Werkstofftechnik Maschinenbau

2.4 Gitteraufbau der Metalle
2.4.3.4 Packungsdichte der
Kristallgitter
Mit Packungsdichte (P) oder Raum -
erfüllung (RE) bezeichnet man das
von Materie ausgefüllte Volumen
bezogen auf das Gesamtvolumen
der Elementarzelle.
Die Raumerfüllung im kubischflächenzentrierten
Gitter und in
der hexagonal dichtesten Kugel -
pa ckung beträgt 74%, im kubischraumzentrierten
Gitter 68%. Eine
bessere Raumausnutzung als 74%
ist bei gleich großen Kugeln oder
Atomen nicht möglich. Auch das
kubisch-flächenzentrierte Gitter
wird daher häufig als dichteste
Kugelpackung bezeichnet. Die un -
günstige Raumerfüllung im kubisch-raumzentrierten
Gitter beruht
vor allem darauf, dass die
Zahl der Gitterlücken größer ist
als in den beiden anderen Gittern.
Die kubisch-primitive Elementarzelle
enthält acht Atome auf den
Ecken eines Würfels. Jedes Eck -
atom gehört jedoch zu acht verschiedenen Elementarzellen, sodass nur 1 Bild 1: Elementarzelle des kubisch-raumzentrierten Gitters
Bild 2: Elementarzelle des kubisch-flächenzentrierten Gitters
⁄ 8 seines Volumens zu einer Elementarzelle
gehört. Die Anzahl der (vollständigen) Metall ionen pro Elementarzelle beträgt demnach:
1
n = 8 · –– = 1 (Anzahl der Metallionen im kubisch-primitiven Gitter)
8
Die kubisch-raumzentrierte Elementarzelle besitzt ebenfalls acht Metallionen an den Würfelecken, die zu
1
⁄8 ihres Volumens zur Elementarzelle gehören. Zusätzlich befindet sich noch ein Metallion im Zentrum. Die
Anzahl der Metallionen pro Elementarzelle beträgt dementsprechend:
1
n = 8 · –– + 1 = 2 (Anzahl der Metallionen im krz-Gitter)
8
Im kubisch-flächenzentrierten Gitter (Bild 2) ergibt sich auf analoge Weise:
1 1
n = 8 · –– + 6 · –– = 4 (Anzahl der Metallionen im kfz-Gitter)
8 2
Die Packungsdichte P wird berechnet, indem man das Produkt aus Atomvolumen V A und Anzahl der Atome
pro Elementarzelle n durch das Volumen der Elementarzelle V Z dividiert :
n ·V A
P = –––––– mit VA =–– · p · R 3 und VZ = a3 VZ 4
3
Für das kubisch-primitive Gitter ergibt sich dann mit n = 1 und a = 2R (Atome berühren sich auf der Würfel
kante):
4
· p · R 3 · p · R 3 p
P = ––––––––– = ––––––––– = –– ≈ 52 %
a3 (2 R) 3 3
3
6
Für das kubisch-raumzentrierte Git ter folgt mit n = 2 und a = 4 R/ 3 (Atome berühren sich auf der Raumdiagonalen):
P ≈ 68 %
4
31