Kooperative Bewegungsstrategien für Roboter in unbekannten ...

3 Relative Lokalisierung von Robotern aus Kamerabildern 41
A
B
α c β
b
180°
-β
a
γ
•
f
C
Π
Abbildung 3.5: Die Berechnung von α und β über den Sinus der Seiten f und b bzw. f und
a hängt von der Lage der Projektion c zur Hauptprojektionsachse ab.
die Berechnung. Es wird aus Gründen der Übersichtlichkeit darauf verzichtet, die oben
angegebenen Formeln für die x-Koordinaten xA und xB von A und B einzusetzen.
Für die Berechnung der Entfernung des projizierten Roboters Rproj muss der Winkel δ,
der zwischen der Frontseite von Rproj und den beiden Projektionslinien an den Punkten
LF und RF besteht, bekannt sein (vgl. Abbildung 3.4). Dieser kann aus den Einfallswinkeln
α und β zwischen c und b bzw. c und a berechnet werden, wofür durch den
Sinus beschriebene Seitenverhältnisse ausgenutzt werden. Dazu muss jeweils für α und
β eine Fallunterscheidung getroffen werden, wo c bezüglich der Hauptprojektionsachse
liegt, was aus Abbildung 3.5 ersichtlich wird.
α =
arcsin( f
b ) für xA < 0
180 ◦ − arcsin( f
b ) für xA ≥ 0
, β =
•
f
180°
-α
γ
C
b
A
α
c
a
180 ◦ − arcsin( f
a ) für xB ≤ 0
arcsin( f
a ) für xB > 0
Daraus ergibt sich wegen der Innenwinkelsumme eines Dreiecks der c gegenüberliegende
Winkel γ = 180 ◦ − α − β. Da Rproj von zylindrischer Form ist, kann gefolgert werden,
dass der erwähnte Winkel δ an beiden Rändern von Rproj gleich groß ist, weswegen er
wiederum aus der Innenwinkelsumme resultiert:
δ = 180◦ − γ
2
= 180◦ − (180 ◦ − α − β)
2
= α + β
2
Gesucht ist die Entfernung zum Mittelpunkt von Rproj, aber wie erwähnt sind vom
Kamerastandort aus nicht dessen breiteste Ausmaße sichtbar, wie Abbildung 3.4 verdeutlicht:
Die Projektionslinien führen von den Punkten LF und RF zu C, die breiteste
Stelle wird aber durch die zu LF RF parallele Strecke LR beschrieben, auf der offensichtlich
auch M liegt. Vorerst ist aber die Länge rF der Strecke LF MF wichtig. Zusammen
mit MF M und LF M bildet sie ein rechtwinkliges Dreieck, wobei dessen Hypothenuse
den Radius r des Roboters beschreibt. LF M verläuft nun senkrecht zur Projektionslinie
LF C, denn Letztere ist eine Tangente von Rproj. Weiterhin besteht zwischen LF C und
LF MF der Winkel δ, also muss der Winkel zwischen LF MF und LF M die Größe 90◦ −δ
haben. Da das besprochene Dreieck rechtwinklig ist, folgt für den Winkel δ ′ zwischen
LF M und MF M nach Innenwinkelsumme, dass auch er δ ′ = 180◦ − (90◦ − δ) − 90◦ = δ
groß ist. δ ist bekannt, weswegen rF berechnet werden kann:
sin(δ) = rF
r ⇒ rF = sin(δ) · r = sin
α + β
2
· r
β
B
Π