Kooperative Bewegungsstrategien für Roboter in unbekannten ...

3 Relative Lokalisierung von Robotern aus Kamerabildern 43
M
α
x M
•
β α
β
α
β
γ_
2
ψ
φ
•
y M
M
M
γ_
2
x M
•
•
y M
φ ψ
(1) (2)
(3)
C C C
Abbildung 3.6: Drei Fälle für α ≤ β bei der Berechnung des Projektionswinkels ϕ, der die
relative Lage des Roboters zum Projektionszentrum beschreibt. Die Fälle für α > β verhalten
sich symmetrisch. Jeweils ergibt sich die Berechnungsvorschrift ϕ = |α−β|
2 .
wobei in Fall (2) ψ = 0 gilt. Die Berechnung für ψ anhand der Dreieckinnenwinkelsumme
verläuft aber entsprechend Abbildung 3.6 verschieden:
⎧
180◦ − (180◦ − β) − 90◦ = β − 90◦ falls α < β, β > 90◦ (1)
180
⎪⎨
ψ =
◦ − (180◦ − α) − 90◦ = α − 90◦ falls α > β, α > 90◦ (1)’
180
⎪⎩
◦ − β − 90◦ = 90◦ − β falls α < β, β < 90◦ (3)
180◦ − α − 90◦ = 90◦ − α falls α > β, α < 90◦ (3)’
Damit folgt für ϕ:
⎧
⎪⎨
ϕ =
⎪⎩
x M
0 falls β = 90 ◦ (2) oder α = 90 ◦ (2)’
γ
2
+ ψ = 180−α−β
2
− 2β−180◦
2
γ 180−α−β
2 + ψ = 2 − 2α−180◦
2
γ
2 = 180◦−α−β 2
γ
2 = 180◦−α−β 2
γ
2
γ
2
− ψ = 180−α−β
2
− ψ = 180−α−β
2
= 180◦ −α−90 ◦
2
= 180◦ −90 ◦ −β
2
− 180◦ −2β
2
− 180◦ −2α
2
= β−α
2
= α−β
2
= 90◦ −α
2
= 90◦ −β
2
= β−α
2
= α−β
2
•
φ
γ_
2
γ_
2
•
y M
β−α
= 2
α−β
= 2
γ_
2
γ_
2
falls α < β, β > 90 ◦ (1)
falls α > β, α > 90 ◦ (1)’
falls β = 90 ◦ (2)
falls α = 90 ◦ (2)’
falls α < β, β < 90 ◦ (3)
falls α > β, α < 90 ◦ (3)’
Wie bereits angekündigt, kann ϕ damit einheitlich berechnet werden durch:
ϕ =
|α − β|
2
Zwar ist für einen Dreieckswinkel nur ein positiver Wert sinnvoll, für die Berechnung des
Mittelpunkts im negativen Bereich der x-Achse (wo also α < β und β > 90 ◦ gilt) erweist
es sich aber als nützlich, auch negative Winkel zuzulassen, denn der zugehörige Sinus
liefert dort im relevanten Winkelintervall −90 ◦ < ϕ < 0 ◦ auch negative Werte. Daher
wird für die abschließende Ermittlung der Koordinaten von M der Winkel ϕ ′ = α−β
2