Robuste Pulsdetektion für die Ultraschall-Computertomographie ...

3.1. MATCHED-WAVELET
Φj,k = 2 −j/2 Φ(2 −j x − k) (3.1)
Diese beiden Basen müssen zusätzlich die Bedingungen in (3.2) erfüllen. Das
Wavelet darf keinen Gleichanteil besitzen, da es als Bandpassfilter fungiert, wo-
hingegen die Skalierungsfunktion als Tiefpass gesehen werden kann.
ψ(x)dx = 0 ⇐⇒ Ψ(0) = 0
Φ(x)dx = 1 ⇐⇒ Φ(0) = 1 (3.2)
Die zugehörigen Projektionsgleichungen sind mit (3.3) für die hochauflösende
Projektion gj(x) und (3.4) für die niedrig aufgelöste Projektion fj(x) gegeben. d j
k
und c j
k sind die zugehörigen Projektionskoeffizienten und 〈., .〉 das Skalarprodukt
im Hilbertraum L 2 .
gj(x) =
∞
k=−∞
d j
k 2−(j/2) ψ(2 −j x − k)
d j
k = 〈fj−1(x), ψj,k〉 (3.3)
fj(x) =
∞
k=−∞
c j
k 2−(j/2) Φ(2 −j x − k)
c j
k = 〈fj−1(x), Φj,k〉 (3.4)
Um die Bedingung der Orthonormalität zu erfüllen, müssen ψj,k und Φj,k ortho-
normale Basen von Wj und Vj sein. Also gilt Wj ⊥ Wk für j = k und Wj ⊥ Vj,
was zu den Bedingungen in (3.5-3.7) führt.
〈φj,k, φj,m〉 = δk,m , δ = Kronecker Delta (3.5)
〈φj,k, ψj,m〉 = 0 (3.6)
〈ψj,k, ψl,m〉 = δj,l · δk,m (3.7)
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