AKZENT IV - FORSIDE.AKZ

More documents

Recommendations

Info

Vektorregning 11 årgang. 4. udgave. Eksempel 3.3. x = 2 − 3s + 6t y = 1 + s − 2t z = − 4 + 2s − 4t ser ud som en parameterfremstilling for en plan. Da de to vektorer ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎜–3⎟ ⎜ 6⎟ ⎜ 1⎟ og ⎜ − 2⎟. ⎜ 2⎟ ⎜ − 4⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ er parallelle så fremstiller ovenstående en linje gennem punktet (2, 1, − 4) med ⎛ ⎞ ⎜ − 3⎟ ⎜ 1⎟ ⎜ 2⎟ ⎝ ⎠ retningsvektoren . Det vises tydeligt ved følgende omskrivning: x = 2 – 3s + 6t = 2 − 3·(s – 2t) y = 1 + s − 2t = 1 + 1·(s – 2t) z = – 4 + 2s – 4t = − 4 + 2·(s – 2t) som med u = (s – 2t) giver Opgave 3.4. x = 2 – 3u y = 1 + u z = – 4 + 2u Eksempel 3.3 Slut! Eksempel 3.4. De tre punkter A(4,1,0), B(3, 2, 2) og C(1, 5, 8) fastlægger ikke en plan fordi de tre punkter ligger på linje. Det ses af at de to vektorer er parallelle. AB = ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ − 1 1 2 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎛ ⎞ ⎜ − 3 ⎟ og AC = ⎜ 3 ⎟ ⎜ 6 ⎟ ⎝ ⎠ Eksempel 3.4 Slut! En plan kan fastlægges enten ved to skærende linjer, to parallelle linjer, en linje og et punkt, som ikke ligger på linjen, eller ved tre punkter, der ikke ligger på linje: Undersøg om følgende parameterfremstillinger fastlægger en plan eller en linje eller kun et punkt ? a) b) c) ⎛ ⎞ ⎜x⎟ ⎜y⎟ ⎜z⎟ ⎝ ⎠ x = 4 + 2s + 6t y = 2 + s - 3t z = - 6 - 3s - 9t ⎛ ⎞ ⎜ 8⎟ = ⎜ 1⎟ ⎜ − 7⎟ ⎝ ⎠ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎜0⎟ ⎜0⎟ + s⋅⎜0⎟ + t⋅⎜0⎟ ⎜0⎟ ⎜0⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ x = 2 + 3s + 4t y = 1 + 2s + 3t z = 3 + 4s + 5t d) e) f) ⎛ ⎞ ⎜x⎟ ⎜y⎟ ⎜z⎟ ⎝ ⎠ ⎛ ⎞ ⎜x⎟ ⎜y⎟ ⎜z⎟ ⎝ ⎠ Side 36 ⎛ ⎞ ⎜ 2⎟ = ⎜ 1⎟ ⎜ − 3⎟ ⎝ ⎠ ⎛ ⎞ ⎜0⎟ = ⎜0⎟ ⎜0⎟ ⎝ ⎠ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎜ − 2⎟ ⎜ − 6⎟ + s⋅⎜ 1⎟ + t⋅⎜ 3⎟ ⎜ 2⎟ ⎜ 6⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎜ − 2⎟ ⎜ 1⎟ + s⋅⎜ 2⎟ + t⋅⎜ − 1⎟ ⎜ 10⎟ ⎜ − 5⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ x = 2 - 3s + 6t y = 1 + s - 2t z = - 4 +2s - 4t
Vektorregning 11 årgang. 4. udgave. Opgave 3.5. En plan skærer koordinatakserne i punkterne (4,0,0) , (0,5,0) og (0,0,7). Bestem en parameterfremstilling for denne plan. Opgave 3.6. Find en parameterfremstilling for den plan, der går gennem punktet (3,-1,7) og som er parallel med planen gennem punkterne A = (1,2,3) , B = (-1,3,4) og C = (1,-4,2). Opgave 3.6 slut! I en plan α er givet tre punkter A, B og C, der ikke ligger på linje. Desuden er der givet punktet D, der ikke ligger i planen α. Linjen gennem A og B og linjen gennem C og D vil ligge vindskævt, da der ikke findes nogen plan, der indeholder de fire punkter. Punkterne A, B, C og D er vinkelspidser i 4 trekanter, der i rummet afgrænser et legeme. Dette legeme kaldes et tetraeder (firflade) men også en tresidet pyramide. De 4 vinkelspidser kaldes tetraedrets hjørnespidser, de 4 trekanter dets sideflader. Tetraedrets 6 trekants-sider AB, BC o.s.v kaldes dets kanter. Kanterne AB og CD kaldes modstående. Også BC og AD såvel som AC og BD er modstående kanter. Såfremt alle sidetrekanter er ligesidede, kaldes tetraedret regulært. Tetraedret er et eksempel på et polyeder (mangeflade), der defineres som et legeme, begrænset af et endeligt antal plane polygoner. For andre polyedre benyttes betegnelserne hjørnespidser, kanter og sideflader som for tetraedret. Opgave 3.7. Vis at punkterne A(4,3,0), B(8,13,0) og C(2,17,0) ikke ligger på linje. Angiv en parameterfremstilling for planen α , som indeholder de tre punkter A, B og C. Brug at de tre punkter alle ligger i x-y-planen til at angive en simplere parameterfremstilling for α. De tre punkter A, B og C danner sammen med D(5,7,10) et tetraeder. Angiv en parameterfremstilling for planen β, som indeholder de tre punkter A, B og D. Bestem projektionen D af punktet D på planen . ∗ α Side 37
Page 1 and 2: Vektorregning for 11. årgang. 1. V
Page 3 and 4: Vektorregning 11 årgang 4. udgave
Page 27 and 28: Vektorregning 11 årgang. 4. udgave
Page 37: Vektorregning 11 årgang. 4. udgave
Page 43 and 44: Appendiks 1: Om at tegne rumlige fi
Page 45 and 46: Appendiks 2:. løsning af ligningss
Page 47: Appendiks 2:. løsning af ligningss

AKZENT IV - FORSIDE.AKZ

Create successful ePaper yourself

Delete template?

Save as template?