AKZENT IV - FORSIDE.AKZ

More documents

Recommendations

Info

Vektorregning 11 årgang. 4. udgave. 3 Planer Planers parameterfremstilling. En plan i rummet kan fastlægges ud fra et punkt og to egentlige, ikkeparallelle vektorer. De to vektorer siges at udspænde den pågældende plan. Lad P0 være et vilkårligt punkt i planen αααα og a og b to egentlige, ikke-parallelle vektorer i planen. For ethvert punkt P i αααα findes der to tal s og t, så P 0 P = s⋅a + t⋅b Når s og t uafhængigt af hinanden gennemløber de reelle tal, vil punktet P gennemløbe planen αααα . D.v.s. Planen er således bestemt ved P0 , der ligger i planen, og vektorerne a og b ; der udspænder planen. Det er vigtigt at bemærke, at ethvert punkt i planen helt entydigt er fastlagt ud fra parametrene s og t. Med P0 = (x0 , y0 , z0 ) for det faste punkt i planen og P = (x, y, z) for det »løbende« punkt, ⎛ ⎞ ⎜x − x0⎟ ⎛a ⎞ ⎛ 1 b ⎞ 1 bliver P0P = s⋅a + t⋅b til ⎜y − y ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ 0 = s⋅ a2 eller ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ + t⋅⎜b2⎟ ⎜z − z0⎟ ⎜a ⎟ ⎜ 3 b ⎟ 3 ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎛ ⎞ ⎜x⎟ ⎜y⎟ ⎜z⎟ ⎝ ⎠ = ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ x0 y0 z0 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎛ ⎜ + s⋅⎜ ⎜ ⎝ En parameterfremstilling for planen gennem P0 = (x0 , y0 , z0 ) og udspændt af vektorerne er ⎛ ⎞ ⎜x⎟ ⎜y⎟ ⎜z⎟ ⎝ ⎠ ⎛ ⎞ ⎜a1⎟ a = ⎜a ⎟ ⎜ 2⎟ ⎜a3⎟ ⎝ ⎠ = ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ x0 y0 z0 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ og ⎛ ⎜ + s⋅⎜ ⎜ ⎝ a1 a2 a3 ⎛ ⎞ ⎜b1⎟ b = ⎜b ⎟ ⎜ 2⎟ ⎜b3⎟ ⎝ ⎠ ⎞ ⎛ ⎟ ⎜ ⎟ + t⋅⎜ ⎟ ⎜ ⎠ ⎝ b1 b2 b3 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ Side 34 hvor a1 a2 a3 ⎞ ⎛ ⎟ ⎜ ⎟ + t⋅⎜ ⎟ ⎜ ⎠ ⎝ s Õ R og t Õ R b1 b2 b3 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠
Vektorregning 11 årgang. 4. udgave. En parameterfremstilling for en plan angives ofte som et system af tre ligninger: x = x 0 + sa 1 + tb 1 Eksempel 3.1. Planen med parameterfremstillingen x = 2 − 3s + 5t y = 1 + s − 2t z = − 4 + 2s + t går gennem punktet (2, 1, − 4) og de to vektorer, der "udspænder planen" er Opgave 3.1. ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎜ − 3⎟ ⎜ 5⎟ ⎜ 1⎟ og ⎜ − 2⎟. ⎜ 2⎟ ⎜ 1⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ Eksempel 3.1 Slut! x = y 0 + sa 2 + tb 2 x = z 0 + sa 3 + tb 3 Eksempel 3.2. Planen gennem punkterne A(4,1,0), B(3, 2, 2) og C(1, 2, − 1) kan angives ved parameterfremstillingen hvor ⎛ ⎞ ⎜x⎟ ⎜y⎟ ⎜z⎟ ⎝ ⎠ ⎛ ⎞ ⎜4⎟ = ⎜1⎟ ⎜0⎟ ⎝ ⎠ ⎛ ⎞ ⎜ − 1⎟ ⎜ 1⎟ = AB og ⎜ 2⎟ ⎝ ⎠ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎜ − 1⎟ ⎜ − 3⎟ + s⋅⎜ 1⎟ + t⋅⎜ 1⎟ ⎜ 2⎟ ⎜ − 1⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎛ ⎞ ⎜ − 3⎟ ⎜ 1⎟ = AC ⎜ − 1⎟ ⎝ ⎠ og (4, 1, 0) er punktet A´s koordinater. Eksempel 3.2 Slut! a) Angiv en parameterfremstilling for den plan β der går gennem Q(3;-2;8) x = 2 − 3s + 5t og er parallel med planen α: y = 1 + s − 2t . z = − 4 + 2s + t b) Angiv parameterfremstillingen for en linje gennem Q parallel med α . (der er mange løsninger.) Opgave 3.2. Angiv en parameterfremstilling for planen gennem punkterne A, B og C, når 1) A = (1,3,-2) , B = (-1,-2,-3) og C = (0,0,4) 2) A = (2,2,3) , B = (2,2,-1) og C = (-1,2,3) . Aufgabe 3.3. Eine Ebene sei durch de Punkte P, Q, R bestimmt. Gib eine. Parameterdarstellung der Ebene an. a) b) P(4;0;1), Q( − 1;0; − 2), R(2;2;1) P(2;1; − 1), Q(3;1; − 1), R(2;1;0) Side 35 Anleitung: Bestimme PQ, PR
Page 1 and 2: Vektorregning for 11. årgang. 1. V
Page 3 and 4: Vektorregning 11 årgang 4. udgave
Page 27 and 28: Vektorregning 11 årgang. 4. udgave
Page 35: Vektorregning 11 årgang. 4. udgave
Page 43 and 44: Appendiks 1: Om at tegne rumlige fi
Page 45 and 46: Appendiks 2:. løsning af ligningss
Page 47: Appendiks 2:. løsning af ligningss

AKZENT IV - FORSIDE.AKZ

Create successful ePaper yourself

Delete template?

Save as template?