Kooperative Bewegungsstrategien für Roboter in unbekannten ...

3 Relative Lokalisierung von Robotern aus Kamerabildern 47
-
(x | f)
A
-
α
-
(x +ε c | f)
A
b
-
αʼ
bʼ
•
C
f
C
•
+
(x | f)
A
+
α
f b bʼ
+
(x +ε c | f)
A
+
αʼ
bʼ < b bʼ > b
- -
αʼ > α
+ +
αʼ > α
Abbildung 3.7: Eine Vergrößerung der Koordinate xA des linken Projektionsrands, wie hier
um den Wert εc, bewirkt eine Vergrößerung des Winkels α, sowohl bei α − im negativen als
auch bei α + im positiven Bereich der x-Achse.
Projektionen auf der Bildebene differiert. Dagegen erscheint es intuitiv, dass eine Projektion
ca, die bei gleichem Mittelpunkt wie eine Projektion cb schmaler als cb ist, auch
in einer weiteren Entfernung des zugehörigen Roboters resultiert. Diese Aussage gibt
das folgende Lemma wieder und wird untenstehend bewiesen. Insbesondere liegt hier
der Unterschied zwischen der vermuteten Breite einer Projektion und ihren möglichen
realen Breite im Fokus der Betrachtung, also etwa auch ihrer maximal möglichen.
Lemma 3.2 Sei das Projektionszentrum C = (0 | 0) und seien A = (xA | f) und
B = (xB | f) der linke und rechte Randpunkt der Projektion c eines Roboters. Seien
weiter b = AC, a = BC und α und β die Winkel zwischen b und c bzw. a und c.
Betrachte nun eine Projektion c ′ mit A ′ = (xA + εc | f) und B ′ = (xB − εc | f),
0 < εc < xB−xA
2 und entsprechend definierten Seiten a ′ und b ′ und Winkeln α ′ und β ′ .
Dann gilt: α < α ′ , β < β ′ und somit α + β < α ′ + β ′ .
Beweis: Betrachtet werden hier nur die Winkel α und α ′ . Für negative xA (im Folgenden
als xA − bezeichnet) berechnet sich wie gezeigt α = α− = arcsin f
b . Für positive xA
(xA + ) ist entsprechend α + = 180◦ − arcsin f
b .
Die Länge der Seite b ergibt sich dabei nach Pythagoras aus f 2 + xA 2 . Offensichtlich
ist also b ′ für xA − kürzer als b und für xA + länger als b. Dies ist in Abbildung 3.7
illustriert. Da die Arcussinusfunktion arcsin(x) im relevanten Intervall x ∈ [0, 1] streng
für steigende b fällt (und umgekehrt) folgt:
monoton steigend ist und x = f
b
α − = arcsin(
α + = 180 ◦ − arcsin(
f
f 2 + x −
A
f
f 2 + x +
A
2 )
2 )
f
< arcsin(
f 2 + (x −
) = α′−
2
A + εc)
< 180 ◦ f
− arcsin(
f 2 + (x +
) = α′+
2
A + εc)
b>b ′
b