Robuste Pulsdetektion für die Ultraschall-Computertomographie ...

3.1. MATCHED-WAVELET
Es besteht eine Lösung, ein Wavelet anhand einer Skalierungsfunktion zu be-
rechnen (siehe (3.10)), jedoch gilt dies nicht für den umgekehrten Fall. Ziel ist
es, einen Ausdruck für |Φ| über das Spektrum |Ψ| zu bestimmen. Die Bedin-
gungen für eine orthonormale Multiskalenanalyse sind in (3.2), (3.5) und (3.11)
beschrieben, wobei auch die Gleichungen (3.5-3.13) erfüllt sein müssen.
Betrachtet man (3.11) und (3.12), ergibt sich der Zusammenhang wie in Gleichung
(3.14) gezeigt.
|Φ(ω)| 2 = |Ψ(2ω)| 2 + |Φ(2ω)| 2
(3.14)
Durch wiederholte Substitution von Φ(2 k ω) 2 für k ≥ 1 in (3.14) ergibt sich
eine geschlossene Form, die es ermöglicht, das Spektrum der Skalierungsfunktion
direkt aus dem des Wavelets zu berechnen (3.15).
|Φ(ω)| 2 =
∞
j 2
Ψ(2 ω)
j=1
3.1.2 Spektrum-Anpassung
für ω = 0 (3.15)
Mit den vorgestellten Grundlagen soll nun die Anpassung des diskreten Spek-
trums erläutert werden. Zunächst ist ein Übergang der Gleichung (3.15) in eine
diskrete Form vonnöten (3.16).
Φ
πk
2l 2
=
l
Ψ
2πk
2p 2
p=0
für k = 0 (3.16)
Zusätzlich soll erwähnt werden, dass das Spektrum von Skalierungsfunktion und
Wavelet bandbegrenzt sein müssen, um die Orthonormalität der Multiskalenana-
lyse zu wahren. Die Bandbegrenzung des Wavelets liegt zwischen der Untergrenze
bei |ω| ∈ [π, 2π] und der Obergrenze mit |ω| ∈ [2π/3, 8π/3] ([12], Seite 53).
Wird nun die diskrete Form für die Skalierungsfunktion aus (3.16) in die Pois-
son’sche Summengleichung (3.8) eingesetzt, so ergibt sich die benötigte Bedin-
gung (3.17) für das Waveletspektrum Y (k) = |Ψ(k△ω)| im bandbegrenzten Be-
reich, der durch (3.18) vorgegeben wird.
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