AKZENT IV - FORSIDE.AKZ

Appendiks 2:. løsning af ligningssystemer.
Løsning af tre ligninger med tre ubekendte.
Fællesmængde (skæring) mellem plan og linie, hvor begge er givet ved
parameterfremstillinger
Vi ønsker at finde fællesmængden for
planen αααα :
⎛ x⎞
⎛ 2 ⎞ ⎛ 3 ⎞ ⎛− 4⎞
⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎜ y⎟
= ⎜ 4 ⎟ + s⎜
7 ⎟ + t ⎜ 2 ⎟
⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ z ⎠ ⎝−
3⎠
⎝−1⎠
⎝ 3 ⎠
og linjen l :
⎛ x ⎞ ⎛6
⎞ ⎛−
7⎞
⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎜ y⎟
= ⎜4
⎟ + u⎜
− 4⎟
⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ z ⎠ ⎝0
⎠ ⎝ 7 ⎠
Vi skal altså løse vektorligningen (finde værdier for de variable s, t og u.):
⎛ 2 ⎞ ⎛ 3 ⎞ ⎛− 4⎞
⎛6
⎞ ⎛−
7⎞
⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎜ 4 ⎟ + s⎜
7 ⎟ + t ⎜ 2 ⎟ = ⎜4
⎟ + u⎜
− 4⎟
⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝−
3⎠
⎝−1⎠
⎝ 3 ⎠ ⎝0
⎠ ⎝ 7 ⎠
Dette svarer til at løse ligningssystemet:
Først reduktion:
⎧ 2
⎪
⎨ 4
⎪
⎩−
3
Så:
+ 3s
+ 7s
− s
− 4t
=
+ 2t
=
+ 3t
=
6
4
0
− 7u
− 4u
+ 7u
⇔
⎧3s
⎪
⎨7s
⎪
⎩−
s
⎧ 2
⎪
⎨ 4
⎪
⎩−
3
− 4t
+ 2t
+ 3t
+ 3s
+ 7s
− s
+ 7u
=
+ 4u
=
− 7u
=
− 4t
=
+ 2t
=
+ 3t
=
4
0
3
6
4
0
( 1 )
( 2)
( 3)
− 7u
− 4u
+ 7u
Vi kan gange ligningerne (1), (2) og (3) igennem med forskellige faktorer for
at opnå et lige stort antal u er i ligningerne (overvej, hvilke faktorer, der er brugt her)
⎧12s
⎪
⎨49s
⎪
⎩−
4s
−16t
+ 14t
+ 12t
+ 28u
= 16
+ 28u
=
0
− 28u
= 12
⇒
− 37s
45s
− 30t
+ 26t
=
=
16
12
(4)=(1)-(2)
(5)=(2)+(3)
hvor ligning (4) er fremkommet ved at trække ligningerne (1) og (2) fra
hinanden, mens ligning (5) er fremkommet ved at lægge (2) og (3) sammen.
Vi har altså nu to ligninger med to ubekendte, som vi kan løse
som vi plejer,
Side 44.