AKZENT IV - FORSIDE.AKZ

Vektorregning
for
11. årgang.
1. Vektorer side 1 - 23
2. Linjer side 24 - 33
3. Planer side 34 - 37
4. Skæring mellem linje og plan side 38 - 39
A1: Om at tegne rumlige figuer side 40 - 41
A2: Løsning af ligningssystemer side 42 - 45

4.7.2006

Vektorregning 11 årgang 4. udgave
Skalarer og vektorer
1. Vektorer
Hvis indholdet i to spande med henholdsvis 2 liter og 3 liter vand hældes
sammen, har man ialt 5 liter vand; hvis to lodder med masserne 2 kg og 3 kg
smeltes sammen, fås et lod med massen 5 kg. Men fordi afstanden fra A til B
er 2 cm, og afstanden fra B til C er 3 cm, er det ikke sikkert, at afstanden fra
A til C er 5 cm. 1) Hvis et legeme påvirkes af to kræfter, den ene på 2 Newton
og den anden på 3 Newton, vil den samlede kraftpåvirkning sædvanligvis
ikke være 5 Newton.
Ovenstående eksempler skal illustrere, at man må skelne mellem to slags
størrelser, skalarer og vektorer.
En skalar er bestemt ved sin talværdi - måske med tilføjelse af en enhed - og
regning med skalarer er blot regning med reelle tal.
En vektor er derimod en retningsbestemt størrelse, og til fastlæggelse af en
vektor kræves kendskab til både dens talværdi, dens enhed og dens retning.
Som eksempler på skalarer kan nævnes: længde, areal, masse og elektrisk
ladning.
Vektorer benyttes til beskrivelse af bl.a. hastighed, acceleration og kraft,
men også til impuls, impulsmoment og kraftmoment. I matematikken er
vektorer gode til at beskrive parallelforskydninger.
Disse vidt forskellige begreber kan rent regneteknisk behandles ens, og dette
er netop en af årsagerne til indførelsen af det matematiske vektorbegreb.
Pile og vektorer.
Definition :
Ved en pil forstås et linjestykke af en bestemt længde forsynet med en
bestemt retning. Man siger, at linjestykket er orienteret.
Hvis A og B er to punkter i planen, skal pil AB betegne pilen fra A til B.
Punktet A er begyndelsespunktet og B er endepunktet.
pil AB og pil BA kaldes modsat rettede pile eller blot modsatte pile.
1) Prøv at afsætte punkterne A og B 2 cm fra hinanden på et stykke papir og undersøg,
hvilke afstande det er muligt at opnå fra A til C, når C anbringes 3 cm fra B.
Side 1

Vektorregning 11 årgang 4. udgave
eksempler:
Som et matematisk hjælpemiddel til
beskrivelse af hastigheder kan man bruge en
pil. Dens retning skal angive
bevægelsesretningen, og dens længde skal
udtrykke hastighedens størrelse.
Kører nogle cyklister i samme retning, men
med forskellig fart (størrelse af hastigheden),
angives det som på figuren her til venstre, hvor
pilenes retning er ens mens deres længder, der
angiver cyklisternes fart er forskellig.
For to faldskærmsudspringere
kan deres nedadrettede
hastigheder ligeledes
anskueliggøres med pile. Da de to
udspringere har samme
hastighed, bliver de to pile ens,
d.v.s. samme længde og retning.
Øvelse 1.1: På billedet af faldskærmsudspringerne svarer 1 mm på pilene til 1
m/sek. Bestem udspringernes fart i enhederne m/sek og i km/time.
Side 2
I fysik repræsenteres en kraft
ofte ved en pil, f.eks. når et
legeme påvirkes af en kraft.
Hvis legemet befinder sig et
andet sted, angives kraften med
en anden pil, der har samme
retning og længde, men det
opfattes som samme kraft.
Pilens længde er udtryk for
kraftens størrelse, og pilens
retning angiver kraftens
retning.

Vektorregning 11 årgang 4. udgave
A
B
C
E
A*
D
B*
C*
E*
D*
Til venstre ses en
parallelforskydning.
Denne kan beskrives ved en
hvilken som helst af pilene
AA∗ BB∗, CC∗, DD∗, EE∗ eller
ved en pil fra et hvilket som
helst punkt P i planen hen til
det punkt P*, hvor P føres
hen ved parallelforskydningen.
Det karakteristiske for alle eksemplerne er, at det er uden betydning,
hvor pilenes begyndelsespunkt er placeret. Det er alene deres retning
og længde, vi bruger til beskrivelserne.
Endnu et eksempel:
Billedet til højre viser tre flyvemaskiner i
formationsflyvning. Med en pil angives en
flyvemaskines hastighed.
Da de tre pile er ens, har de tre maskiner
samme hastighed.
De tre pile angiver altså den samme
hastighed, selv om de er tegnet forskellige
steder.
Det vil da være naturligt at sammenfatte disse tre pile, og for øvrigt alle
andre tænkelige pile, som repræsenterer denne hastighed, til én bestemt
mængde af pile. En sådan mængde af pile kaldes for en vektor.
I flere af de beskrevne eksempler har vektorerne beskrevet hastigheder. Det
kan vi specificere ved at tale om hastighedsvektorer.
Definition:
En vektor er mængden af alle pile, som
har samme retning og samme længde.
Hver pil kaldes en repræsentant
for vektoren.
Side 3

Vektorregning 11 årgang 4. udgave
Øvelse 1.2:
Hvilke af følgende begreber kan beskrives ved vektorer:
1) Rumfang 7) Tid
2) Kraft 8) Energi
3) Masse 9) Hastighed
4) Arbejde 10) Fart
5) Acceleration 11) Temperatur
6) Tryk
Som symbol for en vektor anvendes et lille
bogstav med pil over: a (læses: vektor a).
En repræsentant for vektoren a tegnet fra
et punkt A til et punkt B, betegnes AB,
og vi skriver:
a = AB .
Ved længden af a forstås længden af en vilkårlig
repræsentant for a . Længden af a betegnes ved | a | eller
blot a (det er jo en skalær størrelse).
To vektorer er parallelle, dersom deres retninger
er parallelle. Parallelle vektorer behøver således
ikke at være lige lange, ligesom de heller ikke
nødvendigvis er ensrettede.
På figuren er a , b og c alle parallelle, a er
ensrettet med c , men a er modsat rettet b .
At a og b er parallelle skrives a || b .
To vektorer er ortogonale, dersom deres retninger
er ind byrdes vinkelrette.
At a og b er ortogonale skrives a • b .
Side 4

Vektorregning 11 årgang 4. udgave
Når vi i det foregående har talt om et orienteret linjestykke AB, har det
været underforstået, at A † B.
De hidtil omtalte vektorer har derfor alle
positive længder.
I mange sammenhænge er det imidlertid praktisk at råde over en vektor med
længde 0. Vi udvider derfor mængden af vektorer med nulvektoren.
Der er kun én nulvektor, og den betegnes 0 .
Nulvektoren er uden retning, og ethvert punkt er en repræsentant for
nulvektoren.
Til forskel fra denne uegentlige vektor kaldes en vektor a † 0 for en
egentlig vektor.
Indtil nu har vektorer været tegnet som
liggende i samme plan.
Vektorer kan imidlertid også ligge i
forskellige planer , som på figuren her
ved siden af.
Øvelse 1.3
Hvilke af de 8 vektorer på figuren
(1) har samme længde?
(2) er parallelle?
(3) er ortogonale?
Opgave 1.1
Hvor mange
vektorer er der
repræsentanter for
på denne figur?
Opgave 1.2.
Side 5

Vektorregning 11 årgang 4. udgave
REGNING MED VEKTORER
Forsøg: Nedenstående forsøg kan laves som introduktion til dette afsnit, eller efter
de følgende sider om vektoraddition.
Figuren nedenfor viser tre snore, der er bundet sammen i punktet P og forbundet til
hver sin kraftmåler (newtonmeter). Prøv med tre kraftmålere og noget snor at
bestemme nogle mulige kombinationer af værdier for de tre kraftmålere A, B. og C.
Lav flere forsøg som ovenfor, hvor vinklerne mellem snorene er anderledes. Det kan
være en god ide at starte med at fastlægge vinklerne mellem snorene ved på forhånd
at tegne tre halvlinjer ud fra et punkt P i nærheden af papirets midtpunkt.
Vektoraddition
Definition:
Lad a og b være to vilkårlige vektorer. Ud fra et vilkårligt punkt A
afsættes en repræsentant for vektor a . Hvis endepunktet kaldes B, så er
a = AB . Ud fra punktet B afsættes vektor b . Hvis endepunktet kaldes
C, så er b = BC:
Vi definerer nu, at summen af vektorerne a og b skal betyde vektoren
AC,
og man skriver summen af to vektorer med et sædvanligt plustegn:
a + b = AC
Det er vigtigt at bemærke, at den definition der her er givet for addition af to
vektorer, ikke afhænger af det udgangspunkt A, man starter med at vælge.
Side 6

Vektorregning 11 årgang 4. udgave
Der gælder at: a + b = b + a
D.v.s. for vektoraddition gælder den kommutative lov.
Øvelse 1.4 Bevis sætningen a + b = b + a geometrisk.
Trekantsuligheden
For to vilkårlige vektorer a og b får vi umiddelbart
ud fra konstruktionen af sumvektoren a + b , at der
gælder: Œ a + b Œ º Œ a Œ + Œ b Œ
Uligheden kaldes for trekantsuligheden.
Som det fremgår af figuren til højre, gælder
lighedstegnet kun når a er ensrettet med b
Indskudsreglen:
For tre vilkårlige punkter A, B og C gælder
AB = AC + CB
AB
er således blevet opdelt i en sum af to vektorer,
AC + CB,
idet C er »indskudt« mellem A og B.
Denne regel gælder generelt og kaldes for
indskudsreglen.
Vektoraddition som en diagonal i et parallelogram.
Hvis vi vælger repræsentanter for to
vektorer a og b , så de begynder i et
fælles begyndelsespunkt 0, vil disse
repræsentanter udspænde et
parallelogram ACBO: Idet AC også er en
repræsentant for b , ses at a + b = OC
øvelse 1.4 slut!
d.v.s. a + b er den diagonal, der begynder, hvor de to vektorer a og
b begynder. Det er denne formulering af vektorsum, der især
finder anvendelse i fysikken ("kræfternes parallelogram").
Side 7

Vektorregning 11 årgang 4. udgave
Eksempel 1.1 Figuren nedenfor viser i fugleperspektiv to personer, der
trækker en båd på en å. Den resulterende kraft r , hvormed båden trækkes,
bestemmes ved vektoraddition r = a + b :
Længden og retningen af sum vektoren bestemmes ved diagonalen i det
parallelogram, hvis sider svarer til a og b (i den forbindelse tales ofte om
»kræfternes parallelogram«).
Eksempel 1.1 slut!
Bevis:
SÆTNING:
For vilkårlige vektorer gælder den associative lov:
Af den første figur ses, at
( a + b ) + c = AB
( a + b ) + c = a + ( b + c )
og af den anden figur ses, at
a + ( b + c ) = AB.
Hermed er det ønskede bevist i to dimmentioner.
Nedenstående figurer viser, at den associative lov:
( a + b ) + c = a + ( b + c ) også gælder for vektoraddition i rummet:
d = ( a + b ) + c d = a + ( b + c )
Side 8
bevis slut!

Vektorregning 11 årgang 4. udgave
Eksempel 1.2:
Denne figur
viser, hvordan man kan addere
de tre vektorer v , w og u .
Facit er vektoren AD .
Eksempel 1.3
Tre kræfter virker på
k 1 , k 2 og k 3
en sten.
Den resulterende kraft k
bestemmes, som vist på figuren,
ved vektoradditionen:
Opgave 1.3.
C
A
¡
w u ¡
¡
v
B
¡ ¡ ¡
v + w + u
Ved et orienteringsløb løber en af konkurrencedeltagerne 600
m mod nord, derefter 500 m mod sydvest og sluttelig 350 m
mod sydøst.
Hvor langt fra udgangspositionen er løberen da?
(Vink: Indtegn en figur på ternet papir, hvor
løbestrækningerne angives ved vektorer)
Side 9
D
Eksempel 1.2 og 1.3 slut!

Vektorregning 11 årgang 4. udgave
Den modsatte vektor.
I forbindelse med reelle tal definerer man det modsatte tal
− a til et givent tal a ved ligningen a + ( − a) = 0 .
Svarende hertil defineres − a på følgende måde:
Den modsatte vektor − a til en given vektor a defineres
ved ligningen a + ( − a ) = 0 .
Læs dette således: den modsatte vektor til vektor a er den vektor, man skal lægge
til vektor a for at få nul-vektoren. Til denne vil vi bruge betegnelsen − a .
Øvelse 1.4. Prøv at give en anden beskrivelse af "den modsatte vektor".
Vektordifferens:
Differensen a − b mellem to givne vektorer a og b defineres som:
a + ( − b ) .
læs dette således: til vektor a skal adderes den modsatte vektor til b .
Denne definition giver umiddelbart at vektoren a − b kan konstrueres
som er vist her:
→
a
→
b
- b →
- b →
En anden metode til bestemmelse af a − b er at afsætte
vektorpilene for a og b ud fra samme punkt.
a − b er da vektorpilen, der går fra spidsen af
vektor b til spidsen af vektor a .
→
a
→
a
- b →
→
b
→
a
a
→
a
-
- a →
→ b →
Opgave 1.4: Ud fra vektorerne a , b og c på figuren her til
højre bestemmes ved indtegning på ternet papir følgende
vektorer:
1) a − c
2) ( b + c ) − a
Side 10

Vektorregning 11 årgang 4. udgave
Multiplikation af vektor med tal
Lad os endnu engang tage vort udgangspunkt i fysikkens brug af vektorer, før
vi definerer de matematiske begreber. Et legeme er påvirket af kraften F .
Den halve kraft i samme retning kan da naturligt skrives som , mens
den dobbelte kraft i modsat retning skrives som − (2 F ) . Denne kraft vil
selvfølgelig være den samme som den modsatte kraft fordoblet, altså 2( − F ) .
1
2 F
Det vil derfor rent matematisk være bekvemt, hvis udtrykket ( − 2)F
tillægges samme betydning, så vi får:
− (2 F ) = 2( − F ) = ( − 2)F
Dette opnås med følgende definition:
Lad der være givet en vektor a og et tal t . Vi kan da gange a med t, altså
danne en ny vektor t a :
Hvis a = 0 , sætter vi t a = 0 uanset værdien af tallet t .
Hvis a † 0 definerer vi vektor t a således :
1) t a har længden |t| | a |
2) for t > 0 er t a og a ensrettede, og for t < 0 er t a og a modsat rettede
3) Er t = 0 , sætter vi t a = 0 .
Specielt følger det af definitionen ovenfor , at:
1 a = a , ( − 1) a = − a og f.eks. ( − 7) a = − 7 a
Definitionerne ovenfor er valgt så snedige, at vi kan regne næsten som om,
der er tale om at gange tal med hinanden.
Bemærk for øvrigt, at der er tradition for ikke at skrive noget gangetegn
mellem t og vektoren a .
Side 11

Vektorregning 11 årgang 4. udgave
Opgave 1.5
Ud fra vektorerne a , b og c på figuren
her til højre bestemmes følgende vektorer:
1) a − b
2) ( a + b ) − 2c
3) 2 a − ½ b
4) a − 2b + 3c
ved indtegning på ternet papir.
Opgave 1.6
Lad A og B være to forskellige punkter i planen. Beskriv følgende punktmængder:
Aufgabe 1.7.
In den Figuren sind die beiden Vektoren x
und y enthalten. Diese drückt man durch
a und b aus! M ist Mittelpunkt der einen
Seite.
Aufgabe 1.8.
In dem Parallelepipeded sucht man
geschlossene Vektorzüge, mit dessen Hilfe
man die Vektoren x = DA und y = EM
durch die Vektoren a , b und c darstellt!
M ist genau die Mitte zwischen D und A.
Side 12
C
→
c
→
b
→
a
→
b
→
a
E
A
→
y
M
M
→
x
→
c
D
→
c

Vektorregning 11 årgang 4. udgave
Koordinater for vektorer.
Forestil dig at du bliver ringet op af en kammerat som ikke har
"Vektorregning for 11. årgang." , for at få dikteret Opgave 1.5 fra forige
side.
Hvordan kan du beskrive de tre vektorer a , b og c ?
Du kunne sige vektor a "en tern til højre og 3 tern op", vektor b "2 tern til
højre og 2 tern nedad" og vektor c "2 tern til venstre og 2 tern nedad".
Når vi har fået indført begrebet "Koordinater for vektorer" vil vi skrive
a = 1 ⎛ ⎞
⎜ ⎟ , b =
⎝
3
⎠
⎛ 2 ⎞
⎜ ⎟
⎝ − 2⎠
og
c =
⎛–
2⎞
⎜ ⎟
⎝–
2⎠
Inspireret heraf kan du diktere Opgave 1.5 således:
I opgaven er der givet tre vektorer a , b og c tegnet på kvadreret papir.
Vektor a har koordinaterne 1 over 3.
Vektor b har koordinaterne 2 over − 2.
Vektor c har koordinaterne − 2 over − 2.
I opgaven er der 4 delopgaver. I den første skal du på ternet papir konstruere
vektoren vektor a minus vektor b. I den anden delopgave skal du først
konstruere vektor a plus vektor b, .. o.s.v.
Ovenstående forudsætter imidlertid at i begge er fortrolige med, hvad der
menes med udtrykket: "Vektor " * " har koordinaterne x over y."
Øvelse 1.5
a) Prøv at beskrive de tre vektorer her ,
dels på din egen måde og dels ved at bruge
formuleringen:
"Vektor "*" har koordinaterne x over y."
b) Bestem ved ved at tegne på ternet papir
vektorerne :
1) a + b
2) ( a − b ) + c
3) 3 a − 1½ b
Side 13
→ a
→
b
→ c

Vektorregning 11 årgang 4. udgave
I det følgende skal vi præcisere begrebet "Koordinater for vektorer"
og lære at regne med vektorer.
Det er vigtigt, at vi sikrer os en helt entyding sammenhæng mellem en
vektor og dens koordinater.
I et koordinatsystem i planen indføres to
enhedsvektorer, der er ensrettede med henholdsvis
første- og andenaksen.
De to vektorer kaldes basisvektorer, og betegnes
i og j .
Der gælder: i ⊥ j og ⎮ i ⎮ = ⎮ j ⎮ = 1 .
Man udtrykker dette ved at sige at i og j
danner en ortonormeret basis. (orto ~ ret; normeret ~ enhedslængde d.v.s.
længde 1).
En vilkårlig vektor a i planen kan skrives
som en sum af to vektorer og .
a x a y
ax parallel med x-aksen. ay parallel med y-aksen.
Man siger, at a er opløst i komposanter parallelle
med x-aksen og y-aksen.
At denne opløsning er entydig bevises således:
Antag, at der findes en anden opløsning bx og by af a i komposanter.
bx er parallel med x-aksen og by er parallel med y-aksen
Det betyder at a = ax + ay og a = bx + by .
Heraf + = +
a x a y b x b y
Af den sidste ligning får vi
Denne ligning siger at vektoren
Kald denne vektor v .
Ved at se på udtrykket
ved at se på udtrykket
ax - bx = by -
a y
ax - bx er identisk med vektoren by - ay .
ax - bx ses at vektor v er parallel med x-aksen og
by - ay ses at v også er parallel med y-aksen.
Det betyder at v kun kan være nulvektoren 0 .
Af
ax - bx = 0 fås ax = bx . Og tilsvarende fås at by = ay .
Dvs. at vektorerne og er entydigt bestemte.
a x a y
Side 14

Vektorregning 11 årgang 4. udgave
eller
Opgave 1.9.
Side 15

Vektorregning 11 årgang 4. udgave
Vektorer i rummet.
Vektorer i rummet kan på tilsvarende måde som i
planen udtrykkes ved koordinater. Blot skal
plangeometriens to dimensioner udvides med en tredje
dimension. I rumgeometrien kan vektorer udtrykkes
ved koordinater i et retvinklet 3-dimensionalt
koordinatsystem. Dette består af 3 tallinjer som står
vinkelret på hinanden i det fælles nulpunkt O.
Vi indfører som i plangeometrien basisvektorer
i , j og k , som er indbyrdes ortogonale
enhedsvektorer. Koordinatakserne betegnes med
x-aksen, y-aksen og z-aksen.
Vi vedtager, at koordinatsystemet skal have en bestemt
orientering :
Hvis man tænker sig, at man kigger ned på den plan,
som x- og y-aksen danner, fra z-aksens positive del, skal
omløbsretningen fra i til j være positiv, d.v.s. mod
uret.
Ligesom i planen kan en vilkårlig vektor a entydigt
opløses i komposanterne ax , ay og az parallelle med
koordinatakserne.
Vektor a kan derfor angives ved
a = a x + a y + a z = a 1 i + a 2 j + a 3 k
⎛ a ⎞
1
⎜ ⎟
og dermed: a = ⎜ a2 ⎟.
⎜ a ⎟
⎝ 3 ⎠
Opgave 1.10.
I et koordinatsystem i planen er der givet punkterne
A(3, − 2), B(5, 2) og C(1,6)
Find koordinaterne til det punkt D , som opfylder at firkanten ABCD
bliver et parallelogram, med punkterne i den nævnte rækkefølge.
I rummet er der givet punkterne
A(3, − 2,4), B(5, 2,0) og C(1,6 ,2)
Find på tilsvarende måde som i to dimentioner, koordinaterne til det punkt
D i rummet , som opfylder at firkanten ABCD bliver et parallelogram, med
punkterne i den nævnte rækkefølge.
Side 16

Vektorregning 11 årgang 4. udgave
Opgave 1.11.
STEDVEKTORER
Side 17

Vektorregning 11 årgang 4. udgave
Også i rummet vil der til ethvert punkt P svare netop én stedvek tor OP.
Koordinatsœttet for punktet P er identisk med Koordinatsœttet for
stedvektoren OP.
Opgave 1.12.
⎛ ⎞ ⎛ ⎞
⎜-4
⎟ ⎜ -1 ⎟
Stedvektoren for H : ⎜ 3 ⎟ for C : ⎜ 6 ⎟.
⎜ 7 ⎟ ⎜ 4 ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
a) Bestem koordinaterne for H og C.
b) Bestem koordinaterne til alle
kassens hjørner.
c) Beregn koordinaterne til vektorerne
BC , CD , BD samt BE.
d) Beregn kassens rumfang.
Aufgabe 1.13.
a) Drücke die Kantenvektoren AC, BD, AD des
Tetraeders als Summe mit Hilfe
der Vektoren a , b , c aus.
b) Berechne die Kantenvektoren in a) aus:
Side 18

Vektorregning 11 årgang 4. udgave
Opgave 1.14.
Indtegn stedvektorerne til følgende punkter ,
og C = (6, − 2, 9) i ovenstående tredimensionale koordinatsystem.
Side 19
A = (5, 8, 4) B = (3, 4, − 4)

Vektorregning 11 årgang 4. udgave
REGNING MED KOORDINATER
Også ved multiplikation af en vektor med et tal kan vi regne med
a = 3 ⎛ ⎞
⎜ ⎟
⎝ − 1⎠
koordinater. Ganger vi vektor med t = 2
får vi
Såvel første- som andenkoordinaten skal altså multipliceres med t.
Side 20

Vektorregning 11 årgang 4. udgave
Øvelse 1.9
Øvelse 1.10
Side 21
Øvelse 1.9 slut!
Øvelse 1.10 slut!

Vektorregning 11 årgang 4. udgave
Eksempel 1.4
I planen er givet punkterne P(-2,3) og Q(6,5).
Midtpunktet af linjestykket PQ er
REGNING MED KOORDINATER I 3 DIMENSIONER.
Lad A(a1 ,a2 ,a3 ) og B(b1 ,b2 ,b3 ) være to punkter i et
rumligt koordinatsystem med
begyndelsespunkt O. Koordinaterne for de to
stedvektorer er
⎛
⎜
OA = ⎜
⎜
⎝
⎞
⎟
⎟
⎟
⎠
a1 a2 a3 ⎛
⎜
OB = ⎜
⎜
⎝
Koordinaterne for AB kan bestemmes således
AB = OB − OA =
⎛ ⎞
⎜b1
− a1⎟ ⎜b2
− a ⎟
2 ⎜ ⎟
⎜b3
− a3⎟ ⎝ ⎠
⎞
⎟
⎟
⎟
⎠
b1 b2 b3 Koordinaterne for AB er differensen mellem
punktet B's koordinater og punktet A's koordinater:
AB =
⎛ ⎞
⎜b1
− a1⎟ ⎜b2
− a ⎟
2 ⎜ ⎟
⎜b3
− a3⎟ ⎝ ⎠
Eksempel slut !
Midtpunktet M af linjestykket AB, med koordinatsættene A(a1 ,a2 ,a3 ) og
B(b1 ,b2 ,b3 ) , kan bestemmes ved vektorregning.
Midtpunktet M har de samme koordinater som
stedvektoren OM , der kan bestemmes således
OM = OA + ½ AB =
Vi har dermed
⎛
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
a 1
a 2
a 3
⎞
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
+ 1
2
⎛ ⎞
⎜b1
− a1⎟ ⎜b2
− a ⎟
⎜ 2⎟
⎜b3
− a3⎟ ⎝ ⎠
= 1
2
⎛ ⎞
⎜ a1 + b1 ⎟
⎜ a2 + b ⎟
⎜ 2 ⎟
⎜ a3 + b3 ⎟
⎝ ⎠
Midtpunktet M af linjestykket AB, A(a1 ,a2 ,a3 ) og B(b1 ,b2 ,b3 ) , har
koordinaterne: M( a 1 + b 1
2
, a 2 + b 2
2
Side 22
, a3 + b3 )
2

Vektorregning 11 årgang 4. udgave
Længden af en vektor.
Længden af en vektor i planen kan beregnes ud fra vektorens koordinater.
For en vilkårlig plan vektor
a = a ⎛ ⎞
⎜ 1⎟
= a
⎜a2⎟
x + ay ⎝ ⎠
vil vektorens komposanter danne en
a x og a y
retvinklet trekant med hypotenusen ⎮ a ⎮ og
kateterne ⎮a1⎮.og ⎮a2⎮ Heraf fås
Denne formel kan generaliseres til tre dimensioner
For en vilkårlig rumlig vektor
a =
⎛
⎜
⎜
⎜
⎝
a1 a2 a1 vil vektorens projektion i xy-planen være
en plan vektor med længden a 2
1 + a22 .
⎮ a ⎮ er da længden af hypotenusen i en
retvinklet trekant med katetelængderne
a 2
1 + a22 og ⎮ a3⎮ fås:
Opgave 1.15
Punkterne A, B, C og D har koordinaterne
A=(-l,0,4) , B=(3,7,-l) , C=(6,-l,0) og D=(l,4,-5).
Bestem koordinaterne til AB , DB , AC og CD .
Beregn desuden afstandene ⎮AB⎮ , ⎮AC⎮ , ⎮AD⎮ , ⎮BC⎮ , ⎮BD⎮ og ⎮CD⎮.,
idet f.eks. afstanden mellem A og B , betegnes ⎮AB⎮ og kan bereges som
længden af vektor AB .
Tegn endelig en vellignende perspektivtegning, hvor de 6 linjestykker mellem
punkterne tegnes.
⎞
⎟
⎟
⎟
⎠
Side 23

Vektorregning 11 årgang. 4. udgave.
2. Linjer
I plangeometrien kan vi angive en linje ved hjælp af en ligning.
F.eks. y = − 2x + 8 eller 2x + y − 8 = 0 . ( tegn denne linje.)
Denne måde at angive en linje, kan ikke overføres til 3-dimensioner. Her vil
en ligning som y = − 2x + 8 nemlig fremstille en plan - nemlig den plan hvis
skæring med x-y-planen netop er linjen fra før.
Figuren viser planen y = − 2x + 8.
I det følgende vil vi imidlertid bruge en anden måde at angive linjer på.
Vi vil angive linjer ved hjælp af parameterfremstillinger. Denne metode kan
direkte overføres til 3-dimensioner.
En parameterfremstilling for linjen y = − 2x + 8 i planen kan se sådan ud:
⎛x⎞
⎛0⎞
⎛ 1 ⎞
⎜ ⎟ = ⎜ ⎟ + t ⎜ ⎟
⎝y⎠
⎝8⎠
⎝ − 2⎠
, t ∈ R.
Denne linje i x-y-planen vil i rummet have følgende parameterfremstilling:
⎛ ⎞
⎜x⎟
⎜y⎟
⎜z⎟
⎝ ⎠
⎛ ⎞ ⎛ ⎞
⎜0⎟
⎜ 1 ⎟
= ⎜8⎟
+ t ⎜ − 2⎟
⎜0⎟
⎜ 0 ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
, t ∈ R.
Side 24

Vektorregning 11 årgang. 4. udgave.
En ret linje l i planen kan karakteriseres
ved hjælp af et punkt Po (xo , yo ) på linjen
og en retningsvektor r .
Retningsvektoren skal være en egentlig
vektor, der er parallel med linjen.
Idet P betegner et vilkårligt punkt på
linjen l , ser vi at linjen l er
punktmængden
⎧
⎨ P ⎮ P .
⎩
⎮ oP = t⋅ r , t∈R ⎫ ⎬
⎭
Vi kalder udtrykket PoP = t ⋅ r , t ∈R , for en parameterfremstilling for
linjen l , og tallet t kaldes parameteren.
Hvis r = skriver vi parameterfremstilling for linjen
r ⎛ ⎞
⎜ x⎟
⎜ry⎟
⎝ ⎠
Opgave 2.1.
l :
⎛ ⎞
⎜x
⎟
⎜y
⎟
⎝ ⎠
= x ⎛ ⎞
⎜ o⎟
⎜yo⎟
⎝ ⎠
+ t r ⎛ ⎞
⎜ x⎟
⎜ry⎟
⎝ ⎠
y
O
.
, t ∈ R.
.
P o
→
r
.
P
l
x
l på formen:
Tegn linjen l : y = x + 2 og linjen m : y = 2x - 1 i samme koordinatsystem
og aflæs skæringspunktet.
Indtegn vektoren rl = på linje
1 ⎛ ⎞
⎜ ⎟ l og r på linje
⎝
1
m =
⎠
1 ⎛ ⎞
⎜ ⎟
⎝
2
⎠
Beregn linjernes skæringspunkt (1 .
Skriv en parameterfremstilling for l og en parameterfremstilling for m.
1) løsning af 2 ligninger med to ubekendte : Se appendiks 2.
Side 25
m.

Vektorregning 11 årgang. 4. udgave.
Eksempe 2.1.
En linje kan have mange
parameterfremstillinger, som ser
forskellige ud. Linjen m hvor
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞
⎜x⎟
⎜ 3 ⎟ ⎜ − 2⎟
m : ⎜y⎟
= ⎜½
⎟ + t ⎜ 1 ⎟ t ∈ R.
⎜z⎟
⎜2½⎟
⎜ 3 ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
kan også fremstilles ved
eller
⎛ ⎞
⎜x⎟
⎜y⎟
⎜z⎟
⎝ ⎠
⎛ ⎞
⎜x⎟
⎜y⎟
⎜z⎟
⎝ ⎠
=
=
⎛ ⎞
⎜2⎟
⎜1⎟
⎜4⎟
⎝ ⎠
+ t
⎛ ⎞
⎜ − 10⎟
⎜ 7 ⎟
⎜ 22 ⎟
⎝ ⎠
⎛ ⎞
⎜
4
⎟
⎜ − 2⎟
⎜ - 6⎟
⎝ ⎠
⎛ ⎞
⎜ − 1⎟
+ t ⎜ ½ ⎟
⎜ 1½⎟
⎝ ⎠
Linjer i rummet.
t ∈ R.
t ∈ R.
S = (3 1 1
; − ; 0) , Q = (4; 0; 1)
3 3
P 0 = (3; ½; 2½) , R = (0; 2; 7)
I eksemplerne ovenfor bruges at linjen går gennem punkterne (3; ½, 2½) og
(2, 1, 4) samt (–10, 7, 22).
Som retningsvektor kan en hvilken som helst vektor parallel med
⎛ ⎞
⎜ 4⎟
⎜ ⎟
⎜ − 6⎟
⎝ ⎠
r =
⎛ ⎞
⎜ − 2⎟
⎜ 1 ⎟
⎜ 3 ⎟
⎝ ⎠
bruges. I det andet eksempel er − 2 = − 2· r brugt som retningsvektor.
⎛ ⎞
⎜ − 1⎟
I det tredje eksempel er ⎜ ½⎟
= ½⋅ r brugt som retningsvektor.
⎜ 1½⎟
⎝ ⎠
Af hensyn til de praktiske beregninger er det en god idé at 'forlænge'
retningsvektoren , så dens koordinater kommer til at bestå af hele tal.
'forlænge' betyder at gange vektoren med et tal forskelligt fra nul.
Det er tilladt at 'forlænge' retningsvektoren i en parameterfremstilling.
Men det er ikke tilladt at 'forlænge' stedsvktorerne.
⎛ ⎞
⎜ 3 ⎟
⎜ ⎟
⎜2½⎟
⎝ ⎠
⎛ ⎞
⎜ 2 ⎟
⎜ ⎟
⎜ 4 ⎟
⎝ ⎠
⎛ ⎞
⎜ − 10⎟
⎜ 7 ⎟
⎜ 22 ⎟
⎝ ⎠
Altså ½ , 1 henholdsvis i ovenstående parameterfremstillinger.
Side 26

Vektorregning 11 årgang. 4. udgave.
Eksempel 2.1 fortsat.
At f.eks. punktet Q (4; 0; 1) ligger på linjen m vises på følgende måde:
⎛ ⎞
⎜4⎟
⎜0⎟
⎜1⎟
⎝ ⎠
=
⎛ ⎞
⎜ 3 ⎟
⎜½
⎟
⎜2½⎟
⎝ ⎠
⎛ ⎞
⎜ − 2⎟
+ t ⎜ 1 ⎟
⎜ 3 ⎟
⎝ ⎠
⇔
4 = 3 + t·( − 2)
0 = ½ + t·1
1 = 2½ + t·3
⎫
⎪
⎬
⎪
⎭
⇔ t = − ½
Så punktet Q er punktet på linjen m svarende til t = − ½ i den valgte
parameterfremstilling.
eksempel 2.1 slut.
Opgave 2.2.
Bestem værdierne for t svarende til punkterne
S = (3 1 1
; −
3 3 ; 0) , P0 = (3; ½; 2½) og R = (0; 2; 7)
⎛ ⎞
⎜x⎟
⎜y⎟
⎜z⎟
⎝ ⎠
=
Opgave 2.3.
⎛ ⎞
⎜ 3 ⎟
⎜½
⎟
⎜2½⎟
⎝ ⎠
⎛ ⎞
⎜ − 2⎟
+ t ⎜ 1 ⎟
⎜ 3 ⎟
⎝ ⎠
t ∈ R for linjen m.
i parameterfremstillingen :
Prøv om du kan bevise, at det er den samme linje de tre parameterfremstillinger
i eksempel 2.1 fremstiller.
Eksempel 2.2.
Vi ønsker at finde en parameterfremstilling for den linje, der går gennem
punkterne A(7,–l,3) og B(3,4,–6).
Vi kan som retningsvektor for linjen bruge
Vi har nu to mulige parameterfremstillinger:
⎛ ⎞
⎜x⎟
⎜y⎟
⎜z⎟
⎝ ⎠
=
⎛ ⎞
⎜ 7 ⎟
⎜ − 1⎟
⎜ 3 ⎟
⎝ ⎠
+ t
⎛ ⎞
⎜ − 4⎟
⎜ 5 ⎟
⎜ - 9⎟
⎝ ⎠
t Õ R
og
⎛ ⎞
⎜x⎟
⎜y⎟
⎜z⎟
⎝ ⎠
AB =
=
⎛ ⎞ ⎛ ⎞
⎜ 3 − 7 ⎟ ⎜ − 4⎟
⎜ 4 − ( − 1) ⎟ = ⎜ 5 ⎟
⎜ − 6 − 3 ⎟ ⎜ − 9⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
⎛ ⎞
⎜ 3 ⎟
⎜ 4 ⎟
⎜ − 6⎟
⎝ ⎠
+ t
⎛ ⎞
⎜ − 4⎟
⎜ 5 ⎟
⎜ - 9⎟
⎝ ⎠
Hvis vi kun ønsker at fremstille linjestykket AB, må vi indskrænke
parameteren t til kun at ligge mellem 0 og 1:
D.v.s. linjestykket AB får parameterfremstillingen:
t Õ R
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞
⎜x⎟
⎜ 7 ⎟ ⎜ − 4⎟
⎜y⎟
= ⎜ − 1⎟
+ t ⎜ 5 ⎟ , 0 º t º 1
⎜z⎟
⎜ 3 ⎟ ⎜ - 9⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
Her svarer værdien t = 0 til punktet A og t = 1 til punktet B.
For t = ½ fås midtpunktet.
eksempel 2.2 slut.
Side 27

Vektorregning 11 årgang. 4. udgave.
Parallelle linjer.
En nødvendig og tilstrækkelig betingelse for, at de to forskellige linjer er
parallelle, er at retningsvektorerne for de to linjer er parallelle.
Hvorvidt de to retningsvektorer opfylder denne betingelse, kan afgøres ved at
undersøge, om de to talsæt for retningsvektorerne er proportionale.
Eksempel 2.3.
er parallelle, fordi talsættene for
⎛ ⎞ ⎛ ⎞
⎜ -2⎟
⎜ -4⎟
retningsvektorerne er proportionale, idet: ⎜ 0 ⎟ = ½ ⎜ 0 ⎟ .
⎜ 1 ⎟ ⎜ 2 ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
At l og m ikke er sammenfaldende ses ved, at punktet A(4,–l,3), der ligger på
l ikke ligger på m, idet
Skærende linjer
⎛
⎜
⎜
⎜
⎝
8
3
1
⎞
⎟
⎟
⎟
⎠
⎛ ⎞
⎜-
4 ⎟
+ s ⎜ 0 ⎟
⎜ 2 ⎟
⎝ ⎠
=
⎛
⎜
⎜
⎜
⎝
4
-1
3
⎞
⎟
⎟
⎟
⎠
ikke har en løsning.
eksempel 2.3 slut
Dersom to linjer, givet ved parameterfremstillinger med parametrene t
henholdsvis s, skærer hinanden, findes der netop ét talpar (t0 ; s0 ) for t og s ,
for hvilket de to parameterfremstillinger giver det samme punkt P0 , altså
skæringspunktet.
Eksempel 2.4.
Givet to linjer l og m med parameterfremstillingerne
⎛ ⎞
⎜x⎟
l : ⎜y⎟
= ⎜ 4 ⎟ + t ⎜ − 2⎟
t Õ R . m : ⎜y⎟
= ⎜ 0 ⎟ + t ⎜ 1 ⎟ t Õ R .
⎜z⎟
⎝ ⎠
⎛
⎜
2
⎞
⎟
⎜ − 3 ⎟
⎝ ⎠
⎛ ⎞
⎜ 1 ⎟
⎜
⎝
2
⎟
⎠
⎛ ⎞
⎜x⎟
⎜z⎟
⎝ ⎠
⎛ ⎞
⎜ 9 ⎟
⎜ − 3⎟
⎝ ⎠
⎛ ⎞
⎜ 2 ⎟
⎜ − 3⎟
⎝ ⎠
Linjerne er ikke parallelle, da talsættene for de to retningsvektorer ikke er
proportionale.
Vi vil derfor undersøge, om linjerne skærer hinanden. D.v.s. vi skal
undersøge, om der findes ét talpar (t0 ; s0 ) for t og s, der er løsning til
⎛ ⎞
⎜ 2 ⎟
⎜ 4 ⎟
⎜ − 3 ⎟
⎝ ⎠
+ t
⎛ ⎞
⎜ 1 ⎟
⎜ − 2⎟
⎜ 2 ⎟
⎝ ⎠
=
Side 28
⎛ ⎞
⎜ 9 ⎟
⎜ 0 ⎟
⎜ − 3⎟
⎝ ⎠
+ s
⎛ ⎞
⎜ 2 ⎟
⎜ 1 ⎟
⎜ − 3⎟
⎝ ⎠

Vektorregning 11 årgang. 4. udgave.
Dette betyder, at der skal være én værdi for t sammen med én værdi for s,
der er løsning til de tre ligninger
(1): 2 + t = 9 + 2s (2): 4 – 2t = s (3): –3 + 2t = –3 – 3s
Dette gøres ved først at løse to af ligningerne:
t = 3 s = –2
og derpå indsættes det fundne løsningspar (t, s) = (3, –2) som kontrol i den
tredje ligning:
Ved indsættelse i den tredje ligning får vi − 3 + 2·3 = − 3 − 3·( − 2) ⇔ 3 = 3,
som er sandt.
Altså skærer linjerne l og m hinanden!
Skæringspunktets koordinater findes ved enten at indsætte t = 3 i
parameterfremstillingen for l :
eller s = –2 i parameterfremstillingen for m.
Skæringspunktet er altså P(5,–2,3).
eksempel 2.4 slut.
__________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
Repetition af løsning af to ligninger med to ubekendte *) ved hjælp af
Lige Store Koefficienters Metode:
Princippet er, at man ved multiplikation med en passende faktor
forskellig fra nul -, kan opnå lige store koefficienter på nær
fortegn for en af de ubekendte:
Lad os løse ligningssystemet
Den nederste ligning multipliceres
t − 2s = 7
med 2, og vi får, at
4t + 2s = 8
Ved addition fås, at
5 t = 15
så . t = 3
t − 2s = 7
2t + s = 4
Den øverste ligning multipliceres med
− 2t + 4s = − 14
− 2, og vi får, at
2t + s = 4
Ved addition fås, at
Samlet (t , s) = (3, − 2)
5 s = − 10
så s = − 2.
*) mere om løsning af to ligninger med to ubekendte i appendiks 2 side 42 og 43.
Side 29

Vektorregning 11 årgang. 4. udgave.
Opgave 2.4.
Givet to linjer l og m med parameterfremstillingerne
⎛ ⎞
⎜x⎟
l : ⎜y⎟
= ⎜ 4 ⎟ + t ⎜ 3 ⎟ t Õ R . m : ⎜y⎟
= ⎜ 5⎟
+ t ⎜ 2⎟
t Õ R.
⎜z⎟
⎝ ⎠
⎛ ⎞
⎜ 5 ⎟
⎜18⎟
⎝ ⎠
⎛ ⎞
⎜ 1 ⎟
⎜ − 2⎟
⎝ ⎠
⎛ ⎞
⎜x⎟
⎜z⎟
⎝ ⎠
⎛ ⎞
⎜ 0⎟
⎜ 8⎟
⎝ ⎠
⎛ ⎞
⎜ 2⎟
⎜ 1⎟
⎝ ⎠
Undersøg om linjerne skærer hinanden og find i givet fald deres
skæringspunkt.
Indtegn evt. linjerne i et 3–D koordinatsystem.
(Et eksempel på såkaldte vindskæve linjer, d.v.s. linjer der ikke skærer
hinanden og heller ikke er parallelle findes på side 8 .)
Opgave 2.5.
Bestem en parameterfremstilling for den rette linje l gennem punkterne
A(–3,4,l) og B(3,8,–l).
Vis desuden at punktet C(12,14,–4) ligger på l .
Undersøg om linjen l skærer x-aksen.
⎛ ⎞
⎜1⎟
Tips: brug at ex = ⎜0⎟
er en mulig retningsvektor for førsteaksen til
⎜0⎟
⎝ ⎠
en parameterfremstilling for x-aksen.
Eksempel 2.5.
Her skal vises hvordan man kan undersøge om tre punkter ligger på linje.
I dette tilfælde punkterne P(3, − 1, 7) Q(1, − 2, 3) R(7, 1, 15) .
Metode I:
Her bruges, at de tre punkter ligger på linje, hvis og kun hvis PQ og PR er
parallelle, da de to pile PQ og PR starter i samme punkt P.
De tre punkter P(3, − 1, 7) Q(1, − 2, 3) R(7, 1, 15) ligger på linje idet:
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞
⎜ 1 − 3⎟
⎜ − 2⎟
⎜ 7 − 3⎟
PQ = ⎜ − 2 − ( − 1) ⎟ = ⎜ − 1⎟
; PR = ⎜ 1 − ( − 1) ⎟
⎜ 3 − 7⎟
⎜ − 4⎟
⎜15
− 7⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
=
⎛ ⎞
⎜4⎟
⎜2⎟
⎜8⎟
⎝ ⎠
så PQ = − ½ PR ,
Dette viser at de to vektore PQ og PR er parallelle.
Side 30

Vektorregning 11 årgang. 4. udgave.
Metode II:
Først finder man en parameterfremstilling for linjen gennem to af punkterne.
Derefter undersøger man om det tredie punkt ligger på denne linje:
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞
⎜x⎟
⎜ 3 ⎟ ⎜ − 2⎟
⎜y⎟
= ⎜ − 1⎟
+ t ⎜ − 1⎟
er linjen gennem P og Q.
⎜z⎟
⎜ 7 ⎟ ⎜ − 4⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞
⎜7
⎟ ⎜ 3 ⎟ ⎜ − 2⎟
R(7, 1, 15) ligger på denne linje idet ⎜1
⎟ = ⎜ − 1⎟
+ − 2⋅ ⎜ − 1⎟.
⎜15⎟
⎜ 7 ⎟ ⎜ − 4⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
Konklusion: De tre punkter ligger på linje.
Vindskæve linjer.
Eksempel 2.5 slut!
To linjer l og m siges at være vindskæve dersom linjerne ikke er
parallelle og de ikke skærer hinanden.
Eksempel 2.6. Vi ser på to linjer m og n i rummet med
parameterfremstillingerne
m :
⎛ ⎞
⎜x⎟
⎜y⎟
⎜z⎟
⎝ ⎠
=
⎛ ⎞
⎜ 1 ⎟
⎜ 3 ⎟
⎜ 3½⎟
⎝ ⎠
+ t
⎛ ⎞
⎜ − 2⎟
⎜ 6 ⎟
⎜ − 5⎟
⎝ ⎠
n :
Vi ønsker at afgøre, om linjerne er vindskæve.
⎛ ⎞
⎜x⎟
⎜y⎟
⎜z⎟
⎝ ⎠
=
⎛ ⎞
⎜ 4½⎟
⎜ 4 ⎟
⎜ 2 ⎟
⎝ ⎠
+ t
⎛ ⎞
⎜ 3 ⎟
⎜ 2 ⎟
⎜ − 2⎟
⎝ ⎠
Parameterene i de to linjers parameterfremstilling må ikke hedde det
samme. Derfor ændrer vi den ene parameterbetegnelse t til et andet
bogstav f.eks. s. Her vælger vi at bruge bogstavet s til parameteren i .
parameterfremstillingen for n .
Vi skal nu, på tilsvarende måde som i eksempe 2.4 side 28-29, prøve at
finde
en løsning til ligningssystemet
I:
II:
III:
1 − 2t = 4½ + 3 s
3 + 6t = 4 + 2s
3½ − 5t = 2 − 2s
De to første ligninger omskrives til I: 6s + 4t = –7 II: 2s – 6t = –l .
Løsningen til disse to ligninger med to ubekendte er: s = − og
23
22
Vi skal nu undersøge om disse værdier er løsning til den sidste ligning.
Side 31
t = − 2
11

Vektorregning 11 årgang. 4. udgave.
Vi indsætter i III: 3½ − 5t = 2 − 2s :
og ser at ligningen bliver falsk.
Altså findes der ikke nogen
parameterværdier for s og t, der
passer i alle tre ligninger.
Linjerne skærer altså ikke
hinanden.
Da retningsvektorerne for m og n
ikke er parallelle er linjerne
m og n vindskæve.
Et nærbillede af situationen er vist
her ved siden af.
Opgave 2.6.
Vis at linje l med parameterfrenstillingen
skærer linjen n fra eksempel 2.6.
Opgave 2.7.
Venstre side : 3½ − 5⋅( − 2
97
) = ... =
11 22
Hųjre side : 2 − 2·( − 23 45
) = ... =
22 11
⎛ ⎞
⎜x⎟
⎜y⎟
⎜z⎟
⎝ ⎠
=
Eksempel 2.6 slut!
⎛ ⎞
⎜ 1½⎟
⎜ 2 ⎟
⎜ 4 ⎟
⎝ ⎠
⎛ ⎞
⎜ − 3⎟
+ t ⎜ 4 ⎟
⎜ 6 ⎟
⎝ ⎠
Undersøg, om linjerne l og m givet ved nedenstående parameterfremstillinger
er vindskæve eller skærer hinanden.
Hvis de skærer hinanden skal skæringspunktet findes.
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞
⎜x⎟
⎜ 4 ⎟ ⎜ 0 ⎟
⎜x⎟
⎜ 0⎟
⎜ 2⎟
l : ⎜y⎟
= ⎜ 4 ⎟ + t ⎜ 3 ⎟ t Õ R. m : ⎜y⎟
= ⎜ 5⎟
+ t ⎜ 1⎟
t Õ R.
⎜z⎟
⎜12⎟
⎜ − 2⎟
⎜z⎟
⎜ 3⎟
⎜ 1⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
Det er svært at tegne to vindskæve
linjer på et to-dimensionalt stykke
papir. Man kan dog give figuren
perspektiv ved at lade linjerne skære et
rumligt legeme.
Her er valgt en kasse.
Som man ser, skærer linjerne l og n
hinanden, mens linjerne l og m er
vindskæve.
Side 32

Vektorregning 11 årgang. 4. udgave.
Oversigt over linjer i planen og i rummet.
To linjer l og m er givet ved
l : går gennem P1 og har en retningsvektor r1 m : går gennem P2 og har en retningsvektor r2 Hvis de to linjer er linjer i planen,
kan de ligge på tre forskellige måder i forhold til hinanden:
r 1 ⎥⎪ r 2
r 1 i r 2
1) linjerne er sammenfaldende
2) linjerne er parallelle, men forskellige
3) linjerne er ikke parallelle. De skærer hinanden.
Hvis de to linjer er linjer i rummet,
kan de ligge på fire forskellige måder i forhold til hinanden:
r 1 ⎥⎪ r 2
r 1 i r 2
1) linjerne er sammenfaldende
2) linjerne er parallelle, men forskellige
3) linjerne er ikke parallelle, men de skærer hinanden.
4) linjerne skærer ikke hinanden, og er ikke parallelle.
de er altså vindskæve.
Beregning af afstanden mellem vindskæve linjer kommer først i 12 årgang.
Side 33

Vektorregning 11 årgang. 4. udgave.
3 Planer
Planers parameterfremstilling.
En plan i rummet kan fastlægges ud fra et punkt og to egentlige, ikkeparallelle
vektorer. De to vektorer siges at udspænde den pågældende plan.
Lad P0 være et vilkårligt punkt i planen αααα og
a og b to egentlige, ikke-parallelle vektorer i
planen.
For ethvert punkt P i αααα findes der to tal s og
t, så
P 0 P = s⋅a + t⋅b
Når s og t uafhængigt af hinanden gennemløber
de reelle tal, vil punktet P gennemløbe
planen αααα .
D.v.s.
Planen er således bestemt ved P0 , der ligger i planen, og vektorerne a og
b ; der udspænder planen.
Det er vigtigt at bemærke, at ethvert punkt i planen helt entydigt er fastlagt
ud fra parametrene s og t.
Med P0 = (x0 , y0 , z0 ) for det faste punkt i planen og P = (x, y, z) for det
»løbende« punkt,
⎛ ⎞
⎜x
− x0⎟ ⎛a
⎞ ⎛
1 b ⎞
1
bliver P0P = s⋅a + t⋅b til ⎜y
− y ⎟
⎜ ⎟ ⎜ ⎟
0 = s⋅ a2 eller
⎜ ⎟
⎜ ⎟ + t⋅⎜b2⎟
⎜z
− z0⎟ ⎜a
⎟ ⎜
3 b ⎟
3
⎝ ⎠
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
⎛ ⎞
⎜x⎟
⎜y⎟
⎜z⎟
⎝ ⎠
=
⎛
⎜
⎜
⎜
⎝
x0 y0 z0 ⎞
⎟
⎟
⎟
⎠
⎛
⎜
+ s⋅⎜
⎜
⎝
En parameterfremstilling for planen gennem P0 = (x0 , y0 , z0 ) og
udspændt af vektorerne
er
⎛ ⎞
⎜x⎟
⎜y⎟
⎜z⎟
⎝ ⎠
⎛ ⎞
⎜a1⎟
a = ⎜a
⎟
⎜ 2⎟
⎜a3⎟
⎝ ⎠
=
⎛
⎜
⎜
⎜
⎝
x0 y0 z0 ⎞
⎟
⎟
⎟
⎠
og
⎛
⎜
+ s⋅⎜
⎜
⎝
a1 a2 a3 ⎛ ⎞
⎜b1⎟
b = ⎜b
⎟
⎜ 2⎟
⎜b3⎟
⎝ ⎠
⎞ ⎛
⎟ ⎜
⎟ + t⋅⎜
⎟ ⎜
⎠ ⎝
b1 b2 b3 ⎞
⎟
⎟
⎟
⎠
Side 34
hvor
a1 a2 a3 ⎞ ⎛
⎟ ⎜
⎟ + t⋅⎜
⎟ ⎜
⎠ ⎝
s Õ R og t Õ R
b1 b2 b3 ⎞
⎟
⎟
⎟
⎠

Vektorregning 11 årgang. 4. udgave.
En parameterfremstilling for en plan angives ofte som et system af tre
ligninger:
x = x 0 + sa 1 + tb 1
Eksempel 3.1.
Planen med
parameterfremstillingen
x = 2 − 3s + 5t
y = 1 + s − 2t
z = − 4 + 2s + t
går gennem punktet (2, 1, − 4) og
de to vektorer, der "udspænder
planen"
er
Opgave 3.1.
⎛ ⎞ ⎛ ⎞
⎜ − 3⎟
⎜ 5⎟
⎜ 1⎟
og ⎜ − 2⎟.
⎜ 2⎟
⎜ 1⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
Eksempel 3.1 Slut!
x = y 0 + sa 2 + tb 2
x = z 0 + sa 3 + tb 3
Eksempel 3.2.
Planen gennem punkterne
A(4,1,0), B(3, 2, 2) og C(1, 2, − 1) kan angives
ved parameterfremstillingen
hvor
⎛ ⎞
⎜x⎟
⎜y⎟
⎜z⎟
⎝ ⎠
⎛ ⎞
⎜4⎟
= ⎜1⎟
⎜0⎟
⎝ ⎠
⎛ ⎞
⎜ − 1⎟
⎜ 1⎟
= AB og
⎜ 2⎟
⎝ ⎠
⎛ ⎞ ⎛ ⎞
⎜ − 1⎟
⎜ − 3⎟
+ s⋅⎜
1⎟
+ t⋅⎜
1⎟
⎜ 2⎟
⎜ − 1⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
⎛ ⎞
⎜ − 3⎟
⎜ 1⎟
= AC
⎜ − 1⎟
⎝ ⎠
og (4, 1, 0) er punktet A´s koordinater.
Eksempel 3.2 Slut!
a) Angiv en parameterfremstilling for den plan β der går gennem Q(3;-2;8)
x = 2 − 3s + 5t
og er parallel med planen α: y = 1 + s − 2t .
z = − 4 + 2s + t
b) Angiv parameterfremstillingen for en linje gennem Q parallel med α .
(der er mange løsninger.)
Opgave 3.2.
Angiv en parameterfremstilling for planen gennem punkterne A, B og C, når
1) A = (1,3,-2) , B = (-1,-2,-3) og C = (0,0,4)
2) A = (2,2,3) , B = (2,2,-1) og C = (-1,2,3) .
Aufgabe 3.3.
Eine Ebene sei durch de Punkte P, Q, R bestimmt. Gib eine.
Parameterdarstellung der Ebene an.
a)
b)
P(4;0;1), Q( − 1;0; − 2), R(2;2;1)
P(2;1; − 1), Q(3;1; − 1), R(2;1;0)
Side 35
Anleitung: Bestimme PQ, PR

Vektorregning 11 årgang. 4. udgave.
Eksempel 3.3.
x = 2 − 3s + 6t
y = 1 + s − 2t
z = − 4 + 2s − 4t
ser ud som
en parameterfremstilling for en
plan. Da de to vektorer
⎛ ⎞ ⎛ ⎞
⎜–3⎟
⎜ 6⎟
⎜ 1⎟
og ⎜ − 2⎟.
⎜ 2⎟
⎜ − 4⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
er parallelle så
fremstiller ovenstående en linje
gennem punktet (2, 1, − 4) med
⎛ ⎞
⎜ − 3⎟
⎜ 1⎟
⎜ 2⎟
⎝ ⎠
retningsvektoren .
Det vises tydeligt ved følgende
omskrivning:
x = 2 – 3s + 6t = 2 − 3·(s – 2t)
y = 1 + s − 2t = 1 + 1·(s – 2t)
z = – 4 + 2s – 4t = − 4 + 2·(s – 2t)
som med u = (s – 2t) giver
Opgave 3.4.
x = 2 – 3u
y = 1 + u
z = – 4 + 2u
Eksempel 3.3 Slut!
Eksempel 3.4.
De tre punkter
A(4,1,0), B(3, 2, 2) og C(1, 5, 8)
fastlægger ikke en plan fordi de tre
punkter ligger på linje. Det ses af at
de to vektorer
er parallelle.
AB =
⎛
⎜
⎜
⎜
⎝
− 1
1
2
⎞
⎟
⎟
⎟
⎠
⎛ ⎞
⎜ − 3 ⎟
og AC = ⎜ 3 ⎟
⎜ 6 ⎟
⎝ ⎠
Eksempel 3.4 Slut!
En plan kan fastlægges enten ved
to skærende linjer, to parallelle
linjer, en linje og et punkt, som
ikke ligger på linjen, eller ved tre
punkter, der ikke ligger på linje:
Undersøg om følgende parameterfremstillinger fastlægger en plan eller
en linje eller kun et punkt ?
a)
b)
c)
⎛ ⎞
⎜x⎟
⎜y⎟
⎜z⎟
⎝ ⎠
x = 4 + 2s + 6t
y = 2 + s - 3t
z = - 6 - 3s - 9t
⎛ ⎞
⎜ 8⎟
= ⎜ 1⎟
⎜ − 7⎟
⎝ ⎠
⎛ ⎞ ⎛ ⎞
⎜0⎟
⎜0⎟
+ s⋅⎜0⎟
+ t⋅⎜0⎟
⎜0⎟
⎜0⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
x = 2 + 3s + 4t
y = 1 + 2s + 3t
z = 3 + 4s + 5t
d)
e)
f)
⎛ ⎞
⎜x⎟
⎜y⎟
⎜z⎟
⎝ ⎠
⎛ ⎞
⎜x⎟
⎜y⎟
⎜z⎟
⎝ ⎠
Side 36
⎛ ⎞
⎜ 2⎟
= ⎜ 1⎟
⎜ − 3⎟
⎝ ⎠
⎛ ⎞
⎜0⎟
= ⎜0⎟
⎜0⎟
⎝ ⎠
⎛ ⎞ ⎛ ⎞
⎜ − 2⎟
⎜ − 6⎟
+ s⋅⎜
1⎟
+ t⋅⎜
3⎟
⎜ 2⎟
⎜ 6⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
⎛ ⎞ ⎛ ⎞
⎜ − 2⎟
⎜ 1⎟
+ s⋅⎜
2⎟
+ t⋅⎜
− 1⎟
⎜ 10⎟
⎜ − 5⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
x = 2 - 3s + 6t
y = 1 + s - 2t
z = - 4 +2s - 4t

Vektorregning 11 årgang. 4. udgave.
Opgave 3.5.
En plan skærer koordinatakserne i punkterne
(4,0,0) , (0,5,0) og (0,0,7).
Bestem en parameterfremstilling for denne plan.
Opgave 3.6.
Find en parameterfremstilling for den plan, der går gennem punktet (3,-1,7) og som
er parallel med planen gennem punkterne
A = (1,2,3) , B = (-1,3,4) og C = (1,-4,2).
Opgave 3.6 slut!
I en plan α er givet tre punkter A, B og C, der ikke ligger på linje. Desuden er
der givet punktet D, der ikke ligger i planen α.
Linjen gennem A og B og
linjen gennem C og D vil ligge vindskævt, da der ikke findes nogen plan, der
indeholder de fire punkter. Punkterne A, B, C og D er vinkelspidser i
4 trekanter, der i rummet afgrænser et
legeme. Dette legeme kaldes et tetraeder
(firflade) men også en tresidet pyramide.
De 4 vinkelspidser kaldes tetraedrets
hjørnespidser, de 4 trekanter dets
sideflader. Tetraedrets 6 trekants-sider
AB, BC o.s.v kaldes dets kanter.
Kanterne AB og CD kaldes modstående.
Også BC og AD såvel som AC og BD er
modstående kanter.
Såfremt alle sidetrekanter er ligesidede, kaldes tetraedret regulært.
Tetraedret er et eksempel på et polyeder (mangeflade), der defineres som et
legeme, begrænset af et endeligt antal plane polygoner. For andre polyedre
benyttes betegnelserne hjørnespidser, kanter og sideflader som for tetraedret.
Opgave 3.7.
Vis at punkterne A(4,3,0), B(8,13,0) og C(2,17,0) ikke ligger på linje.
Angiv en parameterfremstilling for planen α , som indeholder de tre
punkter A, B og C. Brug at de tre punkter alle ligger i x-y-planen til at
angive en simplere parameterfremstilling for α.
De tre punkter A, B og
C danner sammen med D(5,7,10) et tetraeder.
Angiv en parameterfremstilling for planen β,
som indeholder de tre
punkter A, B og D.
Bestem projektionen D af punktet D på planen .
∗ α
Side 37

Vektorregning 11 årgang. 4. udgave.
4 Skæring mellem linje og plan.
Til slut skal vi se på skæring mellem linje og plan i form af en
enkelt opgave.
Når både linje og plan er givet ved parameterfremstilling
kræver det at man kan løse 3 ligninger med 3 ubekendte.
Hvordan det kan gøres er vist i appendiks 2.
Opgave 4.1.
Punkterne A(0,0,0) B(6,6,0)
C(0,12,0) og D(3,6,3) danner
et tetraeder.
a) Planen som indeholder de tre punkter A, B og C kan have
parameterfremstillingen:
⎛ ⎞
⎜x⎟
⎜y⎟
⎜z⎟
⎝ ⎠
A
=
⎛ ⎞
⎜0⎟
⎜0⎟
⎜0⎟
⎝ ⎠
B
D
. D*
⎛ ⎞ ⎛ ⎞
⎜6⎟
⎜ 0⎟
+ s⋅⎜6⎟
+ t⋅⎜12⎟
⎜0⎟
⎜ 0⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
Linjen gennem punkt D vinkelret på denne plan kan have
parameterfremstillingen:
⎛ ⎞
⎜x⎟
⎜y⎟
⎜z⎟
⎝ ⎠
=
⎛ ⎞
⎜3⎟
⎜6⎟
⎜3⎟
⎝ ⎠
⎛ ⎞
⎜0⎟
+ u⋅⎜0⎟
⎜1⎟
⎝ ⎠
Beregn skæringspunktet D mellem denne linie og planen
∗
som indeholder de tre punkter A, B og C og
bestem derved projektionen D af D på planen som
∗
indeholder Ç ABC.
Side 38
C

Vektorregning 11 årgang. 4. udgave.
b) Bestem tilsvarende projektionerne A af
∗ , B ∗ og C ∗
punkterne A, B og C på planerne som indeholder
ÇBCD, ÇACD henholdsvis ÇABD,
idet det oplyses at:
⎛ ⎞
⎜1⎟
⎜ ⎟
⎜1⎟
⎝ ⎠
vektor 1 er vinkelret på planen der indeholder BCD
⎛ ⎞
⎜ 1 ⎟
⎜ ⎟
⎜ − 1⎟
⎝ ⎠
vektor 0 er vinkelret på planen der indeholder ACD
og
⎛ ⎞
⎜ 1 ⎟
⎜ − 1⎟
⎜ 1 ⎟
⎝ ⎠
vektor er vinkelret på planen der indeholder ABD.
Side 39
Ç
Ç
Ç

Appendiks 1: Om at tegne rumlige figurer
Om at tegne rumlige figurer
Når man løser en matematikopgave korrekt, indeholder besvarelsen
forklaringer til regningerne. Ofte kan en god tegning sige mere end mange
ord. Det gælder specielt i opgaver af geometrisk art.
I undervisningsministeriets forord til de vejledende eksamensopgaver for
obligatorisk niveau står der: "I opgaver omhandlende geometriske
problemstillinger lægges der vægt på, at besvarelsen indeholder en
illustrerende figur .. ".
Det er sjældent noget problem at tegne gode figurer til plangeometriske
opgaver.
Det er noget vanskeligere med rumlige figurer.
En del rumlige opgaver kan
bekvemt illustreres ved
simple plane figurer uden
"rumvirkning"
Som eksempel ses på figur l. et
plant snit gennem en kugle K
og dens tangentplan α i
punktet P
α
fig. 1.
To linjer i rummet kan også tegnes "plant".
Hvis linjerne skærer hinanden, kan man markere
skæringspunktet.
Hvis linjerne derimod er vindskæve, kan man "afbryde" den
bageste linje og derved skabe en rumlig fornemmelse:
Mange af tegningerne i nogle af afsnittene om rumgeometri er tegnet i perspektiv
for at lette forståelsen.
Forståelsen af perspektivet blev udviklet af 1400-tallets malere, der ønskede at
kunne give en realistisk fremstilling af rumlige figurer på det to-dimensionale
lærred.
side 40

Appendiks 1: Om at tegne rumlige figurer
Det er imidlertid ikke ganske
let at tegne i perspektiv.
Hverken i det daglige eller
ved eksamen har man tid til
at pusle med perspektivet.
Vi vil derfor tillade os at "snyde", og
f.eks. tegne en plan som et
parallelogram; normalvektoren kan
så give den rumlige fornemmelse.
En linje l, der skærer
planen, tegnes som om den
ses lige fra siden
(l1 er linjens projektion på planen)
Vi kan også på simpel vis
tegne en linje l "over"
planen, en linje m i
planen og en linje n
"under" planen
fig. 5.
fig. 3.
fig. 4.
side 41

Appendiks 2:. løsning af ligningssystemer.
Løsning af 2 ligninger med to ubekendte ved hjælp af
Substitutionsmetoden.
Princippet i denne metode er at udtrykke den ene ubekendte ved den
anden.
Lad os løse ligningssystemet
2x + 3y = 9
x + 4y = 2.
Af den anden ligning fås: x = 2 − 4 y,
hvilket indsættes i den første
ligning, så man får, at
2x + 3y = 9 ⇔ 2(2 − 4y) + 3y = 9 ⇔ y = − 1
x = 2 − 4y ⇔ x = 6.
, og vi opnår da, at
således at løsningen til ligningssystemet er (x, y) = (6, − 1) .
Løsning af 2 ligninger med to ubekendte ved hjælp af
Lige Store Koefficienters *) Metode.
Princippet er, at man ved multiplikation med en passende faktor, som
er forskellig fra nul, kan opnå lige store koefficienter på nær fortegn for
mindst en af de ubekendte.
Lad os løse ligningssystemet:
Den øverst ligning multipliceres
2x − 6y = 2
med 2, og vi får, at
2x + 2y = 3
Ved subtraktion fås, at
− 8y = − 1
1
så y =
8 .
Samlet
x − 3y = 1
2x + 2y = 3
Den øverst ganges med 2 og den nederste
2x − 6y = 2
med 3, og vi får, at
6x + 6y = 3
Ved addition fås, at
(x, y) = ( 11 1
,
8 8 )
På side 29 er der et andet gennemregnet eksempel.
8x = 11
11
så x =
8 .
* koefficient: en konstant faktor til en ubekendt el. foranderlig størrelse.
Side 42.

Appendiks 2:. løsning af ligningssystemer.
Løsning af 2 ligninger med to ubekendte ved hjælp af
determinantmetoden *) .
hvor
D = a ⎮ 1
⎮a2
⎮
b 1
b 2
⎮ = a
⎮ 1⋅b2 − a2⋅b1 ⎮
Eksempel: Skæringspunktet S mellem de to linjer med
ligningerne
* Se formel (26) side 4 i Matematisk Formelsamling.
Side 43.

Appendiks 2:. løsning af ligningssystemer.
Løsning af tre ligninger med tre ubekendte.
Fællesmængde (skæring) mellem plan og linie, hvor begge er givet ved
parameterfremstillinger
Vi ønsker at finde fællesmængden for
planen αααα :
⎛ x⎞
⎛ 2 ⎞ ⎛ 3 ⎞ ⎛− 4⎞
⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎜ y⎟
= ⎜ 4 ⎟ + s⎜
7 ⎟ + t ⎜ 2 ⎟
⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ z ⎠ ⎝−
3⎠
⎝−1⎠
⎝ 3 ⎠
og linjen l :
⎛ x ⎞ ⎛6
⎞ ⎛−
7⎞
⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎜ y⎟
= ⎜4
⎟ + u⎜
− 4⎟
⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ z ⎠ ⎝0
⎠ ⎝ 7 ⎠
Vi skal altså løse vektorligningen (finde værdier for de variable s, t og u.):
⎛ 2 ⎞ ⎛ 3 ⎞ ⎛− 4⎞
⎛6
⎞ ⎛−
7⎞
⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎜ 4 ⎟ + s⎜
7 ⎟ + t ⎜ 2 ⎟ = ⎜4
⎟ + u⎜
− 4⎟
⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝−
3⎠
⎝−1⎠
⎝ 3 ⎠ ⎝0
⎠ ⎝ 7 ⎠
Dette svarer til at løse ligningssystemet:
Først reduktion:
⎧ 2
⎪
⎨ 4
⎪
⎩−
3
Så:
+ 3s
+ 7s
− s
− 4t
=
+ 2t
=
+ 3t
=
6
4
0
− 7u
− 4u
+ 7u
⇔
⎧3s
⎪
⎨7s
⎪
⎩−
s
⎧ 2
⎪
⎨ 4
⎪
⎩−
3
− 4t
+ 2t
+ 3t
+ 3s
+ 7s
− s
+ 7u
=
+ 4u
=
− 7u
=
− 4t
=
+ 2t
=
+ 3t
=
4
0
3
6
4
0
( 1 )
( 2)
( 3)
− 7u
− 4u
+ 7u
Vi kan gange ligningerne (1), (2) og (3) igennem med forskellige faktorer for
at opnå et lige stort antal u er i ligningerne (overvej, hvilke faktorer, der er brugt her)
⎧12s
⎪
⎨49s
⎪
⎩−
4s
−16t
+ 14t
+ 12t
+ 28u
= 16
+ 28u
=
0
− 28u
= 12
⇒
− 37s
45s
− 30t
+ 26t
=
=
16
12
(4)=(1)-(2)
(5)=(2)+(3)
hvor ligning (4) er fremkommet ved at trække ligningerne (1) og (2) fra
hinanden, mens ligning (5) er fremkommet ved at lægge (2) og (3) sammen.
Vi har altså nu to ligninger med to ubekendte, som vi kan løse
som vi plejer,
Side 44.

Appendiks 2:. løsning af ligningssystemer.
f.eks. med determinantmetoden:
⎛
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
16
12
− 37
− 37
45
− 37
⎛ 776 −1164
⎞
⎜
⎟
⎝ 388 388 ⎠
( s,
t ) =
,
= , = ( 2,
− 3 )
45
− 30
26
− 30
26
45
16
12
− 30
Indsætter vi de fundne værdier s = 2 og t = − 3,
i ligning (1) : 3s − 4t + 7u = 4,
får vi:
3⋅2 − 4⋅( − 3) + 7u = 4 ⇔ ....... ⇔ u = − 2
D.v.s.
Den samlede løsning til ligningssystemet :
er (s, t, u) = (2, − 3, − 2)
26
⎞
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎧ 2
⎪
⎨ 4
⎪
⎩−
3
+ 3s
+ 7s
Indsætter vi de fundne værdier s = 2 , t = − 3 og u = − 2 i
parameterfremstillingerne for αααα og l får vi:
⎛ x ⎞ ⎛ 2 ⎞ ⎛ 3 ⎞
⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎜ y⎟
= ⎜ 4 ⎟ + 2⎜
7 ⎟ +
⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ z ⎠ ⎝−
3⎠
⎝−
1⎠
( − 3)
Det vil altså sige at:
⎛− 4⎞
⎛ 20 ⎞
⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎜ 2 ⎟ = ⎜ 12 ⎟
⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ 3 ⎠ ⎝−
14⎠
og
⎛ x⎞
⎛6
⎞
⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎜ y⎟
= ⎜4
⎟ +
⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ z ⎠ ⎝0
⎠
Linjen l skærer planen αααα i punktet:
Side 45.
− s
( − 2)
− 4t
=
+ 2t
=
+ 3t
=
6
4
0
⎛−
7⎞
⎛ 20 ⎞
⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎜−
4⎟
= ⎜ 12 ⎟
⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ 7 ⎠ ⎝−14⎠
− 7u
− 4u
+ 7u
S (20, 12, − 14)