AKZENT IV - FORSIDE.AKZ
AKZENT IV - FORSIDE.AKZ
AKZENT IV - FORSIDE.AKZ
Create successful ePaper yourself
Turn your PDF publications into a flip-book with our unique Google optimized e-Paper software.
Vektorregning<br />
for<br />
11. årgang.<br />
1. Vektorer side 1 - 23<br />
2. Linjer side 24 - 33<br />
3. Planer side 34 - 37<br />
4. Skæring mellem linje og plan side 38 - 39<br />
A1: Om at tegne rumlige figuer side 40 - 41<br />
A2: Løsning af ligningssystemer side 42 - 45
4.7.2006
Vektorregning 11 årgang 4. udgave<br />
Skalarer og vektorer<br />
1. Vektorer<br />
Hvis indholdet i to spande med henholdsvis 2 liter og 3 liter vand hældes<br />
sammen, har man ialt 5 liter vand; hvis to lodder med masserne 2 kg og 3 kg<br />
smeltes sammen, fås et lod med massen 5 kg. Men fordi afstanden fra A til B<br />
er 2 cm, og afstanden fra B til C er 3 cm, er det ikke sikkert, at afstanden fra<br />
A til C er 5 cm. 1) Hvis et legeme påvirkes af to kræfter, den ene på 2 Newton<br />
og den anden på 3 Newton, vil den samlede kraftpåvirkning sædvanligvis<br />
ikke være 5 Newton.<br />
Ovenstående eksempler skal illustrere, at man må skelne mellem to slags<br />
størrelser, skalarer og vektorer.<br />
En skalar er bestemt ved sin talværdi - måske med tilføjelse af en enhed - og<br />
regning med skalarer er blot regning med reelle tal.<br />
En vektor er derimod en retningsbestemt størrelse, og til fastlæggelse af en<br />
vektor kræves kendskab til både dens talværdi, dens enhed og dens retning.<br />
Som eksempler på skalarer kan nævnes: længde, areal, masse og elektrisk<br />
ladning.<br />
Vektorer benyttes til beskrivelse af bl.a. hastighed, acceleration og kraft,<br />
men også til impuls, impulsmoment og kraftmoment. I matematikken er<br />
vektorer gode til at beskrive parallelforskydninger.<br />
Disse vidt forskellige begreber kan rent regneteknisk behandles ens, og dette<br />
er netop en af årsagerne til indførelsen af det matematiske vektorbegreb.<br />
Pile og vektorer.<br />
Definition :<br />
Ved en pil forstås et linjestykke af en bestemt længde forsynet med en<br />
bestemt retning. Man siger, at linjestykket er orienteret.<br />
Hvis A og B er to punkter i planen, skal pil AB betegne pilen fra A til B.<br />
Punktet A er begyndelsespunktet og B er endepunktet.<br />
pil AB og pil BA kaldes modsat rettede pile eller blot modsatte pile.<br />
1) Prøv at afsætte punkterne A og B 2 cm fra hinanden på et stykke papir og undersøg,<br />
hvilke afstande det er muligt at opnå fra A til C, når C anbringes 3 cm fra B.<br />
Side 1
Vektorregning 11 årgang 4. udgave<br />
eksempler:<br />
Som et matematisk hjælpemiddel til<br />
beskrivelse af hastigheder kan man bruge en<br />
pil. Dens retning skal angive<br />
bevægelsesretningen, og dens længde skal<br />
udtrykke hastighedens størrelse.<br />
Kører nogle cyklister i samme retning, men<br />
med forskellig fart (størrelse af hastigheden),<br />
angives det som på figuren her til venstre, hvor<br />
pilenes retning er ens mens deres længder, der<br />
angiver cyklisternes fart er forskellig.<br />
For to faldskærmsudspringere<br />
kan deres nedadrettede<br />
hastigheder ligeledes<br />
anskueliggøres med pile. Da de to<br />
udspringere har samme<br />
hastighed, bliver de to pile ens,<br />
d.v.s. samme længde og retning.<br />
Øvelse 1.1: På billedet af faldskærmsudspringerne svarer 1 mm på pilene til 1<br />
m/sek. Bestem udspringernes fart i enhederne m/sek og i km/time.<br />
Side 2<br />
I fysik repræsenteres en kraft<br />
ofte ved en pil, f.eks. når et<br />
legeme påvirkes af en kraft.<br />
Hvis legemet befinder sig et<br />
andet sted, angives kraften med<br />
en anden pil, der har samme<br />
retning og længde, men det<br />
opfattes som samme kraft.<br />
Pilens længde er udtryk for<br />
kraftens størrelse, og pilens<br />
retning angiver kraftens<br />
retning.
Vektorregning 11 årgang 4. udgave<br />
A<br />
B<br />
C<br />
E<br />
A*<br />
D<br />
B*<br />
C*<br />
E*<br />
D*<br />
Til venstre ses en<br />
parallelforskydning.<br />
Denne kan beskrives ved en<br />
hvilken som helst af pilene<br />
AA∗ BB∗, CC∗, DD∗, EE∗ eller<br />
ved en pil fra et hvilket som<br />
helst punkt P i planen hen til<br />
det punkt P*, hvor P føres<br />
hen ved parallelforskydningen.<br />
Det karakteristiske for alle eksemplerne er, at det er uden betydning,<br />
hvor pilenes begyndelsespunkt er placeret. Det er alene deres retning<br />
og længde, vi bruger til beskrivelserne.<br />
Endnu et eksempel:<br />
Billedet til højre viser tre flyvemaskiner i<br />
formationsflyvning. Med en pil angives en<br />
flyvemaskines hastighed.<br />
Da de tre pile er ens, har de tre maskiner<br />
samme hastighed.<br />
De tre pile angiver altså den samme<br />
hastighed, selv om de er tegnet forskellige<br />
steder.<br />
Det vil da være naturligt at sammenfatte disse tre pile, og for øvrigt alle<br />
andre tænkelige pile, som repræsenterer denne hastighed, til én bestemt<br />
mængde af pile. En sådan mængde af pile kaldes for en vektor.<br />
I flere af de beskrevne eksempler har vektorerne beskrevet hastigheder. Det<br />
kan vi specificere ved at tale om hastighedsvektorer.<br />
Definition:<br />
En vektor er mængden af alle pile, som<br />
har samme retning og samme længde.<br />
Hver pil kaldes en repræsentant<br />
for vektoren.<br />
Side 3
Vektorregning 11 årgang 4. udgave<br />
Øvelse 1.2:<br />
Hvilke af følgende begreber kan beskrives ved vektorer:<br />
1) Rumfang 7) Tid<br />
2) Kraft 8) Energi<br />
3) Masse 9) Hastighed<br />
4) Arbejde 10) Fart<br />
5) Acceleration 11) Temperatur<br />
6) Tryk<br />
Som symbol for en vektor anvendes et lille<br />
bogstav med pil over: a (læses: vektor a).<br />
En repræsentant for vektoren a tegnet fra<br />
et punkt A til et punkt B, betegnes AB,<br />
og vi skriver:<br />
a = AB .<br />
Ved længden af a forstås længden af en vilkårlig<br />
repræsentant for a . Længden af a betegnes ved | a | eller<br />
blot a (det er jo en skalær størrelse).<br />
To vektorer er parallelle, dersom deres retninger<br />
er parallelle. Parallelle vektorer behøver således<br />
ikke at være lige lange, ligesom de heller ikke<br />
nødvendigvis er ensrettede.<br />
På figuren er a , b og c alle parallelle, a er<br />
ensrettet med c , men a er modsat rettet b .<br />
At a og b er parallelle skrives a || b .<br />
To vektorer er ortogonale, dersom deres retninger<br />
er ind byrdes vinkelrette.<br />
At a og b er ortogonale skrives a • b .<br />
Side 4
Vektorregning 11 årgang 4. udgave<br />
Når vi i det foregående har talt om et orienteret linjestykke AB, har det<br />
været underforstået, at A † B.<br />
De hidtil omtalte vektorer har derfor alle<br />
positive længder.<br />
I mange sammenhænge er det imidlertid praktisk at råde over en vektor med<br />
længde 0. Vi udvider derfor mængden af vektorer med nulvektoren.<br />
Der er kun én nulvektor, og den betegnes 0 .<br />
Nulvektoren er uden retning, og ethvert punkt er en repræsentant for<br />
nulvektoren.<br />
Til forskel fra denne uegentlige vektor kaldes en vektor a † 0 for en<br />
egentlig vektor.<br />
Indtil nu har vektorer været tegnet som<br />
liggende i samme plan.<br />
Vektorer kan imidlertid også ligge i<br />
forskellige planer , som på figuren her<br />
ved siden af.<br />
Øvelse 1.3<br />
Hvilke af de 8 vektorer på figuren<br />
(1) har samme længde?<br />
(2) er parallelle?<br />
(3) er ortogonale?<br />
Opgave 1.1<br />
Hvor mange<br />
vektorer er der<br />
repræsentanter for<br />
på denne figur?<br />
Opgave 1.2.<br />
Side 5
Vektorregning 11 årgang 4. udgave<br />
REGNING MED VEKTORER<br />
Forsøg: Nedenstående forsøg kan laves som introduktion til dette afsnit, eller efter<br />
de følgende sider om vektoraddition.<br />
Figuren nedenfor viser tre snore, der er bundet sammen i punktet P og forbundet til<br />
hver sin kraftmåler (newtonmeter). Prøv med tre kraftmålere og noget snor at<br />
bestemme nogle mulige kombinationer af værdier for de tre kraftmålere A, B. og C.<br />
Lav flere forsøg som ovenfor, hvor vinklerne mellem snorene er anderledes. Det kan<br />
være en god ide at starte med at fastlægge vinklerne mellem snorene ved på forhånd<br />
at tegne tre halvlinjer ud fra et punkt P i nærheden af papirets midtpunkt.<br />
Vektoraddition<br />
Definition:<br />
Lad a og b være to vilkårlige vektorer. Ud fra et vilkårligt punkt A<br />
afsættes en repræsentant for vektor a . Hvis endepunktet kaldes B, så er<br />
a = AB . Ud fra punktet B afsættes vektor b . Hvis endepunktet kaldes<br />
C, så er b = BC:<br />
Vi definerer nu, at summen af vektorerne a og b skal betyde vektoren<br />
AC,<br />
og man skriver summen af to vektorer med et sædvanligt plustegn:<br />
a + b = AC<br />
Det er vigtigt at bemærke, at den definition der her er givet for addition af to<br />
vektorer, ikke afhænger af det udgangspunkt A, man starter med at vælge.<br />
Side 6
Vektorregning 11 årgang 4. udgave<br />
Der gælder at: a + b = b + a<br />
D.v.s. for vektoraddition gælder den kommutative lov.<br />
Øvelse 1.4 Bevis sætningen a + b = b + a geometrisk.<br />
Trekantsuligheden<br />
For to vilkårlige vektorer a og b får vi umiddelbart<br />
ud fra konstruktionen af sumvektoren a + b , at der<br />
gælder: Œ a + b Œ º Œ a Œ + Œ b Œ<br />
Uligheden kaldes for trekantsuligheden.<br />
Som det fremgår af figuren til højre, gælder<br />
lighedstegnet kun når a er ensrettet med b<br />
Indskudsreglen:<br />
For tre vilkårlige punkter A, B og C gælder<br />
AB = AC + CB<br />
AB<br />
er således blevet opdelt i en sum af to vektorer,<br />
AC + CB,<br />
idet C er »indskudt« mellem A og B.<br />
Denne regel gælder generelt og kaldes for<br />
indskudsreglen.<br />
Vektoraddition som en diagonal i et parallelogram.<br />
Hvis vi vælger repræsentanter for to<br />
vektorer a og b , så de begynder i et<br />
fælles begyndelsespunkt 0, vil disse<br />
repræsentanter udspænde et<br />
parallelogram ACBO: Idet AC også er en<br />
repræsentant for b , ses at a + b = OC<br />
øvelse 1.4 slut!<br />
d.v.s. a + b er den diagonal, der begynder, hvor de to vektorer a og<br />
b begynder. Det er denne formulering af vektorsum, der især<br />
finder anvendelse i fysikken ("kræfternes parallelogram").<br />
Side 7
Vektorregning 11 årgang 4. udgave<br />
Eksempel 1.1 Figuren nedenfor viser i fugleperspektiv to personer, der<br />
trækker en båd på en å. Den resulterende kraft r , hvormed båden trækkes,<br />
bestemmes ved vektoraddition r = a + b :<br />
Længden og retningen af sum vektoren bestemmes ved diagonalen i det<br />
parallelogram, hvis sider svarer til a og b (i den forbindelse tales ofte om<br />
»kræfternes parallelogram«).<br />
Eksempel 1.1 slut!<br />
Bevis:<br />
SÆTNING:<br />
For vilkårlige vektorer gælder den associative lov:<br />
Af den første figur ses, at<br />
( a + b ) + c = AB<br />
( a + b ) + c = a + ( b + c )<br />
og af den anden figur ses, at<br />
a + ( b + c ) = AB.<br />
Hermed er det ønskede bevist i to dimmentioner.<br />
Nedenstående figurer viser, at den associative lov:<br />
( a + b ) + c = a + ( b + c ) også gælder for vektoraddition i rummet:<br />
d = ( a + b ) + c d = a + ( b + c )<br />
Side 8<br />
bevis slut!
Vektorregning 11 årgang 4. udgave<br />
Eksempel 1.2:<br />
Denne figur<br />
viser, hvordan man kan addere<br />
de tre vektorer v , w og u .<br />
Facit er vektoren AD .<br />
Eksempel 1.3<br />
Tre kræfter virker på<br />
k 1 , k 2 og k 3<br />
en sten.<br />
Den resulterende kraft k<br />
bestemmes, som vist på figuren,<br />
ved vektoradditionen:<br />
Opgave 1.3.<br />
C<br />
A<br />
¡<br />
w u ¡<br />
¡<br />
v<br />
B<br />
¡ ¡ ¡<br />
v + w + u<br />
Ved et orienteringsløb løber en af konkurrencedeltagerne 600<br />
m mod nord, derefter 500 m mod sydvest og sluttelig 350 m<br />
mod sydøst.<br />
Hvor langt fra udgangspositionen er løberen da?<br />
(Vink: Indtegn en figur på ternet papir, hvor<br />
løbestrækningerne angives ved vektorer)<br />
Side 9<br />
D<br />
Eksempel 1.2 og 1.3 slut!
Vektorregning 11 årgang 4. udgave<br />
Den modsatte vektor.<br />
I forbindelse med reelle tal definerer man det modsatte tal<br />
− a til et givent tal a ved ligningen a + ( − a) = 0 .<br />
Svarende hertil defineres − a på følgende måde:<br />
Den modsatte vektor − a til en given vektor a defineres<br />
ved ligningen a + ( − a ) = 0 .<br />
Læs dette således: den modsatte vektor til vektor a er den vektor, man skal lægge<br />
til vektor a for at få nul-vektoren. Til denne vil vi bruge betegnelsen − a .<br />
Øvelse 1.4. Prøv at give en anden beskrivelse af "den modsatte vektor".<br />
Vektordifferens:<br />
Differensen a − b mellem to givne vektorer a og b defineres som:<br />
a + ( − b ) .<br />
læs dette således: til vektor a skal adderes den modsatte vektor til b .<br />
Denne definition giver umiddelbart at vektoren a − b kan konstrueres<br />
som er vist her:<br />
→<br />
a<br />
→<br />
b<br />
- b →<br />
- b →<br />
En anden metode til bestemmelse af a − b er at afsætte<br />
vektorpilene for a og b ud fra samme punkt.<br />
a − b er da vektorpilen, der går fra spidsen af<br />
vektor b til spidsen af vektor a .<br />
→<br />
a<br />
→<br />
a<br />
- b →<br />
→<br />
b<br />
→<br />
a<br />
a<br />
→<br />
a<br />
-<br />
- a →<br />
→ b →<br />
Opgave 1.4: Ud fra vektorerne a , b og c på figuren her til<br />
højre bestemmes ved indtegning på ternet papir følgende<br />
vektorer:<br />
1) a − c<br />
2) ( b + c ) − a<br />
Side 10
Vektorregning 11 årgang 4. udgave<br />
Multiplikation af vektor med tal<br />
Lad os endnu engang tage vort udgangspunkt i fysikkens brug af vektorer, før<br />
vi definerer de matematiske begreber. Et legeme er påvirket af kraften F .<br />
Den halve kraft i samme retning kan da naturligt skrives som , mens<br />
den dobbelte kraft i modsat retning skrives som − (2 F ) . Denne kraft vil<br />
selvfølgelig være den samme som den modsatte kraft fordoblet, altså 2( − F ) .<br />
1<br />
2 F<br />
Det vil derfor rent matematisk være bekvemt, hvis udtrykket ( − 2)F<br />
tillægges samme betydning, så vi får:<br />
− (2 F ) = 2( − F ) = ( − 2)F<br />
Dette opnås med følgende definition:<br />
Lad der være givet en vektor a og et tal t . Vi kan da gange a med t, altså<br />
danne en ny vektor t a :<br />
Hvis a = 0 , sætter vi t a = 0 uanset værdien af tallet t .<br />
Hvis a † 0 definerer vi vektor t a således :<br />
1) t a har længden |t| | a |<br />
2) for t > 0 er t a og a ensrettede, og for t < 0 er t a og a modsat rettede<br />
3) Er t = 0 , sætter vi t a = 0 .<br />
Specielt følger det af definitionen ovenfor , at:<br />
1 a = a , ( − 1) a = − a og f.eks. ( − 7) a = − 7 a<br />
Definitionerne ovenfor er valgt så snedige, at vi kan regne næsten som om,<br />
der er tale om at gange tal med hinanden.<br />
Bemærk for øvrigt, at der er tradition for ikke at skrive noget gangetegn<br />
mellem t og vektoren a .<br />
Side 11
Vektorregning 11 årgang 4. udgave<br />
Opgave 1.5<br />
Ud fra vektorerne a , b og c på figuren<br />
her til højre bestemmes følgende vektorer:<br />
1) a − b<br />
2) ( a + b ) − 2c<br />
3) 2 a − ½ b<br />
4) a − 2b + 3c<br />
ved indtegning på ternet papir.<br />
Opgave 1.6<br />
Lad A og B være to forskellige punkter i planen. Beskriv følgende punktmængder:<br />
Aufgabe 1.7.<br />
In den Figuren sind die beiden Vektoren x<br />
und y enthalten. Diese drückt man durch<br />
a und b aus! M ist Mittelpunkt der einen<br />
Seite.<br />
Aufgabe 1.8.<br />
In dem Parallelepipeded sucht man<br />
geschlossene Vektorzüge, mit dessen Hilfe<br />
man die Vektoren x = DA und y = EM<br />
durch die Vektoren a , b und c darstellt!<br />
M ist genau die Mitte zwischen D und A.<br />
Side 12<br />
C<br />
→<br />
c<br />
→<br />
b<br />
→<br />
a<br />
→<br />
b<br />
→<br />
a<br />
E<br />
A<br />
→<br />
y<br />
M<br />
M<br />
→<br />
x<br />
→<br />
c<br />
D<br />
→<br />
c
Vektorregning 11 årgang 4. udgave<br />
Koordinater for vektorer.<br />
Forestil dig at du bliver ringet op af en kammerat som ikke har<br />
"Vektorregning for 11. årgang." , for at få dikteret Opgave 1.5 fra forige<br />
side.<br />
Hvordan kan du beskrive de tre vektorer a , b og c ?<br />
Du kunne sige vektor a "en tern til højre og 3 tern op", vektor b "2 tern til<br />
højre og 2 tern nedad" og vektor c "2 tern til venstre og 2 tern nedad".<br />
Når vi har fået indført begrebet "Koordinater for vektorer" vil vi skrive<br />
a = 1 ⎛ ⎞<br />
⎜ ⎟ , b =<br />
⎝<br />
3<br />
⎠<br />
⎛ 2 ⎞<br />
⎜ ⎟<br />
⎝ − 2⎠<br />
og<br />
c =<br />
⎛–<br />
2⎞<br />
⎜ ⎟<br />
⎝–<br />
2⎠<br />
Inspireret heraf kan du diktere Opgave 1.5 således:<br />
I opgaven er der givet tre vektorer a , b og c tegnet på kvadreret papir.<br />
Vektor a har koordinaterne 1 over 3.<br />
Vektor b har koordinaterne 2 over − 2.<br />
Vektor c har koordinaterne − 2 over − 2.<br />
I opgaven er der 4 delopgaver. I den første skal du på ternet papir konstruere<br />
vektoren vektor a minus vektor b. I den anden delopgave skal du først<br />
konstruere vektor a plus vektor b, .. o.s.v.<br />
Ovenstående forudsætter imidlertid at i begge er fortrolige med, hvad der<br />
menes med udtrykket: "Vektor " * " har koordinaterne x over y."<br />
Øvelse 1.5<br />
a) Prøv at beskrive de tre vektorer her ,<br />
dels på din egen måde og dels ved at bruge<br />
formuleringen:<br />
"Vektor "*" har koordinaterne x over y."<br />
b) Bestem ved ved at tegne på ternet papir<br />
vektorerne :<br />
1) a + b<br />
2) ( a − b ) + c<br />
3) 3 a − 1½ b<br />
Side 13<br />
→ a<br />
→<br />
b<br />
→ c
Vektorregning 11 årgang 4. udgave<br />
I det følgende skal vi præcisere begrebet "Koordinater for vektorer"<br />
og lære at regne med vektorer.<br />
Det er vigtigt, at vi sikrer os en helt entyding sammenhæng mellem en<br />
vektor og dens koordinater.<br />
I et koordinatsystem i planen indføres to<br />
enhedsvektorer, der er ensrettede med henholdsvis<br />
første- og andenaksen.<br />
De to vektorer kaldes basisvektorer, og betegnes<br />
i og j .<br />
Der gælder: i ⊥ j og ⎮ i ⎮ = ⎮ j ⎮ = 1 .<br />
Man udtrykker dette ved at sige at i og j<br />
danner en ortonormeret basis. (orto ~ ret; normeret ~ enhedslængde d.v.s.<br />
længde 1).<br />
En vilkårlig vektor a i planen kan skrives<br />
som en sum af to vektorer og .<br />
a x a y<br />
ax parallel med x-aksen. ay parallel med y-aksen.<br />
Man siger, at a er opløst i komposanter parallelle<br />
med x-aksen og y-aksen.<br />
At denne opløsning er entydig bevises således:<br />
Antag, at der findes en anden opløsning bx og by af a i komposanter.<br />
bx er parallel med x-aksen og by er parallel med y-aksen<br />
Det betyder at a = ax + ay og a = bx + by .<br />
Heraf + = +<br />
a x a y b x b y<br />
Af den sidste ligning får vi<br />
Denne ligning siger at vektoren<br />
Kald denne vektor v .<br />
Ved at se på udtrykket<br />
ved at se på udtrykket<br />
ax - bx = by -<br />
a y<br />
ax - bx er identisk med vektoren by - ay .<br />
ax - bx ses at vektor v er parallel med x-aksen og<br />
by - ay ses at v også er parallel med y-aksen.<br />
Det betyder at v kun kan være nulvektoren 0 .<br />
Af<br />
ax - bx = 0 fås ax = bx . Og tilsvarende fås at by = ay .<br />
Dvs. at vektorerne og er entydigt bestemte.<br />
a x a y<br />
Side 14
Vektorregning 11 årgang 4. udgave<br />
eller<br />
Opgave 1.9.<br />
Side 15
Vektorregning 11 årgang 4. udgave<br />
Vektorer i rummet.<br />
Vektorer i rummet kan på tilsvarende måde som i<br />
planen udtrykkes ved koordinater. Blot skal<br />
plangeometriens to dimensioner udvides med en tredje<br />
dimension. I rumgeometrien kan vektorer udtrykkes<br />
ved koordinater i et retvinklet 3-dimensionalt<br />
koordinatsystem. Dette består af 3 tallinjer som står<br />
vinkelret på hinanden i det fælles nulpunkt O.<br />
Vi indfører som i plangeometrien basisvektorer<br />
i , j og k , som er indbyrdes ortogonale<br />
enhedsvektorer. Koordinatakserne betegnes med<br />
x-aksen, y-aksen og z-aksen.<br />
Vi vedtager, at koordinatsystemet skal have en bestemt<br />
orientering :<br />
Hvis man tænker sig, at man kigger ned på den plan,<br />
som x- og y-aksen danner, fra z-aksens positive del, skal<br />
omløbsretningen fra i til j være positiv, d.v.s. mod<br />
uret.<br />
Ligesom i planen kan en vilkårlig vektor a entydigt<br />
opløses i komposanterne ax , ay og az parallelle med<br />
koordinatakserne.<br />
Vektor a kan derfor angives ved<br />
a = a x + a y + a z = a 1 i + a 2 j + a 3 k<br />
⎛ a ⎞<br />
1<br />
⎜ ⎟<br />
og dermed: a = ⎜ a2 ⎟.<br />
⎜ a ⎟<br />
⎝ 3 ⎠<br />
Opgave 1.10.<br />
I et koordinatsystem i planen er der givet punkterne<br />
A(3, − 2), B(5, 2) og C(1,6)<br />
Find koordinaterne til det punkt D , som opfylder at firkanten ABCD<br />
bliver et parallelogram, med punkterne i den nævnte rækkefølge.<br />
I rummet er der givet punkterne<br />
A(3, − 2,4), B(5, 2,0) og C(1,6 ,2)<br />
Find på tilsvarende måde som i to dimentioner, koordinaterne til det punkt<br />
D i rummet , som opfylder at firkanten ABCD bliver et parallelogram, med<br />
punkterne i den nævnte rækkefølge.<br />
Side 16
Vektorregning 11 årgang 4. udgave<br />
Opgave 1.11.<br />
STEDVEKTORER<br />
Side 17
Vektorregning 11 årgang 4. udgave<br />
Også i rummet vil der til ethvert punkt P svare netop én stedvek tor OP.<br />
Koordinatsœttet for punktet P er identisk med Koordinatsœttet for<br />
stedvektoren OP.<br />
Opgave 1.12.<br />
⎛ ⎞ ⎛ ⎞<br />
⎜-4<br />
⎟ ⎜ -1 ⎟<br />
Stedvektoren for H : ⎜ 3 ⎟ for C : ⎜ 6 ⎟.<br />
⎜ 7 ⎟ ⎜ 4 ⎟<br />
⎝ ⎠ ⎝ ⎠<br />
a) Bestem koordinaterne for H og C.<br />
b) Bestem koordinaterne til alle<br />
kassens hjørner.<br />
c) Beregn koordinaterne til vektorerne<br />
BC , CD , BD samt BE.<br />
d) Beregn kassens rumfang.<br />
Aufgabe 1.13.<br />
a) Drücke die Kantenvektoren AC, BD, AD des<br />
Tetraeders als Summe mit Hilfe<br />
der Vektoren a , b , c aus.<br />
b) Berechne die Kantenvektoren in a) aus:<br />
Side 18
Vektorregning 11 årgang 4. udgave<br />
Opgave 1.14.<br />
Indtegn stedvektorerne til følgende punkter ,<br />
og C = (6, − 2, 9) i ovenstående tredimensionale koordinatsystem.<br />
Side 19<br />
A = (5, 8, 4) B = (3, 4, − 4)
Vektorregning 11 årgang 4. udgave<br />
REGNING MED KOORDINATER<br />
Også ved multiplikation af en vektor med et tal kan vi regne med<br />
a = 3 ⎛ ⎞<br />
⎜ ⎟<br />
⎝ − 1⎠<br />
koordinater. Ganger vi vektor med t = 2<br />
får vi<br />
Såvel første- som andenkoordinaten skal altså multipliceres med t.<br />
Side 20
Vektorregning 11 årgang 4. udgave<br />
Øvelse 1.9<br />
Øvelse 1.10<br />
Side 21<br />
Øvelse 1.9 slut!<br />
Øvelse 1.10 slut!
Vektorregning 11 årgang 4. udgave<br />
Eksempel 1.4<br />
I planen er givet punkterne P(-2,3) og Q(6,5).<br />
Midtpunktet af linjestykket PQ er<br />
REGNING MED KOORDINATER I 3 DIMENSIONER.<br />
Lad A(a1 ,a2 ,a3 ) og B(b1 ,b2 ,b3 ) være to punkter i et<br />
rumligt koordinatsystem med<br />
begyndelsespunkt O. Koordinaterne for de to<br />
stedvektorer er<br />
⎛<br />
⎜<br />
OA = ⎜<br />
⎜<br />
⎝<br />
⎞<br />
⎟<br />
⎟<br />
⎟<br />
⎠<br />
a1 a2 a3 ⎛<br />
⎜<br />
OB = ⎜<br />
⎜<br />
⎝<br />
Koordinaterne for AB kan bestemmes således<br />
AB = OB − OA =<br />
⎛ ⎞<br />
⎜b1<br />
− a1⎟ ⎜b2<br />
− a ⎟<br />
2 ⎜ ⎟<br />
⎜b3<br />
− a3⎟ ⎝ ⎠<br />
⎞<br />
⎟<br />
⎟<br />
⎟<br />
⎠<br />
b1 b2 b3 Koordinaterne for AB er differensen mellem<br />
punktet B's koordinater og punktet A's koordinater:<br />
AB =<br />
⎛ ⎞<br />
⎜b1<br />
− a1⎟ ⎜b2<br />
− a ⎟<br />
2 ⎜ ⎟<br />
⎜b3<br />
− a3⎟ ⎝ ⎠<br />
Eksempel slut !<br />
Midtpunktet M af linjestykket AB, med koordinatsættene A(a1 ,a2 ,a3 ) og<br />
B(b1 ,b2 ,b3 ) , kan bestemmes ved vektorregning.<br />
Midtpunktet M har de samme koordinater som<br />
stedvektoren OM , der kan bestemmes således<br />
OM = OA + ½ AB =<br />
Vi har dermed<br />
⎛<br />
⎜<br />
⎜<br />
⎜<br />
⎜<br />
⎝<br />
a 1<br />
a 2<br />
a 3<br />
⎞<br />
⎟<br />
⎟<br />
⎟<br />
⎟<br />
⎠<br />
+ 1<br />
2<br />
⎛ ⎞<br />
⎜b1<br />
− a1⎟ ⎜b2<br />
− a ⎟<br />
⎜ 2⎟<br />
⎜b3<br />
− a3⎟ ⎝ ⎠<br />
= 1<br />
2<br />
⎛ ⎞<br />
⎜ a1 + b1 ⎟<br />
⎜ a2 + b ⎟<br />
⎜ 2 ⎟<br />
⎜ a3 + b3 ⎟<br />
⎝ ⎠<br />
Midtpunktet M af linjestykket AB, A(a1 ,a2 ,a3 ) og B(b1 ,b2 ,b3 ) , har<br />
koordinaterne: M( a 1 + b 1<br />
2<br />
, a 2 + b 2<br />
2<br />
Side 22<br />
, a3 + b3 )<br />
2
Vektorregning 11 årgang 4. udgave<br />
Længden af en vektor.<br />
Længden af en vektor i planen kan beregnes ud fra vektorens koordinater.<br />
For en vilkårlig plan vektor<br />
a = a ⎛ ⎞<br />
⎜ 1⎟<br />
= a<br />
⎜a2⎟<br />
x + ay ⎝ ⎠<br />
vil vektorens komposanter danne en<br />
a x og a y<br />
retvinklet trekant med hypotenusen ⎮ a ⎮ og<br />
kateterne ⎮a1⎮.og ⎮a2⎮ Heraf fås<br />
Denne formel kan generaliseres til tre dimensioner<br />
For en vilkårlig rumlig vektor<br />
a =<br />
⎛<br />
⎜<br />
⎜<br />
⎜<br />
⎝<br />
a1 a2 a1 vil vektorens projektion i xy-planen være<br />
en plan vektor med længden a 2<br />
1 + a22 .<br />
⎮ a ⎮ er da længden af hypotenusen i en<br />
retvinklet trekant med katetelængderne<br />
a 2<br />
1 + a22 og ⎮ a3⎮ fås:<br />
Opgave 1.15<br />
Punkterne A, B, C og D har koordinaterne<br />
A=(-l,0,4) , B=(3,7,-l) , C=(6,-l,0) og D=(l,4,-5).<br />
Bestem koordinaterne til AB , DB , AC og CD .<br />
Beregn desuden afstandene ⎮AB⎮ , ⎮AC⎮ , ⎮AD⎮ , ⎮BC⎮ , ⎮BD⎮ og ⎮CD⎮.,<br />
idet f.eks. afstanden mellem A og B , betegnes ⎮AB⎮ og kan bereges som<br />
længden af vektor AB .<br />
Tegn endelig en vellignende perspektivtegning, hvor de 6 linjestykker mellem<br />
punkterne tegnes.<br />
⎞<br />
⎟<br />
⎟<br />
⎟<br />
⎠<br />
Side 23
Vektorregning 11 årgang. 4. udgave.<br />
2. Linjer<br />
I plangeometrien kan vi angive en linje ved hjælp af en ligning.<br />
F.eks. y = − 2x + 8 eller 2x + y − 8 = 0 . ( tegn denne linje.)<br />
Denne måde at angive en linje, kan ikke overføres til 3-dimensioner. Her vil<br />
en ligning som y = − 2x + 8 nemlig fremstille en plan - nemlig den plan hvis<br />
skæring med x-y-planen netop er linjen fra før.<br />
Figuren viser planen y = − 2x + 8.<br />
I det følgende vil vi imidlertid bruge en anden måde at angive linjer på.<br />
Vi vil angive linjer ved hjælp af parameterfremstillinger. Denne metode kan<br />
direkte overføres til 3-dimensioner.<br />
En parameterfremstilling for linjen y = − 2x + 8 i planen kan se sådan ud:<br />
⎛x⎞<br />
⎛0⎞<br />
⎛ 1 ⎞<br />
⎜ ⎟ = ⎜ ⎟ + t ⎜ ⎟<br />
⎝y⎠<br />
⎝8⎠<br />
⎝ − 2⎠<br />
, t ∈ R.<br />
Denne linje i x-y-planen vil i rummet have følgende parameterfremstilling:<br />
⎛ ⎞<br />
⎜x⎟<br />
⎜y⎟<br />
⎜z⎟<br />
⎝ ⎠<br />
⎛ ⎞ ⎛ ⎞<br />
⎜0⎟<br />
⎜ 1 ⎟<br />
= ⎜8⎟<br />
+ t ⎜ − 2⎟<br />
⎜0⎟<br />
⎜ 0 ⎟<br />
⎝ ⎠ ⎝ ⎠<br />
, t ∈ R.<br />
Side 24
Vektorregning 11 årgang. 4. udgave.<br />
En ret linje l i planen kan karakteriseres<br />
ved hjælp af et punkt Po (xo , yo ) på linjen<br />
og en retningsvektor r .<br />
Retningsvektoren skal være en egentlig<br />
vektor, der er parallel med linjen.<br />
Idet P betegner et vilkårligt punkt på<br />
linjen l , ser vi at linjen l er<br />
punktmængden<br />
⎧<br />
⎨ P ⎮ P .<br />
⎩<br />
⎮ oP = t⋅ r , t∈R ⎫ ⎬<br />
⎭<br />
Vi kalder udtrykket PoP = t ⋅ r , t ∈R , for en parameterfremstilling for<br />
linjen l , og tallet t kaldes parameteren.<br />
Hvis r = skriver vi parameterfremstilling for linjen<br />
r ⎛ ⎞<br />
⎜ x⎟<br />
⎜ry⎟<br />
⎝ ⎠<br />
Opgave 2.1.<br />
l :<br />
⎛ ⎞<br />
⎜x<br />
⎟<br />
⎜y<br />
⎟<br />
⎝ ⎠<br />
= x ⎛ ⎞<br />
⎜ o⎟<br />
⎜yo⎟<br />
⎝ ⎠<br />
+ t r ⎛ ⎞<br />
⎜ x⎟<br />
⎜ry⎟<br />
⎝ ⎠<br />
y<br />
O<br />
.<br />
, t ∈ R.<br />
.<br />
P o<br />
→<br />
r<br />
.<br />
P<br />
l<br />
x<br />
l på formen:<br />
Tegn linjen l : y = x + 2 og linjen m : y = 2x - 1 i samme koordinatsystem<br />
og aflæs skæringspunktet.<br />
Indtegn vektoren rl = på linje<br />
1 ⎛ ⎞<br />
⎜ ⎟ l og r på linje<br />
⎝<br />
1<br />
m =<br />
⎠<br />
1 ⎛ ⎞<br />
⎜ ⎟<br />
⎝<br />
2<br />
⎠<br />
Beregn linjernes skæringspunkt (1 .<br />
Skriv en parameterfremstilling for l og en parameterfremstilling for m.<br />
1) løsning af 2 ligninger med to ubekendte : Se appendiks 2.<br />
Side 25<br />
m.
Vektorregning 11 årgang. 4. udgave.<br />
Eksempe 2.1.<br />
En linje kan have mange<br />
parameterfremstillinger, som ser<br />
forskellige ud. Linjen m hvor<br />
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞<br />
⎜x⎟<br />
⎜ 3 ⎟ ⎜ − 2⎟<br />
m : ⎜y⎟<br />
= ⎜½<br />
⎟ + t ⎜ 1 ⎟ t ∈ R.<br />
⎜z⎟<br />
⎜2½⎟<br />
⎜ 3 ⎟<br />
⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠<br />
kan også fremstilles ved<br />
eller<br />
⎛ ⎞<br />
⎜x⎟<br />
⎜y⎟<br />
⎜z⎟<br />
⎝ ⎠<br />
⎛ ⎞<br />
⎜x⎟<br />
⎜y⎟<br />
⎜z⎟<br />
⎝ ⎠<br />
=<br />
=<br />
⎛ ⎞<br />
⎜2⎟<br />
⎜1⎟<br />
⎜4⎟<br />
⎝ ⎠<br />
+ t<br />
⎛ ⎞<br />
⎜ − 10⎟<br />
⎜ 7 ⎟<br />
⎜ 22 ⎟<br />
⎝ ⎠<br />
⎛ ⎞<br />
⎜<br />
4<br />
⎟<br />
⎜ − 2⎟<br />
⎜ - 6⎟<br />
⎝ ⎠<br />
⎛ ⎞<br />
⎜ − 1⎟<br />
+ t ⎜ ½ ⎟<br />
⎜ 1½⎟<br />
⎝ ⎠<br />
Linjer i rummet.<br />
t ∈ R.<br />
t ∈ R.<br />
S = (3 1 1<br />
; − ; 0) , Q = (4; 0; 1)<br />
3 3<br />
P 0 = (3; ½; 2½) , R = (0; 2; 7)<br />
I eksemplerne ovenfor bruges at linjen går gennem punkterne (3; ½, 2½) og<br />
(2, 1, 4) samt (–10, 7, 22).<br />
Som retningsvektor kan en hvilken som helst vektor parallel med<br />
⎛ ⎞<br />
⎜ 4⎟<br />
⎜ ⎟<br />
⎜ − 6⎟<br />
⎝ ⎠<br />
r =<br />
⎛ ⎞<br />
⎜ − 2⎟<br />
⎜ 1 ⎟<br />
⎜ 3 ⎟<br />
⎝ ⎠<br />
bruges. I det andet eksempel er − 2 = − 2· r brugt som retningsvektor.<br />
⎛ ⎞<br />
⎜ − 1⎟<br />
I det tredje eksempel er ⎜ ½⎟<br />
= ½⋅ r brugt som retningsvektor.<br />
⎜ 1½⎟<br />
⎝ ⎠<br />
Af hensyn til de praktiske beregninger er det en god idé at 'forlænge'<br />
retningsvektoren , så dens koordinater kommer til at bestå af hele tal.<br />
'forlænge' betyder at gange vektoren med et tal forskelligt fra nul.<br />
Det er tilladt at 'forlænge' retningsvektoren i en parameterfremstilling.<br />
Men det er ikke tilladt at 'forlænge' stedsvktorerne.<br />
⎛ ⎞<br />
⎜ 3 ⎟<br />
⎜ ⎟<br />
⎜2½⎟<br />
⎝ ⎠<br />
⎛ ⎞<br />
⎜ 2 ⎟<br />
⎜ ⎟<br />
⎜ 4 ⎟<br />
⎝ ⎠<br />
⎛ ⎞<br />
⎜ − 10⎟<br />
⎜ 7 ⎟<br />
⎜ 22 ⎟<br />
⎝ ⎠<br />
Altså ½ , 1 henholdsvis i ovenstående parameterfremstillinger.<br />
Side 26
Vektorregning 11 årgang. 4. udgave.<br />
Eksempel 2.1 fortsat.<br />
At f.eks. punktet Q (4; 0; 1) ligger på linjen m vises på følgende måde:<br />
⎛ ⎞<br />
⎜4⎟<br />
⎜0⎟<br />
⎜1⎟<br />
⎝ ⎠<br />
=<br />
⎛ ⎞<br />
⎜ 3 ⎟<br />
⎜½<br />
⎟<br />
⎜2½⎟<br />
⎝ ⎠<br />
⎛ ⎞<br />
⎜ − 2⎟<br />
+ t ⎜ 1 ⎟<br />
⎜ 3 ⎟<br />
⎝ ⎠<br />
⇔<br />
4 = 3 + t·( − 2)<br />
0 = ½ + t·1<br />
1 = 2½ + t·3<br />
⎫<br />
⎪<br />
⎬<br />
⎪<br />
⎭<br />
⇔ t = − ½<br />
Så punktet Q er punktet på linjen m svarende til t = − ½ i den valgte<br />
parameterfremstilling.<br />
eksempel 2.1 slut.<br />
Opgave 2.2.<br />
Bestem værdierne for t svarende til punkterne<br />
S = (3 1 1<br />
; −<br />
3 3 ; 0) , P0 = (3; ½; 2½) og R = (0; 2; 7)<br />
⎛ ⎞<br />
⎜x⎟<br />
⎜y⎟<br />
⎜z⎟<br />
⎝ ⎠<br />
=<br />
Opgave 2.3.<br />
⎛ ⎞<br />
⎜ 3 ⎟<br />
⎜½<br />
⎟<br />
⎜2½⎟<br />
⎝ ⎠<br />
⎛ ⎞<br />
⎜ − 2⎟<br />
+ t ⎜ 1 ⎟<br />
⎜ 3 ⎟<br />
⎝ ⎠<br />
t ∈ R for linjen m.<br />
i parameterfremstillingen :<br />
Prøv om du kan bevise, at det er den samme linje de tre parameterfremstillinger<br />
i eksempel 2.1 fremstiller.<br />
Eksempel 2.2.<br />
Vi ønsker at finde en parameterfremstilling for den linje, der går gennem<br />
punkterne A(7,–l,3) og B(3,4,–6).<br />
Vi kan som retningsvektor for linjen bruge<br />
Vi har nu to mulige parameterfremstillinger:<br />
⎛ ⎞<br />
⎜x⎟<br />
⎜y⎟<br />
⎜z⎟<br />
⎝ ⎠<br />
=<br />
⎛ ⎞<br />
⎜ 7 ⎟<br />
⎜ − 1⎟<br />
⎜ 3 ⎟<br />
⎝ ⎠<br />
+ t<br />
⎛ ⎞<br />
⎜ − 4⎟<br />
⎜ 5 ⎟<br />
⎜ - 9⎟<br />
⎝ ⎠<br />
t Õ R<br />
og<br />
⎛ ⎞<br />
⎜x⎟<br />
⎜y⎟<br />
⎜z⎟<br />
⎝ ⎠<br />
AB =<br />
=<br />
⎛ ⎞ ⎛ ⎞<br />
⎜ 3 − 7 ⎟ ⎜ − 4⎟<br />
⎜ 4 − ( − 1) ⎟ = ⎜ 5 ⎟<br />
⎜ − 6 − 3 ⎟ ⎜ − 9⎟<br />
⎝ ⎠ ⎝ ⎠<br />
⎛ ⎞<br />
⎜ 3 ⎟<br />
⎜ 4 ⎟<br />
⎜ − 6⎟<br />
⎝ ⎠<br />
+ t<br />
⎛ ⎞<br />
⎜ − 4⎟<br />
⎜ 5 ⎟<br />
⎜ - 9⎟<br />
⎝ ⎠<br />
Hvis vi kun ønsker at fremstille linjestykket AB, må vi indskrænke<br />
parameteren t til kun at ligge mellem 0 og 1:<br />
D.v.s. linjestykket AB får parameterfremstillingen:<br />
t Õ R<br />
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞<br />
⎜x⎟<br />
⎜ 7 ⎟ ⎜ − 4⎟<br />
⎜y⎟<br />
= ⎜ − 1⎟<br />
+ t ⎜ 5 ⎟ , 0 º t º 1<br />
⎜z⎟<br />
⎜ 3 ⎟ ⎜ - 9⎟<br />
⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠<br />
Her svarer værdien t = 0 til punktet A og t = 1 til punktet B.<br />
For t = ½ fås midtpunktet.<br />
eksempel 2.2 slut.<br />
Side 27
Vektorregning 11 årgang. 4. udgave.<br />
Parallelle linjer.<br />
En nødvendig og tilstrækkelig betingelse for, at de to forskellige linjer er<br />
parallelle, er at retningsvektorerne for de to linjer er parallelle.<br />
Hvorvidt de to retningsvektorer opfylder denne betingelse, kan afgøres ved at<br />
undersøge, om de to talsæt for retningsvektorerne er proportionale.<br />
Eksempel 2.3.<br />
er parallelle, fordi talsættene for<br />
⎛ ⎞ ⎛ ⎞<br />
⎜ -2⎟<br />
⎜ -4⎟<br />
retningsvektorerne er proportionale, idet: ⎜ 0 ⎟ = ½ ⎜ 0 ⎟ .<br />
⎜ 1 ⎟ ⎜ 2 ⎟<br />
⎝ ⎠ ⎝ ⎠<br />
At l og m ikke er sammenfaldende ses ved, at punktet A(4,–l,3), der ligger på<br />
l ikke ligger på m, idet<br />
Skærende linjer<br />
⎛<br />
⎜<br />
⎜<br />
⎜<br />
⎝<br />
8<br />
3<br />
1<br />
⎞<br />
⎟<br />
⎟<br />
⎟<br />
⎠<br />
⎛ ⎞<br />
⎜-<br />
4 ⎟<br />
+ s ⎜ 0 ⎟<br />
⎜ 2 ⎟<br />
⎝ ⎠<br />
=<br />
⎛<br />
⎜<br />
⎜<br />
⎜<br />
⎝<br />
4<br />
-1<br />
3<br />
⎞<br />
⎟<br />
⎟<br />
⎟<br />
⎠<br />
ikke har en løsning.<br />
eksempel 2.3 slut<br />
Dersom to linjer, givet ved parameterfremstillinger med parametrene t<br />
henholdsvis s, skærer hinanden, findes der netop ét talpar (t0 ; s0 ) for t og s ,<br />
for hvilket de to parameterfremstillinger giver det samme punkt P0 , altså<br />
skæringspunktet.<br />
Eksempel 2.4.<br />
Givet to linjer l og m med parameterfremstillingerne<br />
⎛ ⎞<br />
⎜x⎟<br />
l : ⎜y⎟<br />
= ⎜ 4 ⎟ + t ⎜ − 2⎟<br />
t Õ R . m : ⎜y⎟<br />
= ⎜ 0 ⎟ + t ⎜ 1 ⎟ t Õ R .<br />
⎜z⎟<br />
⎝ ⎠<br />
⎛<br />
⎜<br />
2<br />
⎞<br />
⎟<br />
⎜ − 3 ⎟<br />
⎝ ⎠<br />
⎛ ⎞<br />
⎜ 1 ⎟<br />
⎜<br />
⎝<br />
2<br />
⎟<br />
⎠<br />
⎛ ⎞<br />
⎜x⎟<br />
⎜z⎟<br />
⎝ ⎠<br />
⎛ ⎞<br />
⎜ 9 ⎟<br />
⎜ − 3⎟<br />
⎝ ⎠<br />
⎛ ⎞<br />
⎜ 2 ⎟<br />
⎜ − 3⎟<br />
⎝ ⎠<br />
Linjerne er ikke parallelle, da talsættene for de to retningsvektorer ikke er<br />
proportionale.<br />
Vi vil derfor undersøge, om linjerne skærer hinanden. D.v.s. vi skal<br />
undersøge, om der findes ét talpar (t0 ; s0 ) for t og s, der er løsning til<br />
⎛ ⎞<br />
⎜ 2 ⎟<br />
⎜ 4 ⎟<br />
⎜ − 3 ⎟<br />
⎝ ⎠<br />
+ t<br />
⎛ ⎞<br />
⎜ 1 ⎟<br />
⎜ − 2⎟<br />
⎜ 2 ⎟<br />
⎝ ⎠<br />
=<br />
Side 28<br />
⎛ ⎞<br />
⎜ 9 ⎟<br />
⎜ 0 ⎟<br />
⎜ − 3⎟<br />
⎝ ⎠<br />
+ s<br />
⎛ ⎞<br />
⎜ 2 ⎟<br />
⎜ 1 ⎟<br />
⎜ − 3⎟<br />
⎝ ⎠
Vektorregning 11 årgang. 4. udgave.<br />
Dette betyder, at der skal være én værdi for t sammen med én værdi for s,<br />
der er løsning til de tre ligninger<br />
(1): 2 + t = 9 + 2s (2): 4 – 2t = s (3): –3 + 2t = –3 – 3s<br />
Dette gøres ved først at løse to af ligningerne:<br />
t = 3 s = –2<br />
og derpå indsættes det fundne løsningspar (t, s) = (3, –2) som kontrol i den<br />
tredje ligning:<br />
Ved indsættelse i den tredje ligning får vi − 3 + 2·3 = − 3 − 3·( − 2) ⇔ 3 = 3,<br />
som er sandt.<br />
Altså skærer linjerne l og m hinanden!<br />
Skæringspunktets koordinater findes ved enten at indsætte t = 3 i<br />
parameterfremstillingen for l :<br />
eller s = –2 i parameterfremstillingen for m.<br />
Skæringspunktet er altså P(5,–2,3).<br />
eksempel 2.4 slut.<br />
__________________________________________________________________________________________________________________________________________________________<br />
Repetition af løsning af to ligninger med to ubekendte *) ved hjælp af<br />
Lige Store Koefficienters Metode:<br />
Princippet er, at man ved multiplikation med en passende faktor<br />
forskellig fra nul -, kan opnå lige store koefficienter på nær<br />
fortegn for en af de ubekendte:<br />
Lad os løse ligningssystemet<br />
Den nederste ligning multipliceres<br />
t − 2s = 7<br />
med 2, og vi får, at<br />
4t + 2s = 8<br />
Ved addition fås, at<br />
5 t = 15<br />
så . t = 3<br />
t − 2s = 7<br />
2t + s = 4<br />
Den øverste ligning multipliceres med<br />
− 2t + 4s = − 14<br />
− 2, og vi får, at<br />
2t + s = 4<br />
Ved addition fås, at<br />
Samlet (t , s) = (3, − 2)<br />
5 s = − 10<br />
så s = − 2.<br />
*) mere om løsning af to ligninger med to ubekendte i appendiks 2 side 42 og 43.<br />
Side 29
Vektorregning 11 årgang. 4. udgave.<br />
Opgave 2.4.<br />
Givet to linjer l og m med parameterfremstillingerne<br />
⎛ ⎞<br />
⎜x⎟<br />
l : ⎜y⎟<br />
= ⎜ 4 ⎟ + t ⎜ 3 ⎟ t Õ R . m : ⎜y⎟<br />
= ⎜ 5⎟<br />
+ t ⎜ 2⎟<br />
t Õ R.<br />
⎜z⎟<br />
⎝ ⎠<br />
⎛ ⎞<br />
⎜ 5 ⎟<br />
⎜18⎟<br />
⎝ ⎠<br />
⎛ ⎞<br />
⎜ 1 ⎟<br />
⎜ − 2⎟<br />
⎝ ⎠<br />
⎛ ⎞<br />
⎜x⎟<br />
⎜z⎟<br />
⎝ ⎠<br />
⎛ ⎞<br />
⎜ 0⎟<br />
⎜ 8⎟<br />
⎝ ⎠<br />
⎛ ⎞<br />
⎜ 2⎟<br />
⎜ 1⎟<br />
⎝ ⎠<br />
Undersøg om linjerne skærer hinanden og find i givet fald deres<br />
skæringspunkt.<br />
Indtegn evt. linjerne i et 3–D koordinatsystem.<br />
(Et eksempel på såkaldte vindskæve linjer, d.v.s. linjer der ikke skærer<br />
hinanden og heller ikke er parallelle findes på side 8 .)<br />
Opgave 2.5.<br />
Bestem en parameterfremstilling for den rette linje l gennem punkterne<br />
A(–3,4,l) og B(3,8,–l).<br />
Vis desuden at punktet C(12,14,–4) ligger på l .<br />
Undersøg om linjen l skærer x-aksen.<br />
⎛ ⎞<br />
⎜1⎟<br />
Tips: brug at ex = ⎜0⎟<br />
er en mulig retningsvektor for førsteaksen til<br />
⎜0⎟<br />
⎝ ⎠<br />
en parameterfremstilling for x-aksen.<br />
Eksempel 2.5.<br />
Her skal vises hvordan man kan undersøge om tre punkter ligger på linje.<br />
I dette tilfælde punkterne P(3, − 1, 7) Q(1, − 2, 3) R(7, 1, 15) .<br />
Metode I:<br />
Her bruges, at de tre punkter ligger på linje, hvis og kun hvis PQ og PR er<br />
parallelle, da de to pile PQ og PR starter i samme punkt P.<br />
De tre punkter P(3, − 1, 7) Q(1, − 2, 3) R(7, 1, 15) ligger på linje idet:<br />
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞<br />
⎜ 1 − 3⎟<br />
⎜ − 2⎟<br />
⎜ 7 − 3⎟<br />
PQ = ⎜ − 2 − ( − 1) ⎟ = ⎜ − 1⎟<br />
; PR = ⎜ 1 − ( − 1) ⎟<br />
⎜ 3 − 7⎟<br />
⎜ − 4⎟<br />
⎜15<br />
− 7⎟<br />
⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠<br />
=<br />
⎛ ⎞<br />
⎜4⎟<br />
⎜2⎟<br />
⎜8⎟<br />
⎝ ⎠<br />
så PQ = − ½ PR ,<br />
Dette viser at de to vektore PQ og PR er parallelle.<br />
Side 30
Vektorregning 11 årgang. 4. udgave.<br />
Metode II:<br />
Først finder man en parameterfremstilling for linjen gennem to af punkterne.<br />
Derefter undersøger man om det tredie punkt ligger på denne linje:<br />
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞<br />
⎜x⎟<br />
⎜ 3 ⎟ ⎜ − 2⎟<br />
⎜y⎟<br />
= ⎜ − 1⎟<br />
+ t ⎜ − 1⎟<br />
er linjen gennem P og Q.<br />
⎜z⎟<br />
⎜ 7 ⎟ ⎜ − 4⎟<br />
⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠<br />
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞<br />
⎜7<br />
⎟ ⎜ 3 ⎟ ⎜ − 2⎟<br />
R(7, 1, 15) ligger på denne linje idet ⎜1<br />
⎟ = ⎜ − 1⎟<br />
+ − 2⋅ ⎜ − 1⎟.<br />
⎜15⎟<br />
⎜ 7 ⎟ ⎜ − 4⎟<br />
⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠<br />
Konklusion: De tre punkter ligger på linje.<br />
Vindskæve linjer.<br />
Eksempel 2.5 slut!<br />
To linjer l og m siges at være vindskæve dersom linjerne ikke er<br />
parallelle og de ikke skærer hinanden.<br />
Eksempel 2.6. Vi ser på to linjer m og n i rummet med<br />
parameterfremstillingerne<br />
m :<br />
⎛ ⎞<br />
⎜x⎟<br />
⎜y⎟<br />
⎜z⎟<br />
⎝ ⎠<br />
=<br />
⎛ ⎞<br />
⎜ 1 ⎟<br />
⎜ 3 ⎟<br />
⎜ 3½⎟<br />
⎝ ⎠<br />
+ t<br />
⎛ ⎞<br />
⎜ − 2⎟<br />
⎜ 6 ⎟<br />
⎜ − 5⎟<br />
⎝ ⎠<br />
n :<br />
Vi ønsker at afgøre, om linjerne er vindskæve.<br />
⎛ ⎞<br />
⎜x⎟<br />
⎜y⎟<br />
⎜z⎟<br />
⎝ ⎠<br />
=<br />
⎛ ⎞<br />
⎜ 4½⎟<br />
⎜ 4 ⎟<br />
⎜ 2 ⎟<br />
⎝ ⎠<br />
+ t<br />
⎛ ⎞<br />
⎜ 3 ⎟<br />
⎜ 2 ⎟<br />
⎜ − 2⎟<br />
⎝ ⎠<br />
Parameterene i de to linjers parameterfremstilling må ikke hedde det<br />
samme. Derfor ændrer vi den ene parameterbetegnelse t til et andet<br />
bogstav f.eks. s. Her vælger vi at bruge bogstavet s til parameteren i .<br />
parameterfremstillingen for n .<br />
Vi skal nu, på tilsvarende måde som i eksempe 2.4 side 28-29, prøve at<br />
finde<br />
en løsning til ligningssystemet<br />
I:<br />
II:<br />
III:<br />
1 − 2t = 4½ + 3 s<br />
3 + 6t = 4 + 2s<br />
3½ − 5t = 2 − 2s<br />
De to første ligninger omskrives til I: 6s + 4t = –7 II: 2s – 6t = –l .<br />
Løsningen til disse to ligninger med to ubekendte er: s = − og<br />
23<br />
22<br />
Vi skal nu undersøge om disse værdier er løsning til den sidste ligning.<br />
Side 31<br />
t = − 2<br />
11
Vektorregning 11 årgang. 4. udgave.<br />
Vi indsætter i III: 3½ − 5t = 2 − 2s :<br />
og ser at ligningen bliver falsk.<br />
Altså findes der ikke nogen<br />
parameterværdier for s og t, der<br />
passer i alle tre ligninger.<br />
Linjerne skærer altså ikke<br />
hinanden.<br />
Da retningsvektorerne for m og n<br />
ikke er parallelle er linjerne<br />
m og n vindskæve.<br />
Et nærbillede af situationen er vist<br />
her ved siden af.<br />
Opgave 2.6.<br />
Vis at linje l med parameterfrenstillingen<br />
skærer linjen n fra eksempel 2.6.<br />
Opgave 2.7.<br />
Venstre side : 3½ − 5⋅( − 2<br />
97<br />
) = ... =<br />
11 22<br />
Hųjre side : 2 − 2·( − 23 45<br />
) = ... =<br />
22 11<br />
⎛ ⎞<br />
⎜x⎟<br />
⎜y⎟<br />
⎜z⎟<br />
⎝ ⎠<br />
=<br />
Eksempel 2.6 slut!<br />
⎛ ⎞<br />
⎜ 1½⎟<br />
⎜ 2 ⎟<br />
⎜ 4 ⎟<br />
⎝ ⎠<br />
⎛ ⎞<br />
⎜ − 3⎟<br />
+ t ⎜ 4 ⎟<br />
⎜ 6 ⎟<br />
⎝ ⎠<br />
Undersøg, om linjerne l og m givet ved nedenstående parameterfremstillinger<br />
er vindskæve eller skærer hinanden.<br />
Hvis de skærer hinanden skal skæringspunktet findes.<br />
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞<br />
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞<br />
⎜x⎟<br />
⎜ 4 ⎟ ⎜ 0 ⎟<br />
⎜x⎟<br />
⎜ 0⎟<br />
⎜ 2⎟<br />
l : ⎜y⎟<br />
= ⎜ 4 ⎟ + t ⎜ 3 ⎟ t Õ R. m : ⎜y⎟<br />
= ⎜ 5⎟<br />
+ t ⎜ 1⎟<br />
t Õ R.<br />
⎜z⎟<br />
⎜12⎟<br />
⎜ − 2⎟<br />
⎜z⎟<br />
⎜ 3⎟<br />
⎜ 1⎟<br />
⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠<br />
⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠<br />
Det er svært at tegne to vindskæve<br />
linjer på et to-dimensionalt stykke<br />
papir. Man kan dog give figuren<br />
perspektiv ved at lade linjerne skære et<br />
rumligt legeme.<br />
Her er valgt en kasse.<br />
Som man ser, skærer linjerne l og n<br />
hinanden, mens linjerne l og m er<br />
vindskæve.<br />
Side 32
Vektorregning 11 årgang. 4. udgave.<br />
Oversigt over linjer i planen og i rummet.<br />
To linjer l og m er givet ved<br />
l : går gennem P1 og har en retningsvektor r1 m : går gennem P2 og har en retningsvektor r2 Hvis de to linjer er linjer i planen,<br />
kan de ligge på tre forskellige måder i forhold til hinanden:<br />
r 1 ⎥⎪ r 2<br />
r 1 i r 2<br />
1) linjerne er sammenfaldende<br />
2) linjerne er parallelle, men forskellige<br />
3) linjerne er ikke parallelle. De skærer hinanden.<br />
Hvis de to linjer er linjer i rummet,<br />
kan de ligge på fire forskellige måder i forhold til hinanden:<br />
r 1 ⎥⎪ r 2<br />
r 1 i r 2<br />
1) linjerne er sammenfaldende<br />
2) linjerne er parallelle, men forskellige<br />
3) linjerne er ikke parallelle, men de skærer hinanden.<br />
4) linjerne skærer ikke hinanden, og er ikke parallelle.<br />
de er altså vindskæve.<br />
Beregning af afstanden mellem vindskæve linjer kommer først i 12 årgang.<br />
Side 33
Vektorregning 11 årgang. 4. udgave.<br />
3 Planer<br />
Planers parameterfremstilling.<br />
En plan i rummet kan fastlægges ud fra et punkt og to egentlige, ikkeparallelle<br />
vektorer. De to vektorer siges at udspænde den pågældende plan.<br />
Lad P0 være et vilkårligt punkt i planen αααα og<br />
a og b to egentlige, ikke-parallelle vektorer i<br />
planen.<br />
For ethvert punkt P i αααα findes der to tal s og<br />
t, så<br />
P 0 P = s⋅a + t⋅b<br />
Når s og t uafhængigt af hinanden gennemløber<br />
de reelle tal, vil punktet P gennemløbe<br />
planen αααα .<br />
D.v.s.<br />
Planen er således bestemt ved P0 , der ligger i planen, og vektorerne a og<br />
b ; der udspænder planen.<br />
Det er vigtigt at bemærke, at ethvert punkt i planen helt entydigt er fastlagt<br />
ud fra parametrene s og t.<br />
Med P0 = (x0 , y0 , z0 ) for det faste punkt i planen og P = (x, y, z) for det<br />
»løbende« punkt,<br />
⎛ ⎞<br />
⎜x<br />
− x0⎟ ⎛a<br />
⎞ ⎛<br />
1 b ⎞<br />
1<br />
bliver P0P = s⋅a + t⋅b til ⎜y<br />
− y ⎟<br />
⎜ ⎟ ⎜ ⎟<br />
0 = s⋅ a2 eller<br />
⎜ ⎟<br />
⎜ ⎟ + t⋅⎜b2⎟<br />
⎜z<br />
− z0⎟ ⎜a<br />
⎟ ⎜<br />
3 b ⎟<br />
3<br />
⎝ ⎠<br />
⎝ ⎠ ⎝ ⎠<br />
⎛ ⎞<br />
⎜x⎟<br />
⎜y⎟<br />
⎜z⎟<br />
⎝ ⎠<br />
=<br />
⎛<br />
⎜<br />
⎜<br />
⎜<br />
⎝<br />
x0 y0 z0 ⎞<br />
⎟<br />
⎟<br />
⎟<br />
⎠<br />
⎛<br />
⎜<br />
+ s⋅⎜<br />
⎜<br />
⎝<br />
En parameterfremstilling for planen gennem P0 = (x0 , y0 , z0 ) og<br />
udspændt af vektorerne<br />
er<br />
⎛ ⎞<br />
⎜x⎟<br />
⎜y⎟<br />
⎜z⎟<br />
⎝ ⎠<br />
⎛ ⎞<br />
⎜a1⎟<br />
a = ⎜a<br />
⎟<br />
⎜ 2⎟<br />
⎜a3⎟<br />
⎝ ⎠<br />
=<br />
⎛<br />
⎜<br />
⎜<br />
⎜<br />
⎝<br />
x0 y0 z0 ⎞<br />
⎟<br />
⎟<br />
⎟<br />
⎠<br />
og<br />
⎛<br />
⎜<br />
+ s⋅⎜<br />
⎜<br />
⎝<br />
a1 a2 a3 ⎛ ⎞<br />
⎜b1⎟<br />
b = ⎜b<br />
⎟<br />
⎜ 2⎟<br />
⎜b3⎟<br />
⎝ ⎠<br />
⎞ ⎛<br />
⎟ ⎜<br />
⎟ + t⋅⎜<br />
⎟ ⎜<br />
⎠ ⎝<br />
b1 b2 b3 ⎞<br />
⎟<br />
⎟<br />
⎟<br />
⎠<br />
Side 34<br />
hvor<br />
a1 a2 a3 ⎞ ⎛<br />
⎟ ⎜<br />
⎟ + t⋅⎜<br />
⎟ ⎜<br />
⎠ ⎝<br />
s Õ R og t Õ R<br />
b1 b2 b3 ⎞<br />
⎟<br />
⎟<br />
⎟<br />
⎠
Vektorregning 11 årgang. 4. udgave.<br />
En parameterfremstilling for en plan angives ofte som et system af tre<br />
ligninger:<br />
x = x 0 + sa 1 + tb 1<br />
Eksempel 3.1.<br />
Planen med<br />
parameterfremstillingen<br />
x = 2 − 3s + 5t<br />
y = 1 + s − 2t<br />
z = − 4 + 2s + t<br />
går gennem punktet (2, 1, − 4) og<br />
de to vektorer, der "udspænder<br />
planen"<br />
er<br />
Opgave 3.1.<br />
⎛ ⎞ ⎛ ⎞<br />
⎜ − 3⎟<br />
⎜ 5⎟<br />
⎜ 1⎟<br />
og ⎜ − 2⎟.<br />
⎜ 2⎟<br />
⎜ 1⎟<br />
⎝ ⎠ ⎝ ⎠<br />
Eksempel 3.1 Slut!<br />
x = y 0 + sa 2 + tb 2<br />
x = z 0 + sa 3 + tb 3<br />
Eksempel 3.2.<br />
Planen gennem punkterne<br />
A(4,1,0), B(3, 2, 2) og C(1, 2, − 1) kan angives<br />
ved parameterfremstillingen<br />
hvor<br />
⎛ ⎞<br />
⎜x⎟<br />
⎜y⎟<br />
⎜z⎟<br />
⎝ ⎠<br />
⎛ ⎞<br />
⎜4⎟<br />
= ⎜1⎟<br />
⎜0⎟<br />
⎝ ⎠<br />
⎛ ⎞<br />
⎜ − 1⎟<br />
⎜ 1⎟<br />
= AB og<br />
⎜ 2⎟<br />
⎝ ⎠<br />
⎛ ⎞ ⎛ ⎞<br />
⎜ − 1⎟<br />
⎜ − 3⎟<br />
+ s⋅⎜<br />
1⎟<br />
+ t⋅⎜<br />
1⎟<br />
⎜ 2⎟<br />
⎜ − 1⎟<br />
⎝ ⎠ ⎝ ⎠<br />
⎛ ⎞<br />
⎜ − 3⎟<br />
⎜ 1⎟<br />
= AC<br />
⎜ − 1⎟<br />
⎝ ⎠<br />
og (4, 1, 0) er punktet A´s koordinater.<br />
Eksempel 3.2 Slut!<br />
a) Angiv en parameterfremstilling for den plan β der går gennem Q(3;-2;8)<br />
x = 2 − 3s + 5t<br />
og er parallel med planen α: y = 1 + s − 2t .<br />
z = − 4 + 2s + t<br />
b) Angiv parameterfremstillingen for en linje gennem Q parallel med α .<br />
(der er mange løsninger.)<br />
Opgave 3.2.<br />
Angiv en parameterfremstilling for planen gennem punkterne A, B og C, når<br />
1) A = (1,3,-2) , B = (-1,-2,-3) og C = (0,0,4)<br />
2) A = (2,2,3) , B = (2,2,-1) og C = (-1,2,3) .<br />
Aufgabe 3.3.<br />
Eine Ebene sei durch de Punkte P, Q, R bestimmt. Gib eine.<br />
Parameterdarstellung der Ebene an.<br />
a)<br />
b)<br />
P(4;0;1), Q( − 1;0; − 2), R(2;2;1)<br />
P(2;1; − 1), Q(3;1; − 1), R(2;1;0)<br />
Side 35<br />
Anleitung: Bestimme PQ, PR
Vektorregning 11 årgang. 4. udgave.<br />
Eksempel 3.3.<br />
x = 2 − 3s + 6t<br />
y = 1 + s − 2t<br />
z = − 4 + 2s − 4t<br />
ser ud som<br />
en parameterfremstilling for en<br />
plan. Da de to vektorer<br />
⎛ ⎞ ⎛ ⎞<br />
⎜–3⎟<br />
⎜ 6⎟<br />
⎜ 1⎟<br />
og ⎜ − 2⎟.<br />
⎜ 2⎟<br />
⎜ − 4⎟<br />
⎝ ⎠ ⎝ ⎠<br />
er parallelle så<br />
fremstiller ovenstående en linje<br />
gennem punktet (2, 1, − 4) med<br />
⎛ ⎞<br />
⎜ − 3⎟<br />
⎜ 1⎟<br />
⎜ 2⎟<br />
⎝ ⎠<br />
retningsvektoren .<br />
Det vises tydeligt ved følgende<br />
omskrivning:<br />
x = 2 – 3s + 6t = 2 − 3·(s – 2t)<br />
y = 1 + s − 2t = 1 + 1·(s – 2t)<br />
z = – 4 + 2s – 4t = − 4 + 2·(s – 2t)<br />
som med u = (s – 2t) giver<br />
Opgave 3.4.<br />
x = 2 – 3u<br />
y = 1 + u<br />
z = – 4 + 2u<br />
Eksempel 3.3 Slut!<br />
Eksempel 3.4.<br />
De tre punkter<br />
A(4,1,0), B(3, 2, 2) og C(1, 5, 8)<br />
fastlægger ikke en plan fordi de tre<br />
punkter ligger på linje. Det ses af at<br />
de to vektorer<br />
er parallelle.<br />
AB =<br />
⎛<br />
⎜<br />
⎜<br />
⎜<br />
⎝<br />
− 1<br />
1<br />
2<br />
⎞<br />
⎟<br />
⎟<br />
⎟<br />
⎠<br />
⎛ ⎞<br />
⎜ − 3 ⎟<br />
og AC = ⎜ 3 ⎟<br />
⎜ 6 ⎟<br />
⎝ ⎠<br />
Eksempel 3.4 Slut!<br />
En plan kan fastlægges enten ved<br />
to skærende linjer, to parallelle<br />
linjer, en linje og et punkt, som<br />
ikke ligger på linjen, eller ved tre<br />
punkter, der ikke ligger på linje:<br />
Undersøg om følgende parameterfremstillinger fastlægger en plan eller<br />
en linje eller kun et punkt ?<br />
a)<br />
b)<br />
c)<br />
⎛ ⎞<br />
⎜x⎟<br />
⎜y⎟<br />
⎜z⎟<br />
⎝ ⎠<br />
x = 4 + 2s + 6t<br />
y = 2 + s - 3t<br />
z = - 6 - 3s - 9t<br />
⎛ ⎞<br />
⎜ 8⎟<br />
= ⎜ 1⎟<br />
⎜ − 7⎟<br />
⎝ ⎠<br />
⎛ ⎞ ⎛ ⎞<br />
⎜0⎟<br />
⎜0⎟<br />
+ s⋅⎜0⎟<br />
+ t⋅⎜0⎟<br />
⎜0⎟<br />
⎜0⎟<br />
⎝ ⎠ ⎝ ⎠<br />
x = 2 + 3s + 4t<br />
y = 1 + 2s + 3t<br />
z = 3 + 4s + 5t<br />
d)<br />
e)<br />
f)<br />
⎛ ⎞<br />
⎜x⎟<br />
⎜y⎟<br />
⎜z⎟<br />
⎝ ⎠<br />
⎛ ⎞<br />
⎜x⎟<br />
⎜y⎟<br />
⎜z⎟<br />
⎝ ⎠<br />
Side 36<br />
⎛ ⎞<br />
⎜ 2⎟<br />
= ⎜ 1⎟<br />
⎜ − 3⎟<br />
⎝ ⎠<br />
⎛ ⎞<br />
⎜0⎟<br />
= ⎜0⎟<br />
⎜0⎟<br />
⎝ ⎠<br />
⎛ ⎞ ⎛ ⎞<br />
⎜ − 2⎟<br />
⎜ − 6⎟<br />
+ s⋅⎜<br />
1⎟<br />
+ t⋅⎜<br />
3⎟<br />
⎜ 2⎟<br />
⎜ 6⎟<br />
⎝ ⎠ ⎝ ⎠<br />
⎛ ⎞ ⎛ ⎞<br />
⎜ − 2⎟<br />
⎜ 1⎟<br />
+ s⋅⎜<br />
2⎟<br />
+ t⋅⎜<br />
− 1⎟<br />
⎜ 10⎟<br />
⎜ − 5⎟<br />
⎝ ⎠ ⎝ ⎠<br />
x = 2 - 3s + 6t<br />
y = 1 + s - 2t<br />
z = - 4 +2s - 4t
Vektorregning 11 årgang. 4. udgave.<br />
Opgave 3.5.<br />
En plan skærer koordinatakserne i punkterne<br />
(4,0,0) , (0,5,0) og (0,0,7).<br />
Bestem en parameterfremstilling for denne plan.<br />
Opgave 3.6.<br />
Find en parameterfremstilling for den plan, der går gennem punktet (3,-1,7) og som<br />
er parallel med planen gennem punkterne<br />
A = (1,2,3) , B = (-1,3,4) og C = (1,-4,2).<br />
Opgave 3.6 slut!<br />
I en plan α er givet tre punkter A, B og C, der ikke ligger på linje. Desuden er<br />
der givet punktet D, der ikke ligger i planen α.<br />
Linjen gennem A og B og<br />
linjen gennem C og D vil ligge vindskævt, da der ikke findes nogen plan, der<br />
indeholder de fire punkter. Punkterne A, B, C og D er vinkelspidser i<br />
4 trekanter, der i rummet afgrænser et<br />
legeme. Dette legeme kaldes et tetraeder<br />
(firflade) men også en tresidet pyramide.<br />
De 4 vinkelspidser kaldes tetraedrets<br />
hjørnespidser, de 4 trekanter dets<br />
sideflader. Tetraedrets 6 trekants-sider<br />
AB, BC o.s.v kaldes dets kanter.<br />
Kanterne AB og CD kaldes modstående.<br />
Også BC og AD såvel som AC og BD er<br />
modstående kanter.<br />
Såfremt alle sidetrekanter er ligesidede, kaldes tetraedret regulært.<br />
Tetraedret er et eksempel på et polyeder (mangeflade), der defineres som et<br />
legeme, begrænset af et endeligt antal plane polygoner. For andre polyedre<br />
benyttes betegnelserne hjørnespidser, kanter og sideflader som for tetraedret.<br />
Opgave 3.7.<br />
Vis at punkterne A(4,3,0), B(8,13,0) og C(2,17,0) ikke ligger på linje.<br />
Angiv en parameterfremstilling for planen α , som indeholder de tre<br />
punkter A, B og C. Brug at de tre punkter alle ligger i x-y-planen til at<br />
angive en simplere parameterfremstilling for α.<br />
De tre punkter A, B og<br />
C danner sammen med D(5,7,10) et tetraeder.<br />
Angiv en parameterfremstilling for planen β,<br />
som indeholder de tre<br />
punkter A, B og D.<br />
Bestem projektionen D af punktet D på planen .<br />
∗ α<br />
Side 37
Vektorregning 11 årgang. 4. udgave.<br />
4 Skæring mellem linje og plan.<br />
Til slut skal vi se på skæring mellem linje og plan i form af en<br />
enkelt opgave.<br />
Når både linje og plan er givet ved parameterfremstilling<br />
kræver det at man kan løse 3 ligninger med 3 ubekendte.<br />
Hvordan det kan gøres er vist i appendiks 2.<br />
Opgave 4.1.<br />
Punkterne A(0,0,0) B(6,6,0)<br />
C(0,12,0) og D(3,6,3) danner<br />
et tetraeder.<br />
a) Planen som indeholder de tre punkter A, B og C kan have<br />
parameterfremstillingen:<br />
⎛ ⎞<br />
⎜x⎟<br />
⎜y⎟<br />
⎜z⎟<br />
⎝ ⎠<br />
A<br />
=<br />
⎛ ⎞<br />
⎜0⎟<br />
⎜0⎟<br />
⎜0⎟<br />
⎝ ⎠<br />
B<br />
D<br />
. D*<br />
⎛ ⎞ ⎛ ⎞<br />
⎜6⎟<br />
⎜ 0⎟<br />
+ s⋅⎜6⎟<br />
+ t⋅⎜12⎟<br />
⎜0⎟<br />
⎜ 0⎟<br />
⎝ ⎠ ⎝ ⎠<br />
Linjen gennem punkt D vinkelret på denne plan kan have<br />
parameterfremstillingen:<br />
⎛ ⎞<br />
⎜x⎟<br />
⎜y⎟<br />
⎜z⎟<br />
⎝ ⎠<br />
=<br />
⎛ ⎞<br />
⎜3⎟<br />
⎜6⎟<br />
⎜3⎟<br />
⎝ ⎠<br />
⎛ ⎞<br />
⎜0⎟<br />
+ u⋅⎜0⎟<br />
⎜1⎟<br />
⎝ ⎠<br />
Beregn skæringspunktet D mellem denne linie og planen<br />
∗<br />
som indeholder de tre punkter A, B og C og<br />
bestem derved projektionen D af D på planen som<br />
∗<br />
indeholder Ç ABC.<br />
Side 38<br />
C
Vektorregning 11 årgang. 4. udgave.<br />
b) Bestem tilsvarende projektionerne A af<br />
∗ , B ∗ og C ∗<br />
punkterne A, B og C på planerne som indeholder<br />
ÇBCD, ÇACD henholdsvis ÇABD,<br />
idet det oplyses at:<br />
⎛ ⎞<br />
⎜1⎟<br />
⎜ ⎟<br />
⎜1⎟<br />
⎝ ⎠<br />
vektor 1 er vinkelret på planen der indeholder BCD<br />
⎛ ⎞<br />
⎜ 1 ⎟<br />
⎜ ⎟<br />
⎜ − 1⎟<br />
⎝ ⎠<br />
vektor 0 er vinkelret på planen der indeholder ACD<br />
og<br />
⎛ ⎞<br />
⎜ 1 ⎟<br />
⎜ − 1⎟<br />
⎜ 1 ⎟<br />
⎝ ⎠<br />
vektor er vinkelret på planen der indeholder ABD.<br />
Side 39<br />
Ç<br />
Ç<br />
Ç
Appendiks 1: Om at tegne rumlige figurer<br />
Om at tegne rumlige figurer<br />
Når man løser en matematikopgave korrekt, indeholder besvarelsen<br />
forklaringer til regningerne. Ofte kan en god tegning sige mere end mange<br />
ord. Det gælder specielt i opgaver af geometrisk art.<br />
I undervisningsministeriets forord til de vejledende eksamensopgaver for<br />
obligatorisk niveau står der: "I opgaver omhandlende geometriske<br />
problemstillinger lægges der vægt på, at besvarelsen indeholder en<br />
illustrerende figur .. ".<br />
Det er sjældent noget problem at tegne gode figurer til plangeometriske<br />
opgaver.<br />
Det er noget vanskeligere med rumlige figurer.<br />
En del rumlige opgaver kan<br />
bekvemt illustreres ved<br />
simple plane figurer uden<br />
"rumvirkning"<br />
Som eksempel ses på figur l. et<br />
plant snit gennem en kugle K<br />
og dens tangentplan α i<br />
punktet P<br />
α<br />
fig. 1.<br />
To linjer i rummet kan også tegnes "plant".<br />
Hvis linjerne skærer hinanden, kan man markere<br />
skæringspunktet.<br />
Hvis linjerne derimod er vindskæve, kan man "afbryde" den<br />
bageste linje og derved skabe en rumlig fornemmelse:<br />
Mange af tegningerne i nogle af afsnittene om rumgeometri er tegnet i perspektiv<br />
for at lette forståelsen.<br />
Forståelsen af perspektivet blev udviklet af 1400-tallets malere, der ønskede at<br />
kunne give en realistisk fremstilling af rumlige figurer på det to-dimensionale<br />
lærred.<br />
side 40
Appendiks 1: Om at tegne rumlige figurer<br />
Det er imidlertid ikke ganske<br />
let at tegne i perspektiv.<br />
Hverken i det daglige eller<br />
ved eksamen har man tid til<br />
at pusle med perspektivet.<br />
Vi vil derfor tillade os at "snyde", og<br />
f.eks. tegne en plan som et<br />
parallelogram; normalvektoren kan<br />
så give den rumlige fornemmelse.<br />
En linje l, der skærer<br />
planen, tegnes som om den<br />
ses lige fra siden<br />
(l1 er linjens projektion på planen)<br />
Vi kan også på simpel vis<br />
tegne en linje l "over"<br />
planen, en linje m i<br />
planen og en linje n<br />
"under" planen<br />
fig. 5.<br />
fig. 3.<br />
fig. 4.<br />
side 41
Appendiks 2:. løsning af ligningssystemer.<br />
Løsning af 2 ligninger med to ubekendte ved hjælp af<br />
Substitutionsmetoden.<br />
Princippet i denne metode er at udtrykke den ene ubekendte ved den<br />
anden.<br />
Lad os løse ligningssystemet<br />
2x + 3y = 9<br />
x + 4y = 2.<br />
Af den anden ligning fås: x = 2 − 4 y,<br />
hvilket indsættes i den første<br />
ligning, så man får, at<br />
2x + 3y = 9 ⇔ 2(2 − 4y) + 3y = 9 ⇔ y = − 1<br />
x = 2 − 4y ⇔ x = 6.<br />
, og vi opnår da, at<br />
således at løsningen til ligningssystemet er (x, y) = (6, − 1) .<br />
Løsning af 2 ligninger med to ubekendte ved hjælp af<br />
Lige Store Koefficienters *) Metode.<br />
Princippet er, at man ved multiplikation med en passende faktor, som<br />
er forskellig fra nul, kan opnå lige store koefficienter på nær fortegn for<br />
mindst en af de ubekendte.<br />
Lad os løse ligningssystemet:<br />
Den øverst ligning multipliceres<br />
2x − 6y = 2<br />
med 2, og vi får, at<br />
2x + 2y = 3<br />
Ved subtraktion fås, at<br />
− 8y = − 1<br />
1<br />
så y =<br />
8 .<br />
Samlet<br />
x − 3y = 1<br />
2x + 2y = 3<br />
Den øverst ganges med 2 og den nederste<br />
2x − 6y = 2<br />
med 3, og vi får, at<br />
6x + 6y = 3<br />
Ved addition fås, at<br />
(x, y) = ( 11 1<br />
,<br />
8 8 )<br />
På side 29 er der et andet gennemregnet eksempel.<br />
8x = 11<br />
11<br />
så x =<br />
8 .<br />
* koefficient: en konstant faktor til en ubekendt el. foranderlig størrelse.<br />
Side 42.
Appendiks 2:. løsning af ligningssystemer.<br />
Løsning af 2 ligninger med to ubekendte ved hjælp af<br />
determinantmetoden *) .<br />
hvor<br />
D = a ⎮ 1<br />
⎮a2<br />
⎮<br />
b 1<br />
b 2<br />
⎮ = a<br />
⎮ 1⋅b2 − a2⋅b1 ⎮<br />
Eksempel: Skæringspunktet S mellem de to linjer med<br />
ligningerne<br />
* Se formel (26) side 4 i Matematisk Formelsamling.<br />
Side 43.
Appendiks 2:. løsning af ligningssystemer.<br />
Løsning af tre ligninger med tre ubekendte.<br />
Fællesmængde (skæring) mellem plan og linie, hvor begge er givet ved<br />
parameterfremstillinger<br />
Vi ønsker at finde fællesmængden for<br />
planen αααα :<br />
⎛ x⎞<br />
⎛ 2 ⎞ ⎛ 3 ⎞ ⎛− 4⎞<br />
⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟<br />
⎜ y⎟<br />
= ⎜ 4 ⎟ + s⎜<br />
7 ⎟ + t ⎜ 2 ⎟<br />
⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟<br />
⎝ z ⎠ ⎝−<br />
3⎠<br />
⎝−1⎠<br />
⎝ 3 ⎠<br />
og linjen l :<br />
⎛ x ⎞ ⎛6<br />
⎞ ⎛−<br />
7⎞<br />
⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟<br />
⎜ y⎟<br />
= ⎜4<br />
⎟ + u⎜<br />
− 4⎟<br />
⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟<br />
⎝ z ⎠ ⎝0<br />
⎠ ⎝ 7 ⎠<br />
Vi skal altså løse vektorligningen (finde værdier for de variable s, t og u.):<br />
⎛ 2 ⎞ ⎛ 3 ⎞ ⎛− 4⎞<br />
⎛6<br />
⎞ ⎛−<br />
7⎞<br />
⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟<br />
⎜ 4 ⎟ + s⎜<br />
7 ⎟ + t ⎜ 2 ⎟ = ⎜4<br />
⎟ + u⎜<br />
− 4⎟<br />
⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟<br />
⎝−<br />
3⎠<br />
⎝−1⎠<br />
⎝ 3 ⎠ ⎝0<br />
⎠ ⎝ 7 ⎠<br />
Dette svarer til at løse ligningssystemet:<br />
Først reduktion:<br />
⎧ 2<br />
⎪<br />
⎨ 4<br />
⎪<br />
⎩−<br />
3<br />
Så:<br />
+ 3s<br />
+ 7s<br />
− s<br />
− 4t<br />
=<br />
+ 2t<br />
=<br />
+ 3t<br />
=<br />
6<br />
4<br />
0<br />
− 7u<br />
− 4u<br />
+ 7u<br />
⇔<br />
⎧3s<br />
⎪<br />
⎨7s<br />
⎪<br />
⎩−<br />
s<br />
⎧ 2<br />
⎪<br />
⎨ 4<br />
⎪<br />
⎩−<br />
3<br />
− 4t<br />
+ 2t<br />
+ 3t<br />
+ 3s<br />
+ 7s<br />
− s<br />
+ 7u<br />
=<br />
+ 4u<br />
=<br />
− 7u<br />
=<br />
− 4t<br />
=<br />
+ 2t<br />
=<br />
+ 3t<br />
=<br />
4<br />
0<br />
3<br />
6<br />
4<br />
0<br />
( 1 )<br />
( 2)<br />
( 3)<br />
− 7u<br />
− 4u<br />
+ 7u<br />
Vi kan gange ligningerne (1), (2) og (3) igennem med forskellige faktorer for<br />
at opnå et lige stort antal u er i ligningerne (overvej, hvilke faktorer, der er brugt her)<br />
⎧12s<br />
⎪<br />
⎨49s<br />
⎪<br />
⎩−<br />
4s<br />
−16t<br />
+ 14t<br />
+ 12t<br />
+ 28u<br />
= 16<br />
+ 28u<br />
=<br />
0<br />
− 28u<br />
= 12<br />
⇒<br />
− 37s<br />
45s<br />
− 30t<br />
+ 26t<br />
=<br />
=<br />
16<br />
12<br />
(4)=(1)-(2)<br />
(5)=(2)+(3)<br />
hvor ligning (4) er fremkommet ved at trække ligningerne (1) og (2) fra<br />
hinanden, mens ligning (5) er fremkommet ved at lægge (2) og (3) sammen.<br />
Vi har altså nu to ligninger med to ubekendte, som vi kan løse<br />
som vi plejer,<br />
Side 44.
Appendiks 2:. løsning af ligningssystemer.<br />
f.eks. med determinantmetoden:<br />
⎛<br />
⎜<br />
⎜<br />
⎜<br />
⎜<br />
⎝<br />
16<br />
12<br />
− 37<br />
− 37<br />
45<br />
− 37<br />
⎛ 776 −1164<br />
⎞<br />
⎜<br />
⎟<br />
⎝ 388 388 ⎠<br />
( s,<br />
t ) =<br />
,<br />
= , = ( 2,<br />
− 3 )<br />
45<br />
− 30<br />
26<br />
− 30<br />
26<br />
45<br />
16<br />
12<br />
− 30<br />
Indsætter vi de fundne værdier s = 2 og t = − 3,<br />
i ligning (1) : 3s − 4t + 7u = 4,<br />
får vi:<br />
3⋅2 − 4⋅( − 3) + 7u = 4 ⇔ ....... ⇔ u = − 2<br />
D.v.s.<br />
Den samlede løsning til ligningssystemet :<br />
er (s, t, u) = (2, − 3, − 2)<br />
26<br />
⎞<br />
⎟<br />
⎟<br />
⎟<br />
⎟<br />
⎠<br />
⎧ 2<br />
⎪<br />
⎨ 4<br />
⎪<br />
⎩−<br />
3<br />
+ 3s<br />
+ 7s<br />
Indsætter vi de fundne værdier s = 2 , t = − 3 og u = − 2 i<br />
parameterfremstillingerne for αααα og l får vi:<br />
⎛ x ⎞ ⎛ 2 ⎞ ⎛ 3 ⎞<br />
⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟<br />
⎜ y⎟<br />
= ⎜ 4 ⎟ + 2⎜<br />
7 ⎟ +<br />
⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟<br />
⎝ z ⎠ ⎝−<br />
3⎠<br />
⎝−<br />
1⎠<br />
( − 3)<br />
Det vil altså sige at:<br />
⎛− 4⎞<br />
⎛ 20 ⎞<br />
⎜ ⎟ ⎜ ⎟<br />
⎜ 2 ⎟ = ⎜ 12 ⎟<br />
⎜ ⎟ ⎜ ⎟<br />
⎝ 3 ⎠ ⎝−<br />
14⎠<br />
og<br />
⎛ x⎞<br />
⎛6<br />
⎞<br />
⎜ ⎟ ⎜ ⎟<br />
⎜ y⎟<br />
= ⎜4<br />
⎟ +<br />
⎜ ⎟ ⎜ ⎟<br />
⎝ z ⎠ ⎝0<br />
⎠<br />
Linjen l skærer planen αααα i punktet:<br />
Side 45.<br />
− s<br />
( − 2)<br />
− 4t<br />
=<br />
+ 2t<br />
=<br />
+ 3t<br />
=<br />
6<br />
4<br />
0<br />
⎛−<br />
7⎞<br />
⎛ 20 ⎞<br />
⎜ ⎟ ⎜ ⎟<br />
⎜−<br />
4⎟<br />
= ⎜ 12 ⎟<br />
⎜ ⎟ ⎜ ⎟<br />
⎝ 7 ⎠ ⎝−14⎠<br />
− 7u<br />
− 4u<br />
+ 7u<br />
S (20, 12, − 14)