Kooperative Bewegungsstrategien für Roboter in unbekannten ...

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50 3.3 Fehler in der Entfernungsberechnung α − min und α− supp fällt stärker als der zwischen α − supp und α − max. Somit ist der Abstand zwischen α − min und α− supp kleiner als der zwischen α − supp und α − max, was zu zeigen war. Bei den aus Werten für xA ≥ p 2 resultierenden Winkeln α+ min , α+ supp und α + max ändern sich nun die Berechnungsvorschriften. Es gilt: cot(180 ◦ − α + min ) = xA − p 2 , cot(180 f ◦ − α + supp) = xA f , cot(180◦ − α + max) = xA + p 2 f Wiederum ist also der Abstand zwischen den Werten gleich. Die Ableitung des Cotangens ist jedoch im Bereich 90 ◦ ≤ α + min < α+ supp < α + max < 180 ◦ streng monoton fallend (vgl. Abbildung 3.9 rechts). Der Bereich des Cotangens zwischen 180 ◦ − α + min und 180 ◦ − α + supp fällt also stärker als der zwischen 180 ◦ − α + supp und 180 ◦ − α + max. Somit ist der Abstand zwischen α + min und α+ supp erneut kleiner als der zwischen α + supp und α + max. Für alle αmin, αsupp und αmax gilt also die Behauptung. Mittels Ersetzung des Werts xA durch xB, Ersetzung der Winkel α − min , α− supp und α − max durch β + min , β+ supp und β + max und entsprechend α + min , α+ supp und α + max durch β − min , β− supp und β − max lässt sich der vollzogene Beweis für die α-Winkel analog für die β-Winkel durchführen, worauf hier verzichtet wird. Es folgt, dass der Unterschied der Winkel βmin und βsupp stets kleiner ist als der zwischen βsupp und βmax. Insgesamt resultiert hieraus, dass der maximale Unterschied zwischen der vermuteten Winkelsumme αsupp + βsupp und einer beliebigen möglichen Winkelsumme im Unterschied zwischen αmax + βmax und αsupp + βsupp besteht, und somit folgt die Gesamtaussage. Maximaler Fehler der Entfernungsberechnung Satz 3.1 Gegeben sei die tatsächliche Projektion c eines Roboters Rproj mit Projektionszentrum C = (0 | 0), welche alle Pixel innerhalb des Bereichs A = (xA | f) bis B = (xB + p | f) umfasst. Dabei bezeichne p die Breite eines Pixels. Sei dsupp die vermutete Entfernung des Mittelpunkts M von Rproj zu C, bei der ange- und der rechte Randpunkt nommen wird, dass der linke Randpunkt von c bei x ′ p A = xA+ 2 bei x ′ B = xB + p 2 liegt. Seien weiter dmax und dmin die Entfernungen, die sich für die Randpunkte xA + p und xB bzw. xA und xB + p ergeben würden. Dann gilt: Der Fehler ∆d in der Entfernungsberechnung von M zu C ist nach oben beschränkt durch dmax − dsupp: ∆d ≤ dmax − dsupp Beweis: Nach Lemma 3.1 sind sowohl dsupp als auch die minimale und maximale Entfernung dmin und dmax des Mittelpunkts M von Rproj zu C proportional abhängig von den durch dessen Projektion definierten möglichen Summen σ der Winkel zwischen Bildebene und Projektionszentrum. Aus Lemma 3.2 ergibt sich weiter, dass die maximal mögliche solche Winkelsumme σ für eine gegebene Projektion diejenige ist, aus der die maximale Entfernung dmax hervorgeht. Entsprechend resultiert dmin aus der minimal möglichen Winkelsumme. Sei nun die Entfernung d als Funktion d(σ) ihrer zugrunde liegenden Winkelsumme σ betrachtet. Nach Korollar 3.1 ist d(σ)−d(σ −εσ) < d(σ +εσ)−d(σ), wobei für εσ gelte:
3 Relative Lokalisierung von Robotern aus Kamerabildern 51 0 < εσ < min{σ, 180 ◦ − σ}. Für eine vermutetete Entfernung dsupp steigt die entsprechende Funktion also in stärkerem Maß in Richtung dmax an, als sie in Richtung dmin fällt. Da gleichzeitig nach Lemma 3.3 der Unterschied zwischen dmax und dsupp größer als der zwischen dsupp und dmin ist, kann es schlussendlich keinen größeren Unterschied zwischen vermuteter und realer Entfernung geben als dmax − dsupp. Beispiel: Es wird erneut das Beispiel aus Kapitel 3.2 herangezogen, bei dem eine Kamera mit m = 720 Pixeln, w = 4, 8 mm und f = 6 mm gegeben war. Für einen Roboter Rproj mit Radius r = 250 mm ergab sich für dessen 120 Pixel breite Projektion von Pixel i = 599 bis Pixel j = 718 die vermutete Entfernung dsupp ≈ 250 mm 104,90135◦ +68,28101◦ cos 2 ≈ 4204, 5044 mm. Bei der maximal möglichen Entfernung von Rproj liegen nun andere Randkoordinaten für die sich ergebende Projektion vor, denn es wird wie angesprochen dabei davon ausgegangen, dass sich der Rand der Projektion beim linken Randpixel ganz rechts und beim rechten Randpixel ganz links befindet, folglich: (599 720 4,8 Amax = + 1) − 2 · 720 6 = 1, 6 6 (718 720 4,8 Bmax = + 0) − 2 · 720 6 ≈ 2, 38667 6 Diese Koordinaten führen zu den beiden Seitenlängen amax ≈ 6, 45726 mm und bmax ≈ 6, 20967 mm, aus denen wiederum die Winkel αmax ≈ 104, 93142 ◦ und βmax ≈ 68, 30839 ◦ hervorgehen. Damit lässt sich die maximale Entfernung des Mittelpunkts von Rproj zu C berechnen als: dmax ≈ 250 104,93142◦ +68,30839◦ cos 2 ≈ 4240, 1935 mm Die Differenz zwischen dmax und dsupp beschreibt nun wie gezeigt die obere Schranke des Fehlers der Entfernungsberechnung: ∆d = dmax − dsupp ≈ (4240, 1935 − 4204, 5044) mm = 35, 6891 mm Unter dem gegebenen Projektionswinkel ϕsupp hat eine Entfernungsschätzung der ungefähren Größe 4, 20 m bei den gegebenen Kamera- und Roboter-Parametern folgerichtig einen maximalen Fehler von gut 3, 5 cm. Eine wichtige Beobachtung sei hierbei erwähnt; unter Verwendung von dmax ergibt sich für den Mittelpunkt des Roboters Mmax ≈ (1332, 1978 mm | 4025, 4801 mm). Wie sich leicht nachrechnen lässt, liegen Mmax, Msupp und C nicht auf einer Gerade. Das bedeutet, durch Veränderung der Randpunkte A und B in gleichem Umfang verschiebt sich der Mittelpunkt im Allgemeinen nicht etwa nur nach hinten, sondern auch in geringem Maße zur Seite, was auf die perspektivische Verzerrung schräger Projektionen zurückzuführen ist.
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122 ε ε Gewichtung Abbildung 5.1:
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124 dadurch gegebene Sichtbehinderu
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126 Abbildung 5.2: Vier Experimente
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128 zu projizieren, was dann erlaub
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130 Orientierungsabweichungen ersch
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134 [Madhavan et al. 2004] R. Madha
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138 Abbildung A.1: Die Bedienungsob
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Anhang B Eidesstattliche Erklärung
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