija
Page 178 and 179: Primjer 2. Sa f (x) = sin x zadana
Page 180 and 181: fff1a1a1a234bc234bc234ba)b)c)1fab12
Page 182 and 183: 5.2. Realne funkcije realne varijab
Page 184 and 185: Napomena 1: Promatrajmo jednadbu F
Page 186 and 187: Napomena 2: Promatrajmo funkcije ;
Page 188 and 189: 5.3. Globalna svojstva realnih funk
Page 190 and 191: Denicija 5.9. Neka je dana funkcija
Page 192 and 193: g (−x) = (−x) 5 + tg (−x)= (
Page 194 and 195: Primjer.ystrogo padajuća funkcijax
Page 196 and 197: Zadatak 1. Odredite domenu i osnovn
Page 198 and 199: 2Osnovne elementarne funkcije su:1.
Page 200 and 201: 45.4.2. Opća potencijaZa svaki r 2
Page 202 and 203: 6No za n paran broj postoje dva sue
Page 204 and 205: 8Vrijede razmatranja kao i u slucaj
Page 206 and 207: 10Ako je n paran, onda je D f = [0;
Page 208 and 209: 12Ako razmatramo drugo suenje polaz
Page 210 and 211: 14(B) Za ostale r 2 QnZ, tj. r = m
Page 212 and 213: 16Primjer 4.Za r = 3 2 opća potenc
Page 214 and 215: 18Vrijedi općenito:Inverzna funkci
Page 216 and 217: 205.4.4. Logaritamska funkcijaEkspo
Page 218 and 219:
22y421a=ea=101e2 4 6 8 10 12x2a=1
Page 220 and 221:
24Na taj nacin dobili smo dva surje
Page 222 and 223:
265.4.6. Ciklometrijske ili arkus f
Page 224 and 225:
28Funkcija cos : R ! [1; 1] je parn
Page 226 and 227:
Funkcija tg : Rn (2k 1) 2 j k 2 Z
Page 228 and 229:
32Vrijedi:arctg 1 = 4(tg 4= 1); a
Page 230 and 231:
35.5.1. PolinomiNeka je n 2 N 0 i a
Page 232 and 233:
5 Svaki polinom nad R (s realnim ko
Page 234 and 235:
p 3 (x) = (x 1) x + 1 2 + p32 i !|
Page 236 and 237:
95.5.2. Racionalne funkcijeNeka su
Page 238 and 239:
115.5.4. Transcendentne funkcijeEle
Page 240 and 241:
Area funkcije13Funkcija sh : R ! R;
Page 242 and 243:
15Funkcija th : R ! h 1; 1i ; th x
Page 244 and 245:
TRANSFORMACIJE GRAFA FUNKCIJENeke o
Page 246 and 247:
6. NIZOVI I REDOVI REALNIH BROJEVA
Page 248 and 249:
Denicija 6.2. Niz (a n ) za koji vr
Page 250 and 251:
Denicija 6.4. Kaemo da je realan br
Page 252 and 253:
Za " = 1100 jetj. u intervalun 0 =j
Page 254 and 255:
ako je limn!1a n = 1; onda ¸je, za
Page 256 and 257:
3. Niz ciji je opći clan( 1a n = n
Page 258 and 259:
Primjer.1. Za niz ciji je opći cla
Page 260 and 261:
Primjer. Neka je q 2 R: Promotrimo
Page 262 and 263:
Primjer 1. Niza n =1 + 1 nnje stro
Page 264 and 265:
0 < a < 1Pokaimo (L1) koristeći De
show all

MATEMATIKA 1 Senka Banic PREDAVANJA (grupa G1): utorak i ...

Create successful ePaper yourself

Delete template?

Save as template?