AKZENT IV - FORSIDE.AKZ

More documents

Recommendations

Info

Vektorregning 11 årgang. 4. udgave. Eksempe 2.1. En linje kan have mange parameterfremstillinger, som ser forskellige ud. Linjen m hvor ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎜x⎟ ⎜ 3 ⎟ ⎜ − 2⎟ m : ⎜y⎟ = ⎜½ ⎟ + t ⎜ 1 ⎟ t ∈ R. ⎜z⎟ ⎜2½⎟ ⎜ 3 ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ kan også fremstilles ved eller ⎛ ⎞ ⎜x⎟ ⎜y⎟ ⎜z⎟ ⎝ ⎠ ⎛ ⎞ ⎜x⎟ ⎜y⎟ ⎜z⎟ ⎝ ⎠ = = ⎛ ⎞ ⎜2⎟ ⎜1⎟ ⎜4⎟ ⎝ ⎠ + t ⎛ ⎞ ⎜ − 10⎟ ⎜ 7 ⎟ ⎜ 22 ⎟ ⎝ ⎠ ⎛ ⎞ ⎜ 4 ⎟ ⎜ − 2⎟ ⎜ - 6⎟ ⎝ ⎠ ⎛ ⎞ ⎜ − 1⎟ + t ⎜ ½ ⎟ ⎜ 1½⎟ ⎝ ⎠ Linjer i rummet. t ∈ R. t ∈ R. S = (3 1 1 ; − ; 0) , Q = (4; 0; 1) 3 3 P 0 = (3; ½; 2½) , R = (0; 2; 7) I eksemplerne ovenfor bruges at linjen går gennem punkterne (3; ½, 2½) og (2, 1, 4) samt (–10, 7, 22). Som retningsvektor kan en hvilken som helst vektor parallel med ⎛ ⎞ ⎜ 4⎟ ⎜ ⎟ ⎜ − 6⎟ ⎝ ⎠ r = ⎛ ⎞ ⎜ − 2⎟ ⎜ 1 ⎟ ⎜ 3 ⎟ ⎝ ⎠ bruges. I det andet eksempel er − 2 = − 2· r brugt som retningsvektor. ⎛ ⎞ ⎜ − 1⎟ I det tredje eksempel er ⎜ ½⎟ = ½⋅ r brugt som retningsvektor. ⎜ 1½⎟ ⎝ ⎠ Af hensyn til de praktiske beregninger er det en god idé at 'forlænge' retningsvektoren , så dens koordinater kommer til at bestå af hele tal. 'forlænge' betyder at gange vektoren med et tal forskelligt fra nul. Det er tilladt at 'forlænge' retningsvektoren i en parameterfremstilling. Men det er ikke tilladt at 'forlænge' stedsvktorerne. ⎛ ⎞ ⎜ 3 ⎟ ⎜ ⎟ ⎜2½⎟ ⎝ ⎠ ⎛ ⎞ ⎜ 2 ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ 4 ⎟ ⎝ ⎠ ⎛ ⎞ ⎜ − 10⎟ ⎜ 7 ⎟ ⎜ 22 ⎟ ⎝ ⎠ Altså ½ , 1 henholdsvis i ovenstående parameterfremstillinger. Side 26
Vektorregning 11 årgang. 4. udgave. Eksempel 2.1 fortsat. At f.eks. punktet Q (4; 0; 1) ligger på linjen m vises på følgende måde: ⎛ ⎞ ⎜4⎟ ⎜0⎟ ⎜1⎟ ⎝ ⎠ = ⎛ ⎞ ⎜ 3 ⎟ ⎜½ ⎟ ⎜2½⎟ ⎝ ⎠ ⎛ ⎞ ⎜ − 2⎟ + t ⎜ 1 ⎟ ⎜ 3 ⎟ ⎝ ⎠ ⇔ 4 = 3 + t·( − 2) 0 = ½ + t·1 1 = 2½ + t·3 ⎫ ⎪ ⎬ ⎪ ⎭ ⇔ t = − ½ Så punktet Q er punktet på linjen m svarende til t = − ½ i den valgte parameterfremstilling. eksempel 2.1 slut. Opgave 2.2. Bestem værdierne for t svarende til punkterne S = (3 1 1 ; − 3 3 ; 0) , P0 = (3; ½; 2½) og R = (0; 2; 7) ⎛ ⎞ ⎜x⎟ ⎜y⎟ ⎜z⎟ ⎝ ⎠ = Opgave 2.3. ⎛ ⎞ ⎜ 3 ⎟ ⎜½ ⎟ ⎜2½⎟ ⎝ ⎠ ⎛ ⎞ ⎜ − 2⎟ + t ⎜ 1 ⎟ ⎜ 3 ⎟ ⎝ ⎠ t ∈ R for linjen m. i parameterfremstillingen : Prøv om du kan bevise, at det er den samme linje de tre parameterfremstillinger i eksempel 2.1 fremstiller. Eksempel 2.2. Vi ønsker at finde en parameterfremstilling for den linje, der går gennem punkterne A(7,–l,3) og B(3,4,–6). Vi kan som retningsvektor for linjen bruge Vi har nu to mulige parameterfremstillinger: ⎛ ⎞ ⎜x⎟ ⎜y⎟ ⎜z⎟ ⎝ ⎠ = ⎛ ⎞ ⎜ 7 ⎟ ⎜ − 1⎟ ⎜ 3 ⎟ ⎝ ⎠ + t ⎛ ⎞ ⎜ − 4⎟ ⎜ 5 ⎟ ⎜ - 9⎟ ⎝ ⎠ t Õ R og ⎛ ⎞ ⎜x⎟ ⎜y⎟ ⎜z⎟ ⎝ ⎠ AB = = ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎜ 3 − 7 ⎟ ⎜ − 4⎟ ⎜ 4 − ( − 1) ⎟ = ⎜ 5 ⎟ ⎜ − 6 − 3 ⎟ ⎜ − 9⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎛ ⎞ ⎜ 3 ⎟ ⎜ 4 ⎟ ⎜ − 6⎟ ⎝ ⎠ + t ⎛ ⎞ ⎜ − 4⎟ ⎜ 5 ⎟ ⎜ - 9⎟ ⎝ ⎠ Hvis vi kun ønsker at fremstille linjestykket AB, må vi indskrænke parameteren t til kun at ligge mellem 0 og 1: D.v.s. linjestykket AB får parameterfremstillingen: t Õ R ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎜x⎟ ⎜ 7 ⎟ ⎜ − 4⎟ ⎜y⎟ = ⎜ − 1⎟ + t ⎜ 5 ⎟ , 0 º t º 1 ⎜z⎟ ⎜ 3 ⎟ ⎜ - 9⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ Her svarer værdien t = 0 til punktet A og t = 1 til punktet B. For t = ½ fås midtpunktet. eksempel 2.2 slut. Side 27
Page 1 and 2: Vektorregning for 11. årgang. 1. V
Page 3 and 4: Vektorregning 11 årgang 4. udgave
Page 27: Vektorregning 11 årgang. 4. udgave
Page 31 and 32: Vektorregning 11 årgang. 4. udgave
Page 43 and 44: Appendiks 1: Om at tegne rumlige fi
Page 45 and 46: Appendiks 2:. løsning af ligningss
Page 47: Appendiks 2:. løsning af ligningss

AKZENT IV - FORSIDE.AKZ

Create successful ePaper yourself

Delete template?

Save as template?