Robuste Pulsdetektion für die Ultraschall-Computertomographie ...

3.2. PARAMETERSCH ÄTZUNG
Zum Abschluss der Spektrenanpassung soll noch die Berechnung des Anpassungs-
fehlers über (3.22) angegeben werden. Da im Zuge dieser Arbeit nur ein analyti-
sches Wavelet und keine zugehörige Skalierungsfunktion benötigt wird, wird auf
die Beschreibung der Eigenschaften und der Anpassung der Phase des Signals
verzichtet. Für das verwendete Wavelet wurde lediglich eine Spektrenanpassung
durchgeführt und die Phase des Originalsignals übernommen.
E =
3.2 Parameterschätzung
3.2.1 Einführung
1 − 1
a AW T (AA T ) −1 1 − 1
a AW
1
a 2W T W
(3.22)
Wie bereits erwähnt basiert die verwendete Parameterschätzung der Ultraschall-
signale auf der kontinuierlichen Wavelet-Transformation (CWT) und der Model-
lierung der Pulse als gauß’sche Echos [6]. Die Modellgleichung eines einzelnen
Pulses ist mit (3.23) angegeben. Der zugehörige Parametervektor Θ enthält da-
bei die Bandbreite α, die Amplitude β, die Mittenfrequenz fc, die Phase Λ und
die Ankunftszeit des Pulsmaximums τ.
fΘ(t) = βe −α(t−τ)2
cos(2πfc(t − τ) + Λ) (3.23)
Während der Entwicklung des Algorithmus mit dem Morlet-Wavelet (Abbildung
3.1), welches häufig für die Analyse von Ultraschallsignalen zum Einsatz kommt,
zeigte sich, dass die Ankunftszeit τ der Pulse bestimmt werden kann. Das Pro-
blem lag in der Schätzung der Mittenfrequenz fc, die nur über einen Faktor zu
bestimmen wäre, welcher aber im Vorfeld nicht bekannt ist [6].
Um diesem Problem zu begegnen, wurde im weiteren Verlauf das Morlet-Wavelet
erweitert, um eine modifizierte Version der CWT zu verwenden. Das erweiter-
te Morlet-Wavelet (3.24) bietet einen zusätzlichen Phasenfaktor θ, welcher dem
Parametervektor der Schätzung ˆ Θ mit den Werten der Bandbreite γ, der Ampli-
tude ˆ β, der Mittenfrequenz ω0 , der Phase θ und der Ankunftszeit b angehört.
2πa
Der Einsatz des generierten Matched-Wavelets für die Schätzung wurde nicht in
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