Forslag til løsninger til opgaver i Matematik – En grundbog for ...

Forslag til løsning af ”Opgaver til afsnittet om de naturlige tal”(side 80)
Opgave 1
Vi skal tegne alle de linjestykker, der forbinder 2 vilkårligt valgte punkter blandt de 4 punkter. Gennem
forsøg finder vi ret nemt, at der kan tegnes 6 linjestykker. Vi kan også ræsonnere kombinatorisk. Ethvert
punkt blandt de 4 punkter skal forbindes med de 3 øvrige punkter. Det giver 4 3 12 linjestykker. Men
herved bliver hvert linjestykke talt med 2 gange, så vi må dele med 2. Tilføjer vi et punkt mere – dvs. der nu
er 5 punkter - så skal dette punkt forbindes med de 4 oprindelige punkter, og det kræver 4 nye linjestykker.
En yderligere udvidelse til 6 punkter vil udvide antallet af linjestykker med 5. Det betyder, at hvis vi til en
punktmængde på n punkter tilføjer endnu et punkt, vil vi øge antallet af linjestykker med n. Den
opmærksomme læser, vil nok ane, at det igen er trekanttallene, der er på spil.
4 punkter giver
43 6 forbindende linjestykker.
2
5 punkter giver 6 4 10 linjestykker, der er det samme som
6 punkter giver 10 5 15 =
n punkter giver
Opgave 2
n n 1
2
6 5
2
linjestykker.
54 2
linjestykker.
Man kan prøve sig frem og herved indse, at der i en 4-kant kan tegnes 2 diagonaler, i en 5-kant er der 5
diagonaler, og i en 6-kant er der 9 diagonaler. Måske har man gennem eksperimenterne fundet et system,
f.eks. at der i en 7-kant kan tegnes 5 flere diagonaler end i en 6-kant, fordi en af siderne i 6-kanten nu er
blevet diagonal, og fordi der fra det 7’ende punkt kan tegnes 7 34nye diagonaler.
Det generelle argument kan være et af følgende 2 forslag:
1) Fra ethvert punkt i n-kanten kan der tegnes n3diagonaler, fordi der ikke kan tegnes en diagonal
til punktet selv og heller ikke til de to nabopunkter, idet disse vil være sider i n-kanten. Det giver
n n3diagonaler. Men igen vil hver diagonal blive talt med 2 gange, hvorfor der skal divideres
med 2. Den generelle formel bliver derfor:
.
n n 3
2
n
2) I opgave 1 fandt vi, at der mellem n punkter kan tegnes
n 1
2
forbindelseslinjer. Men n af
disse linjestykker vil være sider i n-kanten. Dem må vi derfor fratrække. Vi får således:
2n n n 1 2
n
.
n n 1 n n 1 n n 3
2 2 2 2 2
2