AKZENT IV - FORSIDE.AKZ

More documents

Recommendations

Info

Vektorregning 11 årgang. 4. udgave. Parallelle linjer. En nødvendig og tilstrækkelig betingelse for, at de to forskellige linjer er parallelle, er at retningsvektorerne for de to linjer er parallelle. Hvorvidt de to retningsvektorer opfylder denne betingelse, kan afgøres ved at undersøge, om de to talsæt for retningsvektorerne er proportionale. Eksempel 2.3. er parallelle, fordi talsættene for ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎜ -2⎟ ⎜ -4⎟ retningsvektorerne er proportionale, idet: ⎜ 0 ⎟ = ½ ⎜ 0 ⎟ . ⎜ 1 ⎟ ⎜ 2 ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ At l og m ikke er sammenfaldende ses ved, at punktet A(4,–l,3), der ligger på l ikke ligger på m, idet Skærende linjer ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ 8 3 1 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎛ ⎞ ⎜- 4 ⎟ + s ⎜ 0 ⎟ ⎜ 2 ⎟ ⎝ ⎠ = ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ 4 -1 3 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ikke har en løsning. eksempel 2.3 slut Dersom to linjer, givet ved parameterfremstillinger med parametrene t henholdsvis s, skærer hinanden, findes der netop ét talpar (t0 ; s0 ) for t og s , for hvilket de to parameterfremstillinger giver det samme punkt P0 , altså skæringspunktet. Eksempel 2.4. Givet to linjer l og m med parameterfremstillingerne ⎛ ⎞ ⎜x⎟ l : ⎜y⎟ = ⎜ 4 ⎟ + t ⎜ − 2⎟ t Õ R . m : ⎜y⎟ = ⎜ 0 ⎟ + t ⎜ 1 ⎟ t Õ R . ⎜z⎟ ⎝ ⎠ ⎛ ⎜ 2 ⎞ ⎟ ⎜ − 3 ⎟ ⎝ ⎠ ⎛ ⎞ ⎜ 1 ⎟ ⎜ ⎝ 2 ⎟ ⎠ ⎛ ⎞ ⎜x⎟ ⎜z⎟ ⎝ ⎠ ⎛ ⎞ ⎜ 9 ⎟ ⎜ − 3⎟ ⎝ ⎠ ⎛ ⎞ ⎜ 2 ⎟ ⎜ − 3⎟ ⎝ ⎠ Linjerne er ikke parallelle, da talsættene for de to retningsvektorer ikke er proportionale. Vi vil derfor undersøge, om linjerne skærer hinanden. D.v.s. vi skal undersøge, om der findes ét talpar (t0 ; s0 ) for t og s, der er løsning til ⎛ ⎞ ⎜ 2 ⎟ ⎜ 4 ⎟ ⎜ − 3 ⎟ ⎝ ⎠ + t ⎛ ⎞ ⎜ 1 ⎟ ⎜ − 2⎟ ⎜ 2 ⎟ ⎝ ⎠ = Side 28 ⎛ ⎞ ⎜ 9 ⎟ ⎜ 0 ⎟ ⎜ − 3⎟ ⎝ ⎠ + s ⎛ ⎞ ⎜ 2 ⎟ ⎜ 1 ⎟ ⎜ − 3⎟ ⎝ ⎠
Vektorregning 11 årgang. 4. udgave. Dette betyder, at der skal være én værdi for t sammen med én værdi for s, der er løsning til de tre ligninger (1): 2 + t = 9 + 2s (2): 4 – 2t = s (3): –3 + 2t = –3 – 3s Dette gøres ved først at løse to af ligningerne: t = 3 s = –2 og derpå indsættes det fundne løsningspar (t, s) = (3, –2) som kontrol i den tredje ligning: Ved indsættelse i den tredje ligning får vi − 3 + 2·3 = − 3 − 3·( − 2) ⇔ 3 = 3, som er sandt. Altså skærer linjerne l og m hinanden! Skæringspunktets koordinater findes ved enten at indsætte t = 3 i parameterfremstillingen for l : eller s = –2 i parameterfremstillingen for m. Skæringspunktet er altså P(5,–2,3). eksempel 2.4 slut. __________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ Repetition af løsning af to ligninger med to ubekendte *) ved hjælp af Lige Store Koefficienters Metode: Princippet er, at man ved multiplikation med en passende faktor forskellig fra nul -, kan opnå lige store koefficienter på nær fortegn for en af de ubekendte: Lad os løse ligningssystemet Den nederste ligning multipliceres t − 2s = 7 med 2, og vi får, at 4t + 2s = 8 Ved addition fås, at 5 t = 15 så . t = 3 t − 2s = 7 2t + s = 4 Den øverste ligning multipliceres med − 2t + 4s = − 14 − 2, og vi får, at 2t + s = 4 Ved addition fås, at Samlet (t , s) = (3, − 2) 5 s = − 10 så s = − 2. *) mere om løsning af to ligninger med to ubekendte i appendiks 2 side 42 og 43. Side 29
Page 1 and 2: Vektorregning for 11. årgang. 1. V
Page 3 and 4: Vektorregning 11 årgang 4. udgave
Page 27 and 28: Vektorregning 11 årgang. 4. udgave
Page 29: Vektorregning 11 årgang. 4. udgave
Page 43 and 44: Appendiks 1: Om at tegne rumlige fi
Page 45 and 46: Appendiks 2:. løsning af ligningss
Page 47: Appendiks 2:. løsning af ligningss

AKZENT IV - FORSIDE.AKZ

Create successful ePaper yourself

Delete template?

Save as template?