Forslag til løsninger til opgaver i Matematik – En grundbog for ...

Når vi går fra figur nr. n til figur nr. n1, øges antal linjestykker med 3 for hver ny sekskant, idet
der dog ved de 2 hjørner tilsammen sker en yderligere forøgelse på 3. I alt en forøgelse på
3 ( n 2).
Vi antager, at formlen er sand for tallet n.
Dvs.: I figur nr. n er antallet af linjestykker:
3 n ( n 3)
.
2
Antal linjestykker i figur nr. n 1 kan nu bestemmes ved addition af de 2 tal:
3 n ( n 3)
3 n ( n 3) 2 3
+ 3 ( n 2)
2 2
n 2
2
3 n
2
9n 6n 12 3n 15n 12
.
2 2
Vi undersøger nu, om dette resultat stemmer overens med, hvad formlen for figur nr. n 1 siger:
( )
2 2
3 n 1 n 4 3n 3 n 4 3n 3n 12n 12 3n 15n 12
.
2 2 2 2
Da de 2 udtryk er ens, er formlen bevist ved induktion.
9