Ein kontrolliertes Experiment über die Auswirkung von Feedback ...

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2 Grundlagen | 16
Die Ergebnisse eines Zufallsexperiments können wie beim „Würfeln“ selbst schon Zahlen
sein, aber natürlich kann es sich bei den Ergebnissen beispielsweise auch um Ausprägungen
qualitativer Merkmale handeln. [Har+05, S.103]
Die Verteilung einer Zufallsvariable gibt an, „wie wahrscheinlich die einzelnen Werte von
X sind“ [Kre00, S.42]. Ist eine Zufallsvariable X reellwertig, so lässt sich ihre Verteilung
eindeutig durch die Verteilungsfunktion F( X)
= P( X ≤ x)
mit x ∈ beschreiben, wobei
P( X ≤ x)
ausdrückt, mit welcher Wahrscheinlichkeit die Zufallsvariable X einen Wert kleiner
oder gleich x annimmt. Als Beispiel für die Verteilung einer Zufallsvariable sei hier die
Normalverteilung genannt. Deren Eigenschaften sollen
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€ etwas später in diesem Kapitel noch
genauer beschrieben werden, da es im durchzuführenden Experiment um die Anzahl von
Fehlern und die Anzahl von Anforderungen gehen soll und deshalb zur Anwendung von
statistischen Tests eventuell einige Annahmen zur Normalverteilung erforderlich sein
könnten. Zunächst werden aber noch weitere Grundbegriffe erläutert.
Betrachtet man eine reellwertige Zufallsvariable X mit diskreter Verteilung und den Werten
x1 ,x 2 ,...,x n , das heißt man führt das Zufallsexperiment n-mal durch, dann will man
gegebenenfalls wissen, welchen Wert man für X im Mittel erhält. Der Mittelwert x ist
definiert durch
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.
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Wenn man einen „mittleren Wert“ für die Zufallsvariable X angeben will, ist es auch sinnvoll,
die Werte x1, x2,..., xn mit den entsprechenden Wahrscheinlichkeiten p1,..., pn zu gewichten.
Die Berücksichtigung dieser Gewichtung findet man im Erwartungswert µ mit
n
∑
µ € = xi pi i=1
wieder. Der Erwartungswert ist eine Maßzahl für den Schwerpunkt einer Verteilung. [Kre00,
S.52] Die Varianz ist ein Maß für die Abweichung der Zufallsvariable X von ihrem
Erwartungswert, sie ist also ein Streuungsmaß. Für die Varianz gilt
n
σ 2 = (x i − µ) 2 ∑ pi .
i=1
Die Quadratwurzel der Varianz heißt Standardabweichung und wird mit bezeichnet.
Bezieht man die Begriffe Varianz und Standardabweichung auf empirische Daten, so spricht
man von der empirischen Varianz bzw. der empirischen Standardabweichung s. Die
empirische Varianz stellt für die Varianz einer Zufallsvariable eine Schätzfunktion 3 aus
Werten dar, die bei einer Stichprobe gemessen wurden. Die empirische Varianz ist gerade
3 Eine Schätzfunktion ordnet der Zufallsstichprobe einen Wert zu. Dabei ist natürlich ein Wert, der
möglichst nahe oder gleich dem wahren Wert ist, gewünscht, allerdings kann der Wert auch weit daneben liegen.
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