Robuste Pulsdetektion für die Ultraschall-Computertomographie ...

3.2. PARAMETERSCH ÄTZUNG
v = i[4(αω0
a + γωc)(b − τ) + 4(α + γ)(Λ − θ)]
4(α + γ)
Für die Schätzung der Ankunftszeit τ, der Amplitude β und der Mittenfrequenz
ωc wird auf den Absolutwert von (3.25) zurückgegriffen und das Maximum der
Transformation gesucht. Dazu muss die erste Ableitung nach a und b bestimmt
und gleich Null gesetzt werden, wobei hier exemplarisch nur die Ableitung nach
a angeführt werden soll (3.26).
∂ MCWT( ˆ
Θ)
∂a
= β
π
√
ε α + γ eu
ω0( ωo − ωc) a
2a2
= 0 (3.26)
(α + γ)
u = siehe (3.25)
Es ist zu erkennen, dass der Wert der Transformation maximal ist, wenn die
beiden Mittenfrequenzen von Wavelet ω0
a und die des Pulses ωc übereinstimmen.
Das Gleiche gilt für die Ableitung von (3.25) nach b. Hierbei ergibt sich das
Transformations-Maximum, wenn die beiden Ankunftszeiten von Wavelet b und
Puls τ übereinstimmen. Der Wert des maximalen Koeffizienten ist proportional
zur Amplitude β und führt so zur Schätzung ˆ β.
Nach der Schätzung der Ankunftszeit τ, der Amplitude β und der Mittenfrequenz
ωc kann mit der Schätzung der Phase Λ und Bandbreite α fortgefahren werden.
Der erste Teil der Schätzung ist zusätzlich unabhängig von Phase und Bandbreite,
was einen wünschenswerten Effekt darstellt. Für die Schätzung der verbleibenden
Parameter, wird auf den Realteil der MCWT des Einzelpulses zurückgegriffen.
Dieser kann durch das Einsetzen der bereits geschätzten Parameter vereinfacht
werden und es ergibt sich Gleichung (3.27).
Re MCWT( ˆ
Θ)
| b=τ
ω0 =ωc a = β
π
√
ε α + γ
cos(Λ − θ) (3.27)
Über die partiellen Ableitungen nach der Phase Λ und der Bandbreite γ tritt die
Maximierung des Realteils an den Stellen ein, wo die Schätzung mit dem Signal-
wert übereinstimmt, also bei θ = Λ ± 2πk und γ = α. Dieses Ergebnis bestätigt
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