AKZENT IV - FORSIDE.AKZ

More documents

Recommendations

Info

Vektorregning 11 årgang. 4. udgave. Opgave 2.4. Givet to linjer l og m med parameterfremstillingerne ⎛ ⎞ ⎜x⎟ l : ⎜y⎟ = ⎜ 4 ⎟ + t ⎜ 3 ⎟ t Õ R . m : ⎜y⎟ = ⎜ 5⎟ + t ⎜ 2⎟ t Õ R. ⎜z⎟ ⎝ ⎠ ⎛ ⎞ ⎜ 5 ⎟ ⎜18⎟ ⎝ ⎠ ⎛ ⎞ ⎜ 1 ⎟ ⎜ − 2⎟ ⎝ ⎠ ⎛ ⎞ ⎜x⎟ ⎜z⎟ ⎝ ⎠ ⎛ ⎞ ⎜ 0⎟ ⎜ 8⎟ ⎝ ⎠ ⎛ ⎞ ⎜ 2⎟ ⎜ 1⎟ ⎝ ⎠ Undersøg om linjerne skærer hinanden og find i givet fald deres skæringspunkt. Indtegn evt. linjerne i et 3–D koordinatsystem. (Et eksempel på såkaldte vindskæve linjer, d.v.s. linjer der ikke skærer hinanden og heller ikke er parallelle findes på side 8 .) Opgave 2.5. Bestem en parameterfremstilling for den rette linje l gennem punkterne A(–3,4,l) og B(3,8,–l). Vis desuden at punktet C(12,14,–4) ligger på l . Undersøg om linjen l skærer x-aksen. ⎛ ⎞ ⎜1⎟ Tips: brug at ex = ⎜0⎟ er en mulig retningsvektor for førsteaksen til ⎜0⎟ ⎝ ⎠ en parameterfremstilling for x-aksen. Eksempel 2.5. Her skal vises hvordan man kan undersøge om tre punkter ligger på linje. I dette tilfælde punkterne P(3, − 1, 7) Q(1, − 2, 3) R(7, 1, 15) . Metode I: Her bruges, at de tre punkter ligger på linje, hvis og kun hvis PQ og PR er parallelle, da de to pile PQ og PR starter i samme punkt P. De tre punkter P(3, − 1, 7) Q(1, − 2, 3) R(7, 1, 15) ligger på linje idet: ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎜ 1 − 3⎟ ⎜ − 2⎟ ⎜ 7 − 3⎟ PQ = ⎜ − 2 − ( − 1) ⎟ = ⎜ − 1⎟ ; PR = ⎜ 1 − ( − 1) ⎟ ⎜ 3 − 7⎟ ⎜ − 4⎟ ⎜15 − 7⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ = ⎛ ⎞ ⎜4⎟ ⎜2⎟ ⎜8⎟ ⎝ ⎠ så PQ = − ½ PR , Dette viser at de to vektore PQ og PR er parallelle. Side 30
Vektorregning 11 årgang. 4. udgave. Metode II: Først finder man en parameterfremstilling for linjen gennem to af punkterne. Derefter undersøger man om det tredie punkt ligger på denne linje: ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎜x⎟ ⎜ 3 ⎟ ⎜ − 2⎟ ⎜y⎟ = ⎜ − 1⎟ + t ⎜ − 1⎟ er linjen gennem P og Q. ⎜z⎟ ⎜ 7 ⎟ ⎜ − 4⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎜7 ⎟ ⎜ 3 ⎟ ⎜ − 2⎟ R(7, 1, 15) ligger på denne linje idet ⎜1 ⎟ = ⎜ − 1⎟ + − 2⋅ ⎜ − 1⎟. ⎜15⎟ ⎜ 7 ⎟ ⎜ − 4⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ Konklusion: De tre punkter ligger på linje. Vindskæve linjer. Eksempel 2.5 slut! To linjer l og m siges at være vindskæve dersom linjerne ikke er parallelle og de ikke skærer hinanden. Eksempel 2.6. Vi ser på to linjer m og n i rummet med parameterfremstillingerne m : ⎛ ⎞ ⎜x⎟ ⎜y⎟ ⎜z⎟ ⎝ ⎠ = ⎛ ⎞ ⎜ 1 ⎟ ⎜ 3 ⎟ ⎜ 3½⎟ ⎝ ⎠ + t ⎛ ⎞ ⎜ − 2⎟ ⎜ 6 ⎟ ⎜ − 5⎟ ⎝ ⎠ n : Vi ønsker at afgøre, om linjerne er vindskæve. ⎛ ⎞ ⎜x⎟ ⎜y⎟ ⎜z⎟ ⎝ ⎠ = ⎛ ⎞ ⎜ 4½⎟ ⎜ 4 ⎟ ⎜ 2 ⎟ ⎝ ⎠ + t ⎛ ⎞ ⎜ 3 ⎟ ⎜ 2 ⎟ ⎜ − 2⎟ ⎝ ⎠ Parameterene i de to linjers parameterfremstilling må ikke hedde det samme. Derfor ændrer vi den ene parameterbetegnelse t til et andet bogstav f.eks. s. Her vælger vi at bruge bogstavet s til parameteren i . parameterfremstillingen for n . Vi skal nu, på tilsvarende måde som i eksempe 2.4 side 28-29, prøve at finde en løsning til ligningssystemet I: II: III: 1 − 2t = 4½ + 3 s 3 + 6t = 4 + 2s 3½ − 5t = 2 − 2s De to første ligninger omskrives til I: 6s + 4t = –7 II: 2s – 6t = –l . Løsningen til disse to ligninger med to ubekendte er: s = − og 23 22 Vi skal nu undersøge om disse værdier er løsning til den sidste ligning. Side 31 t = − 2 11
Page 1 and 2: Vektorregning for 11. årgang. 1. V
Page 3 and 4: Vektorregning 11 årgang 4. udgave
Page 27 and 28: Vektorregning 11 årgang. 4. udgave
Page 31: Vektorregning 11 årgang. 4. udgave
Page 43 and 44: Appendiks 1: Om at tegne rumlige fi
Page 45 and 46: Appendiks 2:. løsning af ligningss
Page 47: Appendiks 2:. løsning af ligningss

AKZENT IV - FORSIDE.AKZ

You also want an ePaper? Increase the reach of your titles

Delete template?

Save as template?