Kooperative Bewegungsstrategien für Roboter in unbekannten ...

Fakultät EIM, Institut für Informatik
Arbeitsgruppe Wissensbasierte Systeme
Universität Paderborn
Diplomarbeit
Kooperative Bewegungsstrategien für Roboter
in unbekannten, merkmalsarmen Umgebungen
Henning Wachsmuth
henningw@upb.de
Vorgelegt bei:
Dr. Theodor Lettmann und Prof. Dr. Franz Josef Rammig
Januar 2009

Abstract
Localization, the task of estimating a robot’s position and orientation, is one of the
fundamental problems of current research in autonomous mobile robotics. Recently, the
use of multiple robots has received increased attention to improve localization accuracy,
especially in unknown and featureless environments.
This thesis investigates from a theoretical point of view how a team of robots, each
equipped with a fixed monocular camera, can move cooperatively in order to reduce
positional uncertainty. Vision-based localization is done by using each other as mobile
landmarks. Therefore, a new concept for computing the relative distance and angle
between robots from single camera images is introduced and formally analyzed.
Based on this concept, different principal approaches to cooperative motion strategies
are developed for a global coordinate system that allow the given robots to keep track
of their locations. These strategies do not require any knowledge about the environment
and, thus, even work properly in unknown and unstructured domains.

Danksagung
Die vorliegende Diplomarbeit entstand in Rahmen meines Informatikstudiums an der
Universität Paderborn. An dieser Stelle möchte ich mich bei den Menschen bedanken,
die maßgeblich zum Gelingen der Arbeit beigetragen haben:
Ganz besonderer Dank gilt meiner geliebten Freundin, Katrin Spielvogel, für ihr großes
Verständnis und ihre Unterstützung während des Erstellens dieser Arbeit. Auch das
Feedback zur sprachlichen Gestaltung hat mir sehr geholfen. Weiter danke ich herzlich
meinem Bruder, Jakob Wachsmuth, für entscheidende Hinweise zur erfolgreichen
Umsetzung eines wichtigen Beweises innerhalb meiner Argumentationskette. Auch dem
Betreuer dieser Diplomarbeit, Dr. Theodor Lettmann, gebührt Dank für zahlreiche ausführliche
Gespräche, die mich auf den richtigen Weg gebracht haben.
Schließlich geht ein Dankeschön an meine Eltern sowie an Nico Loose und Stephan
Arens, die ebenfalls zur sprachlichen Korrektheit der Arbeit beigetragen, und die mir,
genauso wie meine weiteren Freunde und der Rest meiner Familie, mein gesamtes Studium
hindurch den Rücken gestärkt haben.
Henning Wachsmuth
Paderborn, Januar 2009

Inhaltsverzeichnis
1 Einleitung 9
2 Einsatz von Roboter-Teams in unbekannten Umgebungen 13
2.1 Kartenerstellung und Lokalisierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.2 Gemeinsame Bewegung und kooperative Lokalisierung . . . . . . . . . . 22
2.3 Abgrenzung des im vorliegenden Kontext relevanten Problembereichs . . 29
3 Relative Lokalisierung von Robotern aus Kamerabildern 33
3.1 Grundlagen der Abbildungsoptik digitaler Kameras . . . . . . . . . . . . 33
3.2 Berechnung der relativen Position eines Roboters aus seiner Projektion . 39
3.3 Fehler in der Entfernungsberechnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
3.4 Exemplarische Fallstudien zum Berechnungsverfahren . . . . . . . . . . . 52
3.5 Ermittlung eines günstigen Bereichs zur Lokalisierung von Robotern . . 58
4 Explizite Verwendung kooperativer Bewegungsstrategien 69
4.1 Ziele und Probleme bei der Fortbewegung in Teams . . . . . . . . . . . . 69
4.2 Kooperative Posenschätzung innerhalb eines globalen Koordinatensystems 75
4.3 Fehlerakkumulation bei der kooperativen Lokalisierung . . . . . . . . . . 83
4.4 Ansatz 1: Kontinuierlicher Aufenthalt innerhalb eines günstigen Bereichs 87
4.5 Ansatz 2: Effizientes Voranschreiten bei dauerhafter Beobachtung . . . . 95
4.6 Ansatz 3: Erschließung von Raum unter Verlust der stetigen Kontrolle . 100
4.7 Szenarien für den Einsatz der Bewegungsstrategien . . . . . . . . . . . . 107
4.8 Diskussion der vorgestellten Ansätze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
5 Einbettung in bestehende Konzepte 121
6 Zusammenfassung, Fazit und Ausblick 127
Literaturverzeichnis 131
A Software auf der beigefügten CD 137
B Eidesstattliche Erklärung 141

Kapitel 1
Einleitung
Autonome mobile Roboter sind eigenständig agierende Maschinen, die sich in einer Umgebung
bewegen können, um die Aufgaben, für die sie entwickelt wurden, auszuführen.
Zur Interaktion mit ihrer Umwelt müssen sie neben Antriebsmechanismen und angemessenen
Werkzeugen vor allem über externe Sensoren verfügen, mittels derer sie Informationen
über die Beschaffenheit ihrer Umgebung aus dieser entnehmen können.
Nicht selten werden dafür Kameras benutzt, weil diese vielfältig auswertbare Daten liefern.
Zusätzlich bedarf es für die Navigation Verfahren, anhand derer die Roboter ihren
Standort wie auch ihre Blickrichtung bestimmen können, da nur dadurch die Möglichkeit
zur zielgerichteten Fortbewegung gewährleistet ist. Dies führt zu dem in dieser Arbeit
wichtigen Begriff der Lokalisierung.
Der Einsatz autonomer mobiler Roboter (im Folgenden auch abkürzend Roboter) wird
nicht nur seit längerem in theoretischen Arbeiten untersucht, sondern bereits verstärkt
in praktischen Anwendungen genutzt. So landeten vor fünf Jahren zwei NASA-Rover auf
der Oberfläche des Mars, um dort bis heute visuelle und physikalische Daten über den
Planeten zu sammeln (vgl. Nasa 2008). Ebenso sind Roboter auf der Erde sowohl im
Alltag als auch in Gefahrensituationen von Bedeutung; die EU etwa plant, selbständige
Roboter für Reinigungs- und Beförderungsaufgaben in Krankenhäusern einzubinden
(iWard 2007), was für den Hausgebrauch schon Realität ist (siehe z.B. iRobot 2009),
und verschiedene Autohersteller entwickeln unbemannte Fahrzeuge für den zukünftigen
Personenverkehr (z.B. GeneralMotors 2008). Die Explosion des Kernreaktors von
Tschernobyl hatte zur Folge, dass Roboter zur Sichtung und Bergung in die radioaktiv
verstrahlten Ruinen geschickt wurden (vgl. Scinexx 2007). Andere Katastrophen
wie das Great Hanshi-Awaji earthquake 1995 in Japan verstärkten Forderungen nach
Robotern für den Einsatz in Rettungsmissionen (vgl. RoboCupRescue 2009).
Gerade bei Tätigkeiten wie dem Transportieren von Objekten oder Personen besteht
mitunter die Notwendigkeit, dass mehrere Roboter zum Erreichen ihrer Ziele zusammenarbeiten,
da die Fähigkeiten eines einzelnen dafür nicht unbedingt genügen. Auch
lassen sich generell aus der Existenz einer Vielzahl von Robotern oftmals Vorteile ziehen,
um Aufgaben effizienter zu erfüllen, so etwa bei der Exploration von Landschaften.
Daher gewinnt die Beschäftigung mit Teams von kooperativen Robotern in den letzten
Jahren mehr und mehr an Interesse. Mit der Möglichkeit, von mehreren Robotern
Gebrauch machen zu können, geht die Frage einher, welche Auswirkungen sie auf Ba-

10
sisanforderungen der Autonomie und Eigenständigkeit der Roboter hat und wie sich
daraus Vorteile ziehen lassen. In diesem Zuge lässt sich untersuchen, ob spezielle Bewegungsstrategien
sinnvoll sein könnten, nach denen sich die Roboter eines Teams in ihrer
Umwelt voranbewegen und anhand der anderen lokalisieren können. Entsprechende Verfahren
erweisen sich insbesondere dann als wichtig, wenn die Struktur des Einsatzgebiets
unbekannt ist und die Umgebung nicht hinreichend aussagekräftige Merkmale für die
alleinige Orientierung an umliegenden Objekten besitzt.
Ziele dieser Arbeit im vorliegenden Kontext
Lokalisierung stellt innerhalb der Robotik ein grundlegendes und insbesondere für einzelne
Roboter weitreichend untersuchtes Problem dar. Zahlreiche Ansätze existieren für
die möglichst genaue Bestimmung der Positionen und Blickrichtungen von Robotern,
welche von unterschiedlichem Vorwissen über das Einsatzgebiet ausgehen und auf verschiedenen,
aber natürlich stets mit Ungenauigkeit behafteten Sensordaten beruhen.
Viele der unterliegenden Mechanismen funktionieren jedoch nur, wenn eine Karte der
Umgebung vorliegt oder wenn die Roboter Objekte sehen, deren Standorte ihnen bekannt
sind oder die sich zumindest wiederkehrend identifizieren lassen.
In dieser Arbeit wird von einem rein theoretischen Standpunkt aus dementgegen betrachtet,
wie Roboter das Vorhandensein anderer Mitglieder ihres Teams nutzen können,
um sich unter Aufrechterhaltung vernünftiger Positions- und Orientierungsschätzungen
in einer unbekannten, merkmalsarmen Umgebung fortbewegen zu können. Auch für
solch eine kooperative Lokalisierung von Roboter-Teams finden sich in der aktuellen
Literatur bereits einige, wenn auch ungleich weniger Ansätze. Den meisten ist gemein,
dass allen Robotern ein Kommunikationsmedium zur Verfügung steht, durch das sie Informationen
über ihre jeweiligen Lagen auszutauschen können. Die zugrunde liegenden
Roboterkonfigurationen variieren hingegen stark in der Verwendung von Sensoren und
der Erkennbarkeit der einzelnen Teammitglieder. Im vorliegenden Fall wird davon ausgegangen,
dass jeder Roboter eine fest installierte monokulare Kamera besitzt, durch die
er seine nähere Umgebung wahrnehmen kann. Darüber hinaus habe jeder ein gegenüber
der Umgebung signifikantes Aussehen und kann von den anderen als Roboter identifiziert
werden; nicht aber lasse sich aus einem Kamerabild die Identität eines Roboters
ermitteln und ebenso wenig, in welche Richtung er von seinem aktuellen Standort aus
blickt. Diese Voraussetzungen sind vergleichsweise bodenständig und erweisen sich als
realitätsnah, was zweifelsohne wichtig ist, um trotz der Vernachlässigung praktischer
Experimente und Simulationen gerechtfertigte Aussagen machen zu können.
Ein erstes Ziel besteht nun darin, ausgehend von der beschriebenen Situation ein in
Teilen neues Lokalisierungsverfahren zu entwickeln, durch das ein Roboter die zu ihm
relative Position eines anderen anhand eines einzelnen Kamerabilds berechnen kann.
Anstatt dabei auftretende Ungenauigkeiten nur abzuschätzen, sollen auf Basis der Abbildungsgeometrie
von Kameras formal Obergrenzen möglicher Abweichungen hergeleitet
werden, um die erreichbare Güte der Lokalisierung in Abhängigkeit zur Lage der
Roboter zueinander allgemein angeben zu können. Weiter verkörpert die Entwicklung
darauf aufbauender Techniken zur kooperativen Lokalisierung eines Teams ein Ziel,
das die Übertragung relativer in globale Koordinaten und somit Möglichkeiten zur Be-

1 Einleitung 11
stimmung der Blickrichtung eines Roboters erfordert. Dies wird die Beschäftigung mit
prinzipiellen Bewegungsstrategien ermöglichen, anhand derer ein Team in unbekannten
Umgebungen formationsartig und in alternierenden Bewegungsphasen gemeinsam
voranschreiten kann. Konzepte dafür werden abstrakt und anschaulich erarbeitet und
bezüglich verschiedener Qualitätskriterien analysiert, damit die Bedeutung der erreichten
Ergebnisse eingeordnet werden kann.
Gliederung
Kapitel 2 behandelt den aktuellen Stand der Forschung zum Einsatz von Roboter-Teams
im Kontext der Lokalisierung. Ehe bestehende Verfahren für Gruppen von Robotern besprochen
und danach die Ausgangspunkte dieser Arbeit festgesetzt werden können, steht
allerdings die Standortbestimmung einzelner Roboter im Mittelpunkt, da sie das Fundament
für viele teamorientierte Verhaltensweisen bilden. Der Zusammenhang zwischen
Lokalisierung und Kartenerstellung wird dafür ebenso vorgestellt wie die Bandbreite an
existierenden Sensoren und der Umgang mit unsicherem Wissen.
In Kapitel 3 wird das entwickelte Konzept zur relativen Lokalisierung eines Roboters
aus einem Kamerabild beschrieben, das neben dem Wissen über die Größe der Roboter
geometrische Eigenschaften der Abbildungsoptik ausnutzt, in deren Grundlagen zuvor
eingeführt wird. Zu diesem Konzept werden mathematische Grenzen formal ermittelt,
auf Basis derer sich definieren lässt, welche Abstände und Winkel zwischen Robotern
einzuhalten sind, um eine bestimmte Lokalisierungsqualität zu gewährleisten.
Kapitel 4 beinhaltet dann die Kernaspekte der Arbeit: Ziele von Bewegungsstrategien
werden diskutiert, die Verwendbarkeit des Verfahrens aus Kapitel 3 zur kooperativen
Lokalisierung aufgezeigt und die dabei auftretende Fehlerakkumulation untersucht. Anschließend
werden drei prinzipielle Ansätze für kooperative Strategien abwechselnder
Bewegung anschaulich entwickelt, die die Fortbewegung eines Roboter-Teams in unbekannten,
merkmalsarmen Umgebungen erlauben, und sowohl bezüglich ihrer inhärenten
Eigenschaften als auch ihrer Tauglichkeit im Einsatz analysiert.
Die Erarbeitung endet schließlich in Kapitel 5 damit, dass geprüft wird, inwiefern sich die
Konzepte der vorangegangenen Kapitel in bestehende Verfahren zur Kartenerstellung,
dem Umgang mit Unsicherheit und zur absoluten Lokalisierung einbetten lassen.
Kapitel 6 fasst die Ergebnisse dieser Arbeit danach zusammen und diskutiert sie final,
so dass sich ein Ausblick auf offene Punkte anfügen lässt.

Kapitel 2
Einsatz von Roboter-Teams in
unbekannten Umgebungen
Dieses Kapitel stellt den wissenschaftlichen Kontext der Bewegung von Robotern in
unbekannten Umgebungen aspektbezogen vor und führt hin zur Definition der Ausgangssituation
der im Verlauf der Arbeit untersuchten Verfahren zur kamerabasierten
Lokalisierung und kooperativen Bewegung.
Zu Beginn stehen die traditionellerweise für einzelne Roboter entwickelten Methoden
der Kartenerstellung und Lokalisierung im Fokus, was die Verwendung von Sensoren,
speziell Kameras, den Umgang mit ungenauen Sensordaten und die sich daraus ergebenden
Lokalisierungsansätze umfasst (Kapitel 2.1). Danach werden die beim Einsatz
von Roboter-Teams hinzukommenden Probleme, Möglichkeiten und bisherigen Konzepte
zur gemeinsamen Bewegung und Lokalisierung behandelt (2.2). Auf Basis dieses
Wissens wird zum Abschluss das Problemfeld hinsichtlich der betrachteten Welten und
Roboter sowie den darauf aufbauenden Zielen eingegrenzt (2.3), so dass dann mit der
Erarbeitung der vorliegenden Fragestellung begonnen werden kann.
2.1 Kartenerstellung und Lokalisierung
„Localization is one of the main abilities of an autonomous mobile robot. In order to
perform their tasks, mobile robots need to know their poses within the environment“
(Odakura & Costa 2006, S. 552). Mit dem Begriff pose (im Deutschen entsprechend
Pose) wird hier die Kombination aus der Position des Roboters, gegeben durch
ihre Koordinaten, und seiner aktuellen Orientierung (wohin er ausgerichtet ist) abkürzend
bezeichnet. Ein Roboter, der seinen eigenen Standort nicht kennt, kann nicht
effizient Bewegungsabläufe planen, gesuchte Objekte lokalisieren oder allgemein vernünftig
seine Ziele erfüllen (Olson 2000, S. 55). Die unterliegende Problemstellung
resultiert daraus, dass es in der Realität weder möglich ist, die aktuelle Pose anhand
des eigenen Bewegungsablaufs exakt zu ermitteln noch hinreichend genaue Messinstrumente
existieren, um mittels bekannter Objekte der Umwelt auf Selbige rückschließen
zu können. Grundsätzlich wird in diesem Zusammenhang zwischen lokaler und globaler
Lokalisierung unterschieden; erstere, auch als position tracking bezeichnet, meint die
fortdauernde Aufrechterhaltung des zumindest geschätzten Wissens über die Position

14 2.1 Kartenerstellung und Lokalisierung
oder Pose des sich bewegenden Roboters bei gegebenem Startpunkt, während es bei
zweiterer (global self-localization) darum geht, die Position oder Pose des Roboters in
einer bereits bekannten oder zuvor selbst erstellten Karte ohne vorgegebene Informationen
darüber herauszufinden (vgl. Dellaert et al. 1999, S. 1322).
Hier kommt eine weitere Erschwernis hinzu, denn in unbekannten Umgebungen, deren
Aufbau ein Roboter selbst (etwa zu Explorationszwecken) lernen soll, muss die Erstellung
einer Karte und die Lokalisierung innerhalb dieser gleichzeitig geschehen, was sich
nicht leicht gestaltet, denn: „for localization a robot needs a consistent map and for
acquiring a map a robot requires a good estimate of its location“ (Wurm et al. 2007,
S. 1). Diese Feststellung der gegenseitigen Bedingung führt zu der als simultaneous
localization and mapping (SLAM) bekannten Aufgabe. SLAM umfasst eine Reihe von
Teilaspekten; neben der Ermittlung von Merkmalen aus der Umgebung mittels dafür
geeigneter Sensoren, der Art und Weise der Speicherung als solches identifizierter, so
genannter Landmarken sowie der Zuordnung dieser Landmarken zu bereits früher gesehenen
(data association) und der Aufrechterhaltung einer Schätzung der eigenen Pose
(vgl. Riisgaard & Blas 2004, S. 6), stellt sich dabei die Frage, welche Daten eine
Karte überhaupt beinhalten soll, wodurch implizit starker Einfluss auf das Modell genommen
wird, das der Roboter für die Welt, in der er sich aufhält, verwendet. „Robots
that are able to acquire an accurate model of their environment are regarded as fulfilling
a major precondition of truly autonomous mobile vehicles“ (Joho et al. 2007,
S. 1). Innerhalb der Robotik gibt es diverse Ansätze für die Modellierung der Umgebung,
die von gitter-, merkmals- oder graphbasierten Karten über occupancy maps, die
begehbare Teile der Welt angeben, bis hin zu topologischen Karten reichen, die metrische
Verhältnisse vernachlässigen, und im Grunde nur Verbindungen zwischen Orten
darstellen. Letztere gehören in ihrer Standardform eigentlich nicht zu SLAM, denn sie
repräsentieren kein wirkliches Lernen der Umgebung.
Einige Typen von Karten werden im Verlauf dieser Arbeit wieder auftauchen, jedoch
stehen hier Verfahren zur Lokalisierung und daraus ggf. resultierende Bewegungsmuster
im Vordergrund. Nichtsdestotrotz wird die Frage, welche Umgebungsmodelle für die
noch vorzustellenden Konzepte sinnvoll sein könnten, im Hinterkopf behalten und in
Kapitel 5 wieder aufgegriffen. Die Lokalisierung der Roboter wird für diese Konzepte
über Kameradaten erfolgen. Kameras verkörpern allerdings nur eine Klasse innerhalb
der Sensorik, die für die Bestimmung der eigenen Pose bei Robotern zur Auswahl steht.
Daher sei zunächst ein Überblick über ansonsten vorhandene Möglichkeiten gegeben.
Kameras und andere Sensoren für die Orientierung in der Welt
Ein im Fahrzeugverkehr verbreiteter Lokalisierungsmechanismus wird durch das hinreichend
geläufige Global Positioning System (GPS) zur Verfügung gestellt, das auf
der Trilateration aus über Radiowellen ausgestrahlten Positionssignalen von Satelliten
basiert. Standardmäßig erreicht GPS eine Genauigkeit von circa 10 m, Abweichungen
können zwar durch die Erweiterung Differential GPS (dGPS) auf nur noch einige Zentimeter
reduziert werden (vgl. Trawny 2003, S. 7), dafür wird aber eine nahe gelegene
Referenzstation benötigt, deren Standort bekannt sein muss. Der Zugriff auf GPS ist in
Roboterumgebungen oft unmöglich; die Wellen gelangen kaum in Gebäude, noch unter

2 Einsatz von Roboter-Teams in unbekannten Umgebungen 15
die Erde oder sind gar auf anderen Planeten vorhanden (vgl. Kurazume & Hirose
2000b, S. 238). Außerdem haben Roboter nicht zwangsläufig genügend Platz für GPS-
Geräte, wie etwa in Navarro-Serment et al. 1999, und auch GPS-Daten sind nicht
frei von Fehlerquellen (Madhavan et al. 2004, S. 24). Verschiedene Sensoren kommen
für die Lokalisierung eines Roboters in Frage, wenn GPS nicht eingesetzt werden
kann oder nicht zu angemessenen Ergebnissen führt.
Die absolute Orientierung eines Roboters lässt sich unter geeigneten Voraussetzungen
mit Sensoren herausfinden, die den Sonnenstand messen (vgl. Hidaka et al. 2005,
S. 4138) oder sich am Magnetfeld ausrichten, wie ein Kreiselkompass, der jedoch während
der Bewegung nur ungenau funktioniert und mit der Zeit abdriftet (Weigel 98,
S. 18). Weiter ist ein verbreitetes Verfahren für die relative Lokalisierung insgesamt,
die eigene Pose mittels Odometrie anhand des Bewegungsablaufs zu bestimmen. Dabei
wird die Anzahl an Drehungen der Räder gezählt, um den zurückgelegten Weg und
Richtungsänderungen zu ermitteln. Verschleiß, Ungenauigkeiten der Radkonstruktion
und besonders auf unebenen Belägen der Schlupf der Räder führen allerdings zu Fehlern,
die sich schnell akkumulieren und somit zu immer größeren Abweichungen in der
Schätzung führen. In Riisgaard & Blas 2004, S. 7 heißt es, „the robot should not
have an error of more than 2 cm per meter moved and 2 ◦ per 45 ◦ degrees turned“; eine
Güte, die allein weder ausreicht noch allgemein gewährleistet werden kann.
Daher wird Odometrie nur auf kurzen Strecken und vor allem in Kopplung mit Entfernungsmessgeräten
eingesetzt. Hier sind so genannte proximity sensors zu nennen, die
den Abstand zu umgebenden Objekten bestimmen; in der Robotik kommen vor allem
Sonaren und Laserscanner zum Einsatz. Sonaren sind Ultraschallsensoren, die Entfernungsinformationen
aus dem Zeitraum zwischen Aussenden eines Signals und Empfangen
dessen von einem Objekt reflektierten Echos ableiten. Sie liefern wegen der breiten
Ausstrahlung von Schall und verschiedenen Oberflächenbeschaffenheiten oft schlechte
Ergebnisse und werden deswegen inzwischen fast nur noch unter Wasser eingesetzt. Dort
nämlich gehen die Vorteile von Lasern wegen starker Lichtbrechungen verloren: Laserscanner
sind im Vergleich zwar sehr teuer, ihre Kosten gehen bei steigender Präzision in
den vierstelligen Bereich (vgl. Riisgaard & Blas 2004, S. 8), sie liefern dafür in der
Praxis meist genaue und effiziente Messungen. Das verwendete Prinzip entspricht dem
von Sonaren, basiert aber auf Laserstrahlen, die in einem äußerst geringen Öffnungswinkel
ausgesendet werden und mit Ausnahme der Reflektion auf sehr glatten und der
Absorbtion auf sehr dunklen Oberflächen zuverlässig operieren; die Ungenauigkeit neuerer
Laserscanner der Marke SICK etwa liegt nach Herstellerangabe im Bereich weniger
Millimeter (vgl. Sick 2009). Diverse aktuelle Verfahren oder zumindest ihre Implementationen
beruhen auf Laserscannern, so etwa Stachniss 2006, Fox et al. 2000 oder
Kurazume & Hirose 2000a, auf die noch eingegangen wird. Es gibt weitere Mechanismen
zur Lokalisierung mittels Signalen, so wird in Navarro-Serment et al. 1999
ein Verfahren beschrieben, bei dem Roboter dafür aktiv Ultraschall aussenden, der von
anderen Robotern empfangen wird.
Für die vorliegende Arbeit interessiert aber primär der im Englischen als vision bezeichnete
Bereich, der die Auswertung von Kamerabildern als Grundlage für die Orientierung
in der Welt hat. Kameras bringen als Sensoren einige Nachteile mit sich, sie erfordern

16 2.1 Kartenerstellung und Lokalisierung
die Verarbeitung großer Datenmengen, die Qualität der erzeugten Pixelbilder ist beleuchtungsabhängig
und es mangelt diesen an Tiefeninformation. Jedoch sind Kameras
heutzutage kompakt und günstig, die Erstellung eines Bildes erfolgt unmittelbar und die
Eigenschaften der Abbildungsoptik sind wohlbekannt. „Vision, of course, also has great
intuitive appeal as the sense humans and animals primarily use to navigate“ (Davison
& Molton 2007, S. 1052). Nebenbei eignen sich Kameras für den Umgang mit anderen
Aufgaben autonomer mobiler Roboter, die das Erkennen von Objekten beinhalten,
und werden deshalb ohnehin in zahlreichen Einsatzgebieten benötigt.
Lokalisierung mit Kameras geht nahezu immer auf die Extraktion von Landmarken aus
den gelieferten Bildern zurück. Die Autoren eines Surveys über vision stellen heraus,
dass sich grundsätzlich Entwicklungen für indoor robots und outdoor robots getrennt
beobachten lassen (vgl. DeSouza & Kak 2002). Bedingt wird dies vor allem durch
das unterschiedliche Wissen, mit dem die Roboter sich in strukturierten im Vergleich
zu unstrukturierten Umgebungen bewegen können, insbesondere auch im Hinblick auf
etwaige Möglichkeiten der Kartenerstellung. Zumindest an dieser Stelle sei sich aber auf
die direkte Verwendung von den aus Kamerabildern entnehmbaren Daten beschränkt;
dann lässt sich prinzipiell unterscheiden, ob Landmarken künstlich in die Umgebung gesetzt
worden oder zumindest durch Vorwissen als in der Welt bekannte Punkte gegeben
sind, oder ob es sich um natürliche Merkmale handelt, die der lokalisierende Roboter
selbst zu Zwecken der Ortsbestimmung heranzieht.
Im Roboterfußball (vgl. RoboCup 2009) werden klassischerweise fest installierte Teile
des Spielfelds zur Lokalisierung genutzt, so wird in Göhring & Burkhard 2006 unter
Anderem die relative Lage zu Flags und Toren ermittelt (vgl. Abbildung 2.1 links). Für
ein autonomes Fahrzeug wird bei Marmoiton et al. 1998 beschrieben, dass die Identifizierung
dreier leuchtender Landmarken, die an einem Führungsfahrzeug angebracht
sind, in einem Schwarzweißbild ausreichen, um Abstandsschätzungen durchführen zu
können. Einige Verfahren gehen von einer Lernphase aus, in der die Roboter selbst im
Terrain Objekte über die Kamera als Landmarken klassifizieren, die sie später wiedererkennen
sollen (Trahanias et al. 1999, Werman et al. 1999). Andere suchen nach
speziellen Merkmalspunkten von Objekten bekannter Lage über mehrere Frames und
berechnen Tiefeninformationen aus den Veränderungen der Koordinaten dieser Punkte
in den Kamerabildern (Davidson 2003, Strasdat et al. 2007). Während durch
Vorwissen über Landmarken Fehler langfristig nicht akkumulativ wirken, weisen entsprechende
Methoden das Problem auf, dass sie nicht ohne zusätzliche Informationen
über ihrer Umwelt auskommen und damit nicht allgemeinhin einsetzbar sind.
Stephen Se, David Lowe und Jim Little hingegen präsentierten einen wichtigen Ansatz
zum Finden natürlicher Landmarken in Kamerabildern (Se et al. 2002). Die dafür
genutzten Merkmale, so genannte SIFT-Features, wurden ebenfalls von Lowe eingeführt
und sind invariant gegenüber Skalierung, Translation und Rotation, durch bewusste Verstärkung
ihrer Bildgradienten sogar partiell gegenüber Beleuchtungsänderungen (vgl.
Lowe 1999, S. 1150 f.). Dadurch lassen sie sich in folgenden Kamerabildern oft leicht
wiederfinden, weshalb auch im SIFT-Verfahren aus Kamerabewegungen Tiefeninformationen
zur Kartenerstellung abgeleitet werden, was genaue Lokalisierungen vor allem in
indoor-Umgebungen zulässt (vgl. Abbildung 2.1 rechts). In Se et al. 2002 geschieht
die Erkennung der Merkmale noch per Stereokamera, andere Autoren zeigen aber, dass

2 Einsatz von Roboter-Teams in unbekannten Umgebungen 17
Abbildung 2.1: (links) Die relative Lage zu einem Tor bekannter Größe wird in Göhring
& Burkhard 2006 aus einem einzelnen Bild über Winkelverhältnisse hergeleitet. (rechts) In
einer Büroumgebung gefundene SIFT-Features. Größe und Orientierung der Quadrate geben
die Skalierung und Richtung der Merkmale an (aus Se et al. 2002).
single perspective cameras, also monokulare Kameras, ausreichen (vgl. Bennewitz et
al. 2006). Einer der wenigen Nachteile von SIFT-Features ergibt sich aus der trotz
schneller Filteralgorithmen komplexen Auswertung der Kamerabilder, was die mögliche
Geschwindigkeit des Roboters reduziert. Alternative Ansätze verzichten daher absichtlich
auf die Vorteile von SIFT und wählen stattdessen Landmarken, die in erster Linie
effizient identifizierbar sind, so zum Beispiel Davison & Molton 2007.
Nun kann für bestimmte Zwecke die Richtung zu Objekten genügen, weil sich etwa die
eigene Pose aus der relativen Lage zu mehreren bekannten Punkten bestimmen lässt.
Hier kommt zum Tragen, was Eric Krotkov schon 1989 als „the excellent angular resolution
of standard CCD cameras“ (Krotkov 1989, S. 978) bezeichnete. Während
dazu an manchen Stellen omnidirektionale Kameras dienen (Betke & Gurvits 1997,
Dhanapanichkul 2006), werden in Krotkov 1989 einzelne Bilder einer monokularen
Kamera untersucht. Dabei wird der relative Winkel zwischen vertikalen Linien
bekannter Landmarken und der Kamera anhand der horizontalen Lage der Linien auf
dem Pixelbild berechnet, der sich indirekt aus dem Abstand zwischen Projektion und
Linse ergibt. Die Genauigkeit der Winkelbestimmung hängt unmittelbar vom Verhältnis
der Anzahl der Pixel zur Breite des Bildsensors ab. Dieser Ansatz führt in die Richtung
der Berechnungsverfahren dieser Arbeit; entgegen Krotkov werden hier aber sogar die
Positionen von Landmarken (genauer: anderen Robotern) aus Kamerabildern ermittelt
werden, wozu Vorwissen über die Größe der Landmarken ausgenutzt wird: „Because the
original size of landmarks is known, the robot is able to calculate its own distance to
the flag“ (Göhring & Burkhard 2006, S. 32).
Unsicherheit bei der Bestimmung der eigenen Pose
„Ein Robotersystem ist mit einer permanenten Unsicherheit bezüglich seines Aufenthaltsortes
in Bezug zu seiner Umgebung behaftet“ (Delipetkos 2002, S. 2). Unabhängig
der zur Verfügung stehenden Sensoren, kann eine exakte Lokalisierung nie
vollends stattfinden: Sobald Entfernungen und Richtungen gemessen werden oder neue

18 2.1 Kartenerstellung und Lokalisierung
Merkmale mit früheren verglichen werden, kommt es zu Ungenauigkeiten, mit denen
umgegangen werden muss. In vielen aktuellen Verfahren wird dafür ein probabilistischer
Ansatz gewählt, bei dem Informationen über die geschätzte Roboterpose mittels
Wahrscheinlichkeitsdichten repräsentiert werden. Dieses Vorgehen hat sich in der
Entwicklung autonomer mobiler Systeme bewährt, denn „mit probabilistischen Ansätzen
besteht, trotz Unsicherheiten, die Möglichkeit, Entscheidungen (Aktionen) zu treffen
und damit in einem Bereich, der nur unscharf erfasst werden kann, zu handeln.“
(Delipetkos 2002, S. 2). Sie lassen sich auf diverse Sensoren anwenden und setzen
üblicherweise keine speziellen Verfahren zur Landmarkenerkennung oder Datenassoziation
voraus. Es wird in der Regel aber davon ausgegangen, dass der Roboter zwei Typen
von Sensoren besitzt: einen zur Beobachtung seiner aktuellen Umgebung und einen, der
Rückschlüsse auf vergangene Aktionen zulässt. Es werden also observations (etwa von
Kameras oder Laserscannern) und actions (meist durch Odometrie ermittelt) benutzt,
die unterschiedlich zur Aktualisierung der Schätzung beitragen.
Der sich wiederholende Zyklus im Prozess der Aufrechterhaltung einer Posenschätzung
lässt sich abstrakt betrachtet wie folgt nach Riisgaard & Blas 2004, S. 10 f. und
Dellaert et al. 1999, S. 1323 f. zusammenfassen: Aus früheren Messungen habe
der Roboter bereits observations über Merkmale in seiner direkten Umgebung und eine
initiale, egal wie beschaffene Schätzung (je nach Verfahren werden ggf. auch mehrere
Posen gleichzeitig angenommen). Nachdem der Roboter nun eine Bewegung ausgeführt
und unsicheres Wissen (aus einer action) über den dabei zurückgelegten Weg erhalten
hat, findet in der prediction phase eine erste Aktualisierung auf Basis der Bewegung
statt, die sich als Voraussage der Pose begreifen lässt. Daraufhin misst der Roboter über
seine Beobachtungssensoren erneut Entfernungen oder extrahiert anderweitig Merkmale,
schätzt die relativen Standorte der zugehörigen Landmarken und versucht sie mit
früher gefundenen zu identifizieren oder speichert sie ansonsten für zukünftige Vergleiche
ab. Im Allgemeinen ergibt sich aus den observations eine andere Pose als aus den
actions, so dass die Schätzung in der jetzt vorliegenden update phase (auch: correction
phase) neu berechnet wird, wobei den observations normalerweise ein deutlich stärkeres
Gewicht beigemessen wird, da sie erwartungsgemäß ungleich genauere Ergebnisse
liefern. Für die konkrete Umsetzung der Schätzung anhand von Wahrscheinlichkeitsdichten
haben sich dazu insbesondere drei prinzipielle Methoden hervorgetan, deren
wesentliche Eigenschaften hier grob umrissen seien:
Die Markov Lokalisierung (ML) geht grundlegend von der Markov-Annahme aus, welche
voraussetzt, dass der nachfolgende Zustand bei der Posenschätzung nur vom aktuellen
und der nächst auszuführenden Aktion abhängt, wodurch implizit gegeben ist, dass die
Umgebung des Roboters statisch sein muss (vgl. Delipetkos 2002, S. 4). Diese Annahme
ist beispielsweise verletzt, wenn sich andere Roboter in der Welt bewegen, da
sie bei der Identifizierung von Landmarken als Veränderung der Umgebung betrachtet
werden müssen. Bei der ML wird eine Wahrscheinlichkeitsverteilung über alle generell
möglichen Posen des Roboters aufrechterhalten, die entsprechend neu erhaltenem Wissen
angepasst wird, um die Anzahl wahrscheinlicher Posen nach und nach zu reduzieren
(vgl. Fox et al. 1999, S. 394). Hiermit wird vor allem das Ziel einer globalen Selbstlokalisierung
angestrebt. Einerseits muss dafür jedoch ein möglichst genaues Modell der

2 Einsatz von Roboter-Teams in unbekannten Umgebungen 19
Umgebung vorliegen, denn nur anhand dessen können Positionen erkannt werden. Andererseits
kann die Komplexität von Laufzeit und Speicher aufgrund der zahlreichen,
gleichzeitig möglichen Hypothesen ins Unermessliche steigen (vgl. Dellaert et al.
1999, S. 1322 f. und Gutmann 2000, S. 7), was eine ständige Schätzung der Pose
in der Praxis oftmals verhindert. Dies gilt besonders bei der Grid-based ML, in der die
Dichte durch eine stückweise lineare Funktion ausgedrückt wird, was gitterartige Kartenrepräsentationen
zur Folge hat. Eine Vereinfachung stellt die Topologic ML dar, die
sich aber nur in zu topologischen Karten passenden Umgebungen, wie etwa Korridorsystemen,
eignet (Dellaert et al. 1999, S. 1324).
Der Kalman Filter (KF) verkörpert einen weiteren probabilistischen Ansatz, der in seiner
Standardform nur in linearen Systemen anwendbar ist. Da nahezu jedes erdenkliche,
nicht-triviale Einsatzgebiet für Roboter nichtlinear ist, wird bei der Lokalisierung ein
Extended Kalman Filter (EKF) eingesetzt, dessen unterliegende nichtlineare Funktionen
linearisiert werden, um die Verfahren des KF nutzen zu können (vgl. Julier &
Uhlmann 1997, S. 183). Entgegen ML geht der KF von einer einzelnen, initialen Posenschätzung
aus und erhält entsprechend immer nur eine Hypothese über Standort und
Blickrichtung des Roboters aufrecht, zum Beispiel mithilfe von Landmarken (vgl. Abbildung
2.2 links). Die Hypothese wird durch eine Gauß’sche Normalverteilung abgebildet,
wobei Kalman-Filter darauf abzielen, den mittleren quadratischen Fehler zu minimieren
(Welsh & Bishop 1995, S. 7). Stetiges Verfolgen nur einer Hypothese steht dem Ziel
globaler Lokalisierung entgegen, erweist sich aber bei der fortdauernden Schätzung der
Pose relativ zum Ausgangspunkt als angemessen und hat sich in der Praxis als oftmals
sehr genaues Verfahren herausgestellt. Darüber hinaus erweisen sich EKFs in Echtzeitszenarien
als tauglich, da die komplette Dichte im wesentlichen durch zwei Matrizen
beschrieben wird, die sich iterativ verrechnen lassen, was Speicher- und Rechenbedarf
gering hält (vgl. Dellaert et al. 1999, S. 1323). Problematisch wiederum wirkt,
dass die Qualität der Schätzung bei ungenauen Sensordaten stark abnimmt, weswegen
Kalman-Filter nicht in allen Anwendungen nützlich sind. Dies lässt sich wegen der
Linearisierung der Schätzung auch nicht durch andere Wahrscheinlichkeitsverteilungen
umgehen, obwohl sich Letztere im Vergleich zum normalen KF prinzipiell bei Bedarf in
den EKF integrieren lassen (Gutmann & Fox 2002, S. 455 f.).
Monte-Carlo-Lokalisierung (MCL), zur Klasse der Particle Filter gehörig (ebenso wie
die Abwandlungen Bootstrap Filter und Condensation Algorithm), kann nun schließlich
als stichprobenbasierte Approximation der ML angesehen werden, bei der nur dem
wahrscheinlichen Teil des Positionsraumes besondere Aufmerksamkeit gewidmet wird
(Delipetkos 2002, S. 11). Hierfür wird die Dichte durch eine prinzipiell variable Menge
an Stichproben (so genannten particles) repräsentiert und die Posenschätzung nur
entsprechend dieser Stichproben aktualisiert, wobei wahrscheinlicheren Posen, die sich
aus der prediction phase ergeben, ein höheres Gewicht zugesprochen wird (Dellaert
et al. 1999, S. 1324 f). Abbildung 2.2 zeigt einen Vergleich zwischen dem Vorgehen
bei ML und MCL. Die Stichprobenmenge kann kleiner ausfallen, je höher das Vorwissen
über die Pose des Roboters ist, weswegen MCL eine effiziente Methode beim position
tracking darstellt, gleichzeitig aber auch globale Selbstlokalisierung zulässt. Damit kann
sie nicht nur als Kompromiss zwischen ML und KF erachtet werden, sondern ist in vielen
Fällen sicher die beste Lösung, da sie ML deutlich im Rechenaufwand unterbietet

20 2.1 Kartenerstellung und Lokalisierung
Abbildung 2.2: (links) Darstellung unsicheren Wissens über Landmarken, anhand dessen die
Positionsschätzung per KF bei Se et al. 2002 verläuft. Je größer ein Oval, desto ungenauer
das Wissen über den Standort der Landmarke. (rechts) Vergleich der Dichte von ML mit den
Samples von MCL bei unbekannter Orientierung aus Dellaert et al. 1999: (A) Aktuelle Positionsschätzung.
(B) Roboter bewegt sich 1 m. (C) Landmarke in 0, 5 m Entfernung gefunden.
(D) Positionsschätzung nach Einbeziehung der Landmarke.
und bei oftmals nur geringfügig schlechterer Effizienz zu vergleichbarer Güte der Posenschätzung
wie ein KF führt und diesen in seiner Robustheit gegenüber schlechteren
Sensordaten deutlich übertrifft (vgl. Dellaert et al. 1999, S. 1327 f).
Diverse Varianten und Verknüpfungen dieser Ansätze existieren; so wird für kamerabasierte
Lokalisierung in Gutmann & Fox 2002 für gutstrukturierte Umgebungen
herausgearbeitet, dass eine spezielle Kombination, bei der ML für globale und ein EKF
für lokale Posenbestimmungen zu Rate gezogen wird, neben MCL zu den genauesten
und robustesten Ergebnissen führe. Bei Doucet et al. 2000 hingegen wird ein Rao-
Blackwellised Particle Filter (RBPF) als Verbesserung normaler MCL vorgestellt, der
in jedem Partikel eine individuelle Karte trägt, was jedoch erfordert, mit der entstehenden
Komplexität umzugehen. Dennoch wird diese Variante gerade in aktuellen Verfahren
eingesetzt (etwa Grisetti et al. 2007, Wurm et al. 2007). Weiter gibt es Arbeiten,
in denen ML für dynamische Umgebungen implementiert wird, indem nur als statisch
annehmbare Objekte zur Schätzung genommen werden (Fox et al. 1999). Selbst wenn
es nicht zum Bereich vision gehört, sei der Vollständigkeit halber gesagt, dass es auch
ein verbreitetes Laser-basiertes Lokalisierungsverfahren gibt, das nicht zwangsläufig auf
probabilistische Methoden angewiesen ist, und zwar die Scan-Übderdeckung, welche in
vielen Anwendungsfällen sehr genaue Ergebnisse erzielt. Dabei werden wiederkehrend
nacheinander entstandene Mengen (scans) von gemessenen Entfernungen zum aktuellen
Standort miteinander verglichen, um zu Zwecken der Posenbestimmung ein optimales
Matching zwischen diesen zu finden (vgl. Gutmann 2000, S. 21 f.).
Um die Frage, ob und, wenn ja, welcher der vorgestellten Ansätze sich für die Lokalisierungstechnik
dieser Arbeit anbietet, wird es später in Kapitel 5 gehen. Bevor nun erst
einmal im Vordergrund steht, welche Ansätze zur Kooperation von Robotern bei deren
Lokalisierung existieren, seien abschließend einige konkrete Lokalisierungsverfahren
betrachtet, die von probabilisitischen Schätzungen Gebrauch machen und die Möglichkeiten
einzelner Roboter bei der Orientierung in der Welt mittels vision aufzeigen.

2 Einsatz von Roboter-Teams in unbekannten Umgebungen 21
Kamerabasierte Lokalisierungsverfahren für einzelne Roboter in der Praxis
Eine Variante der ML dient in Olson 2000 zur unregelmäßigen Selbstlokalisierung in
unstruktierten Außenumgebungen. Anhand von Landmarken, deren Position in Experimenten
mit dem Sojourner Mars Rover über eine Stereo-Kamera ermittelt wurden, wird
versucht, eine vom Roboter aufgebaute lokale, dreidimensionale Karte mit Teilen der
vorher (durch eine erhöht liegende Basisstation) erstellten globalen Karte zu identifizieren.
Mögliche Posen innerhalb der lokalen Karte werden also benutzt, um Landmarken
zuzuordnen und so Rückschlüsse auf den eigenen Standort zu machen. Ergebnisse unterstrichen,
dass in wenigen Sekunden eine Lokalisierung möglich ist, die nur um ein
paar Zentimeter von der eines human operators abweicht, welcher bei Marsexpeditionen
bislang die Korrektur von Odometriemessungen durch Entfernungsdaten manuell
vorgenommen hatte. Als problematisch wird jedoch erwähnt, dass genügend erkennbare
Formen im Sensorbereich vorhanden sein müssen, was gerade bei den in der Realität
faktisch vom Mars zurückgesendeten Bildern nicht immer der Fall gewesen sei.
Auf Basis einer monokularen Kamera werden hingegen bei Davison & Molton 2007
in Echtzeit natürliche Landmarken aus unbekannten, statischen Umgebungen (vorerst
Räumen) extrahiert und in einer spärlichen und vorwiegend zu Lokalisierungszwecken
gedachten, merkmalsbasierten 3D-Karte festgehalten. Die Positionen der Landmarken
werden über Änderungen ihrer Lage zur bewegten Kamera auf Basis des Lochkamera-
Modells (siehe Kapitel 3.1) festgestellt, so dass unter Verwendung eines EKFs fortwährend
die Kamerapose geschätzt werden kann. Gewisses Vorwissen über die Beschaffenheit
von Landmarken ist in den zugehörigen Algorithmen integriert, außerdem wird ein
zu Beginn sichtbares und in Größe und Koordinaten bekanntes Objekt zur Verfügung
gestellt, um dem Mangel an Tiefeninformation der Kamera entgegenzuwirken, der in
unbekannten Umgebungen zu Initialisierungsproblemen führe. Erneut wird ein Fehlen
von Merkmalen (etwa direkt vor Wänden) als Schwierigkeit hervorgehoben. Experimente
wurden mit einem humanoiden Roboter vorgenommen, der mit einer kalibrierten
90 ◦ -Weitwinkelkamera ausgestattet war. Der Roboter beschritt einen Kreis mit 75 cm
Radius und lokalisierte sich bis zur Wiedererkennung zuvor gesehener Landmarken mit
Abweichungen von bis zu etwa 5 cm in jeder Dimension.
In Bennewitz et. al. 2006 wird MCL mittels SIFT-Features präsentiert, die auf einer
zweidimensionalen, gitterbasierten Merkmalskarte arbeitet, welche zuvor von einem
mit Laserscanner und Kamera ausgerüsteten Roboter eigenständig erstellt wird. Hierbei
wird angenommen, dass die Entfernung eines über die Kamera gefundenen Merkmals
der in der gleichen Richtung über Laser ermittelten Entfernung zu einem Hindernis entspricht.
MCL-Updates finden bei der anschließenden, rein kamerabasierten Lokalisierung
beliebiger Roboter nur dann statt, wenn sich deutliche Unterschiede der Merkmalsverteilungen
ergeben. Ein auf Rädern fahrender Roboter, der eine Kamera mit Bildwinkel
von 65 ◦ (teilweise auch 130 ◦ ) verwendete, lokalisierte sich in einer Büroumgebung auf
einer Strecke von 20 m mit durchschnittlichen Abweichungen von 39 cm bei der Position
und 4, 5 ◦ in der Orientierung.
Aus dem gleichen Forschungsteam stammt schließlich auch ein kamerabasiertes SLAM-
Verfahren für völlig unbekannte Umgebungen, bei dem die 3D-Karte über die schon
angesprochene RBPF-Methode aufgebaut wird, wobei die Positionen einzelner Land-

22 2.2 Gemeinsame Bewegung und kooperative Lokalisierung
marken mittels EKF geschätzt werden (Strasdat et al. 2007). Merkmale werden
nur durch ihren Horizontal- und Vertikalwinkel zur Kamera beschrieben, Tiefeninformationen
auch hier aus der Verfolgung von Landmarken in aufeinander folgenden Kamerabildern
ermittelt. Entsprechend sind bei Initialisierung noch keine dreidimensionalen
Daten vorhanden. Die Startposition ist darüber hinaus beliebig, es wird also kein Vorwissen
über die Umgebung vorausgesetzt. Bei zehnminütigen Experimenten in einer
Büroumgebung ergab die Lokalisierung eines Roboters im Durchschnitt Abweichungen
von 28 cm und 3, 9 ◦ (im Vergleich zu Odometriefehlern von 1, 69 m und 22, 8 ◦ ).
Die Auswahl an vorgestellten Ansätzen und Verfahren zeigt, dass Lokalisierung (oft im
Zusammenhang mit gleichzeitiger Kartenerstellung) ein weitreichend untersuchtes Gebiet
darstellt, für das bereits bezüglich vieler Aspekte erfolgreiche Umsetzungen existieren.
Nichtdestotrotz deuteten sich Probleme an, die zum Teil auf das mögliche Fehlen
aussagekräftiger Merkmale in der Umgebung zurückzuführen sind. Auch kommt die
Tatsache, dass nicht überall genügend Vorwissen über die Beschaffenheit der Umgebung
vorliegt, erschwerend hinzu. Da generell der Einsatz von Teams für viele Aufgaben
autonomer mobiler Roboter notwendig ist, weil nicht jeder Roboter alle Funktionen ausführen
und nicht jede Arbeit von einem Roboter alleine verrichtet werden kann, wird
gerade in den letzten Jahren verstärkt untersucht, welche Vorteile aber auch welche
Schwierigkeiten aus der gemeinsamen Bewegung, Kartenerstellung und Lokalisierung
einer Gruppe von Robotern entspringen. Um dabei bestehende Forschungsthemen wird
es daher im folgenden Teilkapitel gehen.
2.2 Gemeinsame Bewegung und kooperative Lokalisierung
Ein klassisches Anwendungsgebiet kooperativer Gruppen von Robotern bildet die Exploration
unbekannter Umgebungen. Hier ergibt sich der Nutzen vieler Roboter auf den
ersten Blick vor allem aus der Möglichkeit zur Aufteilung zwecks Beschleunigung der Explorationsaufgabe.
So werden bei Burgard et al. 2005 Algorithmen zur Verbreitung
erarbeitet, die darauf abzielen, Roboter auf möglichst kurzen Wegen zu unerkundeten
Orten zu leiten. Darüber hinaus erweist sich das Vorhandensein von Redundanz in Szenarien,
wo sich nicht zwischendurch eingreifen lässt (wie anderen Planeten), als positiver
Nebeneffekt, um Ausfälle oder Fehlfunktionen von Robotern kompensieren zu können
(vgl. Kurazume & Hirose 2000a, S. 46). „Teams of robots therefore can be expected
to be more fault-tolerant than only one robot.“ (Burgard et al. 2005, S. 376). Auch
hat die Benutzung mehrerer Roboter oft den Vorteil, dass es preiswerter sein kann, viele
einfach konstruierte anstatt eines einzelnen, sehr leistungsstarken Roboters zu nehmen
(vgl. Odakura & Costa 2006, S. 554 und Grabowski et al. 2000, S. 297).
Und schließlich kann das Sehen anderer Roboter, über deren Eigenschaften Vorwissen
besteht, genauso wie die Kommunikation mit diesen zum Austausch von Informationen
der Verbesserung der Lokalisierung dienen, was sich direkt auf die Qualität der zu erstellenden
Karten auswirkt. Bei der gemeinsamen Exploration in Stachniss 2006 etwa
wird neben der Effizienz stets auch die Minimierung neu entstehender Unsicherheit bei

2 Einsatz von Roboter-Teams in unbekannten Umgebungen 23
anstehenden Bewegungen im Auge behalten. Sich selbst zu lokalisieren ist selbstredend
auch in anderen Kontexten wichtig, wo Zusammenarbeit und dynamische Koordination
von Robotern vorausgesetzt wird; so zur cooperative manipulation, bei der Objekte
transportiert oder neu positioniert werden müssen (Chaimowicz et al. 2004, S. 7 f.).
Die weitreichenden Beschäftigungen mit von Robotergruppen durchgeführten Rettungsoperationen
des RoboCupRescue-Projekts (RoboCupRescue 2009) unterstreichen die
Bedeutung dieses Forschungszweigs. In aller Regel erfordert die Verwendung von Teams
Kommunikation zwischen den Robotern, um kooperatives Verhalten sinnvoll umsetzen
zu können. Sobald Roboter aber Sensordaten teilen, muss Wissen über die Pose der anderen
existieren, da sich die Daten ansonsten nicht in ein globales Koordinatensystem
integrieren lassen (Navarro-Serment et al. 1999, S. 232).
Natürlich ließe sich die Lokalisierung eines Roboter-Teams wie gehabt vollziehen, indem
jeder Roboter unabhängig mit den beschriebenen Techniken versucht, seinen Standort
zu bestimmen, was trotz neuer Schwierigkeiten, wie dem ständigen Umgang mit dynamischen
Objekten im Sensorbereich, sicherlich in einigen Anwendungen zu ausreichenden
Ergebnissen führt. Wenn sich aber auf das Wissen anderer zugreifen lässt und so gemeinsam
Posen bestimmt werden können, eröffnet dies neue Möglichkeiten. Das Problem der
Aufrechterhaltung von Schätzungen über alle Posen der Roboter eines Teams, bei dem
sich Roboter gegenseitig lokalisieren und zur Erhöhung der Genauigkeit kommunizieren,
wird als cooperative (multi-robot) localization bezeichnet (Odakura & Costa 2006,
S. 554 und Rekleitis et al. 2002, S. 1). „For robot teams, however, one must distinguish
between two kinds of localization: absolute localization, in which each robot
attempts to determine its pose with respect to some external global coordinate system,
and relative localization, in which each robot attempts to determine the pose of every
other robot in the team, relative to itself“ (Howard et al. 2003, S. 65). Kooperative
Verfahren gab es bislang nicht in dem Umfang der single-robot localization, jedoch
haben sich einige Ansätze im letzten Jahrzehnt herauskristallisiert.
Erhöhung der Lokalisierungsgenauigkeit durch das Wissen vieler
Die vielleicht nahe liegendste Idee, von Teams im Zuge lokaler und globaler Lokalisierung
zu profitieren, ergibt sich aus der Miteinbeziehung der Sensordaten und Schätzungen
anderer in die Berechnungen jedes Roboters: Begegnen sich Roboter, so teilen sie
sich ihr Wissen über aktuelle Posen und die Umgebung mit. Zusätzlich bestimmen sie
die relative Lage zu den jeweils anderen, um die Informationsmengen mischen zu können.
Dann lässt sich die Ungenauigkeit von Schätzungen intuitiv gesprochen deswegen
verringern, weil aus verschiedenem unsicherem Wissen Schnittmengen wahrscheinlicher
Posen resultieren. Prinzipiell ermöglicht dies, die bekannten probabilistischen Verfahren
weiterhin zu nutzen und sie um die Einbettung von Kooperation zu erweitern. Jedoch
impliziert die Existenz mehrerer Roboter Probleme, die es zu bewältigen gilt.
Wie in Kapitel 2.1 erwähnt, verletzt der Einsatz von Teams aus Sicht eines Roboters
in der Theorie die Markov-Annahme, denn seine Situation wird nicht nur von seinem
eigenen Verhalten beeinflusst. Praktisch lässt sich Abhilfe schaffen, indem andere Roboter
simplerweise ignoriert werden, wobei fraglich ist, inwiefern das stets funktioniert:
für einen Roboter inmitten eines Schwarms wird es schwierig sein, Merkmale des stati-

24 2.2 Gemeinsame Bewegung und kooperative Lokalisierung
schen Anteils seiner Umgebung zu erkennen, umgekehrt lässt sich die falsche Identifizierung
eines Roboters als stationäres Objekt nicht generell ausschließen. Trotzdem werden
Markov-Ansätze wie MCL für Teams eingesetzt, so bei Fox et al. 2000, wo zu diesem
Zwecke neben actions und observations den Sensoren auch detections anderer Roboter
entnommen werden. In Tests erkannten trainierte Detektoren (Kameras samt Laser) in
über 93% der Fälle einen vorhandenen Roboter und nur in 3, 5% fälschlicherweise einen
nicht vorhandenen. Kommunizieren der Schätzungen geschah bei Sichtkontakt zweier
Roboter und führte zur Reduzierung der Abweichungen auf grob ein Drittel. Obwohl die
Verknüpfung der Partikel verschiedener Roboter bereits approximiert über stückweise
konstante Dichtefunktionen verlief, wird als eins der Probleme der Berechnungsaufwand
bei zu häufiger Schätzungaktualisierung mit Daten anderer offenbart, weswegen
zum Beispiel negative detections (die Abwesenheit anderer) erst gar nicht genutzt werden.
Auch diese aber können wertvolle Hinweise liefern, etwa wenn ein Roboter wider
Erwarten nicht mehr im Sichtbereich eines anderen liegt, wie in Odakura & Costa
2006 explizit für kooperative ML argumentiert wird.
Wenn also der Austausch von Sensordaten Teil der Kooperation ist, führt dies zu steigendem
und ab einer gewissen Anzahl an Robotern ggf. nicht mehr tragbarem Aufwand,
insbesondere, wenn Planungs- und Steuerungsaufgaben bei einem einzigen Roboter
stattfinden, wie in Dhanapanichkul 2006, wo der group leader alle Winkelmessungen
zwischen Robotern zugesendet bekommt, um daraus ein Positionsmuster des Teams
zu berechnen und an alle Mitglieder zu broadcasten. Ein möglicher Ausweg kann in der
Dezentralisierung dieser Berechnungen bestehen, damit alle Roboter diese so weit wie
möglich selbst durchführen (Madhavan et al. 2004, S. 23). Mehrere Arbeiten belegen,
dass von den probabilistischen Verfahren zumindest EKFs dies erlauben. Während
in Madhavan et al. 2004 die lokalen EKFs der mit zahlreichen Sensoren ausgestatteten
Roboter kombiniert werden, um daraus eine globale Karte zu erzeugen, steht an
anderen Stellen ein zentralisierter EKF für die Schätzung der Posen aller Roboter zur
Verfügung, welcher sowohl absolute Daten über die unbekannte Umgebung als auch relative
über Lagen nahe gelegener Roboter benutzt, dessen Berechnungen aber auf die
einzelnen Roboter aufgeteilt werden (etwa Roumeliotis & Bekey 2000).
Erneut findet sich in den angeführten Methoden die Voraussetzung, dass ein Modell der
Umgebung bekannt ist oder Letztere wenigstens ausreichend aussagekräftige Merkmale
enthält. Dementgegen steht eine vollkommene Konzentration auf relative Lokalisierung;
auch hier lässt sich der Ansatz verfolgen, das Wissen aller Roboter einer Gruppe über
die Standorte der anderen zu vereinen, um damit die Unsicherheit beim position tracking
zu verringern, jedoch ggf. innerhalb egozentrischer Koordinatensysteme (bezüglich eines
bestimmten Roboters oder jeweils bezüglich sich selbst). Rein relative Lokalisierung
eignet sich besonders für unbekannte, unstrukturierte und dynamische Umgebungen, da
wenig bis keine Annahmen über die Welt gemacht werden müssen, und wird in der Fachwelt
bei teamorientiertem Verhalten nicht selten für wichtiger als absolute Lokalisierung
gehalten. „Consider, for example, a team of robots executing a formation behavior: these
robots need not know their latitude and longitude, but must know the relative pose
of their neighbors“ (Howard et al. 2003, S. 65 f).
Das Paper Howard et al. 2003 behandelt einen dafür spezialisierten Mechanismus;

2 Einsatz von Roboter-Teams in unbekannten Umgebungen 25
dort unterscheidet jeder der n Roboter fünf Beobachtungstypen, die er verschieden
nutzt, um (mittels Partikelfiltern) n − 1 Wahrscheinlichkeitsverteilungen über die Lage
der anderen zu sich selbst aufrechtzuerhalten: eigene Bewegungen und Bewegungen anderer,
Sehen anderer und Gesehenwerden sowie das gegenseitige Sehen zweier anderer
Roboter. Informationen über solche actions und observations werden von allen stets ans
Team weitergeleitet, wobei Kommunikation als vollständig angenommen wird (was aber
nicht essentiell sei). Bei der Aktualisierung der Schätzungen müssen zeitliche Abfolgen
der Beobachtungen eingehalten und zirkuläre Abhängigkeiten vermieden werden. Als genereller
Nachteil wird der Berechnungsaufwand der hohen Anzahl an Partikelfiltern pro
Roboter genannt. Experimente mit vier Robotern waren jedoch mit normalen Laptop-
Prozessoren möglich. In einer flachen 48 m 2 -Umgebung mit Hindernissen berechneten
die Roboter die Position und Orientierung anderer anhand derer farbcodierten Reflektoren
mittels Kamera und Laserscanner, was nach 50 Sekunden ununterbrochener Bewegung
zu Schätzungen mit dreifacher Standardabweichung von maximal circa 60 cm
führte; das heißt, ein Roboter hielt sich mit 99, 7% Wahrscheinlichkeit innerhalb dieses
Intervalls auf (vgl. Trawny 2003, S. 28).
Weitere Verfahren gehen in die Richtung dieses Konzepts. Ein Weg, der zwar ähnliche
Ideen, aber nur bedingt Kooperation aufweist (auf Kommunikation wird verzichtet),
wird in Montesano et al. 2005 vorgestellt. Zwei Roboter ermitteln zur Verbesserung
der Schätzung ihre gegenseitige Pose aus den durch eine omnidirektionale Kamera gelieferten
Richtungen und beobachteten Bewegungsfolgen. Dabei werden Kalman- und Partikelfilter
sowie beide kombiniert als Schätzverfahren verglichen, was bei Experimenten
in einer Laborumgebung ergab, dass die Kombination eine schnelle und zugleich robuste
Variante verkörpere. Hier dienen andere Roboter also zur eigenen Standortbestimmung;
ein Vorgehen, das wie im Folgenden beschrieben bereits tiefgehender untersucht wurde.
Abwechselnde Bewegung zur Lokalisierung anhand anderer Roboter
Ein deutlich anderer Ansatz nämlich zur wiederum eindeutig kooperativen, relativen
Lokalisierung besteht darin, dass sich die Roboter abwechselnd fortbewegen; während
einer (oder ein Anteil) der Roboter seinen Standort wechselt, beobachten die restlichen
Roboter dies von einem festen Standpunkt aus und schätzen die Position des sich bewegenden
Roboters, oder sie dienen umgekehrt selbst temporär als künstliche Landmarken
für diesen Roboter.
Ryo Kurazume und Shigeo Hirose haben in diesem Zusammenhang den bezeichnenden
Begriff mobile landmarks eingeführt. In Kurazume & Hirose 2000a wird das in vollkommen
unbekannten 3D-Umgebungen agierende Roboter-Team in zwei Gruppen A
und B geteilt. Während sich B bewegt, werden die eigenen Posen neben Odometrie anhand
der Entfernung sowie dem Höhen- und Seitenwinkel zur stillstehenden Gruppe A
grob und nach Bewegungsabschluss genau ermittelt. Dann tauschen A und B die Rollen
und der Vorgang wiederholt sich solange, bis ein Zielort erreicht wurde. Neben der Akkumulation
von Ungenauigkeiten, wird die Tatsache, dass sich Roboter stets gegenseitig
sehen müssen, für lange Strecken in unstrukturierten Umgebungen mit Hindernissen als
Problem dargestellt. Bewegungsstrategien werden allerdings auch nur umrissen, bei denen
die Roboter teils hinter-, teils nebeneinander formiert sind. Für Experimente mit

26 2.2 Gemeinsame Bewegung und kooperative Lokalisierung
Abbildung 2.3: (links) Exemplarisch für Kurazume & Hirose 2000a bewegt sich hier erst
ein Roboter nach P3, dann ein anderer von P1 weg. (Mitte) Beim leap-frogging approach mit
vier Robotern bewegt sich prinzipiell immer der hinterste (Navarro-Serment et al. 1999).
(rechts) Durch Beobachten eines sich bewegenden Roboters wird in Rekleitis et al. 2001
die dazwischen liegende Fläche exploriert.
vier Robotern wurde ein parent robot mit Laserscanner und die anderen jeweils mit sechs
kreisförmig angeordneten, für Laser geeigneten Reflektoren (corner cubes) ausgerüstet,
was in einem leeren Raum nach 21, 5 Metern zu einem Gesamtfehler von 59 mm in
der Position und 0, 27 ◦ in der Orientierung beim parent robot führte. Als nicht zuletzt
kostengünstige Alternative zu den genannten Sensoren arbeiten die Autoren an den
Robotern angebrachte Lichtmarkierungen heraus, die etwa von Kameras erkannt werden
können. Zusätzliche Neigungsmesser finden sich außerdem für echt dreidimensionale
Umgebungen im darauf aufbauenden Paper Kurazume & Hirose 2000b. Erste Tests
führten dabei zu Fehlern der gleichen Ordnung.
Das Konzept einer expliziten Bewegungsstrategie zur relativen Lokalisierung sehr kleiner
Roboter, der leap-frogging approach, steht bei Navarro-Serment et al. 1999
im Mittelpunkt. Ausgehend von einer beliebigen Umgebungssituation, fungieren jeweils
mindestens drei temporär stationäre Roboter als Landmarken (so genannte beacons),
die mit spezieller Hardware in alle Richtungen gleichzeitig Ultraschallsignale aussenden.
Auf Basis dieser Strahlen lokalisieren sich andere Roboter, welche sich währenddessen
frei im Empfangsbereich der beacons bewegen dürfen, mittels GPS-ähnlicher Trilateration.
Die Posen der sich bewegenden Roboter werden dabei mit einem EKF geschätzt,
der auch Odometriedaten erfasst. Nach Abschluss einer Bewegungsfolge (eines leaps)
ändert sich auch hier die Zuweisung der Rollen, wobei die nächsten beacons anhand ihrer
Standorte von den aktuellen festgesetzt werden. Fehlerakkumulationen hängen nach
Annahme der Autoren unter Anderem von der Größe eines leaps und besonders der
Anordnung der beacons ab, wobei ein gleichseitiges Dreieck zu den besten Ergebnissen
geführt habe. In Experimenten war die durchschnittliche Positionsabweichung von vier
Millibots nach 75 leaps nie größer als circa 3 cm, die Standardabweichung der Orientierung
betrug 1, 07 ◦ . Grabowski et al. 2000 aus der gleichen Arbeitsgruppe erweitert
das Konzept um die Exploration der Umgebung und daraus resultierende Erstellung von
occupancy grid maps. Dafür setzt einer der Roboter die lokalen Umgebungsinformationen
aller zusammen und plant anhand dieser die folgenden Bewegungsrichtungen, um
Hindernissen auszuweichen und unbekanntes Terrain zu erreichen. Die Roboter besitzen
dafür zusätzlich eine Kamera, mit der sie während der Bewegung Merkmale aus ihrer
Umgebung extrahieren.
Exploration stellt auch den Rahmen für die in Rekleitis et al. 1997 von einem

2 Einsatz von Roboter-Teams in unbekannten Umgebungen 27
theoretischen Standpunkt aus vorgestellte Methode dar, bei der sich zwei Roboter abwechselnd
gegenseitig mit einem robot tracker (bevorzugt einer Kamera) beobachten,
um Odometriefehlern entgegenzuwirken. Der sich aktuell und stets geradlinig bewegende
Roboter wird vom anderen solange wie möglich mit dem Ziel getrackt, die zwischen
ihnen liegende Fläche zu explorieren. Anschließend wird der sich bewegende zum beobachtenden
und umgekehrt. Auf diese Weise wird die als zweidimensional angenommene
und durch ein Polygon mit Löchern (sozusagen Hindernissen) modellierte Welt nach
speziellen Algorithmen erkundet. Kommunikation wird als vollständig vorausgesetzt,
so dass die Roboter stets ihre geschätzte Position kennen. Die Überlegungen werden
auch auf mehrere Roboter ausgedehnt, die dabei mit jeweils zwei Tracking-Sensoren
ausgestattet sind. Experimente finden sich in Rekleitis et al. 1998, wo zwei zylinderförmige
Roboter zur Verfügung stehen (siehe Abbildung 2.4 links); einer übernimmt
die Rolle als Beobachter, der mittels Kamera ein eindeutiges Muster auf dem anderen
Roboter erkennt, das aufgrund des bekannten Aussehens Rückschlüsse auf die Position
und sogar die Orientierung (jedoch auf lediglich 5 ◦ genau) zulässt. „By mounting the
observing camera above (or below) the striped pattern of the other robot, the distance
from one robot to the other can be inferred from the height of the stripe pattern in
the image, due to perspective projection (scaling of the pattern could also be used)“
(Rekleitis et al. 2001). Nach 50 Bewegungen nicht angegebener Länge wurde in 100
Tests eine durchschnittliche Positionsabweichung von etwa 5 cm ermittelt.
Die Bewegungsschemata der beschriebenen Beispiele sind in Abbildung 2.3 veranschaulicht.
„While the mover–observer approach has proven successful, it slows down overall
speed, and requires the rovers to stay within visible range at all times. Moreover, if no
environmental information is taken into account, measuring the other robots’ positions
will not resolve the unbounded growth of errors inherent to relative localization“
(Trawny 2003, S. 12). Trotz der also nicht zu umgehenden Fehlerakkumulation der
Posenschätzung, birgt rein relative Lokalisierung den enormen Vorteil, dass sie prinzipiell
unabhängig jeglicher Beschaffenheiten der Umgebung einsetzbar ist. Darüber
hinaus vermeiden Strategien, die auf alternierender Bewegung basieren, überhöhte Berechnungsaufwände,
da nicht ständig die gemeinsame Posenverteilung aller Roboter
aktualisiert werden muss. Daher wird auch das in dieser Arbeit unterliegende Konzept
abwechselnde Bewegung als Ausgangspunkt haben, wobei einige Elemente der in diesem
Abschnitt angesprochenen Aspekte kooperativer Lokalisierung in abgewandelter Form
auftreten werden. Die Frage nach einer etwaigen Einbettbarkeit in andere Mechanismen
zur Lokalisierung autonomer mobiler Roboter-Teams zwecks Lösung des Problems
akkumulierender Fehler folgt später in Kapitel 5.
Untersuchung der Anordnung in Formationen
Ehe die Ausgangssituation für die im Folgenden angestellten Betrachtungen definiert
wird, sei abschließend ein Blick auf bestehende Mechanismen für Roboterformationen
und deren Analysierbarkeit geworfen. Dies gibt Aufschluss darüber, welche Aspekte bei
der Entwicklung von Bewegungsstrategien bedacht werden müssen, damit eine Gruppe
von Robotern sich gleichzeitig vernünftig fortbewegen und lokalisieren kann.

28 2.2 Gemeinsame Bewegung und kooperative Lokalisierung
Teils mathematisch, teils empirisch werden optimale Formationen zur Lokalisierung eines
Teams von Robotern, welche ihre gegenseitige Lage berechnen können, in Hidaka
et al. 2005 ermittelt, wofür ein Qualitätsmaß der Posenschätzungen hergeleitet wird,
das sich in Abhängigkeit der relativen Positionen der Roboter zueinander betrachten
lässt. Das Maß beruht auf der Verwendung von EKFs, deren Fehler entsprechend durch
Gaußverteilungen modelliert werden, die sich partiell bei steigender Entfernung zwischen
den Robotern stärker auswirken. Ein genetischer Algorithmus hatte bei bis zu
sechs Robotern stets als Ergebnis, dass Teilmengen aus drei nebeneinander befindlichen
Robotern jeweils in einem gleichseitigen Dreieck angeordnet sein sollten. Zusätzlich standen
diese immer nahest möglich aneinander.
Ein grundsätzlich ähnlicher Ansatz wird bei Trawny 2003 verfolgt, wo versucht wird,
Bewegungsstrategien bezüglich der Minimierung entstehender Unsicherheit der Schätzung
(ebenfalls von EKFs) zu optimieren. Neben diesem werden dort auch die Länge des
zurückzulegenden Wegs, die Dauer der Fortbewegung und die Anzahl notwendiger Messungen
als denkbare Qualitätskriterien genannt. Analysen verschiedener Teamformationen
wie gerade Linien oder erneut gleichseitige Dreiecke haben als Schlussfolgerungen,
dass drei sinnvolle Motivationen für ein bestimmtes Bewegungsverhalten vorliegen können:
Erstens, das Erreichen einer möglichst guten Situation für akkurate Sensordaten,
was aber durch die Beschaffenheit der Umgebung oftmals erschwert werde. Zweitens,
die Minimierung der Distanz eines Roboters zu einem anderen, dessen Posenschätzung
aktuell nur geringe Unsicherheit aufweist (hier wird auf die Verfahren abwechselnder Bewegung
hingewiesen), und drittens, eine Gestaltung der Pfadplanung in der Weise, dass
Odometriefehler möglichst klein gehalten werden, wobei deren Umsetzung in ein realistisches
Bewegungsmodell aber ein offenes Problem bleibe. Der Umgang mit dynamisch
hinzukommendem Teilwissen über unbekannte Umgebungen mache es erforderlich, stets
alle diese Möglichkeiten zu bedenken, weswegen statische Strategien und Formationen
bei der Fortbewegung eines Roboter-Teams nicht zu den besten Lokalisierungsergebnissen
führen würden. Stattdessen müsse abhängig von der konkret und aktuell gegebenen
Sachlage entschieden werden, wie sich die bisherige Pfadplanung anpassen lässt, um
entstehende Unsicherheiten bestmöglich abzuwenden. Dies wird in empirischen Studien
untermauert, die auf Basis einer dem EKF und der Kooperation angepassten Metrik
für die Bewertung der Lokalisierung stattfinden.
In Fredslund & Mataric 2002 wird hingegen explizit untersucht, wie sich bestimmte
Formationen mit n Robotern, welche nur lokales Wissen haben, initialisieren und
bei Bewegung, Roboterausfall und Hindernisvermeidung aufrechterhalten lassen. Auch
der Wechsel zwischen verschiedenen Formationen ist dabei Thema. Die verwendeten
Algorithmen arbeiten nach dem Grundprinzip, dass jeder Roboter sich einzig an einem
Nachbarroboter (dem friend) orientiert, bis auf den conductor, der die Gesamtbewegung
über Kommunikation leitet. Je nach Formation f (z.B. Keil oder Raute) ergibt sich die
aktuelle Ausrichtung eines Roboters nach einfachen Regeln aus der ID des Roboters
und n (f und deren globale Orientierung bestimmen den aktuellen conductor). Durch
die jeweilige Abhängigkeit vom friend entwickeln sich die Formationen bei Fortschreiten
der Gruppe automatisch, ohne dass Wissen über die Orientierung sonstiger Roboter
besteht. Kritisch angemerkt wird, dass lokale Ungenauigkeiten globale Abweichungen
von der gewünschten Formation hervorrufen können. Außerdem seien scharfe Kurven

2 Einsatz von Roboter-Teams in unbekannten Umgebungen 29
bezüglich der Formationserhaltung schwer umzusetzen. Messungen wurden mit vier bis
acht 50 cm großen Robotern, die durch Farbmarkierungen eindeutig identifizierbar und
mit Kamera und Laser bestückt waren, über eine flache Strecke von 19 m durchgeführt.
Die Erstellung aller getester Formationen benötigte maximal 3 m, wobei die Roboter
nah beieinander, aber zufällig angeordnet starteten. Bei ungehinderter Bewegung
blieben manche Formationen danach im Durchschnitt weit über 90% der Zeit stabil.
Neuaufbau nach Ausfall eines Roboters (zum Teil auch des conductors) gelang stets für
alle Formationstypen, während der Formationswechsel nur dort gelegentlich Probleme
machte, wo dies einen conductor-Wechsel bedeutete. Als stabil und in jedem Punkt
überdurchschnittlich erwies sich die (ggf. unvollständige) Rautenformation, ansonsten
schnitten in die Länge gehende gegenüber in die Breite gehenden Formationen überwiegend
besser ab. Alle Experimente beinhalteten moderate Toleranzbereiche bei den
zulässigen Abstands- und Winkelabweichungen.
2.3 Abgrenzung des im vorliegenden Kontext relevanten
Problembereichs
Viele Ansätze zur Lokalisierung und Bewegung einer Gruppe beruhen wie gezeigt darauf,
dass ein Modell oder eine Karte der Welt, in der sich die Roboter aufhalten, vorliegt. Für
den Einsatz in unbekannten Umgebungen kommen sie daher nicht in Frage, denn die Roboter
müssen dort Beschaffenheit und Aussehen des Terrains selbst lernen. Häufig wird
auch davon ausgegangen, dass genügend Objekte zur Verfügung stehen, anhand derer
sinnvolle Merkmale identifizierbar sind, wie es in Bürogebäuden oder Ähnlichem der Fall
sein mag. Diese Voraussetzung ist jedoch nicht immer zu gewährleisten; vor allem in unstrukturierten
outdoor-Umgebungen mangelt es oft an Vorwissen über Charakteristika
von Landmarken, oder diese sind überhaupt nicht in ausreichender Zahl vorhanden. Ein
Beispiel dafür liefern wüstenartige Oberflächen, die etwa auf anderen Planeten wie dem
Mars denkbar wären. Indoor-Umgebungen bergen eine mögliche Schwierigkeit, die speziell
bei der auf vision basierenden Navigation auftritt, und zwar, dass die Beleuchtung
nicht hinreicht, um aussagekräftige Kamerabilder zu erzeugen. Bergwerken, U-Bahn-
Schächten und anderen Tunnelsystemen, die für die Benutzung eines Roboter-Teams
interessant sein können, kann eine solche Problematik unterliegen.
Entsprechend Howard et al. 2003, Kurazume & Hirose 2000a und Weiteren wird
im Rahmen dieser Arbeit dementgegen untersucht, welche Möglichkeiten der Fortbewegung
bei Aufrechterhaltung des Wissens über die eigenen Standorte für ein Team
in unbekannten, merkmalsarmen Umgebungen bestehen. Im Grunde wird dabei nur eine
einzige wesentliche Annahme über die Struktur der Welt gemacht, wenngleich diese
zweifellos eine deutliche Einschränkung bedeutet: Alle folgenden Untersuchungen beziehen
sich auf flache Umgebungen mit Hindernissen, also solche, zu denen sich Karten
in zwei Dimensionen beschreiben lassen. Entsprechend lassen sich Oberflächen in begehbare
und nicht begehbare Stellen unterteilen. Zu dieser Vereinfachung, die sich auch
bei vielen Anderen finden lässt (etwa Krotkov 1989 oder Rekleitis et al. 1997),
sei angemerkt, dass sie hier in erster Linie der Handhabbarkeit der noch vorzustellen-

30 2.3 Abgrenzung des im vorliegenden Kontext relevanten Problembereichs
Funkmedium
Feste Kamera
Markierungsring
Messbarer Antrieb
Abbildung 2.4: (links) Zwei partiell zylinderförmige Roboter, die bei Rekleitis et al. 1998
in Experimenten genutzt wurden. (rechts) Schematische Darstellung der betrachteten Roboter;
wenigstens beim Markierungsring entspricht deren Form einem Zylinder mit Radius r.
den Positionsberechnungen dient. Die insgesamt verfolgten Vorgehensweisen ließen sich
unter Berücksichtigung neuer Fehlerquellen und nötiger Umrechnungen auf beliebige
Umgebungen übertragen (vgl. dazu auch Kapitel 6).
Ausgangspunkt aller Betrachtungen ist das Szenario, in dem ein Roboter-Team beliebiger
(allerdings nicht schwarmartiger) Größe an einem Punkt in der Umgebung, über den
kein Vorwissen besteht, gemeinsam ausgesetzt wird und von dort aus mit seiner Arbeit
beginnen soll. Da weder Modell noch Karte der Welt existieren, steht position tracking
gegenüber global self-localization im Vordergrund. Und da die Verwendung von Landmarken
in den behandelten Umgebungen schlecht umsetzbar ist, geht es dabei vorerst
ausschließlich um relative und somit nicht um absolute Lokalisierung.
Einsatz kooperativer Roboter, die sich gegenseitig sehen können
Für die Konzepte dieser Arbeit wird kein absolut homogenes Roboter-Team benötigt,
jedoch müssen die einzelnen Roboter in gewissen Aspekten gleichbeschaffen sein. Keine
dieser Voraussetzungen ist allerdings neu, sie tauchen in gleicher oder leicht abgewandelter
Weise in bereits angeführten Quellen auf. Die hier verwendete Roboterkonfiguration
kann darüber hinaus (auch im Vergleich zu einigen anderen Arbeiten) als kostengünstig
und einfach deklariert werden. Individuelle ebenso wie einheitliche Erweiterungen der
Ausstattung aller Roboter wären ansonsten bei Bedarf jederzeit denkbar.
Die Form der Roboter entspreche wie bei Rekleitis et al. 1998 (Abbildung 2.4
links) der eines aufgestellten Zylinders, wenigstens in einem bestimmten Abschnitt. Dort
sei der Roboter in seiner ganzen Breite deutlich sichtbar markiert, etwa durch einen
leuchtenden Ring, ähnlich wie in Kurazume & Hirose 2000a vorgeschlagen. Diese
Stelle definiere den Radius r des Roboters, der bei allen Team-Mitgliedern identisch
sei. Abbildung 2.4 (rechts) zeigt, wie ein solcher Roboter aussehen könnte. Von der
zylindrischen Form wird bei Entfernungsberechnungen in Kapitel 3.2 Gebrauch gemacht
werden. Sie verhindert, dass ein Roboter am selben Punkt je nach Orientierung trotz
festem Kamerastandort verschieden projiziert wird. Zwar ließe sich die Orientierung
bei geschickter Anbringung von Markierungen (siehe z.B. Howard et al. 2003) auch

2 Einsatz von Roboter-Teams in unbekannten Umgebungen 31
aus dem Kamerabild schätzen, dabei entständen aber weitere Ungenauigkeiten und
Schwierigkeiten, um die es hier nicht gehen soll. Vielmehr wird sich mit dem bislang in
der Form selten behandelten Problem auseinandergesetzt, dass weder die Orientierung
anderer Roboter erkennbar ist, noch sich verschiedene Roboter eindeutig voneinander
unterscheiden lassen.
Jeder Roboter verfüge über einen Bewegungssensor, mit dem er seine zurückgelegte
Strecke und daraus resultierend seine Pose grob abschätzen kann, beispielsweise durch
Odometrie. Über die Ungenauigkeit zugehöriger Messungen werden bewusst keine Annahmen
gemacht. Weiter gebe es ein bei allen vorhandenes Funkmedium zur Kommunikation.
Aussagen über dessen Bandbreite bleiben unerheblich; die zu versendenden
Nachrichten werden keine großen Datenmengen beinhalten und sollten daher bei gängigen
Übertragungsraten nicht zu spürbaren Wartezeiten führen. Kommunikation sei der
Einfachheit halber als vollständig angenommen. Wie etwa in Howard et al. 2003
gilt aber, dass ein Fehlen der Vollständigkeit nicht zwangsläufig problematische Folgen
haben muss. Kapitel 6 wird diesen Umstand später noch einmal aufgreifen.
Schließlich besitze jeder Roboter eine fest installierte, monokulare Digitalkamera, deren
optische Achse parallel zur Oberfläche der Umgebung verlaufe (der Roboter „blickt“
also exakt geradeaus) und die in die Hauptantriebsrichtung des Roboters ausgerichtet
sei. Diese Richtung bezeichne die Orientierung des Roboters. Auf die Verwendung von
Zoom-Objektiven wird verzichtet, weshalb sich eine Kamera mit fester Brennweite f
(siehe Kapitel 3.1) anbietet, wobei f als bekannt vorausgesetzt wird; „for the fixed focal
length camera [...] this assumption is valid“ (Krotkov 1989, S. 980). Um die Abbildungseigenschaften
der Kamera analytisch nutzen zu können, muss Wissen über deren
Parameter bestehen. Unter Einbüßung von Genauigkeit ließe sich dies durch experimentelle
Kalibrierungsdaten der Kamera umgehen (vgl. Rekleitis et. al. 2001, S. 13).
Hier sei aber davon ausgegangen, dass die Kameras bezüglich ihrer inneren Orientierung
genau kalibriert sind: „Unter Kalibrierung im eigentlichen Sinne versteht man die Bestimmung
des Bildhauptpunkts, der Brennweite und weiterer Parameter zum Ausgleich
von Linsenfehlern“ (Sinz 2004, S. 3). f ist wie gehabt vorgegeben; der Bildhauptpunkt
liege intuitiverweise in allen Untersuchungen in der Mitte des Kamerabildes, Linsenfehler
werden in Kapitel 3.1 besprochen. Nebenbei wird weiter auch die Ermittlung der
äußeren Orientierung zur Kalibrierung gezählt, welche die Einbettung des Kamera- ins
Weltkoordinatensystem beschreibt, was hier demnach keine Rolle spielt.
Damit sei das zugrunde liegende Robotermodell hinreichend spezifiziert. Weitere Sensoren
wie GPS, Sonaren, Laserscanner oder Kompasse, genauso wie spezielle Reflektoren
seien nicht eingebaut. So konstruierte Roboter könnten folgerichtig in der Realität ohne
Aufkommen horrender Kosten mehrfach angefertigt werden.
Fokus auf kooperativer Lokalisierung und Bewegung
Innerhalb des SLAM-Kontextes wird es darum gehen, einen neuen Ansatz zur kooperativen
Lokalisierung und Bewegung zu erarbeiten. Dieser geht von abwechselnder Bewegung
aus und zieht expliziten Nutzen aus der Kenntnis über das Aussehen der Roboter,
wie es in dieser Kombination nach bestem Wissen bislang außer in den genannten Veröffentlichungen
von Ioannis Rekleitis, Gregory Dudek und Evangelos Milios für solche

32 2.3 Abgrenzung des im vorliegenden Kontext relevanten Problembereichs
Verfahren nicht tiefergehend gemacht wurde. Auch bei diesen Autoren wird allerdings
lediglich gesagt, „it is possible to estimate distances between roughly 180 and 450 cm
with the camera configuration used in this experiment, although accuracy degrades
with increasing distance“ (Rekleitis et al. 1998, S. 13), während hier mathematische
Fundamente für ähnliche Aussagen auf allgemeiner Ebene hergeleitet werden. Die
entsprechenden Ergebnisse werden als Ausgangspunkt genommen, um kooperative Strategien
abwechselnder Bewegung zu entwickeln, was in Kurazume & Hirose 2000a/b
eher vernachlässigt wird. Dabei besteht die Zielsetzung, dass jede einzelne Neupositionierung
eines Roboters eine Lokalisierungsgenauigkeit nahezu frei zu wählender Güte
zulässt. Dies übertrifft die Methode in Navarro-Serment et al. 1999, wo das Bewegungsfeld
nur anhand des Empfangsbereichs der Sensoren definiert wird. Auch werden
Qualitätskriterien der Bewegung in Formationen mit in die Betrachtungen einbezogen,
wie sie für Fredslund & Mataric 2002 exemplarisch umrissen wurden.
Nicht befassen wird sich diese Arbeit hingegen mit Verfahren zur Bildanalyse und der
zugehörigen Extraktion von Merkmalen (also hier den Abbildern von Robotern). Stattdessen
wird angenommen, dass Algorithmen gegeben sind, die die Größe der Projektionen
von Robotern im Pixelbild bestimmen und in geeigneten Datenstrukturen speichern.
Auch die Identifizierung aktuell sichtbarer Landmarken mit früher gefundenen ist nicht
von Interesse, weil sie im eigentlichen Sinn nicht benötigt wird; da es sich bei Robotern
um mobile landmarks handelt, ändert sich natürlich auch deren Position. Folglich muss
nur sichergestellt sein, dass erkennbar bleibt, welcher Roboter welcher ist. Entsprechend
wird den Mechanismen zur (ggf. kooperativen) Kartenerstellung keine besondere Aufmerksamkeit
gewidmet. Kapitel 5 beschäftigt sich jedoch unter Anderem damit, welche
Art von Karten für die zuvor entwickelten Ansätze sinnvoll sind.
Alle behandelten Themen werden ausschließlich vom theoretischen Standpunkt aus angegangen,
da Experimente sowohl auf Simulations- als auch Hardware-Ebene (obgleich
sicherlich zweckdienlich) den Umfang dieser Arbeit übersteigen. Dennoch erlauben die
mathematischen Resultate der Positionsschätzung anhand einzelner Kamerabilder, zumindest
unter den soeben angeführten Annahmen gewisse Aussagen über den praktischen
Nutzen der Konzepte zu treffen. Die Berechnungen von Positionen anderer Roboter
und deren formale Analyse werden deshalb nun zuerst vorgestellt, ehe dann die
Beschäftigung mit möglichen Bewegungsstrategien im Vordergrund steht.

Kapitel 3
Relative Lokalisierung von
Robotern aus Kamerabildern
In diesem Kapitel wird vorgestellt, inwieweit sich die Position eines Roboters bekannter
Größe anhand eines einzelnen Kamerabilds bestimmen lässt und welcher Nutzen sich
daraus für die Entwicklung kooperativer Bewegungsstrategien ergibt.
Zuerst werden dafür die im vorliegenden Kontext relevanten Eigenschaften der Abbildung
eines Gegenstands auf ein Kamerabild vorgestellt, um in die für die Analyse der
Kamerabilder notwendige projektive Geometrie einzuleiten (Kapitel 3.1). Dann wird
die relative Berechnung der Entfernung und Position eines Roboters aus seiner Projektion
vorgestellt (3.2) und anschließend der dabei entstehende maximale Fehler formal
ermittelt (3.3). Nach exemplarischen Betrachtungen der Lokalisierbarkeit von Robotern
verschiedener Lagen zur Kamera (3.4), steht zuletzt die Bestimmung eines Bereichs vor
der Kamera im Mittelpunkt, innerhalb dem die Lokalisierung in einer zu wählenden Güte
stattfinden kann (3.5). Dieser wird sich als sinnvoller Ausgangspunkt für die Planung
kollektiver Bewegungsabläufe von Robotergruppen erweisen.
3.1 Grundlagen der Abbildungsoptik digitaler Kameras
Die optischen Grundlagen, die bei der Abbildung der Welt auf ein Kamerabild von
Relevanz sind, gehören zum Bereich der geometrischen Optik. Diese beschäftigt sich
mit den geometrischen Eigenschaften der Abbildung durch ein optisches System, etwa
eine Kameralinse. Hier sei nur ein kurzer und stark vereinfachter Abriss der unterliegenden
Erkenntnisse gegeben, da sie nicht im Vordergrund der Arbeit stehen und
tiefergehendes Wissen nicht nötig für das hinterher betrachtete Projektionsverfahren
ist. „In der geometrisch-optischen Theorie der Abbildung denken wir uns das Objekt
aus leuchtenden Punkten aufgebaut. Dabei ist es gleichgültig, ob es sich um direkt ausgestrahltes,
reflektiertes oder gestreutes Licht handelt“ (Haferkorn 1994, S. 159).
Der Wellencharakter des Lichts wird allgemein vernachlässigt, da die mit dem Licht
zusammenspielenden Strukturen, wie Linsen und Blenden, die Wellenlängen des Lichts
in ihrer Größe enorm übersteigen. Stattdessen wird angenommen, dass das Licht aus
einzelnen Lichtstrahlen besteht, die innerhalb eines einheitlichen Mediums geradlinig
verlaufen (vgl. Mouroulis & Macdonald 1997, S. 15).

34 3.1 Grundlagen der Abbildungsoptik digitaler Kameras
Vom Objektiv zur Lochkamera
Kameraobjektive verwenden heutzutage in aller Regel Sammellinsen, die zusammen mit
geeigneten Blenden ausreichend Licht eines Ausschnitts der Welt bündeln, um es in einem
gewünschten Bildwinkel auf einer realen Bildebene Πreal projektiv abzubilden (vgl.
Haferkorn 1994, S. 210). Der Bildwinkel definiert implizit, wie groß dieser Ausschnitt
der Welt ist. Während in der Standardphotographie normalerweise der diagonale
Bildwinkel angegeben wird, wird für die Lokalisierung von Robotern der horizontale
Bildwinkel η benutzt werden. Es sei darauf hingewiesen, dass bei der Verwendung von
Linsensystemen verschiedene Abbildungsfehler, so genannte Aberrationen, auftreten, auf
die hier nicht näher eingegangen wird, da sie mittels optischer Techniken in den Griff zu
bekommen sind; „if the aberration is within the Strehl tolerances it is not noticeable“
(Mouroulis & Macdonald 1997, S. 221). Zu beachten ist aber, dass große Bildwinkel,
die weit über den Sichtwinkel des menschlichen Auges von etwa 45 ◦ hinausgehen,
zu zu starken Linsenverzerrungen führen können. In dieser Arbeit wird diesbezüglich
grundsätzlich nur eine Einschränkung vorgegeben (von der in Kapitel 3.5 Gebrauch gemacht
werden wird), nämlich dass der horizontale Bildwinkel 90 ◦ nicht überschreitet.
Die wesentlichen Überlegungen im weiteren Verlauf beziehen sich aber implizit auf Bildwinkel
von Normalobjektiven, die im Bereich um 50 ◦ liegen, wo Aberrationen vernünftig
auszugleichen sind (vgl. Mouroulis & Macdonald 1997, S. 208 f.).
In der digitalen Photographie, von der hier ausgegangen wird, findet die Abbildung des
einfallenden Lichts nun auf einem Bildsensor statt, der dafür aus einer Matrix lichtempfindlicher
Fotodioden besteht, deren für die Abbildung genutzter Anteil die Bildebene
in ein rechteckiges Gitter von üblicherweise einigen Millionen Pixeln zerlegt (Russell
& Norvig 2003, S. 865). Für spätere Analysen wird insbesondere die Breite des Bildsensors
w in Millimetern (die mit der Breite der Bildebene gleichzusetzen ist) sowie
die horizontale Auflösung m des Sensors in Pixeln interessieren, also die Anzahl an Pixel
pro Zeile des Gitters. Die reale Bildebene Πreal liegt dabei selbstredend hinter den
Linsen, sie verkörpert einen Ausschnitt aus der realen Projektionsfläche, auf der das
reelle Bild erzeugt wird. Der Abstand zwischen Sammellinse (bzw. genauer deren so
genannter Hauptebene) und Bildebene wird als Bildweite fB bezeichnet. Sie resultiert
aus der Linsengleichung (auch: Abbildungsgleichung), die sicherstellt, dass ein Objekt
scharf abgebildet wird (vgl. Haferkorn 1994, S. 193):
1
fB
= 1
f
+ 1
fG
Hierbei ist fG die Gegenstandsweite, also die Entfernung des abgebildeten Objekts zur
Linse. f steht für die Brennweite des Linsensystems, welche den Abstand einer Linse
zu ihrem Brennpunkt angibt, an dem sich parallel zur optischen Achse einfallende
Lichtstrahlen bündeln. Die Herleitung dieser Formel sei hier nicht von Interesse, lediglich
ihre Konsequenzen werden relevant für die weiteren Untersuchungen sein, denn die
Lokalisierung von Robotern erfordert scharfe Kamerabilder. Es zeigt sich, dass sich für
eine Entfernung fG, die sehr viel größer als f ist, fB kaum noch von f unterscheidet. So
lässt sich aus der Linsengleichung bei einer realistischen Brennweite von f = 6 mm (bei
gleichzeitig beispielsweise w = 4, 8 mm Breite eines handelsüblichen 1/3“-Bildsensors)
für einen nur fG = 1000 mm entfernten Gegenstand ableiten, dass die Bildweite für

3 Relative Lokalisierung von Robotern aus Kamerabildern 35
maximale Schärfe bei fB = 5, 964 mm ≈ 6 mm = f liegt. Dies bedeutet erst einmal,
dass ein unendlich weit entfernter Gegenstand direkt auf Höhe des Brennpunkts
scharf abgebildet wird. Bei Kameras heißt das, dass die Schärfeeinstellung „∞“ zu einer
Verschiebung der Bildebene auf exakt die Entfernung f zur Linse führt.
Unter bestimmten Voraussetzungen beginnt nun der Schärfebereich schon sehr nah am
Objektiv, der Unterschied von Brenn- und Bildweite lässt sich dann vernachlässigen.
Wichtig für die Schärfe einer Abbildung ist, dass die bei der Lichtbündelung der Linse
entstehenden Zerstreuungskreise eines Objektpunkts auf der Bildebene verschwindend
gering sind, für das menschliche Auge wird hierfür nach Haferkorn 1994, S. 608 f.
ein maximaler Durchmesser D der Kreise von 1
1500
der Bilddiagonale angesetzt. Liegt
eine kleine Brennweite im Vergleich zur Größe der Bildebene vor (der Bildwinkel ist
damit groß) und ist die Kamerablende weit geschlossen (gleichbedeutend mit einer hohen
Blendenzahl κ), so beginnt der Bereich der Schärfentiefe bei angemessener Fokussierung
fast unmittelbar vor der Linse. Dann wird nämlich die hyperfokale Distanz dhyp, also die
Entfernung, ab der alles als scharf empfunden wird, wegen ihrer Berechnungsvorschrift
sehr gering (vgl. Mouroulis & Macdonald 1997, S. 101 f.):
dhyp =
f 2
κ · D
Bei f = 6 mm, einer mittleren Blendenzahl κ = 8 und dem Durchmesser D = 0, 004 mm
(der sich bei 6 mm Bilddiagonale von 1/3“-Bildsensoren ergibt), bedeutet das etwa, dass
die Schärfentiefe bei dhyp = 1, 125 m anfängt. In der vorliegenden Arbeit sei von solchen
Umständen ausgegangen. Für alle folgenden Betrachtungen wird daher f = fB definiert
und nur noch als f bezeichnet, was die anstehenden Berechnungen übersichtlicher und
handhabbarer macht. Entsprechend werden die Begriffe „Brennweite“ und „Bildweite“
synonym verwendet. Eine solche Festsetzung ist keineswegs unüblich, nicht umsonst wird
etwa der Bildwinkel einer Kamera auf Basis der Brennweite angegeben, der horizontale
Bildwinkel ergibt sich entsprechend als η = 2·arctan
w
2f (vgl. Angel 2006, S. 17). Für
die erwähnte Einschränkung eines horizontalen Bildwinkels von maximal 90◦ resultiert
hieraus die Forderung f ≥ w
2
, wie sich leicht nachrechnen lässt.
Dies alles resultiert darin, dass für die Projektion eines Roboters auf ein Kamerabild
das Lochkameramodell zugrunde gelegt werden kann, wie es für Roboter in Russell
& Norvig 2003, S. 865 f. vorgeschlagen, in mehreren bereits besprochenen Lokalisierungsverfahren
(z.B. Davison et al. 2007, Krotkov 1989) und etwa auch allgemein
in der Computergrafik (vgl. Angel 2006, S. 16 f.) angewendet wird. Ebenso basieren
die Konzepte der verwandten Photogrammetrie, bei der Entfernungsberechnungen
anhand von Bildern verschiedener Kamerastandorte stattfinden, auf diesem Modell.
Abbildung 3.1 (links) stellt eine Lochkamera schematisch dar, sie führt zum als perspektivische
Projektion bekannten Bildverarbeitungsprozess: Die Sammellinse wird dabei
durch das Loch der Kamera repräsentiert, das dem Projektionszentrum C aller Abbildungen
entspricht und als unendlich klein angenommen wird, womit alle Objektpunkte
stets scharf abgebildet werden. Im Abstand der Brennweite f liegt dahinter die Rückwand
der Lochkamera, die einen Ausschnitt der realen Projektionsfläche mit Breite w
verkörpert. Ein Objekt wird in der Lochkamera bekanntermaßen horizontal und vertikal
spiegelverkehrt projiziert. Diese Umkehrung erweist sich jedoch im Zusammenhang

36 3.1 Grundlagen der Abbildungsoptik digitaler Kameras
w
f
C
cvirt Πreal f
C
f
w
c real
Π=Π virt
Abbildung 3.1: (links) Schematische Darstellung des Lochkameramodells. Ein Objekt wird
durch C spiegelverkehrt auf die im Abstand f dahinter liegende Bildebene Πreal der Breite
w projiziert. (rechts) Ein Objekt, das spiegelverkehrt als creal auf die reale Bildebene Πreal
projiziert wird, hat die nicht-spiegelverkehrte Projektion cvirt auf der virtuellen Bildebene Πvirt.
mit Kamerabildern als unintuitiv. Um Abhilfe zu leisten, wird im Folgenden stets die
virtuelle Projektionsfläche betrachtet, die sich im selben Abstand f vor dem Projektionszentrum
befindet (vgl. Abbildung 3.1 rechts): Eine spiegelverkehrte Projektion creal
auf der realen Bildebene Πreal der realen Projektionsfläche, liegt nämlich auf der dortigen
virtuellen Bildebene Πvirt als cvirt nicht-spiegelverkehrt vor. Auf diese Weise kann
die Bildebene direkt mit dem resultierenden Kamerabild identifiziert werden, weswegen
Πvirt von hier an als Grundlage dient und abkürzend als Bildebene Π definiert sei.
Reduktion der Problemstellung auf die Breite von Projektionen
Mit dem Vorwissen, dass ein zu lokalisierender Gegenstand eine bestimmte Größe und
Form hat, entsteht die Möglichkeit, aus einem Kamerabild auf die räumliche Lage des
Gegenstands und insbesondere dessen Entfernung rückschließen zu können. Wie in Kapitel
2.3 beschrieben, habe jeder Roboter eine zylindrische Form mit festem Radius r.
Da von einer Umgebung mit flacher Oberfläche ausgegangen wird, sind der lokalisierende
Roboter Rloc und ein zu lokalisierender Roboter Rproj vertikal gleich ausgerichtet,
das heißt, beide haben dieselbe Lotrichtung. Nun ist weiterhin vorgegeben, dass die von
der Kamera aus sichtbare Breite eines Roboters (im Folgenden Frontseite genannt) in
vollem Ausmaß erkennbar sei, sofern er nicht von einem davor liegenden Objekt partiell
verdeckt wird. Außerdem verläuft die optische Achse der Kamera von Rloc parallel
zur Oberfläche der Umgebung. Die Frontseite wird daher als Rechteck auf die Bildebene
projiziert, was in Abbildung 3.2 illustriert ist. Ein solches Rechteck wird dazu
dienlich sein, die räumliche Lage von Rproj zu bestimmen, was machbar ist, wenn die
Abbildungsparameter der Kamera bekannt sind. Es wird sich dabei hier und in allen
untenstehenden Analysen und Verfahren auf die Breite des Rechtecks beschränkt werden.
Dies erlaubt, eine vorliegende Projektionssituation in nur noch zwei Dimensionen
zu betrachten. Abbildung 3.3 veranschaulicht, welche Problemstellung sich aus dieser
Π real

3 Relative Lokalisierung von Robotern aus Kamerabildern 37
Roboter 2
Roboter 1
Kamerabild Sichtfeld
Abbildung 3.2: (links) Schematisches Kamerabild, auf dem zwei gleich große Roboter in
verschiedener Entfernung von der Kamera zu sehen sind. Die Kamera befindet sich auf halber
Höhe der beiden Roboter. (rechts) Zweidimensionale zum Kamerabild passende Darstellung,
die die räumliche Lage der Roboter im Bildwinkel der Kamera von oben zeigt.
Methode ergibt: Der Roboter Rproj befindet sich hier in seinen horizontalen Ausmaßen
von L über den Mittelpunkt M bis R, also einem Durchmesser von 2r, links vor der
Kamera. Sein sichtbarer Anteil reicht von LF bis RF und wird auf eine Fläche der Breite
c auf die Bildebene Π projiziert. Diese Projektion c mit ebenso benannter Breite ist perspektivisch
verzerrt, so läge etwa der Schnittpunkt der durch das Projektionszentrum
C und den Mittelpunkt M des Roboters definierten Gerade nicht auf dem Mittelpunkt
von c. Aus der Breite von c wird sich die räumliche Lage und daher auch die Entfernung
von M relativ zu C errechnen lassen, was Inhalt des nächsten Teilkapitels ist.
Der Raum, in dem die Lage der Roboter zueinander berechnet werden soll, wird dabei
durch ein zweidimensionales, kartesisches Koordinatensystem modelliert, dessen Koordinaten
vorerst relativ zum lokalisierenden Roboter Rloc in der Form (x | y) angegeben
werden. Das Projektionszentrum C der Kamera von Rloc liegt auf der y-Achse und zeigt
in deren positive Richtung, somit entspricht die y-Achse ab C der Hauptprojektionsachse
jeder Abbildung. Die x-Achse verläuft folgerichtig parallel zur Bildebene Π, wie aus
Abbildung 3.3 ersichtlich wird, und zwar zur Vereinfachung einiger, noch anstehender
Berechnungen durch C, womit C = (0 | 0) den Ursprung des Koordinatensystems beschreibt.
Für die Lage eines Roboters Rproj heißt das, dass alles von ihm, was sich links
der Hauptprojektionsachse befindet, auf den Bereich negativer x-Koordinaten projiziert
wird, alle Teile rechts der Achse hingegen auf den positiven Bereich. Es sei angemerkt,
dass die Größenverhältnisse (vor allem das von Roboter und Bildebene sowie das von
Bildebene und Bildweite) in Abbildung 3.3 lediglich Illustrationszwecken dienen und
bewusst keineswegs realen Maßstäben gerecht werden sollen.
Bei der Projektion der Frontseite von Rproj auf Π bezeichnen die Randpunkte A und
B der Projektion c die Schnittpunkte von Π mit den Projektionslinien, die durch das
Projektionszentrum C und den am weitesten links sichtbaren Punkt LF bzw. durch C
und den am weitesten rechts sichtbaren Punkt RF der Frontseite definiert sind. Zu A
und B gehören die Randkoordinaten (xA | yA) und (xB | yB), deren x-Koordinaten sich
aus dem Verhältnis zwischen Bildsensor-Breite und horizontaler Auflösung ableiten las-

38 3.1 Grundlagen der Abbildungsoptik digitaler Kameras
r M r
L R
L F
Rproj
A
c
R F
w
B
y
•
f
η_
2
Abbildung 3.3: Abbildung eines Roboters mit Radius r und Mittelpunkt M auf einen Teil
der Bildebene Π mit Breite c. w bezeichnet die Breite von Π, f die Bildweite zwischen Π und
Projektionszentrum C. Deren Verhältnis bestimmt den horizontalen Bildwinkel η.
sen und deren y-Koordinaten die der Bildebene sind. Bei der tatsächlichen Projektion
auf einen Bildsensor werden nun bei A und B zwei Randpixel pi und pj getroffen. Die
Pixel der Bildebene seien hierbei horizontal nummeriert von 0 bis m − 1. p bezeichne
außerdem die einheitliche Breite eines Pixels, es gilt also p = w
m . Die Höhe eines Pixels
ist im vorliegenden Kontext irrelevant und sei daher als 0 (und somit als nicht vorhanden)
festgesetzt. Mit den Koordinaten xA und xB wird dazu passend stets der linke
Randpunkt der Pixel pi und pj angesprochen.
Konsequenzen des Pixelaufbaus eines digitalen Kamerabilds
Eine entscheidende Erkenntnis besteht darin, dass aus den in der Praxis ermittelbaren
Ausprägungen einer Projektion c nicht deren exakte Lage auf der Bildebene erkennbar
ist; die einzigen Anhaltspunkte ergeben sich aus den zugehörigen Randpixeln pi und pj
mit den Randkoordinaten (xA | f) und (xB | f). Es sei nun und im Folgenden c die
tatsächliche (und unbekannte) Projektion. Dann gehören zu c im breitest möglichen Fall
die Randpunkte Amin = (xA | f) und Bmin = (xB + p | f). Bei solch einer Projektion
cmin hat der abgebildete Roboter Rproj offensichtlich die minimal mögliche Entfernung
dmin vom Projektionszentrum C. Umgekehrt verkörpert cmax mit Amax = (xA + p | f)
und Bmax = (xB | f) die Projektion, bei der die maximal mögliche Entfernung dmax
vorliegt. Die Indizes min und max werden in dieser Arbeit durchweg entsprechend der
Entfernung, die die indizierten Werte repräsentieren, verwendet, auch wenn es sich etwa
um aus den Projektionen hervorgehende Winkel oder ähnliches handelt. Aus cleft mit
Aleft = (xA | f) und Bleft = (xB | f) und cright mit Aright = (xA + p | f) und
Bright = (xB + p | f) gehen weiter die weitest links bzw. weitest rechts mögliche Lage
von Rproj hervor, wofür die Indizes left und right ab hier fortan stehen werden.
C
Π
x

3 Relative Lokalisierung von Robotern aus Kamerabildern 39
Um jetzt anhand einer Projektion c die Entfernung und Position des Mittelpunkts eines
Roboters bestimmen zu können, muss entschieden werden, in welcher Weise die Randpixel
von c interpretiert werden; jeder Zwischenwert zwischen cmin und cmax ebenso wie
zwischen cleft und cright wirkt intuitiv gesehen gleichwahrscheinlich. Würde jeweils einer
der Grenzfälle angenommen werden, so ließe dies einen Spielraum von bis zu zwei Pixeln
Unterschied zu, denn während etwa cmin eine Breite von (xB + p) − xA = (xB − xA) + p
hat, ist Selbige bei cmax nur xB − (xA + p) = (xB − xA) − p. Werden stattdessen die
Mittelpunkte der Pixel gewählt, weichen die beiden realen Randpunkte um maximal je
einen halben Pixel und damit die insgesamt vermutete Projektion um höchstens einen
Pixel ab. Anscheinend lässt sich so die maximale Abweichung zwischen vermuteter und
realer Projektionsbreite minimieren, weswegen dies das für alle Betrachtungen herangezogene
Verfahren sei: Seien pi und pj die Randpixel einer Projektion c. Dann bezeichne
csupp die vermutete Projektion und ebenso deren Breite. Die Randkoordinaten dieser
Projektion werden entsprechend als Asupp = (xA + p
2 | f) und Bsupp = (xB + p
2
vermutet und ein auf c projizierter Roboter habe die vermutete Entfernung dsupp.
Diese Definition hat die Konsequenz, dass die Projektion von Rproj für die auf ihre Genauigkeit
hin analysierbare Lokalisierung mindestens drei Pixel umfassen muss. Dann
ist zwar die Breite der vermuteten Projektion noch csupp = 2p, diejenige aber, welche die
maximal mögliche Entfernung von Rproj zu C repräsentiert, nur cmax = p, was wegen
der Schrittweite p vorausgesetzt werden muss, um mittels Abbildungsgeometrie auf eine
Entfernung schließen zu können. Die dabei relevanten Berechnungen folgen im nächsten
Teilkapitel. Darüber hinaus erweist sich eine weitere Forderung an eine Projektion c
für die Lokalisierbarkeit des projizierten Roboters als obligatorisch: Da die Randpunkte
von c für die Ermittlung der Entfernung bekannt sein müssen, dürfen diese nicht auf die
Randpunkte der Bildebene Π fallen oder gar die Ränder überschreiten. Das heißt, die
Projektion darf die beiden Pixel p0 und pm−1 nicht umfassen, muss sich also vielmehr
auf eine Teilmenge der Pixel p1, ..., pm−2 beschränken.
3.2 Berechnung der relativen Position eines Roboters aus
seiner Projektion
Es wird nun konstruktiv hergeleitet, wie sich aus den Randpunkten einer Projektion
bei gegebenen Kamera-Parametern die relative Lage eines projizierten Roboters Rproj
bekannter Größe zum Projektionszentrum C = (0 | 0) einer wie oben definierten Kamera
des lokalisierenden Roboters Rloc ermitteln lässt.
Ermittlung der Entfernung eines projizierten Roboters
Sei der Fall betrachtet, dass eine Projektion c von Rproj mit festem Radius r gegeben
ist. c umfasse die Pixel pi bis pj mit i < j. Für den Moment sei angenommen, dass die
genauen Stellen i + εi und j + εj mit 0 ≤ εi, εj ≤ 1, an denen die Projektion auf den
Pixeln ihre Randpunkte hat, bekannt sind. Dann lässt sich die Entfernung d des Mittelpunkts
M von Rproj zu C ebenso wie die daraus resultierenden Koordinaten von M wie
| f)

40 3.2 Berechnung der relativen Position eines Roboters aus seiner Projektion
•
r M r
L R
d M
δ
δ
r δʼ
r
L F r F M r
F F
R F
d F
A
B
α c β
b
d = d + d
F M
Abbildung 3.4: Geometrische Ermittlung der Entfernung d zwischen Projektionszentrum C
und dem Mittelpunkt M eines auf die Strecke c = AB projizierten Roboters mit Radius r.
im Folgenden beschrieben berechnen. Für die später betrachteten möglichen Fälle einer
realen Projektion werden die Eingangswerte i + εi und j + εj ersetzt durch die passenden,
im vorangegangenen Teilkapitel eingeführten Werte, so etwa bei der vermuteten
Projektion i + 1
2
und j + 1
2
180°
-β
a
γ
•
f
. Zur Veranschaulichung der einzelnen Schritte ist eine ex-
emplarische Projektion eines Roboters auf die Bildebene in Abbildung 3.4 schematisch
dargestellt, deren bislang noch nicht erklärten Aspekte an geeigneter Stelle aufgegriffen
werden. Ein Beispiel wird die Berechnungsvorschrift anschließend illustrieren.
Zu Beginn werden die Randkoordinaten A = (xA | yA) und B = (xB | yB) der Projektion
c, die aus den Pixeln i und j resultieren, benötigt. Sie definieren implizit auch
die Breite von c und lassen sich anhand der Eingangswerte des Bildsensors (Breite w in
Millimetern und horizontale Auflösung m in Pixeln) errechnen:
(i
A = + εi) − m
w
·
2 m f
(j
, B = + εj) − m
w
·
2 m f
Zu beachten ist hierbei, dass jeweils m
2
C
vom Eingangswert des Pixels abgezogen werden
muss, da die x-Koordinate in der Mitte der Bildebene 0 ist. Sind die Koordinaten von
A, B und C bekannt, können die Längen der verbleibenden Seiten des durch die Punkte
definierten Dreiecks nach Pythagoras ermittelt werden:
a = xB 2 + f 2 , b = xA 2 + f 2
Die Vorgabe, dass das Projektionszentrum C = (0 | 0) ist, vereinfacht an dieser Stelle
Π

3 Relative Lokalisierung von Robotern aus Kamerabildern 41
A
B
α c β
b
180°
-β
a
γ
•
f
C
Π
Abbildung 3.5: Die Berechnung von α und β über den Sinus der Seiten f und b bzw. f und
a hängt von der Lage der Projektion c zur Hauptprojektionsachse ab.
die Berechnung. Es wird aus Gründen der Übersichtlichkeit darauf verzichtet, die oben
angegebenen Formeln für die x-Koordinaten xA und xB von A und B einzusetzen.
Für die Berechnung der Entfernung des projizierten Roboters Rproj muss der Winkel δ,
der zwischen der Frontseite von Rproj und den beiden Projektionslinien an den Punkten
LF und RF besteht, bekannt sein (vgl. Abbildung 3.4). Dieser kann aus den Einfallswinkeln
α und β zwischen c und b bzw. c und a berechnet werden, wofür durch den
Sinus beschriebene Seitenverhältnisse ausgenutzt werden. Dazu muss jeweils für α und
β eine Fallunterscheidung getroffen werden, wo c bezüglich der Hauptprojektionsachse
liegt, was aus Abbildung 3.5 ersichtlich wird.
α =
arcsin( f
b ) für xA < 0
180 ◦ − arcsin( f
b ) für xA ≥ 0
, β =
•
f
180°
-α
γ
C
b
A
α
c
a
180 ◦ − arcsin( f
a ) für xB ≤ 0
arcsin( f
a ) für xB > 0
Daraus ergibt sich wegen der Innenwinkelsumme eines Dreiecks der c gegenüberliegende
Winkel γ = 180 ◦ − α − β. Da Rproj von zylindrischer Form ist, kann gefolgert werden,
dass der erwähnte Winkel δ an beiden Rändern von Rproj gleich groß ist, weswegen er
wiederum aus der Innenwinkelsumme resultiert:
δ = 180◦ − γ
2
= 180◦ − (180 ◦ − α − β)
2
= α + β
2
Gesucht ist die Entfernung zum Mittelpunkt von Rproj, aber wie erwähnt sind vom
Kamerastandort aus nicht dessen breiteste Ausmaße sichtbar, wie Abbildung 3.4 verdeutlicht:
Die Projektionslinien führen von den Punkten LF und RF zu C, die breiteste
Stelle wird aber durch die zu LF RF parallele Strecke LR beschrieben, auf der offensichtlich
auch M liegt. Vorerst ist aber die Länge rF der Strecke LF MF wichtig. Zusammen
mit MF M und LF M bildet sie ein rechtwinkliges Dreieck, wobei dessen Hypothenuse
den Radius r des Roboters beschreibt. LF M verläuft nun senkrecht zur Projektionslinie
LF C, denn Letztere ist eine Tangente von Rproj. Weiterhin besteht zwischen LF C und
LF MF der Winkel δ, also muss der Winkel zwischen LF MF und LF M die Größe 90◦ −δ
haben. Da das besprochene Dreieck rechtwinklig ist, folgt für den Winkel δ ′ zwischen
LF M und MF M nach Innenwinkelsumme, dass auch er δ ′ = 180◦ − (90◦ − δ) − 90◦ = δ
groß ist. δ ist bekannt, weswegen rF berechnet werden kann:
sin(δ) = rF
r ⇒ rF = sin(δ) · r = sin
α + β
2
· r
β
B
Π

42 3.2 Berechnung der relativen Position eines Roboters aus seiner Projektion
Die Entfernung d des Mittelpunkts M zu C lässt sich nun als d = dF + dM in zwei
Schritten berechnen. dF ergibt sich über den Tangens aus dem rechtwinkligen Dreieck,
das durch C, MF und LF beschrieben wird (vgl. Abbildung 3.4):
α + β
α + β
dF = tan(δ) · rF = tan · sin · r
2
2
dM ist hingegen über den Cosinus des Winkels δ und die Länge r der Seite LF M des
gleichermaßen rechtwinkligen Dreiecks mit den Eckpunkten M, LF und F herleitbar:
Damit folgt für die Entfernung d:
d =
tan= sin
cos
=
=
α + β
dM = cos(δ) · r = cos · r
2
α + β
α + β
tan · sin · r
2
2
+
α + β
cos · r
2
α+β
sin 2
cos
α + β
α + β
α+β · sin + cos
2
2
2
· r
2 sin α+β
2
cos α+β +
2
cos2 α+β
2
cos
α+β · r
2
Nun gilt wie in Pohlmann 1996, S. 16 beschrieben, dass sin 2 (x) + cos 2 (x) = 1 ist,
weswegen d final umgeformt werden kann:
r
d =
cos α+β
2
Von der Entfernung über den Projektionswinkel zur Position
Wenn die Entfernung d bekannt ist, kann M bestimmt werden. Dazu wird der Projektionswinkel
ϕ zwischen der Hauptprojektionsachse und der Strecke CM benötigt.
Auf den ersten Blick wirkt es so, als müssten die in Abbildung 3.6 dargestellten Fälle
(1)−(3) unterschieden werden, sofern α ≤ β, und symmetrische, nicht aufgeführte Fälle
(1) ′ − (3) ′ bei α > β. Es wird sich aber zeigen, dass für diese insgesamt sechs Möglichkeiten
eine einheitliche Berechnungsvorschrift für ϕ existiert. Angemerkt sei, dass der
triviale Fall, in dem α = β und somit ϕ = 0 ◦ gilt, in Fall (3) mit inbegriffen ist.
Bei Fall (1) − (3) liegt nun M jeweils im negativen Bereich der x-Achse. In Fall (1)
befindet sich c ebenfalls komplett in diesem Bereich, während c in Fall (2) bis zur
Hauptprojektionsachse reicht und in Fall (3) auch in den positiven Bereich ragt. Bei Fall
(1) ′ − (3) ′ liegt die entsprechende Situation für den positiven Bereich der x-Achse vor.
Die Unterschiede drücken sich in jeweils verschiedenen Größen und Verhältnissen der
Einfallswinkel α und β aus, wie unten aufgeführt ist. Der Projektionswinkel ϕ setzt sich
und ψ zusammen,
in allen Fällen jeweils aus einer Kombination der Winkel γ
2
= 180−α−β
2

3 Relative Lokalisierung von Robotern aus Kamerabildern 43
M
α
x M
•
β α
β
α
β
γ_
2
ψ
φ
•
y M
M
M
γ_
2
x M
•
•
y M
φ ψ
(1) (2)
(3)
C C C
Abbildung 3.6: Drei Fälle für α ≤ β bei der Berechnung des Projektionswinkels ϕ, der die
relative Lage des Roboters zum Projektionszentrum beschreibt. Die Fälle für α > β verhalten
sich symmetrisch. Jeweils ergibt sich die Berechnungsvorschrift ϕ = |α−β|
2 .
wobei in Fall (2) ψ = 0 gilt. Die Berechnung für ψ anhand der Dreieckinnenwinkelsumme
verläuft aber entsprechend Abbildung 3.6 verschieden:
⎧
180◦ − (180◦ − β) − 90◦ = β − 90◦ falls α < β, β > 90◦ (1)
180
⎪⎨
ψ =
◦ − (180◦ − α) − 90◦ = α − 90◦ falls α > β, α > 90◦ (1)’
180
⎪⎩
◦ − β − 90◦ = 90◦ − β falls α < β, β < 90◦ (3)
180◦ − α − 90◦ = 90◦ − α falls α > β, α < 90◦ (3)’
Damit folgt für ϕ:
⎧
⎪⎨
ϕ =
⎪⎩
x M
0 falls β = 90 ◦ (2) oder α = 90 ◦ (2)’
γ
2
+ ψ = 180−α−β
2
− 2β−180◦
2
γ 180−α−β
2 + ψ = 2 − 2α−180◦
2
γ
2 = 180◦−α−β 2
γ
2 = 180◦−α−β 2
γ
2
γ
2
− ψ = 180−α−β
2
− ψ = 180−α−β
2
= 180◦ −α−90 ◦
2
= 180◦ −90 ◦ −β
2
− 180◦ −2β
2
− 180◦ −2α
2
= β−α
2
= α−β
2
= 90◦ −α
2
= 90◦ −β
2
= β−α
2
= α−β
2
•
φ
γ_
2
γ_
2
•
y M
β−α
= 2
α−β
= 2
γ_
2
γ_
2
falls α < β, β > 90 ◦ (1)
falls α > β, α > 90 ◦ (1)’
falls β = 90 ◦ (2)
falls α = 90 ◦ (2)’
falls α < β, β < 90 ◦ (3)
falls α > β, α < 90 ◦ (3)’
Wie bereits angekündigt, kann ϕ damit einheitlich berechnet werden durch:
ϕ =
|α − β|
2
Zwar ist für einen Dreieckswinkel nur ein positiver Wert sinnvoll, für die Berechnung des
Mittelpunkts im negativen Bereich der x-Achse (wo also α < β und β > 90 ◦ gilt) erweist
es sich aber als nützlich, auch negative Winkel zuzulassen, denn der zugehörige Sinus
liefert dort im relevanten Winkelintervall −90 ◦ < ϕ < 0 ◦ auch negative Werte. Daher
wird für die abschließende Ermittlung der Koordinaten von M der Winkel ϕ ′ = α−β
2

44 3.2 Berechnung der relativen Position eines Roboters aus seiner Projektion
verwendet. Wie Abbildung 3.6 veranschaulicht, bilden die Strecken d, xM und yM ein
rechtwinkliges Dreieck. Dabei sind d und einer der weiteren Winkel (ϕ bzw. genauer:
ϕ ′ ) bereits bekannt, weswegen sich xM und yM ableiten lassen:
sin(ϕ ′
α − β
) = sin =
2
xM
d ⇒ xM
α − β
= sin · d
2
cos(ϕ ′
α − β
) = cos =
2
yM
d ⇒ yM
α − β
= cos · d
2
Es folgt für die Berechnung des vermuteten Mittelpunkts M = (xM | yM) eines proji-
r
zierten Roboters mit d = : α+β
cos
M =
2
α−β
sin 2
cos α+β · r
2
cos
α−β
2
cos
α+β · r
2
Beispiel: Die Kamera habe eine horizontale Auflösung von m = 720 Pixeln, ihr Bildsensor
die Breite w = 4, 8 mm mit einer Entfernung f = 6 mm zwischen Bildebene
Π und Projektionszentrum C = (0 | 0). Weiter habe der projizierte Roboter den
Radius r = 250 mm, seine 120 Pixel breite Projektion umfasse die Pixel i = 599 bis
einschließlich j = 718. Bei den folgenden Berechnungen ist die Einheit „mm“ der
entsprechenden Werte ausgeblendet, außerdem wird in jedem Schritt auf maximal
fünf Nachkommastellen gerundet.
Für die Koordinaten der vermuteten Projektion csupp (auf die Mitte der Randpixel)
ergibt sich:
Asupp =
Bsupp =
(599 + 1
2
(718 + 1
2
720 4,8
) − 2 · 720
) − 720
2
· 4,8
720
6
6
≈ 1, 59667 6
= 2, 39 6
Hieraus resultieren die folgenden Seitenlängen asupp und bsupp:
asupp = 2, 39 2 + 6 2 ≈ 6, 45849
bsupp ≈ 1, 59667 2 + 6 2 ≈ 6, 2088
Asupp und Bsupp haben Koordinaten, für die xAsupp ≥ 0 und xBsupp > 0 gilt. Daher
ergeben sich für die Winkel αsupp und βsupp folgende Werte:
αsupp ≈ 180◦ βsupp ≈
− arcsin
6 arcsin
6
6,45849
6,2088
≈ 104, 90135 ◦
≈ 68, 28101 ◦
Für γsupp ≈ 6, 81764 ◦ , δsupp ≈ 86, 59118 ◦ , rFsupp ≈ 249, 5767, dFsupp ≈ 4189, 6394
und dMsupp ≈ 14.86536 wird auf die Darstellung der Berechnung verzichtet. Ihre

3 Relative Lokalisierung von Robotern aus Kamerabildern 45
Angabe dient nur der Einschätzungsmöglichkeit, denn für die Berechnung der
Entfernung dsupp reichen wie erwähnt αsupp und βsupp aus:
dsupp ≈
250
104,90135◦ +68,28101◦ cos
2
≈ 4204, 5044
Der projizierte Roboter Rproj befindet sich also in einer vermuteten Entfernung
zum Projektionszentrum von etwa 4, 20 m. Für den Winkel ϕsupp, der die Lage
von Rproj zur Hauptprojektionsachse beschreibt, ergibt sich (auch hier ohne
Angabe der Berechnung) ϕsupp = ϕ ′ supp ≈ 18, 31017◦ . Er setzt sich als Summe
aus γsupp
2 ≈ 3, 40882◦ und ψsupp ≈ 14, 90135◦ nach dem oben beschriebenen Fall
(1) ′ zusammen. Somit lassen sich die vermuteten Koordinaten des Mittelpunkts
Msupp = (xMsupp | yMsupp) von Rproj ermitteln als:
xMsupp ≈ sin
yMsupp ≈ cos
104,90135 ◦ −68,28101 ◦
2
104,90135◦−68,28101◦ 2
· 4204, 5044 ≈ 1320, 8912
· 4204, 5044 ≈ 3991, 6292
Die vermutete Position von Rproj liegt also circa 3, 99 m vor und 1, 32 m rechts
vom Projektionszentrum.
An dieser Stelle stellt sich die Frage, welche Fehler bei der Berechnung von Entfernung
und Mittelpunkt auftreten können. Dabei sind nicht die Fehler gemeint, die durch Rundungsungenauigkeiten
auftreten, denn sie ließen sich logischerweise durch sehr genaue
Berechnungen auf vernachlässigbare Größen reduzieren. Vielmehr geht es um die Fehler,
die dadurch auftreten können, dass als Projektionsränder die Mittelpunkte der Randpixel
der Projektion angenommen werden. Der folgende Abschnitt behandelt daher eben
diese Fehlerquelle auf formale Weise.
3.3 Fehler in der Entfernungsberechnung
Untenstehend wird der maximale Fehler der vorgestellten Entfernungberechnung eines
Roboters Rproj aus seiner Projektion ermittelt. Satz 3.1 fasst das resultierende Ergebnis
anschließend zusammen. Es wird sich zeigen, dass die bei der Berechnung mögliche
Abweichung nach hinten am deutlichsten ausfällt. Der unterliegende Beweis führt über
verschiedene Aspekte und wird daher im Folgenden in mehrere Teilbeweise aufgeteilt.
Bislang wurde die Entfernung d von Rproj zum Projektionszentrum noch nicht hinsichtlich
der Faktoren, die sie bestimmen, untersucht. Das folgende Lemma besagt, dass die
Berechnung bei gegebener Robotergröße einzig von den wie oben definierten Einfallswinkeln
α und β abhängig ist.
Lemma 3.1 Sei die Projektion c eines Roboters Rproj mit exakten Randkoordinaten
A und B gegeben. c habe eine positive Breite. Seien α und β die Winkel zwischen den
Strecken AC und BC, wobei C das Projektionszentrum bezeichnet. Dann gilt:
Je größer die Summe der Winkel α und β, desto größer ist die Entfernung d des Mittelpunkts
M von Rproj zu C.

46 3.3 Fehler in der Entfernungsberechnung
Beweis: Die vorliegende Situation entspricht der bereits bekannten aus Abbildung 3.4.
Allgemein gilt wegen der Innenwinkelsumme eines Dreiecks, dass die Summe α+β stets
im Bereich 0 ◦ < α+β < 180 ◦ liegt. Wie gehabt ist die Entfernung von Rproj mit Radius r
gegeben durch d = r
cos(x)
mit x als halber Winkelsumme α+β
2
; Offensichtlich hängt d bei
gegebenem r von einer Funktion h(x) = 1
cos(x) ab und da cos′ (x) = − sin(x), berechnet
sich die Ableitung von h(x) nach Quotientenregel f ′ f
g = ′ g−fg ′
g2 (siehe Pohlmann
1996, S. 19) als:
h ′ (x) = 0 · cos(x) − 1 · − sin(x)
cos2 =
(x)
sin(x)
cos2 (x)
Wegen 0 ◦ < α + β < 180 ◦ kann x nur die Werte 0 ◦ < x < 90 ◦ annehmen. Bekanntlich
sind sowohl Sinus als auch Cosinus in diesem Intervall positiv, weswegen auch h ′ (x)
positiv ist. Das bedeutet, h(x) ist streng monoton steigend im Bereich 0◦ < α+β
2 < 90◦
und somit auch d = h(x) · r, was zu zeigen war.
An dieser Stelle ist eine weitere Erkenntnis leicht ableitbar, nämlich, dass die berechnete
Entfernung bei steigender Winkelsumme α + β immer schneller ansteigt. Dies wird für
die Abschlussargumentation im Beweis von Satz 3.1 relevant sein und ist im folgenden
Korollar festgehalten.
Korollar 3.1 Die Zunahme der Entfernung d des Mittelpunkts M eines projizierten
Roboters Rproj zum Projektionszentrum C ist streng monoton steigend bezüglich der
Winkelsumme α + β.
Beweis: Da r nur als konstanter Faktor in d auftritt, gilt für die Ableitung von d(x)
mit x = α+β
2 nach Produktregel (fg)′ = f ′ g + fg ′ (Pohlmann 1996, S. 19):
d ′ (x) = h ′ (x) · r = sin(x)
cos2 · r
(x)
Die Ableitung d ′ (x) ist ebenfalls streng monoton steigend, wenn ihre Ableitung d ′′ (x)
an jeder Stelle positiv ist. Es gilt sin ′ (x) = cos(x) und nach Produktregel weiter
cos 2′ (x) = −2 · sin(x) · cos(x). Mit diesem Wissen lässt sich die Ableitung von d ′ (x)
nach Quotientenregel berechnen als:
d ′′ (x) = h ′′ (x) · r = cos2 (x) + 2 · sin 2 (x)
cos 3 (x)
· r = 1 + sin2 (x)
cos 3 (x)
Bei der letzten Umformung wurde wie in Kapitel 3.2 sin 2 (x) + cos 2 (x) = 1 ausgenutzt.
Im relevanten Bereich 0 ◦ < α+β
2 < 90◦ sind Sinus und Cosinus jeweils positiv, weswegen
auch d ′′ (x) für alle möglichen Werte von x positiv ist.
Einfallswinkelsummen der möglichen Interpretationen einer Projektion
Es wurde gezeigt, dass bei steigender Summe α+β die Entfernung ebenfalls steigt. Dies
besagt keineswegs, dass im Allgemeinen die Entfernung eines Roboters größer ist, je
schmaler er projiziert wird. Im Gegenteil, Kapitel 3.4 wird zeigen, dass die Entfernung
eines Roboters unter anderem auch bei verschiedenen horizontalen Lagen gleich breiter
· r

3 Relative Lokalisierung von Robotern aus Kamerabildern 47
-
(x | f)
A
-
α
-
(x +ε c | f)
A
b
-
αʼ
bʼ
•
C
f
C
•
+
(x | f)
A
+
α
f b bʼ
+
(x +ε c | f)
A
+
αʼ
bʼ < b bʼ > b
- -
αʼ > α
+ +
αʼ > α
Abbildung 3.7: Eine Vergrößerung der Koordinate xA des linken Projektionsrands, wie hier
um den Wert εc, bewirkt eine Vergrößerung des Winkels α, sowohl bei α − im negativen als
auch bei α + im positiven Bereich der x-Achse.
Projektionen auf der Bildebene differiert. Dagegen erscheint es intuitiv, dass eine Projektion
ca, die bei gleichem Mittelpunkt wie eine Projektion cb schmaler als cb ist, auch
in einer weiteren Entfernung des zugehörigen Roboters resultiert. Diese Aussage gibt
das folgende Lemma wieder und wird untenstehend bewiesen. Insbesondere liegt hier
der Unterschied zwischen der vermuteten Breite einer Projektion und ihren möglichen
realen Breite im Fokus der Betrachtung, also etwa auch ihrer maximal möglichen.
Lemma 3.2 Sei das Projektionszentrum C = (0 | 0) und seien A = (xA | f) und
B = (xB | f) der linke und rechte Randpunkt der Projektion c eines Roboters. Seien
weiter b = AC, a = BC und α und β die Winkel zwischen b und c bzw. a und c.
Betrachte nun eine Projektion c ′ mit A ′ = (xA + εc | f) und B ′ = (xB − εc | f),
0 < εc < xB−xA
2 und entsprechend definierten Seiten a ′ und b ′ und Winkeln α ′ und β ′ .
Dann gilt: α < α ′ , β < β ′ und somit α + β < α ′ + β ′ .
Beweis: Betrachtet werden hier nur die Winkel α und α ′ . Für negative xA (im Folgenden
als xA − bezeichnet) berechnet sich wie gezeigt α = α− = arcsin f
b . Für positive xA
(xA + ) ist entsprechend α + = 180◦ − arcsin f
b .
Die Länge der Seite b ergibt sich dabei nach Pythagoras aus f 2 + xA 2 . Offensichtlich
ist also b ′ für xA − kürzer als b und für xA + länger als b. Dies ist in Abbildung 3.7
illustriert. Da die Arcussinusfunktion arcsin(x) im relevanten Intervall x ∈ [0, 1] streng
für steigende b fällt (und umgekehrt) folgt:
monoton steigend ist und x = f
b
α − = arcsin(
α + = 180 ◦ − arcsin(
f
f 2 + x −
A
f
f 2 + x +
A
2 )
2 )
f
< arcsin(
f 2 + (x −
) = α′−
2
A + εc)
< 180 ◦ f
− arcsin(
f 2 + (x +
) = α′+
2
A + εc)
b>b ′
b

48 3.3 Fehler in der Entfernungsberechnung
A min
α min
p
__
2
A supp
p
__
2
A max
α max
c min
c supp
c max
B max
α supp β max β supp β min
Abbildung 3.8: Unterschiede der Winkelsumme α + β je nach tatsächlichen Projektionskoordinaten.
csupp ist die Projektionsbreite, wenn die Projektion in der Mitte der Randpixel ihre
Ränder hat, während bei cmin ganz außen und bei cmax ganz innen gemessen wird. Die Breite
eines Pixels ist durch p gegeben.
Bis hierhin wurde herausgefunden, dass entferntere Roboter größere Winkelsummen
α + β ihrer Projektion aufweisen, dass schmalere Projektionen gegenüber breiteren an
derselben Stelle des Bildschirms höhere Winkelsummen haben und damit zu größeren
berechneten Entfernungen führen. Auch zeigte sich, dass der Anstieg der berechneten
Entfernungen nach hinten stärker wird. Dies zusammen reicht noch nicht um schlusszufolgern,
dass der mögliche Fehler einer Entfernungsberechnung maximal gegenüber der
maximal möglichen Entfernung ist. Was noch fehlt ist die Feststellung, dass die Winkelsumme
nicht etwa im Fernbereich schwächer anwächst als im Nahbereich, denn das
könnte den Anstieg in der Entfernungsberechnung mindestens ausgleichen. Der Beweis
des vorerst letzten Lemmas wird diese Feststellung belegen, vielmehr auch zeigen, dass
die Winkelsumme ebenfalls bei Verkleinerung einer Projektion stärker ansteigt, als sie
bei einer Vergrößerung gleichen Ausmaßes abfallen würde.
Lemma 3.3 Seien Asupp = (xA | f) die linke und Bsupp = (xB | f) die rechte vermutete
Randkoordinate einer Projektion csupp mit Projektionszentrum C = (0 | 0). Seien αsupp
und βsupp die Winkel zwischen csupp und AsuppC bzw. csupp und BsuppC.
Seien nun αmax und βmax die Winkel, die sich bei Randkoordinaten Amax = (xA+ p
2 | f)
und Bmax = (xB − p
2 | f) einer Projektion cmax ergeben würden, wobei p die Breite eines
Pixels bezeichne. Entsprechend seien αmin und βmin die Winkel einer Projektion cmin
mit Randkoordinaten Amin = (xA − p
2 | f) und Bmin = (xB + p
2
Dann ist der maximale Fehler ∆(α + β) der Winkelsumme αsupp + βsupp gegenüber der
tatsächlichen Winkelsumme α + β gegeben durch:
C
p
__
2
B supp
∆(α + β) = (αmax + βmax) − (αsupp + βsupp)
Beweis: Asupp und Bsupp entsprechen den Koordinaten der Mittelpunkte der beiden
äußersten Pixel der Projektion csupp. Im schlechtesten Fall kann die tatsächliche Pro-
| f).
p
__
2
B min

3 Relative Lokalisierung von Robotern aus Kamerabildern 49
cot(α)
-
cot(α )
min
-
cot(α )
supp
-
cot(α )
max
α
12
8
4
-4
-8
-12
cot(x)
25 50 75 100 125 150 175
cot'(x) = -
___1___
sin 2(x)
cot''(x) = 2•cos(x)
sin 3(x)
Abbildung 3.9: (links) Bei gleichem Abstand der Cotangens-Werte ist der Unterschied zwischen
αmin und αsupp im Bereich von 0 ◦ und 90 ◦ kleiner als der zwischen αsupp und αmax.
(rechts) Der Cotangens im Bereich von 0 ◦ bis 180 ◦ sowie dessen erste und zweite Ableitung.
jektion c auf jeder Seite um einen halben Pixel abweichen. Die Breite von cmax entspricht
folglich der minimal möglichen Breite von c, umgekehrt hat cmin die maximal mögliche
Breite von c (vgl. Abbildung 3.8).
Aus Lemma 3.2 folgt, dass αmax + βmax die für eine Projektion maximal mögliche
Einfallswinkelsumme ist, αmin + βmin hingegen die minimal mögliche. Für alle bei einer
gegebenen Projektion möglichen Einfallswinkelsummen σ gilt also:
αmin + βmin ≤ σ ≤ αmax + βmax
Zu zeigen bleibt daher, dass der Unterschied zwischen αmax + βmax und αsupp + βsupp
größer ist als der zwischen αmin+βmin und αsupp+βsupp. Es wird sich herausstellen, dass
dies auch für die Verhältnisse der einzelnen Winkel gilt, dass also etwa der Unterschied
zwischen αmin und αsupp kleiner als der zwischen αsupp und αmax ist. Aus Gründen
mathematischer Einfachheit wird der Beweis über den Cotangens der Winkel geführt.
Seien zu Beginn nur die Winkel α − min , α− supp und α− max für negative Werte von xA
betrachtet. Zu beachten ist, dass der größtmögliche solche Wert xA = − p
2 ist, da xA
einen Pixelmittelpunkt repräsentiert, und dass bei negativen Werten von xA für die
Winkel 0◦ < α − min < α− supp < α− max < 90◦ gilt, für die sich folgende Werte ergeben:
cot(α − min ) = |xA − p
f
2 |
, cot(α − supp) = |xA|
f , cot(α− max) = |xA + p
f
Offensichtlich ist der Abstand zwischen den Werten gleich (vgl. Abbildung 3.9 links),
es ist also cot(α− max) − cot(α− supp) = cot(α− supp) − cot(α − min ). Die Funktion cot(x) ist abschnittsweise
streng monoton fallend mit der Ableitung cot ′ (x) = − 1
sin2 , entsprechend
(x)
gilt cot(α − min ) > cot(α− supp) > cot(α − max). Abbildung 3.9 (rechts) zeigt den Cotangens
samt seiner ersten und zweiten Ableitung. Die Steigung von cot ′ (x) nimmt nun aber
im gegebenen Bereich streng monoton zu, denn cot ′′ (x) = 2·cos(x)
sin 3 (x) ist für alle Winkel
zwischen 0 ◦ und 90 ◦ größer als 0. Das bedeutet, der Bereich des Cotangens zwischen
2 |

50 3.3 Fehler in der Entfernungsberechnung
α − min und α− supp fällt stärker als der zwischen α − supp und α − max. Somit ist der Abstand
zwischen α − min und α− supp kleiner als der zwischen α − supp und α − max, was zu zeigen war.
Bei den aus Werten für xA ≥ p
2 resultierenden Winkeln α+ min , α+ supp und α + max ändern
sich nun die Berechnungsvorschriften. Es gilt:
cot(180 ◦ − α + min ) = xA − p
2 , cot(180
f
◦ − α + supp) = xA
f , cot(180◦ − α + max) = xA + p
2
f
Wiederum ist also der Abstand zwischen den Werten gleich. Die Ableitung des Cotangens
ist jedoch im Bereich 90 ◦ ≤ α + min < α+ supp < α + max < 180 ◦ streng monoton
fallend (vgl. Abbildung 3.9 rechts). Der Bereich des Cotangens zwischen 180 ◦ − α + min
und 180 ◦ − α + supp fällt also stärker als der zwischen 180 ◦ − α + supp und 180 ◦ − α + max. Somit
ist der Abstand zwischen α + min und α+ supp erneut kleiner als der zwischen α + supp und
α + max. Für alle αmin, αsupp und αmax gilt also die Behauptung.
Mittels Ersetzung des Werts xA durch xB, Ersetzung der Winkel α − min , α− supp und α − max
durch β + min , β+ supp und β + max und entsprechend α + min , α+ supp und α + max durch β − min , β− supp
und β − max lässt sich der vollzogene Beweis für die α-Winkel analog für die β-Winkel
durchführen, worauf hier verzichtet wird. Es folgt, dass der Unterschied der Winkel βmin
und βsupp stets kleiner ist als der zwischen βsupp und βmax. Insgesamt resultiert hieraus,
dass der maximale Unterschied zwischen der vermuteten Winkelsumme αsupp + βsupp
und einer beliebigen möglichen Winkelsumme im Unterschied zwischen αmax + βmax
und αsupp + βsupp besteht, und somit folgt die Gesamtaussage.
Maximaler Fehler der Entfernungsberechnung
Satz 3.1 Gegeben sei die tatsächliche Projektion c eines Roboters Rproj mit Projektionszentrum
C = (0 | 0), welche alle Pixel innerhalb des Bereichs A = (xA | f) bis
B = (xB + p | f) umfasst. Dabei bezeichne p die Breite eines Pixels.
Sei dsupp die vermutete Entfernung des Mittelpunkts M von Rproj zu C, bei der ange-
und der rechte Randpunkt
nommen wird, dass der linke Randpunkt von c bei x ′ p
A = xA+ 2
bei x ′ B = xB + p
2 liegt. Seien weiter dmax und dmin die Entfernungen, die sich für die
Randpunkte xA + p und xB bzw. xA und xB + p ergeben würden. Dann gilt:
Der Fehler ∆d in der Entfernungsberechnung von M zu C ist nach oben beschränkt
durch dmax − dsupp:
∆d ≤ dmax − dsupp
Beweis: Nach Lemma 3.1 sind sowohl dsupp als auch die minimale und maximale Entfernung
dmin und dmax des Mittelpunkts M von Rproj zu C proportional abhängig von
den durch dessen Projektion definierten möglichen Summen σ der Winkel zwischen Bildebene
und Projektionszentrum. Aus Lemma 3.2 ergibt sich weiter, dass die maximal
mögliche solche Winkelsumme σ für eine gegebene Projektion diejenige ist, aus der die
maximale Entfernung dmax hervorgeht. Entsprechend resultiert dmin aus der minimal
möglichen Winkelsumme.
Sei nun die Entfernung d als Funktion d(σ) ihrer zugrunde liegenden Winkelsumme σ
betrachtet. Nach Korollar 3.1 ist d(σ)−d(σ −εσ) < d(σ +εσ)−d(σ), wobei für εσ gelte:

3 Relative Lokalisierung von Robotern aus Kamerabildern 51
0 < εσ < min{σ, 180 ◦ − σ}. Für eine vermutetete Entfernung dsupp steigt die entsprechende
Funktion also in stärkerem Maß in Richtung dmax an, als sie in Richtung dmin
fällt. Da gleichzeitig nach Lemma 3.3 der Unterschied zwischen dmax und dsupp größer
als der zwischen dsupp und dmin ist, kann es schlussendlich keinen größeren Unterschied
zwischen vermuteter und realer Entfernung geben als dmax − dsupp.
Beispiel: Es wird erneut das Beispiel aus Kapitel 3.2 herangezogen, bei dem eine
Kamera mit m = 720 Pixeln, w = 4, 8 mm und f = 6 mm gegeben war. Für
einen Roboter Rproj mit Radius r = 250 mm ergab sich für dessen 120 Pixel
breite Projektion von Pixel i = 599 bis Pixel j = 718 die vermutete Entfernung
dsupp ≈
250 mm
104,90135◦ +68,28101◦ cos
2
≈ 4204, 5044 mm.
Bei der maximal möglichen Entfernung von Rproj liegen nun andere Randkoordinaten
für die sich ergebende Projektion vor, denn es wird wie angesprochen dabei
davon ausgegangen, dass sich der Rand der Projektion beim linken Randpixel
ganz rechts und beim rechten Randpixel ganz links befindet, folglich:
(599
720 4,8
Amax = + 1) − 2 · 720 6 = 1, 6 6
(718
720 4,8
Bmax = + 0) − 2 · 720 6 ≈ 2, 38667
6
Diese Koordinaten führen zu den beiden Seitenlängen amax ≈ 6, 45726 mm und
bmax ≈ 6, 20967 mm, aus denen wiederum die Winkel αmax ≈ 104, 93142 ◦ und
βmax ≈ 68, 30839 ◦ hervorgehen. Damit lässt sich die maximale Entfernung des
Mittelpunkts von Rproj zu C berechnen als:
dmax ≈
250
104,93142◦ +68,30839◦ cos
2
≈ 4240, 1935 mm
Die Differenz zwischen dmax und dsupp beschreibt nun wie gezeigt die obere Schranke
des Fehlers der Entfernungsberechnung:
∆d = dmax − dsupp ≈ (4240, 1935 − 4204, 5044) mm = 35, 6891 mm
Unter dem gegebenen Projektionswinkel ϕsupp hat eine Entfernungsschätzung der
ungefähren Größe 4, 20 m bei den gegebenen Kamera- und Roboter-Parametern
folgerichtig einen maximalen Fehler von gut 3, 5 cm.
Eine wichtige Beobachtung sei hierbei erwähnt; unter Verwendung von dmax ergibt
sich für den Mittelpunkt des Roboters Mmax ≈ (1332, 1978 mm | 4025, 4801 mm).
Wie sich leicht nachrechnen lässt, liegen Mmax, Msupp und C nicht auf einer Gerade.
Das bedeutet, durch Veränderung der Randpunkte A und B in gleichem Umfang
verschiebt sich der Mittelpunkt im Allgemeinen nicht etwa nur nach hinten,
sondern auch in geringem Maße zur Seite, was auf die perspektivische Verzerrung
schräger Projektionen zurückzuführen ist.

52 3.4 Exemplarische Fallstudien zum Berechnungsverfahren
In diesem Teilkapitel wurde gezeigt, wie sich die Genauigkeit einer berechneten Entfernung
allgemein abschätzen lässt. Da für jede beliebige konkrete Projektion der Fehlerbereich
der zugehörigen Entfernungsberechnung angegeben werden kann, besteht die
Möglichkeit, für eine gegebene Kamera eine Art zweidimensionale Karte anzugeben, die
die Güte von Positionen relativ zum Projektionszentrum hinsichtlich deren Schätzung
darstellt. Dies wird Thema des folgenden Teilkapitels sein, in dem es um konkrete Berechnungen
günstiger Positionen geht. Anschließend steht die Frage, ob und inwiefern
sich ein günstiger Bereich für die Entfernungsschätzung aus den bekannten Eingabedaten
von Kamera und Roboter allgemein mathematisch beschreiben lässt, im Mittelpunkt.
Damit komplettieren sich dann die nötigen Voraussetzungen für die Beschäftigung
mit etwaigen kooperativen Bewegungsstrategien einer Gruppe von Robotern, die
akzeptable Lokalisierungen in den hier behandelten Umgebungen zulassen.
3.4 Exemplarische Fallstudien zum Berechnungsverfahren
Das Beispiel des letzten Abschnitts ergab eine maximale Abweichung der Entfernungsberechnung
von etwa 3, 5 cm. Zweifelsohne sind noch geringere Ungenauigkeiten wünschenswert
und daher sei zu Beginn betrachtet, wie sich der Fehler ∆d in Abhängigkeit
zur Breite einer Projektion an einer bestimmten Stelle des Kamerabilds verhält. Tabelle
3.1 zeigt konkrete, gerundete Berechnungen für fünf Projektionen verschiedener Breite,
die alle ihren Mittelpunkt bei Pixel 510 von 720 haben, wobei dieselben Parameter
wie in den Beispielen zuvor verwendet werden. Für jede Pixelbreite ist die vermutete
Projektion fettgedruckt, darunter befinden sich die Projektionen maximal und minimal
möglicher Entfernung sowie die weitest links und weitest rechts mögliche. Die beiden
Spalten ganz links beinhalten die aus den angenommenen Projektionen resultierenden
Eingangswerte i und j, anhand derer die Randpunkte A und B der Projektion berechnet
werden (vgl. Kapitel 3.2). In den weiteren Spalten sind neben der Entfernung d und dem
Mittelpunkt M die für deren Berechnung notwendigen Einfallswinkel α und β aufgeführt.
Außerdem wird der Winkel ϕ ′ angegeben, da an diesem die mögliche horizontale
Abweichung der relativen Lage zwischen Kamera und Roboter ablesbar ist.
Bei einer 240 Pixel breiten Projektion, die für die gegebenen Parameter der Tabelle
nach bei einem rund 1, 95 m entfernten Roboter vorliegt, ist der maximale Fehler beschränkt
durch ∆d = dmax − dsupp ≈ 1958 mm − 1950 mm = 8 mm, entspricht also
einer Abweichung von unter 1 cm. Dies drückt sich auch in den daraus folgenden, möglichen
Koordinaten des Mittelpunkts aus, die allesamt in einem sehr kleinen Bereich
liegen. Bei nur noch 120 Pixeln hat die maximale Ungenauigkeit eine Größe von etwa
3927 mm − 3894 mm = 33 mm, bei 60 Pixeln schon 135 mm, bei 30 Pixeln 570 mm
und bei 10 Pixeln schließlich 6424 mm. Diese Werte legen die Vermutung nahe, dass
die Lokalisierung anhand eines einzelnen Kamerabilds nur im Nahbereich akzeptabel
funktioniert, denn ein Fehler von 57 cm wie bei der Projektion der Breite 30 Pixel
eines vermutet knapp 16 m entfernten Roboters erlaubt sicherlich keine vernünftige Bestimmung
der Roboterposition mehr (vgl. hierzu Kapitel 4.3 zur Fehlerakkumulation).
Interessant wirkt schon hier die Entwicklung des Fehlers ∆d, der sich bei Halbierung

3 Relative Lokalisierung von Robotern aus Kamerabildern 53
i j α β d ϕ ′ M = (xM | yM )
240 Pixel breite Projektion
390, 5 629, 5 91, 94 ◦ 73, 33 ◦ 1950 mm 9, 306 ◦ (315 mm | 1925 mm)
391 629 91, 97 ◦ 73, 36 ◦ 1958 mm 9, 307 ◦ (317 mm | 1933 mm)
390 630 91, 91 ◦ 73, 30 ◦ 1942 mm 9, 304 ◦ (314 mm | 1917 mm)
390 629 91, 91 ◦ 73, 36 ◦ 1950 mm 9, 275 ◦ (314 mm | 1925 mm)
391 630 91, 97 ◦ 73, 30 ◦ 1951 mm 9, 336 ◦ (316 mm | 1925 mm)
120 Pixel breite Projektion
450, 5 569, 5 95, 74 ◦ 76, 90 ◦ 3894 mm 9, 423 ◦ (638 mm|3842 mm)
451 569 95, 77 ◦ 76, 93 ◦ 3927 mm 9, 423 ◦ (643 mm | 3874 mm)
450 570 95, 71 ◦ 76, 87 ◦ 3862 mm 9, 422 ◦ (632 mm | 3810 mm)
450 569 95, 71 ◦ 76, 93 ◦ 3893 mm 9, 392 ◦ (635 mm | 3841 mm)
451 570 95, 77 ◦ 76, 87 ◦ 3895 mm 9, 454 ◦ (640 mm | 3842 mm)
60 Pixel breite Projektion
480, 5 539, 5 97, 63 ◦ 78, 72 ◦ 7843 mm 9, 453 ◦ (1288 mm | 7736 mm)
481 539 97, 66 ◦ 78, 75 ◦ 7978 mm 9, 453 ◦ (1310 mm | 7870 mm)
480 540 97, 59 ◦ 78, 69 ◦ 7712 mm 9, 452 ◦ (1267 mm | 7607 mm)
480 539 97, 59 ◦ 78, 75 ◦ 7841 mm 9, 421 ◦ (1284 mm | 7736 mm)
481 540 97, 66 ◦ 78, 69 ◦ 7844 mm 9, 484 ◦ (1292 mm | 7737 mm)
30 Pixel breite Projektion
495, 5 524, 5 98, 56 ◦ 79, 64 ◦ 15950 mm 9, 460 ◦ (2622 mm | 15733 mm)
496 524 98, 59 ◦ 79, 67 ◦ 16520 mm 9, 460 ◦ (2715 mm | 16295 mm)
495 525 98, 53 ◦ 79, 61 ◦ 15419 mm 9, 460 ◦ (2534 mm | 15209 mm)
495 524 98, 53 ◦ 79, 67 ◦ 15947 mm 9, 429 ◦ (2613 mm | 15732 mm)
496 525 98, 59 ◦ 79, 61 ◦ 15953 mm 9, 491 ◦ (2631 mm | 15735 mm)
10 Pixel breite Projektion
505, 5 514, 5 99, 18 ◦ 80, 26 ◦ 51389 mm 9, 462 ◦ (8448 mm | 50690 mm)
506 514 99, 21 ◦ 80, 29 ◦ 57813 mm 9, 462 ◦ (9504 mm | 57026 mm)
505 515 99, 15 ◦ 80, 23 ◦ 46251 mm 9, 462 ◦ (7603 mm | 45621 mm)
505 514 99, 15 ◦ 80, 29 ◦ 51380 mm 9, 431 ◦ (8419 mm | 50686 mm)
506 515 99, 21 ◦ 80, 23 ◦ 51399 mm 9, 493 ◦ (8477 mm | 50695 mm)
Tabelle 3.1: Vergleich der Entfernungen und Mittelpunkte für fünf Fälle (vermutet, maximal,
minimal, ganz links, ganz rechts) der realen Projektion bei fünf verschiedenen Projektionsbreiten
mit Mittelpunkt auf Pixel 510. Parameter: 720 Pixel horizontale Auflösung, 4, 8 mm Bildsensor-
Breite, 6 mm Bildweite und 250 mm Roboterradius.
der Projektionsbreite und ungefährer Verdopplung der vermuteten Entfernung in etwa
zu vervierfachen scheint, also quadratisch wächst. Ein Beweis dieser Annahme bleibt
hier unbeachtet seiner Machbarkeit außen vor, denn das Wissen darüber mag bei den
zu erarbeitenden Bewegungsstrategien ggf. hilfreich sein, keinesfalls aber notwendig für
deren Umsetzbarkeit.
Auffällig ist nun weiterhin, dass sich die resultierende Entfernung dleft bei einer angenommenen
Projektion cleft ganz links, ebenso wie dright bei einer Projektion cright ganz
rechts, selbst bei sehr geringer Pixelanzahl als fast identisch zur vermuteten Entfernung
dsupp erweist. So gilt für die in Tabelle 3.1 aufgelisteten Projektionen der Breite 10 Pixel,
dass dsupp − dleft ≈ 9 mm und dright − dsupp ≈ 10 mm beträgt. Je näher der Roboter
an der Kamera, um so geringer sind diese Werte sogar noch. Grund hierfür sind die auf

54 3.4 Exemplarische Fallstudien zum Berechnungsverfahren
den ersten Blick erstaunlich geringen Unterschiede von ϕ ′ left und ϕ′ right gegenüber dem
vermuteteten Winkel ϕ ′ supp. Bei allen dargestellten Projektionen liegen diese im Bereich
von 0, 03◦ bis 0, 031◦ und steigen bei zunehmender Entfernung der Roboter nahezu
nicht; eine Eigenschaft, die sich aus der Berechnung ϕ ′ = α−β
2 ergibt: Wenn sich sowohl
der linke als auch der rechte Projektionsrand in die gleiche Richtung um einen halben
Pixel verschieben, dann wachsen respektive fallen die sich aus dem Sinus von f und b
bzw. f und a ergebenden Werte von α und β (vgl. Kapitel 3.2) in praktisch gleichem
Maße (und somit auch deren Differenz), da die Breite eines Pixels sich nicht wesentlich
in den Längen von b und a bemerkbar macht. Als Konsequenz lässt sich ableiten, dass
der mögliche horizontale Unterschied der vermuteten zur realen Projektion im Vergleich
zum möglichen Unterschied der Breite der beiden vernachlässigbar ist. Auch dies soll
hier nicht bewiesen werden, da es keinen großen Mehrwert bietet: Die Ungenauigkeit der
Schätzung einer Roboterposition hängt unmittelbar vom Fehler der Entfernungsberechnung
ab, der wie gezeigt maximal ist, wenn anstatt der vermuteten Projektion auf die
Mitte der Randpixel die schmalstmögliche der realen Projektion entspricht. Trotzdem
darf nicht vergessen werden, dass auch die mögliche Links- oder Rechtsverschiebung
der Projektion eine Fehlerquelle liefert, die entscheidend für eine falsche Lokalisierung
sein kann. Dies wird klar, sobald eine exakt mittige Projektion vorliegt, bei der sich eine
Fehlbestimmung der x-Koordinate eines Mittelpunkts M etwa aus dem Unterschied
zwischen Mmax und Msupp nicht ersehen lässt.
Unterschiede je nach horizontaler Lage im Pixelbild
Diese Feststellung zieht nach der Untersuchung verschieden breiter Projektionen an ähnlichen
Stellen des Kamerabildes die Frage nach sich, wie sich Entfernungsberechnungen
gleich breiter Projektionen an verschiedenen Stellen des Kamerabildes unterscheiden.
Tabelle 3.2 illustriert dies für konkrete Eingabewerte und Projektionen von 60 Pixeln
Breite. Die Projektion, welche exakt in der Mitte der 720 Pixel liegt, veranschaulicht
das eben besprochene: zwar ist der größtmögliche Fehler der Entfernungsberechnung
wie gehabt durch den Unterschied zwischen dmax ≈ 7763 mm und dsupp ≈ 7631 mm
gegeben, die horizontalen Differenzen in den berechneten Mittelpunkten haben aber
bei den Projektionen cleft und cright ihr Maximum, auch wenn dieses nur etwa 4 mm
von der vermuteten x-Koordinate abweicht. Denn sowohl bei csupp als auch bei cmax
und cmin sind α und β identisch, weswegen jeweils ϕ ′ = 0 ◦ gilt und somit die daraus
abgeleiteten Roboterpositionen alle entlang der Hauptprojektionsachse verlaufen.
Allgemein verhalten sich die berechneten Werte in Tabelle 3.2 wie zu erwarten symmetrisch
zu dieser Achse. So resultiert eine 60 Pixel breite Projektion mit Mittelpunkt
bei Pixel 61 in der gleichen Schätzung dsupp ≈ 7843 mm und maximalen Abweichung
dmax−dsupp ≈ 135 mm wie bei Mittelpunkt 510. Entsprechend führen sie zu vermuteten
Positionen, die sich nur durch das Vorzeichen ihrer x-Koordinate unterscheiden.
Darüber hinaus lässt sich erkennen, dass eine Projektion der Breite c zu einer umso entfernteren,
vermuteten Roboterposition gehört, je weiter außen sie im Kamerabild liegt:
während sich bei einer exakt zentralen Projektion (mit Mittelpunkt auf Pixel 360) eine
Entfernung von etwa 7, 63 m ergibt, liegt der Wert für Pixel 659 bei circa 8, 47 m, die
Resultate unterscheiden sich also deutlich. Dies ließe sich über eine Betrachtung der Ent-

3 Relative Lokalisierung von Robotern aus Kamerabildern 55
i j α β d ϕ ′ M = (xM | yM )
Projektionsmittelpunkt auf Pixel 659
629, 5 688, 5 106, 67 ◦ 69, 95 ◦ 8472 mm 18, 361 ◦ (2669 mm | 8041 mm)
630 688 106, 70 ◦ 69, 98 ◦ 8618 mm 18, 362 ◦ (2715 mm | 8179 mm)
629 689 106, 64 ◦ 69, 92 ◦ 8331 mm 18, 360 ◦ (2624 mm | 7907 mm)
629 688 106, 64 ◦ 69, 98 ◦ 8469 mm 18, 332 ◦ (2664 mm | 8039 mm)
630 689 106, 70 ◦ 69, 92 ◦ 8475 mm 18, 390 ◦ (2674 mm | 8042 mm)
Projektionsmittelpunkt auf Pixel 510
480, 5 539, 5 97, 63 ◦ 78, 72 ◦ 7843 mm 9, 453 ◦ (1288 mm | 7736 mm)
481 539 97, 66 ◦ 78, 75 ◦ 7978 mm 9, 453 ◦ (1310 mm | 7870 mm)
480 540 97, 59 ◦ 78, 69 ◦ 7712 mm 9, 452 ◦ (1267 mm | 7607 mm)
480 539 97, 59 ◦ 78, 75 ◦ 7841 mm 9, 422 ◦ (1284 mm | 7736 mm)
481 540 97, 66 ◦ 78, 69 ◦ 7844 mm 9, 484 ◦ (1292 mm | 7737 mm)
Projektionsmittelpunkt auf Pixel 360
330, 5 389, 5 88, 12 ◦ 88, 12 ◦ 7631 mm 0, 000 ◦ (0 mm | 7631 mm)
331 389 88, 15 ◦ 88, 15 ◦ 7763 mm 0, 000 ◦ (0 mm | 7763 mm)
330 390 88, 09 ◦ 88, 09 ◦ 7504 mm 0, 000 ◦ (0 mm | 7504 mm)
330 389 88, 09 ◦ 88, 15 ◦ 7631 mm −0, 032 ◦ (−4 mm | 7631 mm)
331 390 88, 15 ◦ 88, 09 ◦ 7631 mm 0, 032 ◦ (4 mm | 7631 mm)
Projektionsmittelpunkt auf Pixel 210
180, 5 239, 5 78, 72 ◦ 97, 63 ◦ 7843 mm −9, 453 ◦ (−1288 mm | 7736 mm)
181 239 78, 75 ◦ 97, 66 ◦ 7978 mm −9, 453 ◦ (−1310 mm | 7870 mm)
180 240 78, 69 ◦ 97, 59 ◦ 7712 mm −9, 452 ◦ (−1267 mm | 7607 mm)
180 239 87, 69 ◦ 97, 66 ◦ 7844 mm −9, 484 ◦ (−1292 mm | 7737 mm)
181 240 78, 75 ◦ 97, 59 ◦ 7841 mm −9, 422 ◦ (−1284 mm | 7736 mm)
Projektionsmittelpunkt auf Pixel 61
31, 5 90, 5 69, 95 ◦ 106, 67 ◦ 8472 mm −18, 361 ◦ (−2669 mm | 8041 mm)
32 90 69, 98 ◦ 106, 70 ◦ 8618 mm −18, 362 ◦ (−2715 mm | 8179 mm)
31 91 69, 92 ◦ 106, 64 ◦ 8331 mm −18, 360 ◦ (−2624 mm | 7907 mm)
31 90 69, 92 ◦ 106, 70 ◦ 8475 mm −18, 390 ◦ (−2674 mm | 8042 mm)
32 91 69, 98 ◦ 106, 64 ◦ 8469 mm −18, 332 ◦ (−2664 mm | 8039 mm)
Tabelle 3.2: Vergleich der Entfernungen und Mittelpunkte der verschiedenen Möglichkeiten
(vermutet, maximal, minimal, ganz links, ganz rechts) einer 60 Pixel breiten Projektion für fünf
verschiedene Projektionsmittelpunkte. Parameter: 720 Pixel horizontale Auflösung, 4, 8 mm
Bildsensor-Breite, 6 mm Bildweite und 250 mm Roboterradius.
wicklung der Winkel bei Änderung der Projektionsbreite allgemein beweisen; im Laufe
dieser Arbeit zeigte sich aber, dass daraus für das vorliegende Thema keinerlei Nutzen
entsteht. Auch der Fehler ∆d steigt nach außen hin (bei den behandelten Projektionen
von 132 mm auf 146 mm), was aber an diesem Punkt wenig Schlussfolgerungen zulässt.
Denn es bleibt zumindest hier fraglich, ob die höhere Ungenauigkeit aus der größeren
Entfernung, der stärkeren perspektivischen Verzerrung schräger Projektionen oder aus
einer wie auch immer beschaffenen Kombination dieser beiden entspringt.
Darstellung der Berechnungsgenauigkeit in zweidimensionalen Karten
Zur Veranschaulichung dieser Problematik für konkrete Zahlen hilft eine Darstellung
aller relevanter Ausgabewerte bei Eingabe der bekannten Parameter, also der horizonta-

56 3.4 Exemplarische Fallstudien zum Berechnungsverfahren
Abbildung 3.10: (links) Lokalisierungskarte für eine Kamera mit C = (0 | 0), 720 Pixeln
horizontaler Auflösung, 4, 8 mm Bildsensor-Breite und 6 mm Bildweite sowie Robotern mit
Radius 25 cm. Grün steht für gut lokalisierbare Roboterpositionen, Rot für schlecht lokalisierbare.
(rechts) Graphische Darstellung der vermuteten Positionen nach Breite der zugehörigen
Projektionen. Die einzelnen Linien bezeichnen jeweils Projektionen gleicher Breite in Pixeln.
len Auflösung, der Bildsensor-Breite, der Bildweite und des Roboterradius. Im Rahmen
dieser Arbeit wurde ein Java-Programm entwickelt, das dem entgegenkommt, indem
es zu diesen dort einstellbaren Parametern eine zweidimensionale Karte (im Folgenden
Lokalisierungskarte genannt) erstellt, die die Güte von Positionen anderer Roboter relativ
zum Projektionszentrum der Kamera hinsichtlich der Genauigkeit der Lokalisierung
visualisiert. Diese Software ist auf der der Arbeit beiliegenden CD enthalten und in
Anhang A grundlegend dokumentiert.
Abbildung 3.10 (links) zeigt ein exemplarisches Ausgabebild des Programms: Die Lokalisierungskarte
bewertet Positionen vom Projektionszentrum (0 | 0) aus gesehen nach
der maximal möglichen Abweichung der Entfernungsschätzung, hier im Bereich von
x ∈ [−210 cm, 210 cm] und y ∈ [0 cm, 700 cm]. Dort, wo die Karte grün ist, kann
eine Lokalisierung relativ genau stattfinden, dort, wo sie rot ist, nur ungenau. Positionen
dazwischen sind in den auf dem Farbkreis zwischen Rot und Grün liegenden
Farben gehalten. Für das gegebene Bild wurde im Eingabebereich des Programms eine

3 Relative Lokalisierung von Robotern aus Kamerabildern 57
günstige Position als eine mit Fehler ∆d ≤ 0, 01 m definiert, eine ungünstige mit im
schlechten Falle Fehlern größer 0, 1 m. So hat etwa die Position (0, 2446 m | 1, 9544 m)
die geschätzte Entfernung 1, 9696 m mit Fehler ∆d ≤ 0, 0083 m. Diese Daten sind in
der Abbildung nicht textuell dargestellt, den Anzeigen des Programms aber ebenso wie
weitere Werte entnehmbar. Weiße Stellen der Karte repräsentieren nun Positionen, an
denen Roboter nicht lokalisierbar sind. Sie ergeben sich implizit aus den Eingabewerten;
direkt vor der Kamera überschreitet die Projektion eines Roboters die Breite des
Kamerabilds, so sind bei den gegebenen Parametern keine Roboter lokalisierbar, die weniger
als etwa 0, 7 m vom Projektionszentrum entfernt sind. Auch lassen sich Roboter,
die links und rechts vom Bildwinkel der Kamera stehen, nicht lokalisieren, da sich ihre
Projektionen (zumindest partiell) außerhalb der Bildebene befinden.
Die Lokalisierungskarte gibt also Aufschluss darüber, wo sich andere Roboter aufhalten
müssen, damit sie anhand eines Kamerabildes vernünftig zu lokalisieren sind. Nicht
überraschend zeigt sich, dass die Qualität der Lokalisierung mit zunehmender Entfernung
vom Projektionszentrum abnimmt. Jedoch ist bereits hier erkennbar, dass gleich
genau bestimmbare Positionen nicht etwa radial um das Projektionszentrum herum liegen,
sondern dass näher an der Hauptprojektionsachse befindliche Positionen größere
Abweichungen vorweisen als weiter außen liegende mit gleicher Entfernungsschätzung.
Um die unterliegende Frage der Verteilung von Positionen mit gleich großer Berechnungsungenauigkeit
wird es genauer aber erst im folgenden Abschnitt gehen. Hier sei
schon darauf hingewiesen, dass sicherlich nicht allein die Größe der Projektion ausschlaggebend
für die Güte der Entfernungsschätzung ist, wie Abbildung 3.10 (rechts)
verdeutlicht, die ebenfalls mit der Software erzeugt wurde. Sie zeigt, wie es sich mit
der gegenseitigen Lage von Mittelpunkten, die zu gleich breiten Projektionen führen,
verhält: die sichtbaren, leicht nach oben gebogenen Kurven beziehen sich jeweils auf
Projektionen gleicher Pixelzahl und korrespondieren nicht mit den Farbbelegungen von
Abbildung 3.10 (links).
Es stellt sich die Frage, welche Konsequenzen Änderungen der bekannten Eingabeparameter
für die Lokalisierungskarten haben. Da sich die Auswirkungen intuitiv verhalten,
wird hier erneut auf mathematische Beweise verzichtet, eine beispielhafte Betrachtung
wird hingegen als ausreichend erachtet. Abbildung 3.11 illustriert, was prinzipiell bei
Modifikation jeweils eines Parameters passiert. Die Lokalisierungskarte aus Abbildung
3.10 (links) ist zum Vergleich noch einmal in Abbildung 3.11 (links) dargestellt. Bei
gleichbleibendem Verhältnis von Bildebene und Bildweite, also bei gleichem horizontalem
Bildwinkel, führt eine Erhöhung der horizontalen Auflösung erwartungsgemäß zu
geringeren Ungenauigkeiten (Abbildung 3.11 halb links), da ein Roboter mit Entfernung
d in diesem Fall eine von der Pixelanzahl her breitere Projektion c erzeugt, weswegen
sich Pixelunterschiede weniger auswirken. Wird nun der horizontale Bildwinkel η etwa
wie in Abbildung 3.11 (halb rechts) vergrößert zu η ′ (das meint eine Vergrößerung
der Bildsensor-Breite oder eine Verkleinerung der Bildweite), so weisen bereits geringere
Entfernungsberechnungen stärkere Abweichungen auf. Dies ist begründet in der
Tatsache, dass sich ein Roboter bei Bildwinkel η ′ näher am Projektionszentrum befinden
muss als bei Bildwinkel η, um auf eine Fläche der Breite c projiziert zu werden,
da der zu c gehörige Winkel γ (vgl. Kapitel 3.2) in diesem Fall größer ist. Abbildung
3.11 (rechts) zeigt nun letztlich eine Verkleinerung des Roboterradius. Aus ihr resultiert

58 3.5 Ermittlung eines günstigen Bereichs zur Lokalisierung von Robotern
Abbildung 3.11: Vergleich von Lokalisierungskarten bei Änderung jeweils eines Parameters.
(links) Ausgangsbild: Horizontale Auflösung 720 Pixel, Verhältnis Projektionsbreite zu Bildweite
4 : 5, Roboterradius 25 cm. (halb links) Horizontale Auflösung 1280 Pixel. (halb rechts)
Verhältnis Projektionsbreite zu Bildweite 1 : 1. (rechts) Radius des Roboters 12, 5 cm.
ebenfalls, dass der Fehler ∆d schon in geringeren Entfernungen höher ist, denn bei gleicher
Entfernung d ist die Projektion eines kleineren Roboters schmaler. Folglich wirken
sich Pixelunterschiede wie bekannt deutlicher aus.
Dieses Teilkapitel diente dazu, eine Vorstellung von den bei den Berechnungen auftretetenden
Werten und ihren Ungenauigkeiten zu bekommen. Eine formale Ermittlung
der verschiedenen Eigenschaften stand hingegen nicht im Fokus des Interesses. In der
Praxis, also bei der durch Kommunikation gegenseitig gesteuerten Bewegung der Roboter,
um die es bei den Strategien in Kapitel 4 gehen wird, würden prinzipiell konkrete
Berechnungen ausreichen, denn natürlich kann ein Roboter stets erfragen, ob seine aktuelle
Position vom einem ihn beobachtenden Roboter in einer vorgegebenen Genauigkeit
bestimmt werden kann, schließlich lässt sich dmax − dsupp jederzeit errechnen.
Für eine theoretische Hinterfragung, welche Bewegungsabläufe allgemein sinnvoll sein
könnten, haben mathematisch verifizierbare Schranken aber einen großen Nutzen. Deshalb
wird der letzte Abschnitt dieses Kapitels sich mit diesbezüglich herleitbaren Erkenntnissen
beschäftigen. Es wird sich zeigen, dass die vorgestellten Berechnungsvorschriften
aus Kapitel 3.2 sich dabei komplizierend auswirken und daher bestimmte Abstriche
bei den Ergebnissen akzeptiert werden müssen.
3.5 Ermittlung eines günstigen Bereichs zur Lokalisierung
von Robotern
Ziel diesen letzten Teilkapitels zur Analyse der Kamerabilder ist es, einen Bereich relativ
zur Lage des Projektionszentrums der Kamera unabhängig konkreter Eingabeparameter
zu definieren, in dem sich Roboter vernünftig lokalisieren lassen. Vernünftig meint

3 Relative Lokalisierung von Robotern aus Kamerabildern 59
hier, dass dabei ein fester, aber bei der Bestimmung beliebig gewählter Wert ε für die
maximale Abweichung der Entfernungsberechnung nicht überschritten wird. Ein solcher
Bereich G, der die Bezeichnung günstiger Bereich trage, wird sich als nützlich für die
Entwicklung von Bewegungsstrategien erweisen, da die sequentielle Fortbewegung einer
Gruppe von Robotern darauf basierend untersucht werden kann, ohne die Kommunikation
zwischen den Robotern oder die konkreten Koordinaten innerhalb der Planung der
Bewegungsabläufe beachten zu müssen: Eine einzelne Bewegungsabfolge eines Roboters
kann dann abstrakt gesehen als Umpositionierung von einem günstigen Bereich in einen
anderen aufgefasst werden.
Ansätze zur Bestimmung eines exakten Bereichs
Die Lokalisierungskarten aus dem vorigen Teilkapitel gaben bereits Hinweise darauf, wie
ein günstiger Bereich in etwa aussieht. Vom Projektionszentrum aus betrachtet endet
die zugehörige Fläche links und rechts je an einer Gerade, die sich aus dem horizontalen
Bildwinkel der Kamera ergibt: Wenn die Projektion eines Roboters bis zu einem Rand
der Bildebene reicht, kann die Entfernung des Roboters nicht mehr bestimmt werden, da
sich nicht ermitteln lässt, ob die Projektion noch außerhalb der Bildebene weitergehen
würde. Aus diesem Grund werden die entsprechenden Geraden gL und gR im Folgenden
linke und rechte Sichtgrenze genannt. Ehe es um diese Grenzen geht, sei zuvor deren
Schnittpunkt VG bestimmt. Nach den Lokalisierungskarten und auch intuitiv ersichtlich
schneiden sich die Geraden nahe dem Projektionszentrum auf der Hauptprojektionsachse.
Denn VG repräsentiert den Mittelpunkt eines Roboters, dessen Projektion c die
komplette Breite der Bildebene mit Ausnahme der Randpixel einnimmt, also alle Pixel
von einschließlich i = 1 bis j = m − 2, wobei m wie gehabt die Anzahl der horizontalen
Pixel p0, p1, ..., pm−1 beschreibt. Es werde nun also VG berechnet. Für die vermutete
Projektion csupp ergeben sich mit i und j folgende Koordinaten der Randpunkte:
1
1 m
Asupp = (xA | yA) = + 2 − 2 · w
m
f
3 − m
= ·
2
w
m f
m
1 m
Bsupp = (xB | yB) = − 2 + 2 − 2 · w
m
f
m − 3
= ·
2
w
m f
Wie zu erwarten unterscheiden sich Asupp und Bsupp nur im Vorzeichen ihrer x-Koordinate,
denn αsupp und βsupp sind selbstredend gleich groß. Es folgt für die bekannten Strecken
asupp und bsupp:
asupp = bsupp =
m − 3
2
· w
2 3 − m
+ f 2 =
m
2
· w 2 + f 2
m
Mittels asupp (oder wahlweise auch bsupp) kann nun die vermutete Entfernung dsupp
berechnet werden, da sich αsupp = βsupp aus asupp ergibt:
dsupp =
=
r
αsupp+βsupp
cos 2
1 +
=
f 2
xB 2
· r = 1 +
r xB =
asupp
asupp
· r =
xB
f 2
m−3
· 2 w
2 · r =
m
xB 2 + f 2
· r
xB
1 + 4 · m2 · f 2
(m − 3) 2 · r
· w2

60 3.5 Ermittlung eines günstigen Bereichs zur Lokalisierung von Robotern
Somit sich ergibt sich mit dem Wissen, dass αsupp − βsupp = 0 und als Konsequenz
sin α−β α−β
2 = 0 und cos 2 = 1 ist, für den zu berechnenden Punkt VG = (0 · d | 1 · d):
VG = 0
1 + 4 · m2 · f 2
(m − 3) 2 · r
· w2 Die y-Koordinate von VG stellt somit gleichzeitig den y-Achsen-Abschnitt der Geraden
gL und gR dar, weshalb deren Steigungen s(gL) und s(gR) zu ermitteln bleiben. Da
offensichtlich −s(gL) = s(gR) gilt, reicht es, eine von beiden herauszufinden. Sei nun
die durch C = (0 | 0) und Bsupp = m−3
2 · w
m f definierte Gerade betrachtet. Der
Mittelpunkt jedes Roboters, dessen rechter Projektionsrand durch Bsupp gegeben ist,
hat die Entfernung r von dieser Gerade. Natürlich werden diese Mittelpunkte genau
durch die Gerade gR zusammengefasst, folgerichtig muss gR parallel zur Gerade durch
B und C sein, womit sich s(gR) und daher auch s(gL) wie folgt berechnen lassen:
s(gR) = yB − yC
xB − xC
f − 0
=
m−3
2 · w
2 · m · f
=
m − 0 (m − 3) · w ⇒ s(gL)
2 · m · f
= −
(m − 3) · w
Es resultieren also folgende Funktionen der beiden gesuchten Sichtgrenzen:
gL(x) =
gR(x) =
1 + 4 · m2 · f 2
(m − 3) 2 · r
· w2 1 + 4 · m2 · f 2
(m − 3) 2 · r
· w2
2 · m · f
− · x
(m − 3) · w
+ 2 · m · f
· x
(m − 3) · w
Entsprechend ergibt sich der Sichtwinkel ηG, also der Teil des horizontalen Bildwinkels
η, in dem Roboter lokalisierbar sind, aus dem Arcustangens des Winkels an Bsupp (oder
auch Asupp):
ηG = 2 · arctan (m − 3) · w
2 · m · f
Schließlich stellt sich die in diesem Zusammenhang sicherlich wichtigste Frage, wie der
günstige Bereich nach hinten abgeschlossen ist. Da die Ungenauigkeit der Berechnung
wie gezeigt mit zunehmender Entfernung steigt, wird hier eine Abweichungsgrenze gH
nach hinten gesucht. Im optimalen Fall wäre also eine Funktion der Abweichungsgrenze
wünschenswert, die in Abhängigkeit zu einer der aus einer Projektion resultierenden
Randkoordinaten (zum Beispiel xA) die zugehörige y-Koordinate liefert, so dass
die maximale Abweichung ∆d = dmax − dsupp einen beliebigen, aber fest gewählten
Wert ε nicht überschreitet. Zweifelsohne beeinflussen die horizontale Auflösung m, die
Bildsensor-Breite w, die Bildweite f und der Roboterradius r die Werte einer solchen

3 Relative Lokalisierung von Robotern aus Kamerabildern 61
Funktion, denn das letzte Teilkapitel hat untermauert, dass Änderungen dieser Werte
zu Variationen der Lokalisierungskarten führen.
Problematischerweise berechnet sich aber die Ungenauigkeit wie vorgestellt über den
Cosinus der halben Winkelsumme α+β
2 . Es wurde in dieser Arbeit kein Weg gefunden,
aus der Summe generell Rückschlüsse auf die Koordinaten xA und xB machen zu können,
da sich α und β, die selbst über eine der Winkelverhältnisfunktionen bestimmt werden
müssen, nicht aus der Summe isolieren lassen. Ein Sonderfall ergibt sich bei Projektionen
in der Mitte der Bildebene. Hier gilt α = β, weswegen cos α+β xB
2 = cos(α) = a folgt.
Damit eine maximale Abweichung ε bei der Entfernungsberechnung eingehalten wird,
muss also folgende Ungleichung gelten:
r · (xBsupp +
ε ≤ dmax − dsupp =
p
2 )2 + f 2
r · xB
−
2 supp + f 2
xBsupp + p
2
xBsupp
Hierbei bezeichnet p wie gehabt die Breite eines Pixels. Es sei auf die Angabe der
Umformung verzichtet, aus der sich folgende zu lösende Ungleichung ergibt, wobei aus
definiert seien:
Gründen der Übersichtlichkeit s := ε
r
und t := p
2
(4s 2 − s 4 ) · xB + t) 4 · xB 4 − 2f 2 s 2 · (xB + t) 4 · xB 2 − f 4 · xB 4
+(4f 2 s 2 − f 4 ) · (xB + t) 4 + 2f 2 s 2 · (xB + t) 2 · xB 4 + 2f 4 · (xB + t) 2 · xB 2 ≥ 0
Es handelt sich hier also auf der linken Seite der Ungleichung um ein Polynom achten
Grades, so dass es für die Lösung der Ungleichung keinen allgemeinen Ansatz gibt. Ein
erneutes Mal liegt eine Situation vor, bei der es nicht weitergeht, selbst die verbreitete
Mathematik-Software MuPAD (vgl. SciFace 2008) kann die Ungleichung nicht nach
xB auflösen. Aufgrund der genannten Probleme bleibt daher hier offen, wie eine exakte
Abweichungsgrenze aussieht. Abbildung 3.12 (links) zeigt, wie der sich ergebende,
günstige Bereich G aussehen könnte. Dabei sei angemerkt, dass sich die dargestellte
Kurvenform der Funktion gH an Messwerten orientiert, auf die hier nicht genauer eingegangen
wird, weil kein theoretisches Fundament dafür hergeleitet wurde.
Näherung der Grenze vernünftiger Lokalisierbarkeit
Im Folgenden wird als Ausweg eine Näherung ˜gH der Abweichungsgrenze entwickelt,
die auf den ersten Blick unangemessen erscheinen mag, sich in der Praxis aber durchaus
als tauglich erweist, wie teils argumentativ, teils formal begründet werden wird. Die
soeben beschriebenen Schwierigkeiten resultierten zum einen aus der Komplexität der
Entfernungsberechnung, die auf die halbe Winkelsumme α+β
2 zurückgeht, zum anderen
aus der Berechnung der Seitenlänge von b (respektive a) über Pythagoras, die beim
Cosinus des Winkels β (respektive α) wichtig ist.
Letzteres sei nun umgegangen, indem die Entfernung bei σ = α+β
2
nicht über den Co-
sinus als d = 1
cos(σ) · r, sondern über den Tangens als ˜ d = tan σ) · r berechnet wird.
Es gilt tan(σ) = 1
cos(δ)
· sin(σ), was scheinbar große Änderungen in den sich ergeben-
den Werten bewirkt. Die konkreten Berechnungen im vorangegangen Kapitel zeigten
aber schon, dass sich Werte für σ eher im Bereich nahe 90 ◦ als nahe 0 ◦ befinden. Nach
unten beschränkt sind sie implizit durch den Sichtwinkel ηG des günstigen Bereichs.

62 3.5 Ermittlung eines günstigen Bereichs zur Lokalisierung von Robotern
gLgL y y
GG
ηGηG VGVG C C
gHgH gRgR x x
gLgL y y
HGH G
~ ~
GG
ηGηG VGVG C C
~ ~
gHgH ~
d
~
d supp
gRgR Abbildung 3.12: (links) Im günstigen Bereich G hat die Berechnung der Entfernung eine
maximale Abweichung eines festen, aber beliebig gewählten Werts ε. Die Funktion gH der
Abweichungsgrenze ist unbekannt. (rechts) Auch im angenäherten günstigen Bereich ˜ G hat die
Berechnung der Entfernung eine maximale Abweichung desselben ε. Die bekannte Funktion ˜gH
hat überall den Abstand ˜ dsupp vom Projektionszentrum C.
Dann nämlich ist nach Innenwinkelsumme eines Dreiecks σ > 180◦−ηG 2 . Für die in den
Beispielen verwendeten (realistischen) Kameradaten lag etwa ein Sichtwinkel von 43, 4◦ vor, womit stets σ ≥ 68, 3◦ und somit sin(σ) ≥ 0, 929 gelten würde. Die für eine angenäherte
Abweichungsgrenze relevanten Werte werden jedoch im Allgemeinen noch
deutlich höher sein, denn unter der zweifellos sinnvollen Annahme, dass ein günstiger
Bereich mehr als nur einige Zentimeter in die Tiefe gehen sollte, sind dort Projektionen
wesentlich schmaler als die Bildebene, womit der Winkel σ entsprechend größer ist. Zu
der 240 Pixel breiten Projektion aus Tabelle 3.1, die zu einer maximalen Abweichung
von lediglich 8 mm führte, gehört σsupp ≈ 82, 6◦ und folglich sin(σsupp) ≈ 0, 992. Das
bedeutet einen Unterschied zwischen dsupp und ˜ dsupp von unter einem Prozent.
Selbst wenn hier nur anhand konkreter Werte argumentiert wurde, können sich in der
Praxis zumindest definitiv keine negativen Folgen aus der Näherung ergeben, da sie
nicht zu fehlerhaften Vermutungen führt. Es muss gewährleistet sein, dass bei einer
Entfernung d = ˜ d, bei der die Abweichung der Näherung ˜ d eine Grenze ε nicht überschreitet,
auch die Abweichung von d unterhalb derselben Grenze bleibt. Dies ist für die
beschriebene Näherung gegeben, wie der folgende Satz sicherstellt:
Satz 3.2 Seien zwei Projektionen c und ˜c mit gleichem Mittelpunkt gegeben. Seien
weiter σsupp und σmax mit 0 ◦ < σsupp < σmax < 90 ◦ die zu c gehörende vermutete
bzw. maximal mögliche halbe Winkelsumme. Entsprechend seien ˜σsupp und ˜σmax mit
0 ◦ < ˜σsupp < ˜σmax < 90 ◦ für ˜c definiert.
Nun gelte dsupp =
r
cos(σsupp) = tan(˜σsupp) · r = ˜ dsupp. Dann folgt:
r
cos(σmax) −
r
cos(σsupp) < tan(˜σmax) · r − tan(˜σsupp) · r
x x

3 Relative Lokalisierung von Robotern aus Kamerabildern 63
r
cos(σsupp)
Beweis: Es gilt tan(˜σsupp) · r =
tan(˜σsupp) > tan(σsupp) und somit im relevanten Winkelbereich ˜σsupp > σsupp.
= tan(σsupp)·r
sin(σsupp) > tan(σsupp) · r. Hieraus folgt
Weil c und ˜c den gleichen Mittelpunkt haben und in diesem Fall die Zunahme größerer
Winkelsummen stärker als die kleinerer Winkelsummen ist (vgl. Lemma 3.3),
ergibt sich folgerichtig ˜σmax − ˜σsupp > σmax − σsupp. Der Unterschied zwischen der
vermuteten und maximal möglichen Winkelsumme von ˜c übersteigt also den entspre-
chenden Unterschied bei c. Im vorliegenden Bereich 0◦ < x < 90◦ gilt nun weiter
tan ′ 1 (x) = cos2 sin(x)
> (x) cos2
1 ′,
= (x) cos(x) denn dort ist 1 > sin(x). Dies bedeutet, dass
r
tan(˜σmax) > cos(σmax) gültig ist, was zu zeigen war.
Es wird sich nun der Vermeidung der Komplexität gewidmet, die aus α+β
2
entsteht.
Wie besprochen, legten die konkreten Werte aus Kapitel 3.4 die Vermutung nahe, dass
weiter außen im Kamerabild bei gleicher Entfernung geringere Abweichungen vorliegen
als in der Mitte. Lässt sich also eine Entfernung ˜ dsupp bestimmen, bei der an der Hauptprojektionsachse
eine Abweichungsgrenze ε eingehalten wird, so sollte diese auch außen
nicht überschritten werden, was später gezeigt werden wird. Für die eingeführte Nähe-
rung lässt sich die Abweichung von ˜ dsupp nämlich in der Tat in der Projektionsmitte,
wo α = β, somit tan α+β
2 = tan β und d ˜ f·r
= tan(β) · r = gilt, allgemein definieren:
xB
⇒
⇒
⇒
ε ≤ ˜ dmax − ˜ dsupp =
ε
r ≤
f · xBsupp
xBsupp · xBsupp − p
2
f · r
xBsupp − p
2
−
f · r
xBsupp
− f · xBsupp − p
2
xBsupp · xBsupp − p
2
ε
r · xBsupp 2 − p f · p
· xBsupp ≤ f · xBsupp − f · xBsupp +
2 2
ε
r · xBsupp 2 ε · p
−
2 · r · xBsupp
f · p
−
2
⇒ xBsupp 2 − p
2 · xBsupp −
⇒ xBsupp ≤ p
4 ±
− p
4
f · p · r
2 · ε
2
+ f · p · r
≤ 0
2 · ε
Nach Voraussetzung kann nur der positive Wert von xBsupp stimmen, da die Projektion
mittig auf der Bildebene liegt. Dort, wo also xBsupp genau den errechneten Wert annimmt,
liegt ein Punkt HG = (0 | ˜ dsupp), wobei ˜ dsupp demjenigen Wert entspricht, bei
dem sich eine maximale Abweichung von ε garantieren lässt:
HG =
0
p
4 +
f · r
p
4
≤ 0
2 + f·p·r
2·ε
Die angenäherte Abweichungsgrenze ˜gH wird nun definiert als diejenige Funktion, die
an jeder Stelle den soeben berechneten Abstand ˜ dsupp zum Projektionszentrum C hat.
Bekanntlich gilt für einen Kreis mit Radius ˜ dsupp die aus dem Pythagoras ableitbare
Gleichung x 2 + y 2 = ˜ d 2 supp, aus der sich ˜gH als Funktion, die die y-Koordinate in

64 3.5 Ermittlung eines günstigen Bereichs zur Lokalisierung von Robotern
Abhängigkeit der x-Koordinate liefert, umformen lässt als ˜gH(x) = y = ˜d 2
supp − x2 :
˜gH(x) =
p
4 +
f · r
p
4
2 + f·p·r
2·ε
2
− x 2
Der insgesamt ermittelte, angenäherte günstige Bereich ˜ G ist in Abbildung 3.12 (rechts)
zu sehen. Es bleibt zu zeigen, dass die maximale Abweichung der Entfernungsberechnung
an jedem Punkt der Funktion ˜gH unterhalb ε liegt. Der folgende Satz sagt genau
dies aus, nämlich dass die Entfernungsschätzung in der Mitte der Bildebene schlechter
funktioniert als außen, dass also die maximale Abweichung bei der Entfernungsberechnung
zu einer Projektion eines Roboters in Entfernung d in der Mitte größer ausfällt
als am Rand. Im Beweis wird das einzige Mal die in Kapitel 3.1 eingeführte Einschrän-
kung, dass nur Kameras mit Bildwinkel kleinergleich 90 ◦ , also f ≥ w
2
sind, ausgenutzt, was sich für die Argumentation als wichtig erweist.
, von Interesse
Satz 3.3 Sei eine Kamera mit Projektionszentrum C = (0 | 0), Bildweite f und einer
Bildebene der Breite w mit f ≥ w
2 gegeben.
Seien weiter c und c ′ zwei Projektionen von Robotern mit gleichem Radius r, wobei der
Mittelpunkt von c entgegen dem von c ′ auf der Hauptprojektionsachse liege. Für c und
c ′ gelte, dass aus ihnen die gleiche, vermutete Entfernung dsupp zu C resultiert.
Seien nun ˜ dmax die aus c und ˜ d ′ max die aus c ′ hervorgehende, maximal mögliche, angenäherte
Entfernung zu C. Dann gilt ˜ dmax > ˜ d ′ max.
Beweis: Der Satz wird über die Unterschiede der Summe der maximal möglichen Einfallswinkel
von c und c ′ geführt. Sei csupp die zu c gehörende, vermutete Projektion.
Da auch der Mittelpunkt von csupp auf der Hauptprojektionsachse liegt, sind deren
Randpunkte Asupp = (xAsupp | f) und Bsupp = (xBsupp | f) gleich weit vom Projektionszentrum
C entfernt. csupp wird also durch die Achse in zwei Seiten der gleichen
Länge x geteilt: csupp = 2x. Entsprechend sind die Einfallswinkel αsupp und βsupp identisch,
so dass für die folgenden Betrachtungen δsupp := αsupp = βsupp definiert sei, wie
in Abbildung 3.13 auf der linken Seite dargestellt ist. Die Summe der Einfallswinkel
ergibt sich folgerichtig als 2δsupp. Nach Innenwinkelsumme ist 2δsupp < 180◦ und damit
vorausgesetzt wird und somit x < f sein muss (der
linke Rand der Bildebene darf wie oben besprochen nicht von der Projektion berührt
werden), gilt außerdem δsupp = arccot
x
f
f > arccot f = 45◦ .
δsupp < 90 ◦ . Da weiter f ≥ w
2
Die Randpunkte A ′ supp = (x ′ Asupp | f) und B′ supp = (x ′ Bsupp | f) der zu c′ gehörenden,
vermuteten Projektion c ′ supp haben unterschiedliche Entfernungen zur Hauptprojektionsachse,
die hier als x ′ A und x′ B bezeichnet werden, woraus c′ supp = x ′ A + x′ B resultiert.
Ohne Einschränkung kann angenommen werden, dass x ′ A < x′ B ist (der umgekehrte
Fall verhält sich symmetrisch). c ′ supp befindet sich also gegenüber csupp weiter rechts auf
der Bildebene und hat die Einfallswinkelsumme α ′ supp + β ′ supp mit α ′ supp > β ′ supp (vgl.
Abbildung 3.13 auf der rechten Seite).

3 Relative Lokalisierung von Robotern aus Kamerabildern 65
t=
__ p
2
δ supp
δ max
c =2x
supp
x x
f
C
δ max
t=
__ p
2
δ supp
2δ = αʼ +βʼ
αʼ
supp
supp supp supp
=>
2δ > αʼ +βʼ
t=
max max max
__ p
2
x Aʼ
αʼ
max
cʼ =x +x
supp Aʼ Bʼ
Abbildung 3.13: Wenn von zwei Projektionen gleicher Einfallswinkelsumme (2δsupp bzw.
αsupp+βsupp) der Mittelpunkt einer Projektion (csupp) im Gegensatz zu dem der anderen (c ′ supp)
auf der Hauptprojektionsachse liegt, dann ist die maximal mögliche Abweichung 2δmax −2δsupp
von csupp größer als die Abweichung (αmax + βmax) − (αsupp + βsupp) von c ′ supp. Vorausgesetzt
wird, dass f ≥ w
2 gilt, was aus Darstellungsgründen in der Abbildung vernachlässigt wurde.
Nach Vorraussetzung ist nun dsupp bei beiden Robotern gleich, 2δsupp = α ′ supp + β ′ supp
muss deswegen gelten. Zu zeigen ist ˜ dmax > ˜ d ′ max, folglich muss die maximal mögliche
Winkelsumme 2δmax der Projektion c größer als die Summe α ′ max + β ′ max von c ′ sein.
Der Unterschied zwischen δsupp und den beiden Winkeln α ′ supp und β ′ supp sei nun durch
die Differenz
τ := α ′ supp − δsupp
ausgedrückt, also α ′ supp = δsupp + τ und β ′ supp = δsupp − τ. Wegen α ′ supp > β ′ supp,
2δsupp = α ′ supp + β ′ supp und somit α ′ supp > δsupp gilt τ > 0. Da δsupp < 90 ◦ und wegen
x ′ B < f zusätzlich δsupp − τ > 45 ◦ vorausgesetzt ist, muss τ außerdem kleiner als 45 ◦
sein. Die Einführung von τ ermöglicht, das Verhältnis der maximal möglichen Winkel
α ′ max, β ′ max und δmax zu den vermuteten quantitativ anzugeben; da x ′ A = f · cot(α′ supp),
x ′ B = f · cot(β′ supp) und x = f · cot(δsupp) gilt, folgt:
α ′ max = arccot x ′ A −t
f
β ′ max = arccot x ′ B −t
f
δmax = arccot x−t
f
= arccot f·cot(α ′ supp )−t
f
= arccot f·cot(β ′ supp)−t
f
= arccot f·cot(δsupp)−t
f
f
C
x Bʼ
βʼ
max
t=
βʼ
__ p
2
supp
= arccot cot(δsupp + τ) − t
f
= arccot cot(δsupp − τ) − t
f
= arccot cot(δsupp) − t
f
Aus Übersichtlichkeitsgründen wird hierbei t als halbe Pixelbreite, also t := p
2 , definiert.
Die als positiv zu beweisende Differenz ∆ der maximal möglichen Winkelsummen kann
damit in Abhängigkeit der Werte τ und t notiert werden:
∆(τ, t) = 2δmax(t) − α ′ max(τ, t) − β ′ max(τ, t)
Es lässt sich feststellen, dass ∆(0, t) = 0 für alle t ist, weil δmax = α ′ max = β ′ max
in diesem Fall gilt. Wenn nun die Ableitung von ∆(τ, t) bei positivem τ (und festem
> 0) steigend ist, kann die Behauptung gefolgert werden. Es ist:
t = p
2
d
d
∆(τ, t) = 0 −
dτ dτ arccotcot(δsupp + τ) − t
f
d − dτ arccotcot(δsupp − τ) − t
f

66 3.5 Ermittlung eines günstigen Bereichs zur Lokalisierung von Robotern
Nach Pohlmann 1996, S. 19 gilt cot ′ (x) = − 1
sin 2 (x) und arccot′ (x) = − 1
1+x 2 . Mittels
Kettenregel (g(h)) ′ = g ′ (h) · h ′ folgt:
d
∆(τ, t)
dτ
=
1
0 − −
1 + cot(δsupp + τ) − t
2 · −
f
1
− −
1 + cot(δsupp − τ) − t
2 · −
f
1
sin 2 (δsupp + τ)
1
sin 2 (δsupp − τ)
· 1
· −1
Bereits hier sei darauf hingewiesen, dass wegen der Quadrate die Nenner aller auftretenden
Brüche positiv sein müssen und damit auch deren Produkt, worauf weiter unten
wieder eingegangen wird. Da der Cotangens bekanntermaßen das Verhältnis von Cosinus
und Sinus bezeichnet, ergibt sich nun weiter:
d
∆(τ, t) =
dτ
=
sin2 (δsupp − τ) · 1 + cos2 (δsupp−τ
sin2 t − 2
(δsupp−τ) f
−
sin2 (δsupp + τ) · 1 + cos2 (δsupp+τ
sin2 t − 2
(δsupp+τ) f
1
1
1
cos(δsupp−τ) t2
· sin(δsupp−τ) + f 2
cos(δsupp+τ) t2
· sin(δsupp+τ) + f 2
1 − 2 t
f · sin(δsupp − τ) · cos(δsupp − τ) + sin 2 (δsupp − τ) · t2
f 2
−
1
1 − 2 t
f · sin(δsupp + τ) · cos(δsupp + τ) + sin 2 (δsupp + τ) · t2
f 2
Zu beachten ist, dass (wie in Kapitel 3.2 und 3.3) sin 2 (x) + cos 2 (x) = 1 in der letzten
Umformung ausgenutzt wurde. Es sei nun HN als Produkt der beiden zuletzt aufgeführten
Nenner definiert. Mit der Begründung von oben ist dieser Hauptnenner zwangsläufig
positiv. Die Ableitung lässt sich jetzt erweitern, so dass HN im Nenner steht:
t
d
1 − 2
∆(τ, t) =
dτ
=
f · sin(δsupp + τ) · cos(δsupp + τ) + sin2 (δsupp + τ) · t2
f 2
HN
t 1 − 2 f
− · sin(δsupp − τ) · cos(δsupp − τ) + sin2 (δsupp − τ) · t2
f 2
HN
t2 f 2 · sin2 (δsupp + τ) − sin2 (δsupp − τ)
HN
t
2 f
− ·
sin(δsupp+τ)·cos(δsupp+τ)−sin(δsupp−τ)·cos(δsupp−τ)
HN
Für die folgende Argumentation sei abkürzend definiert:
.
k1(τ) := sin 2 (δsupp + τ) − sin 2 (δsupp − τ)
k2(τ) := sin(δsupp + τ) · cos(δsupp + τ) − sin(δsupp − τ) · cos(δsupp − τ)
Dann resultiert final:
d
∆(τ, t) =
dτ
t 2
f 2 · k1(τ) − 2 t
f
HN
· k2(τ)

3 Relative Lokalisierung von Robotern aus Kamerabildern 67
sin 2(x)
0,5
0
50
90
δsupp-τ δsupp δsupp+τ
150
x in Grad
sin(x)•cos(x)
0,5
0,25
0 25 45
75
δsupp-τ δsupp+τ
δsupp
x in Grad
Abbildung 3.14: (links) Im Bereich [0 ◦ , 180 ◦ ] ist sin 2 (x) symmetrisch zur Achse bei x = 90 ◦ ,
links davon streng monoton steigend, rechts davon streng monoton fallend. Wegen δsupp < 90 ◦
muss δsupp − τ < δsupp + τ bei τ > 0 gelten. (rechts) sin(x) · cos(x) ist im Bereich [0 ◦ , 90 ◦ ]
symmetrisch zur Achse bei x = 45 ◦ , links davon streng monoton steigend, rechts davon streng
monoton fallend. Wegen δsupp > 45 ◦ muss δsupp − τ > δsupp + τ bei τ > 0 gelten.
Da δsupp < 90 ◦ und τ < 45 ◦ , befinden sich sowohl δsupp+τ als auch δsupp−τ im Intervall
[0 ◦ , 180 ◦ ]. In diesem Bereich ist die in k1 auftauchende Funktion sin 2 (x) symmetrisch zur
Achse bei x = 90 ◦ , bis 90 ◦ steigt sie streng monoton, danach fällt sie entsprechend (vgl.
Abbildung 3.14 links), was sich direkt aus dem Verlauf der bekannten Sinusfunktion
ableiten lässt. Wegen δsupp < 90 ◦ , muss δsupp + τ näher an 90 ◦ liegen als δsupp − τ, was
in folgender Ungleichung resultiert:
∀τ ∈ (0 ◦ , 45 ◦ ) : sin 2 (δsupp + τ) − sin 2 (δsupp − τ) > 0
k1(τ) ist daher stets positiv und somit auch t2
f 2 · k1(τ). Die Funktion sin(x) · cos(x)
aus k2 verläuft hingegen im Bereich [0 ◦ , 90 ◦ ] symmetrisch zur Achse bei x = 45 ◦ , wo
sin(x) = cos(90 ◦ − x) sowie cos(x) = sin(90 ◦ − x) gilt (vgl. Pohlmann 1996, S. 16)
und somit sin(x) · cos(x) = sin(90 ◦ − x) · cos(90 ◦ − x). Aus den Werten von Sinus
und Cosinus ergibt sich, dass die Funktion in [0 ◦ , 45 ◦ ] streng monoton steigend und in
[45 ◦ , 90 ◦ ] streng monoton fallend ist, wie Abbildung 3.14 (rechts) illustriert. Weil δsupp
größer als 45 ◦ sein muss, bedeutet das jedoch umgekehrt zu oben hier:
∀τ ∈ (0 ◦ , 45 ◦ ) : sin(δsupp − τ) · cos(δsupp − τ) − sin(δsupp + τ) · cos(δsupp + τ) < 0
Damit muss k2(τ) negativ sein, wodurch −2 t
f · k2(τ) positiv wird. Folglich ist die Ableitung
d
dτ ∆(τ, t) für alle relevanten τ > 0 und ein festes, aber beliebiges t > 0 positiv.
Insgesamt kann hieraus hergeleitet werden, dass ∆ > 0 gelten muss, wozu ein beliebiger,
konkreter Winkel τ0 ∈ (0◦ , 45◦ ) betrachtet wird. Wie oben gezeigt, gilt ∆(0, t) = 0 für
jedes beliebige t. Wegen der bei positivem τ positiven Ableitung von ∆, ergibt sich
nach dem Hauptsatz der Differentialrechnung (vgl. Pohlmann 1996, S. 22) mit dem
Integral über eine positive Funktion:
∆(τ0, t) = ∆(0, t) +
τ0
0
d
∆(τ, t)dτ > 0
dτ
Im Fall, dass c ′ bei gleicher vermuteter Entfernung dsupp weiter außen liegt als c, muss
es ein solches τ0 > 0 geben. Dies hat als Konsequenz, dass 2δmax > α ′ max + β ′ max und

68 3.5 Ermittlung eines günstigen Bereichs zur Lokalisierung von Robotern
damit ˜ dmax = tan(δmax) · r > tan α ′ max +β′ max
2 ) · r = ˜ d ′ max ist, was zu zeigen war.
Beispiel: Sei wieder m = 720, w = 4.8 mm, f = 6 mm und r = 250 mm. Dazu sei
die nicht zu überschreitende Grenze der Ungenauigkeit der Lokalisierung durch
ε = 10 mm gegeben. Dann ergibt sich für die angenäherte Abweichungsgrenze ˜gH
mit Pixelbreite p =
˜gH(x) =
4.8 mm
720
= 1
150 mm:
6·250
1
150·4 +
r 2 1
+ 150·4
6·250
150·2·10
2
− x 2 ≈ 2116, 33 2 − x 2
Dabei wird die Einheit „mm“ erneut ausgeblendet. Leicht erkennbar ergibt sich
daraus als größtmögliche, vermutete Entfernung, bei der eine Abweichung von
maximal ε eingehalten wird, ˜ dsupp ≈ 2, 116 m.
Die linke und rechte Sichtgrenze lassen sich außerdem berechnen als:
gL(x) = 1 + 4·7202 ·62 (720−3) 2 ·4.82
· 250
gR(x) =
1 + 4·7202 ·6 2
(720−3) 2 ·4.8 2 · 250
− 2·720·6
(717−3)·4.8 · x ≈ 675, 574 − 2, 51x
+ 2·720·6
(717−3)·4.8 · x ≈ 675, 574 + 2, 51x
Hier zeigt sich nebenbei, dass der nahest mögliche Mittelpunkt eines lokalisierbaren
Roboters etwa bei VG = (0 m | 0, 676 m) liegt.
Insgesamt wurde also ein günstiger Bereich mit exakten Sichtgrenzen gL und gR und
einer angenäherten Abweichungsgrenze ˜gH bestimmt. Das heißt, zusammen mit den Ergebnissen
der vorigen Teilkapitel sind über die Möglichkeit hinaus, die Entfernung eines
Roboters Rproj mit festem Radius r anhand seiner Projektion c angenähert zu berechnen
und den dabei auftretenden, maximal möglichen Fehler zu ermitteln, alle notwendigen
Grundlagen geschaffen, um für eine beliebige Kamera mit gegebenen Parametern eine
angenäherte geographische Umgebung zu definieren, in der ein frei zu wählender Fehler
bei der Entfernungsschätzung nie überschritten wird.
Damit soll dieses Kapitel zum Abschluss kommen. Es ist nun möglich, kooperative
Strategien für die Bewegung einer Gruppe von Robotern in unbekannten, merkmalsarmen
Umgebungen zu entwickeln, ohne dabei stets konkrete Berechnungen zur Rate
ziehen zu müssen. Die Tatsache, dass ein Roboter lediglich im günstigen Bereich der
Kamera eines anderen Roboters sein muss, um seine vernünftig genaue Lokalisierbarkeit
zu gewährleisten, wird ausreichen, um darauf aufbauend Bewegungsabläufe planen zu
können. Hierbei sei zu beachten, dass im Vordergrund nicht etwa die exakte Umpositionierung
von einem Punkt X zu einem Punkt Y steht, sondern vielmehr die kollektive
Fortbewegung in einem wenig aufschlussreichen Terrain.

Kapitel 4
Explizite Verwendung kooperativer
Bewegungsstrategien
Dieser Teil der Arbeit beschäftigt sich mit dem Einsatz kooperativer Lokalisierung auf
Grundlage der Ergebnisse des letzten Kapitels. Ansätze für Strategien, nach denen sich
Roboter-Teams davon ausgehend in unbekannten, merkmalsarmen Umgebungen bewegen
können, werden entwickelt und ihr Nutzen im gegebenen Kontext verdeutlicht.
Begonnen wird mit einer Diskussion über Ziele kooperativer Bewegungsstrategien und
Kriterien für deren Analyse (Kapitel 4.1). Danach wird der Übergang von der relativen
Lokalisierung aus Kapitel 3 zur globalen Standortbestimmung der Roboter eines Teams
aufgezeigt (4.2) und die dabei entstehende Akkumulation von Fehlern betrachtet (4.3).
Die folgenden Teilkapitel (4.4 bis 4.6) stellen dann die Entwicklung dreier exemplarischer
Algorithmen vor, die sich prinzipiell für kooperative Fortbewegung eignen. Anschließend
wird ihr Einsatz in ausgewählten Szenarien untersucht, die für die Teambewegung relevant
sein können (4.7), so dass sich die Algorithmen zuletzt vergleichen lassen (4.8). Als
Resultat dieses Kernkapitels bestehen dann theoretische Konzepte, deren Bedeutung im
Zusammenhang mit existierenden Verfahren geprüft werden kann.
4.1 Ziele und Probleme bei der Fortbewegung in Teams
Eine kooperative Bewegungsstrategie wird in dieser Arbeit als Aufrechterhaltung einer
Formation zusammen mit darauf definierten Operationen zur Fortbewegung angesehen.
In allen bisher behandelten Aspekten stand die Lokalisierung der zur Verfügung stehenden
Roboter stets im Mittelpunkt. Die Ergebnisse von Kapitel 3 sollen nun auf eine
sich bewegende Gruppe von Robotern übertragen werden, weswegen das globale Ziel der
Entwicklung solcher Strategien in dieser Arbeit auf den ersten Blick klar definierbar ist:
Bestmögliche Lokalisierung des Roboter-Teams auf Dauer. Auch die Frage nach Qualitätskriterien
zur Bewertung der Schätzungen bei gemeinsamer Lokalisierung mehrerer
Roboter lässt wenig Spielraum zu; vor allem bieten sich hier die mittlere Abweichung
der Posen im Durchschnitt über alle Roboter oder die maximale Abweichung der Pose
eines Roboters innerhalb der Gruppe an, denn aus diesen geht die Güte der Gesamtlokalisierung
des Teams implizit hervor. Die untenstehenden Verfahren werden vorwiegend
auf eine Geringhaltung der mittleren Abweichung abzielen.

70 4.1 Ziele und Probleme bei der Fortbewegung in Teams
Komplexer verhält es sich mit der informell als „auf Dauer“ bezeichneten Problemstellung,
da die unterliegenden Forderungen abhängig von den allgemeinen Zielen der Fortbewegung
sind. Wenn die Roboter einen Zielort Z erreichen sollen, wäre eine sinnvolle
Bewertungsgrundlage, die Abweichung der Lokalisierung im Verhältnis zum zurückgelegten
Weg zu messen, was wie in Trawny 2003 (vgl. Kapitel 2.2) nebenbei einen
stärkeren Fokus auf die Pfadplanung legen würde. Bei der Exploration unbekannter
Umgebungen besteht jedoch nicht zwangsläufig Wissen über die Koordinaten von Z,
und falls doch, so lässt sich die Länge der verbleibenden Teilstrecke nur schwer voraussehen.
Hingegen ließe sich dort der bislang aufgetretene Fehler in Relation zur Größe der
bereits erkundeten Fläche setzen. Auch könnte in einer task-oriented domain der Anteil
schon erfüllter Aufgaben die angemessene Bezugsgröße darstellen. Allgemein kann also
gesagt werden, dass sich je nach Einsatzgebiet verschiedene Vergleichswerte anbieten.
Daher sei sich hier darauf beschränkt, dass als oberstes Kriterium zur Gegenüberstellung
von Verfahren die Abweichungen der Lokalisierung in Abhängigkeit zur absolut zurückgelegten
Strecke diene. Einerseits bedeutet das eine starke Vereinfachung der Situation,
denn die Qualität der beschrittenen Pfade bleibt praktisch außen vor. Andererseits vermeidet
dieses Maß, nur in spezifischen Kontexten vernünftig anwendbar zu sein, und ist
darüber hinaus gut analysierbar. Nichtsdestotrotz wird auch die Bewegungsflexibilität
der genutzten Formationen Einzug in die Diskussionen finden.
Nun repräsentiert der in Kapitel 3.5 erarbeitete günstige Bereich eines Roboters gerade
ein Konzept für die Verhinderung größerer Abweichungen. Wird neben der Forderung,
dass sich Roboter zur Posenbestimmung in solchen Bereichen aufhalten müssen, zusätzlich
versucht, die Anzahl notwendiger Berechnungen weitest möglich zu reduzieren, dann
verkörpert dieses Vorgehen schon einen Lösungsansatz für die besprochenen Richtlinien.
Entsprechend sei das globale Ziel kooperativer Bewegungsstrategien im vorliegenden
Zusammenhang konkret formuliert, eine möglichst minimale Gesamtanzahl an Messungen
bei maximal zurückgelegter Strecke des Roboter-Teams zu erreichen. In Kapitel 4.3
wird hierfür ein Qualitätsmaß Q definiert werden. Es sei angemerkt, dass dieses Ziel
bewusst im Einklang mit der Vorgabe steht, einen Lokalisierungsmechanismus zu verwenden,
der auf einzelnen Kamerabildern beruht (im Gegensatz zu kontinuierlichen
Schätzungsaktualisierungen).
Verfolgung weitergehender Ziele und deren inhärente Probleme
Ein grundsätzlicher Nachteil von Strategien, die von alternierenden Bewegungssequenzen
Gebrauch machen, ergibt sich aus der Verlangsamung der Fortbewegungsgeschwindigkeit
des gesamten Roboter-Teams. Dieses Problem wird sich nicht umgehen lassen,
weshalb der Zeitaufwand bei der Behandlung kooperativer Abläufe nicht vordergründig
sein wird. Dennoch kann in begrenztem Rahmen Abhilfe geleistet werden, indem
effiziente Pfadplanungen zumindest innerhalb des Kollektivs stattfinden und häufige
Wechsel des sich umpositionierenden Roboters vermieden werden, was möglichst wenig
einzelne Bewegungsphasen innerhalb einer kompletten Teambewegung impliziert und
bei den Verfahren in Kapitel 4.4 bis 4.6 bedacht werden wird. Beim Einsatz in unbekannten
Umgebungen darf weiter das Ziel einer akkuraten Kartenerstellung nie völlig
außer Acht gelassen werden, auch wenn dies hier nicht der eigentliche Gegenstand der

4 Explizite Verwendung kooperativer Bewegungsstrategien 71
Betrachtung ist. Ein Augenmerk wird bei den Algorithmen insofern darauf liegen, als
geschaut wird, was die Roboter von ihrer Umwelt wahrnehmen können.
Direkt verbunden mit dem Aufbau von Karten ist der Umgang mit Hindernissen. Hindernisse
stellen bei relativer Lokalisierung und der Bewegung in Formationen ein komplexeres
Problem dar, als sie es für einen einzelnen Roboter tun: Bei der Ermittlung von
Posen wirken sie dadurch störend, dass sie im Sichtbereich befindliche Roboter partiell
verdecken können, was, speziell für die Entfernungsberechnung aus Kamerabildern,
keinesfalls passieren darf. Bezüglich Formationen kommt erschwerend hinzu, dass Hindernisse
für den Fortbestand der Anordnung des Teams geplante Bewegungen unmöglich
machen können. Hierfür sind Alternativstrategien zu bedenken, mittels derer das Team
ausweicht oder die erlauben, eine konkrete Formation temporär aufzugeben und sie nach
Überwindung des Hindernisses wieder aufzubauen. Letzteres erweist sich beispielsweise
beim Passieren eines Durchgangs als Muss, der zu schmal für die eigentliche Formation
ist. Enstprechend Fredslund & Mataric 2002 (vgl. Kapitel 2.2) wird dieser Aspekt
in Ansätzen betrachtet werden, wenngleich eine erschöpfende Auseinandersetzung damit
den Umfang dieser Arbeit deutlich übersteigen würde.
In gewisser Weise ähnliche Schwierigkeiten unterliegen der Kompensierung des Ausfalls
eines Roboters, denn bei dieser Situation verkörpert der defekte Roboter selbst das Objekt,
dem ausgewichen werden muss. Darüber hinaus verlangt das Fehlen eines Roboters
aber vor allem einen Neuaufbau der Formation, dessen Notwendigkeit womöglich inmitten
einer Weiterbewegung des Roboter-Teams aufkommt. Auch diese Problemstellung
wird hier in Ausschnitten untersucht; sie geht letztlich Hand in Hand mit der Frage
nach der stetigen Kontrolle über die Aufenthaltsorte der einzelnen Roboter; noch ist
unklar, inwieweit permanent oder mindestens zwischen je zwei aufeinander folgenden
Bewegungen Wissen über die Posen aller Roboter vorhanden sein sollte.
Ein völlig anderes, generell denkbares Ziel kooperativen Handelns besteht in der Minimierung
der Kommunikation zwischen den Robotern. Diese wäre vorwiegend dann
wichtig, wenn große Datenmengen verschickt würden, wie es unter Umständen bei gemeinsamer
Kartenerstellung erforderlich wäre. Im vorliegenden Kontext werden Nachrichten
jedoch ausschließlich aus Gründen des Mitteilens einzelner Posenberechnungen
an andere Roboter sowie zur Koordinierung von Bewegungsabläufen versendet; letzteres
meint Informationen über anzustrebende Bewegungsrichtungen, Beobachtungen auf
Aussagenebene über die An- oder Abwesenheit anderer Roboter im Sichtbereich und
die Kommunikation des Fortschritts eigener Bewegungen. Es ist nicht anzunehmen, dass
solche Nachrichten zu untragbarem Kommunikationsaufwand führen, weshalb hier keine
Analyse dieses Aufwands angestellt werden wird. Auf den Inhalt von Kommunikation
wird hingegen am Ende von Kapitel 4.2 weiter eingegangen.
Ebenfalls ausgelassen sei die Initialisierung von Formationen aus potentiell beliebigen
Anordnungen der Roboter, welche bei Beginn einer Explorationsaufgabe oder Ähnlichem
relevant sein kann. Es wird aber angenommen, dass die Roboter des Teams nahe
beieinander starten und das globale Koordinatensystem, in dem sie sich lokalisieren
sollen, eine vom Team gewählte Stelle als Ursprung hat. Da die Genauigkeit aufrechterhaltener
Formationen moderate Toleranzbereiche erlauben wird (siehe unten), sollte

72 4.1 Ziele und Probleme bei der Fortbewegung in Teams
2
Alternativ möglicher
günstiger Bereich
von R 1
Orientierung von R 2
Alternativ mögliche
Position von R 2 aus
Sicht von R 1
1
2
Günstiger
Bereich von R 1
2
Geplante
Bewegung
von R 2
Zielpose der
Bewegung
von R 2
Distanz von R 2 zu R 1
als Kreis
1
1
1
1
1
Schätzung über Pose
vorhanden
Schätzung nur über
Position vorhanden
Keine ausreichende
Schätzung vorhanden
Ziel einer Bewegung oder
alternativ mögliche Pose
Roboter defekt
Abbildung 4.1: Beispiel und Legende für die visuelle Beschreibung kooperativer Bewegungsstrategien.
In der Darstellung kennt R1 seine Orientierung nicht und weiß damit nur, in welchem
Abstand sich R2 von ihm aus gesehen befindet. R2 plant währenddessen eine Bewegung.
es ohne weitere Argumentation möglich sein, dass sich die Roboter nach und nach aneinander
ausrichten. Im Folgenden wird aber nunmehr davon ausgegangen, dass das
Roboter-Team aus einer gewollten Startformation heraus seine Bewegung aufnimmt.
Kriterien zur Untersuchung von Formationen und Bewegungsstrategien
In Abbildung 4.1 ist einführend die visuelle Darstellung zu sehen, die zur Illustration der
Bewegungsstrategien dienen wird. Sie zeigt die relative Anordnung der Roboter einer
Gruppe stets zweidimensional von oben. Ein Roboter wird abstrahiert als kreisförmige
Figur mit einer Orientierung und einem davor liegenden günstigen Bereich aufgefasst.
Dabei wird unterschieden, ob eine Schätzung für die Pose des Roboters existiert oder zumindest
für dessen Position, oder ob der Roboter aktuell kein vernünftiges Wissen über
seinen Standort besitzt (alleiniges Kennen der Orientierung interessiert bei den vorliegenden
Betrachtungen nicht). Weiß gefärbte Roboterdarstellungen repräsentieren keine
wirklichen Aufenthaltsorte, sondern angestrebte Zielpunkte oder vermeintliche relative
Lagen, die aus der nur lokalen Beobachtbarkeit für einen Roboter resultieren können.
Es sei angemerkt, dass die Nummerierung der Roboter (bei der 1 abkürzend für R1 stehe
usw.) nur zur Anschaulichkeit miteingezeichnet ist, keineswegs etwa in Algorithmen
verwendet werden wird. Entsprechendes gilt für geplante Bewegungen, die hier so dargestellt
werden, als ob sie nur in Richtung der aktuellen Orientierung geschehen könnten.
Außerdem wird die Orientierung jedes Roboters durchweg angegeben, selbst wenn das
Team sie zum gegebenen Zeitpunkt nicht kennt, und für den günstigen Bereich wird
in allen Abbildungen entsprechend den Erläuterungen aus Kapitel 3.1 exemplarisch ein
Sichtwinkel von etwa 50 ◦ benutzt.
Wie angesprochen, wird in Fredslund & Mataric 2002 die Stabilität von Formationen
geprüft, womit dort die fortwährende Einhaltung bestimmter Abstände und Lagen
der Roboter zueinander benannt wird. Im vorliegenden Kontext abwechselnder Bewegung
werde dieser Begriff allerdings anders aufgefasst. Als stabile Formation sei hier
nicht eine dauerhaft bestehende Roboteranordnung, sondern stattdessen ein aktueller

4 Explizite Verwendung kooperativer Bewegungsstrategien 73
1 2
3
2
Abbildung 4.2: Drei Varianten einer möglichen Ausgangsformation: Das gleichseitige Dreieck
links, bei dem jeder Roboter einen anderen sieht, darf in gespiegelter und gedrehter Form wie in
der Mitte vorliegen. Auch werden geographische Versetzungen innerhalb der günstigen Bereiche,
wie die von R1 rechts, akzeptiert.
Zustand definiert, bei dem alle Roboter des Teams eine Schätzung über ihre eigene Pose
besitzen. Es sei gefordert, dass jede kooperative Bewegungsstrategie in regelmäßigen Intervallen
eine stabile Formation hervorbringt. Dies ermöglicht einerseits argumentieren
zu können, dass sie in Bezug auf ihre Fähigkeit zur kooperativen Lokalisierung korrekt
funktioniert, andererseits, dass vernünftige Start- und Endpunkte zur Analyse einzelner
Aktionen der Strategie vorhanden sind. Dazu passend werden im Folgenden nur Strategien
betrachtet, deren Ausgangsformation stabil ist. Eine Ausgangsformation bezeichne
dabei den bei der Startformation gültigen Zustand der Anordnung der Roboter oder
eine gespiegelte und/oder gedrehte Variante davon, was die aktuellen Sichtverhältnisse
zwischen den Robotern nicht beeinflusst. Ferner sei eine Versetzung der Roboter innerhalb
der Grenzen günstiger Bereiche akzeptiert (vgl. Abbildung 4.2). Der so gewährte
Toleranzbereich hilft beim Neuaufbau einer Ausgangsformation, da sich Ungenauigkeiten
darin wieder ausgleichen lassen. Es sei zu beachten, dass Roboter über Versetzungen
bescheid wissen (im Gegensatz zu Abweichungen durch Unsicherheit).
Bisher wurde wenig über die Teilnehmerzahl der Formation gesagt. Grund dafür ist,
dass eine Einschränkung weitestgehend vermieden werden soll, um das Spektrum der
Einsatzgebiete kooperativer Strategien nicht unnötig zu verkleinern. Natürlich sind aber
mindestens zwei Roboter obligatorisch. Darüber hinaus mögen weitere gebraucht werden,
um gemeinsame Bewegungsabläufe erst zu ermöglichen. Obergrenzen werden hier
nicht festgesetzt, wenngleich große Zahlen, wie sie bei der Beschäftigung mit Schwarmverhalten
auftreten, nicht Gegenstand der Debatte sind, da sie die Bewegungsfreiheit
im vorliegenden Kontext zu sehr vermindern. Auch könnte es Formationen geben, die
nur in bestimmten Anzahlen funktionieren, wobei dies nachteilig für die Kompensierbarkeit
von Roboterausfällen wirkt. Zusammenfassend lassen sich zwei Kriterien zur
Untersuchung von Formationen, die Hinweise auf deren Flexibilität liefern, angeben:
(F1) Wiederkehrendes Vorhandensein einer stabilen Ausgangsformation
(F2) Variabilität der Anzahl teilnehmender Roboter
Es stellt sich weiter die Frage, welche Bewegungsaktionen eine Formation allgemein
ausführen können sollte. Grundlegend wichtig für das Fortschreiten sind in erster Linie
1
3
2
3
1

74 4.1 Ziele und Probleme bei der Fortbewegung in Teams
die Vorwärtsbewegung und die Drehung. Erstere bedingt scheinbar eine Gesamtorientierung
der Formation; bei den kommenden Algorithmen wird sich aber herausstellen,
dass mehrere Richtungen für die Vorwärtsbewegung gleichzeitig möglich sein können.
Auch mag diese beispielsweise erst aus einer „Schräg-links“- gefolgt von einer „Schrägrechts“-Bewegung
resultieren. Die Forderung nach einer Drehung birgt gar vielfältigere
Ansatzpunkte: Sicherlich wäre ein Rotieren um beliebige Gradzahlen wünschenswert.
Wenn sich jeder Roboter einer Formation im günstigen Bereich eines anderen befindet,
erlaubt eine solche Anordnung das prinzipiell: Die Roboter müssen sich nur stückweise
abwechselnd so geringfügig drehen und mitbewegen, dass keiner einen günstigen Bereich
verlässt, und das solange fortsetzen, bis der gewünschte Gesamtdrehwinkel erreicht wurde.
Für nur zwei Roboter ist dies das einzig realistische Vorgehen bei fortauernder Lokalisierung.
Es sei aber zu bedenken, dass jede einzelne Bewegung Standortbestimmungen
nach sich zieht, was jeweils Unsicherheiten hervorruft (vgl. Kapitel 4.3). Daher wird vor
allem untersucht werden, ob spezielle Drehungen besser (im Sinne der Vermeidung von
Abweichungen) umgesetzt werden können, wobei der Nutzen von Formationen sicherlich
zweifelhaft wäre, wenn sie nur Bewegungen erlauben würden, die mit dem bekannten
Begriff der Manhattan-Metrik einhergehen.
Zur Rotation sei angemerkt, dass eine Richtung (links oder rechts) genügt, wenn zusätzlich
eine Spiegelung der Formation entlang einer Mittelachse ausgeführt werden kann.
Auch wird sich das Umdrehen einer Gruppe in konkreten Fällen oftmals klüger gestalten
lassen als einfach durch eine 180 ◦ -Drehung. Spiegelung und Umdrehen verkörpern mehr
als Hilfsaktionen, denn ihre platzsparende Machbarkeit kann sich insbesondere dort als
nötig erweisen, wo der Raum für die Drehung eines Teams zu eng wäre. Insgesamt lassen
sich also folgende, in dieser Arbeit als angemessen erachtete Basisaktionen aufzählen:
(A1) Vorwärtsbewegung
(A2) Drehung um einen beliebigen oder zumindest spezielle Winkel ζ
(A3) Spiegelung an einer Mittelachse
(A4) Umdrehen
Diese Aktionen allein geben allerdings zu einer Bewegungsstrategie nicht ausreichend
Aufschluss darüber, ob sich ein Roboter-Team mit ihr in einer den Vorgaben entsprechenden
Umgebung fortbewegen kann, da dort komplexere Bewegungspfade verfolgbar
sein müssen. Der theoretische Standpunkt dieser Arbeit schränkt jedoch die Machbarkeit
einer Analyse hierbei ein. Nichtsdestotrotz können konkrete Szenarien durchgespielt
werden, um die Verknüpfung einzelner Aspekte einer Strategie zu prüfen. Die oben genannten
Ziele, mit Hindernissen und Roboterausfällen umgehen zu können, dienen dabei
als Anhaltspunkte: Vorwärts- und Drehbewegungen wie auch die Erkennung der Zeitpunkte
von Richtungsänderungen kommen beim Ausweichen von Hindernissen zum
Tragen, wodurch ggf. Basisaktionen innerhalb ihrer Durchführung zu stoppen sind. Der
temporäre Wechsel einer Formation muss hingegen dann erfolgen, wenn eine Anordnung
der Roboter zu viel Platz einnimmt, um zum Beispiel einen engen Korridor entlanggehen
zu können. Eine Formation, die auf schmale Stellen abzielt, wird dafür in Kapitel
4.7 eingeführt werden. Das Wiederherstellen einer Formation erfordert schließlich das

4 Explizite Verwendung kooperativer Bewegungsstrategien 75
Anpassen der Lagen der Roboter zueinander, was etwa bei Verminderung der Anzahl
funktionstätiger Roboter auftritt. Die Güte der zu entwickelnden Strategien wird also
hinsichtlich folgender Problemsituationen eines Roboter-Teams zur Diskussion stehen:
(S1) Umgehen eines im Weg befindlichen Hindernisses
(S2) Passieren eines schmalen Durchgangs
(S3) Ausfall eines Roboters
Damit seien alle zu behandelnden Kriterien und Anforderungen angegeben. Sowohl die
bestmögliche Lokalisierung auf Dauer als auch die soeben hervorgehobenen Punkte werden
in den Kapiteln 4.4 bis 4.8 von Bedeutung sein. Vorher jedoch gilt es einen Aspekt
der kooperativen Lokalisierung zu besprechen, der bislang noch vernachlässigt wurde:
die Aufrechterhaltung von Posenschätzungen mittels der im letzten Kapitel eingeführten
Techniken innerhalb der Umgebung aller Roboter.
4.2 Kooperative Posenschätzung innerhalb eines globalen
Koordinatensystems
In Kapitel 3 wurde die Bestimmung des Standorts eines Roboters Rproj anhand des einzelnen
Kamerabilds eines Roboters Rloc vorgestellt. Diese Lokalisierung findet jedoch
relativ statt, das heißt, die Position von Rproj wird innerhalb des egozentrischen Koordinatensystems
von Rloc ermittelt. Für die fortdauernde Aufrechterhaltung der Schätzung
von Posen eines Teams erweist es sich aber als notwendig, die Standorte der Roboter
als globale Koordinaten zu kennen. Insbesondere entsteht dadurch ein wesentliches, bisher
nicht betrachtetes Problem, nämlich dass auch die Möglichkeit zur Schätzung der
absoluten Orientierung θ eines Roboters sichergestellt sein muss. Die globale Pose eines
Roboters wird im Folgenden als Tupel (x | y | θ) angegeben, wobei Orientierungen als
Winkel im mathematisch positiven Sinne interpretiert werden und 0 ◦ der Richtung der
y-Achse entspreche. Relative Positionen innerhalb des Koordinatensystems eines Roboters
werden zur Abgrenzung von hier an durch den Index rel kenntlich gemacht. Es
sei noch einmal explizit darauf hingewiesen, dass sich die Orientierungen anderer beim
gegebenen Robotermodell nicht aus Kamerabildern entnehmen lassen. Dies bedeutet
implizit auch, dass die Pose eines Roboters, der in den freien Raum blickt (also keinen
anderen im Sichtwinkel hat), nicht hergeleitet werden kann.
Jegliche Bewegung eines Roboters führt nun isoliert betrachtet in einer realistischen
Welt zur Verschlechterung des Wissens über Position und Orientierung. Um dort kaum
gewährleistbare Annahmen über eine maximale Ungenauigkeit des Roboterantriebs zu
vermeiden, wird in dieser Arbeit darauf verzichtet, Daten des Bewegungssensors eines
Roboters in die Schätzung von dessen Pose miteinzurechnen. Gegenteilig dazu wird vielmehr
unterstellt, dass sich bei der Neubestimmung einer Pose nach einer Bewegung die
zuletzt gemachte Schätzung nicht mehr verwenden lässt, weil ein beliebig großer Fehler
während des Positionswechsels entstanden sein könnte. Dadurch tritt eine weitere

76 4.2 Kooperative Posenschätzung innerhalb eines globalen Koordinatensystems
Schwierigkeit für die Lokalisierung auf, denn es muss bedacht werden, dass sich Roboter
im vorliegenden Zusammenhang nicht eindeutig erkennen lassen. Da die Bewegungsabläufe
der Teams hier aber koordiniert verlaufen werden, lässt sich zumindest getrost
annehmen, dass ein Roboter Rproj, der sich (wie die anderen wissen) gerade bewegt
hat, von einem Roboter Rloc als er selbst zumindest dann identifiziert werden kann,
wenn sich Rproj bei Abschluss seiner Bewegung im Sichtbereich von Rloc aufhält.
Messungen der eigenen zurückgelegten Strecke werden nebenbei dennoch genutzt, wenn
auch nur implizit, um während einer Bewegung den geplanten Pfad verfolgen zu können.
Zusätzlich kann dabei fungieren, eigene Kamerabilder hinsichtlich der Sichtbarkeit
anderer Roboter auszuwerten. Umgekehrt können andere den sich bewegenden Roboter
darüber informieren, ob er sich aktuell in ihrem Sichtwinkel befindet oder nicht. Dies
alles wird hier nicht genauer untersucht. Stattdessen sei vorausgesetzt, dass es solche
Möglichkeiten gibt und sich somit angesteuerte Orte bei Einhaltung von Wegen, auf denen
sich Roboter gegenseitig sehen, im Groben erreichen lassen. Hierzu kann ausreichen,
dass ein Roboter Rproj auch in Entfernungen, die den günstigen Bereich eines Roboters
Rloc überschreiten, in dessen Kamerabild auftaucht.
Im Folgenden stehen allerdings nur noch Lokalisierungszwecke im Fokus. Daher wird aus
Gründen der Praktikabilität bei den Verfahren in Kapitel 4.4 bis 4.6 davon ausgegangen,
dass Rproj zur Lokalisierung einzig dann von Rloc gesehen wird, wenn sich Rproj in
dessen günstigem Bereich ˜ Gloc befindet. Wie oben definiert, sei hierfür zu beachten, dass
˜Gloc sich auf die Mittelpunkte anderer Roboter bezieht; es genügt für die Lokalisierung
mit maximaler Abweichung ε also, dass der Mittelpunkt von Rproj in ˜ Gloc liegt. Der
Einfachheit halber entspreche der Mittelpunkt M eines Roboters dabei dem Projektionszentrum
C seiner Kamera. Dies bedeutet keine Einschränkung, da der Unterschied
zwischen zwischen C und M sich bei einer fest installierten Kamera problemlos mit in
Posenbestimmungen einbeziehen ließe. Schwierigkeiten beim Sehen eines Roboters kann
jedoch machen, dass sich Roboter im Kamerabild überlagern, so dass sich ihre Randpixel
nicht mehr generell bestimmen lassen. Daher wird in allen Verfahren bedacht werden,
dass Lokalisierungsberechnungen nur dann stattfinden dürfen, wenn ableitbar ist, dass
die dafür genutzten Roboter isoliert auf das Kamerabild projiziert worden sind.
Lokalisierung anhand eines Roboters in einem Kamerabild
Zu Beginn sei der Frage nachgegangen, inwiefern die alleinige Nutzung der relativen
Lokalisierung von Robotern aus einzelnen Kamerabildern die absolute Standortbestimmung
in einem globalen Koordinatensystem erlaubt. Hierbei sind unterschiedliche Fälle
anzuschauen, die aus verschiedenem gemeinsamen Wissen über die Positionen oder Posen
der betreffenden Roboter entspringen, wobei zur Beschreibung in diesem Teilkapitel
aus Gründen der Übersichtlichkeit die ideale Berechnung von Entfernungen ohne Abweichung
zugrunde gelegt wird. Die eigentliche Entstehung akkumulierender Fehler ist
Inhalt des folgenden Teilkapitels.
Angenommen nun, über die Pose (x1 | y1 | θ1) eines Roboters R1 bestehe kein Wissen.
Im günstigen Bereich von R1 halte sich ein Roboter R2 auf, über dessen geschätzte absolute
Position (x2 | y2) der Roboter R1 bescheid weiß. Dann kann R1 seinen Abstand d
und den Projektionswinkel ϕ bezüglich R2 berechnen. Da jedoch die absolute Orientie-

4 Explizite Verwendung kooperativer Bewegungsstrategien 77
1
1
2
1
Regel 1 Regel 2Regel
1 Regel 2
1
1 2
2
2 1
1
1
1
1
2
1
2
1
1
(x 1 |y 1 )
y rel
1
2
1
φʼ 1
d 1
θ 2
(x 2 |y 2 )
Abbildung 4.3: Es wird jeweils davon ausgegangen, dass der gesehene Roboter identifiziert
wird. (links) Bei unbekanntem Standort kann R1 seine Lage absolut auf einen Kreis möglicher
Positionen einschränken, wenn er R2 mit bekannter Position sieht. (halb links) Wenn R2 lediglich
seine Position kennt, lässt sich die Lage von R1, dessen Standort unbekannt ist, ebenfalls nur auf
einen Kreis möglicher Positionen reduzieren. (halb rechts) Ein Roboter R2 mit bekannter Pose
kann die Position jedes Roboters R1, den er sieht, schätzen. (rechts) Umrechnung der Punkte im
egozentrischen Koordinatensystem mit Ursprung (x2 | y2) in ein globales Koordinatensystem.
rung θ1 von R1 nicht verfügbar ist, lässt sich lediglich herleiten, dass sich R1 irgendwo
auf einer Kreisbahn um R2 herum befindet, wobei sich die möglichen Positionen von R1
nach Pohlmann 1996, S. 31 aus der Kreisgleichung (x1−x2) 2 +(y1−y2) 2 = d 2 ergeben.
Abbildung 4.3 (links) zeigt drei der unendlich vielen Möglichkeiten für die Lage eines
solchen Roboters R1 relativ zu R2. Diese Eingrenzung bezeichnet die einzige Schlussfolgerung,
die ein Roboter, dem jegliches Vorwissen über die eigene Pose fehlt, anhand der
Projektion eines anderen machen kann. Jedoch bringt selbst sie wenig, da dazu R2 als
Selbiger von R1 identifiziert werden müsste, was wie gesagt nicht vorausgesetzt werden
kann. Sieht umgekehrt ein Roboter R2 mit zumindest unsicherem Positionswissen einen
Roboter R1, so kann auch R2 die Bandbreite denkbarer Standorte von R1 mit gleichen
Überlegungen auf einen Kreis reduzieren (vgl. Abbildung 4.3 halb links). Da R2 aber
unter Umständen weiß, dass es sich beim anderen um R1 handelt, beispielsweise weil
dieser soeben eine Bewegung ausgeführt hat, ließe sich hieraus eine Regel formulieren,
wobei diese im weiteren Verlauf aus weiter unten dargelegten Gründen nicht genutzt
werden wird: Sieht ein Roboter Rloc mit bekannter Position einen Roboter Rproj mit
unbekannter Pose, dann kann Rloc die Schätzung der absoluten Lage von Rproj auf einen
Kreis von Positionen um sich selbst herum einschränken. An dieser Stelle sei angemerkt,
dass ähnliche, auf Kreisen und deren Schnittpunkten basierende Lokalisierungstechniken
in dem bereits in Kapitel 2.1 erwähnten Paper Göhring & Burkhard 2006 eine
Rolle spielen, also nicht vollends neu in diesem Kontext sind. Schnittpunkte von Kreisen
werden auch hier weiter unten vorkommen.
Kennt nun der Roboter R2 über den eben geschilderten Fall hinaus nicht nur seine Position,
sondern zusätzlich seine Orientierung, lässt sich die Position von R1 sogar absolut
schätzen (vgl. Abbildung 4.3 halb rechts): R2 habe die geschätzte Pose (x2 | y2 | θ2),
seine Berechnung der zu ihm relativen Lage von R1 ergebe die Entfernung d1 und den in
Kapitel 3.2 eingeführten vorzeichenbehafteten Projektionswinkel ϕ ′ 1 (durch Verwendung
von ϕ ′ 1 anstatt ϕ1 ist keine Fallunterscheidung bezüglich der Lage der Projektion von R1
im Kamerabild von R2 notwendig). Dann erfolgt die Umrechnung der egozentrischen
y glob
2
1
x rel
x glob

78 4.2 Kooperative Posenschätzung innerhalb eines globalen Koordinatensystems
Koordinaten (x1rel | y1rel) in globale Koordinaten (x1 | y1) durch eine Verschiebung
nach (x2 | y2) und Drehung um θ2 − ϕ ′ 1 , wie Abbildung 4.3 (rechts) unterstreicht:
x1 = x2 − sin(θ2 − ϕ ′ 1) · d1
y1 = y2 + cos(θ2 − ϕ ′ 1) · d1
Zur besseren Vorstellbarkeit sei daran erinnert, dass ϕ ′ bei einer Projektion im positiven
Bereich der x-Achse eines egozentrischen Koordinatensystems positive, im negativen
negative Werte annimmt. Zusammengefasst lässt sich eine wichtige Regel angeben:
Regel 1: Wenn ein Roboter Rloc mit bekannter (geschätzter) Pose einen beliebigen
Roboter Rproj sieht, dann kann Rloc die Position von Rproj absolut schätzen.
Keine der bisherigen Lokalisierungsarten hat die Bestimmung der Orientierung eines
Roboters als Ergebnis. Dennoch kann Letztere anhand eines einzelnen Kamerabilds geschätzt
werden und zwar, wenn mindestens über die Positonen beider dabei betroffenen
Roboter Schätzungen vorhanden sind.
Regel 2: Wenn ein Roboter Rloc mit bekannter (geschätzter) Position einen Roboter
Rproj mit ebenfalls bekannter (geschätzter) Position sieht, dann kann Rloc seine
eigene absolute Orientierung und somit seine absolute Pose schätzen.
Eine solche Situation ist in Abbildung 4.4 (links) dargestellt; ein Roboter R2 mit Position
(x2 | y2) sieht einen Roboter R1 mit Position (x1 | y1). Die Berechnung der Lage
von R1 bezüglich R2 liefere die Werte d1 und ϕ ′ 1 . Dann folgt aus der leicht nachrechenbaren
Umformung obenstehender Gleichungen für die globalen Koordinaten von R1 die
Berechnungsvorschrift für die Orientierung von R2:
x2 −
x1
θ2 = arcsin + ϕ ′
y1 −
y2
1 = arccos + ϕ ′ 1
d1
Den beschriebenen Fällen unterliegt insofern bereits Kooperation, als ihr Auftreten erst
bei gemeinsamer Fortbewegung ermöglicht wird und die Aneignung von Wissen über
den eigenen Standort zum Teil Kommunikation mit anderen erfordert. Eine Kombination
von Regel 1 und 2 erlaubt aber sogar, dass Roboter explizit zusammenarbeiten,
um eine Pose herauszufinden: Begegnen sich zwei Roboter R1 und R2, von denen einem
(etwa R2) eine Schätzung seiner Pose zur Verfügung steht, während der andere
(R1) nichts über seinen Standort und seine Blickrichtung weiß, so können diese die Pose
von Letzterem schätzen. Abbildung 4.4 (rechts) veranschaulicht den dabei nötigen
Ablauf, bei dem zuerst R2 die Position von R1 nach Regel 1 ermittelt und sie an R1 weitergibt,
woraufhin R1 nach Regel 2 auf Grundlage der erhaltenen Positionsschätzung
seine Pose berechnen kann. Hierbei wird wieder vorausgesetzt, dass R1 von R2 aufgrund
koordinierter Bewegungsfolgen als dieser identifiziert werden konnte. Der Fehler
der Entfernungsberechnung entsteht dabei nur einmal, da R1 nur noch seine Orientierung
schätzen muss (vgl. dazu Kapitel 4.3). Dies gilt natürlich genauso, wenn R2 die
Schätzung seiner Position von einem dritten Roboter erhalten hätte.
d1

el 1 Regel 2
2
1
4 Explizite Verwendung kooperativer Bewegungsstrategien 79
2
1
1
2
Regel 1 Regel 2
1
2 2
Abbildung 4.4: (links) Ein Roboter R1 mit bekannter Position kann seine eigene Pose anhand
eines Roboters R2, dessen Position ebenfalls bekannt ist, schätzen. (rechts) Schätzung der Pose
von R1 durch Wissensaustausch: R1 und R2 sehen sich gegenseitig, wobei die Pose von R2
bekannt ist und dieser R1 identifizieren kann. R2 schätzt die Position von R1 und teilt ihm die
Schätzung mit. Daraufhin schätzt R1 seine Pose anhand der relativen Lage zu R2.
Weitere Lokalisierungsverfahren für einzelne Kamerabilder
Es existieren weitere Ausgangspunkte für die Ermittlung von Posen; finden sich etwa
in einem Kamerabild mehrere Roboter mit vorhandenen Positionsschätzungen, deren
Projektionen sich getrennt analysieren lassen, weil sie sich nicht überlagern, können
aus der relativen Lage der projizierten zum lokalisierenden Roboter Rloc Informationen
über die Pose von Rloc abgeleitet werden. Eine solche Möglichkeit ergibt sich aus einer
Anordnung, wie sie in Abbildung 4.5 (links) zu sehen ist. Ein Roboter R1 bestimmt die
Entfernungen d2 und d3 zu zwei Robotern R2 und R3, die sich in seinem Kamerabild
wiederfinden und über deren Position jeweils eine Schätzung existiert. Wie gehabt führen
diese Berechnungen zu Kreisen möglicher Positionen von R1, wenn kein Vorwissen über
dessen Pose besteht. Die beiden Kreise schneiden sich in der Regel in zwei Punkten, die
sich durch das Lösen des folgenden linearen Gleichungssystems berechnen lassen:
I (x1 − x2) 2 + (y1 − y2) 2 = d2 2
II (x1 − x3) 2 + (y1 − y3) 2 = d3 2
Auf eine Umformung der Gleichungen wird hier verzichtet, da das Vorgehen dabei klar
ist. Es sei darauf hingewiesen, dass ggf. nur eine oder keine Lösung für die Position von
R1 existiert, und zwar dann, wenn der Abstand zwischen R2 und R3 nicht kleiner als
d2 und d3 ist, was aber bei normalen Bildwinkeln abhängig von der Robotergröße nur
in Grenzfällen möglich sein sollte, wie sich etwa aus Abbildung 4.5 (links) ersehen lässt.
Sei jetzt angenommen, es gebe zwei Schnittpunkte. Diese könnten zwar generell beide
den Standort (x1 | y1) von R1 bezeichnen. Kann aber durch weiteres Wissen einer der
Punkte ausgeschlossen werden, zum Beispiel weil R2, der wie in Abbildung 4.5 (links)
seine geschätzte Pose kennt, sieht, dass sich R1 nicht vor ihm befindet (sicherer: auch
kein anderer), so resultiert daraus eine eindeutige Position (x1 | y1) für R1, die natürlich
bei Miteinbeziehung von Abweichungen (siehe unten) mit Unsicherheit behaftet wäre.
Mehr noch; R1 kann nun auch seine Orientierung schätzen, da bei vorhandener Position
Regel 2 anwendbar ist. Es lässt sich somit eine letzte Regel, die im Folgenden benutzt
werden wird, definieren:
1

80 4.2 Kooperative Posenschätzung innerhalb eines globalen Koordinatensystems
Regel 3
2 3
1
2
1
Abbildung 4.5: (links) Nach Berechnung von dsupp zu R2 und R3 bleiben für R1 die Schnittpunkte
der beiden Kreise als mögliche Positionen. Lässt sich durch den Sichtbereich von einem
Roboter bekannter Pose, wie hier R2, einer der Punkte ausschließen, kann damit die Pose von R1
ermittelt werden. (Mitte) Bei solch einer Lokalisierung ergibt sich der Unsicherheitsbereich als
Schnittfläche zweier „Ringe“, die jeweils den Unterschied zwischen dmin und dmax verkörpern.
(rechts) Der Bereich lässt sich einschränken, wenn zusätzlich die Summe der Projektionswinkel
zu R2 und R3 betrachtet wird, welche sich im Umkreis der Robotermittelpunkte wiederfindet.
Regel 3: Wenn ein Roboter Rloc zwei Roboter Rproj 1 und Rproj 2 mit bekannten (geschätzten)
Positionen sieht, deren Abstand untereinander geringer als der jeweilige
zu Rloc ist, dann kann Rloc seine eigene absolute Lage auf zwei (geschätzte) Positionen
einschränken. Lässt sich eine der Positionen durch den Sichtwinkel von
Rproj 1 oder Rproj 2 ausschließen, so kann Rloc seine eigene absolute Pose schätzen.
Eine wichtige und für die vorliegenden Untersuchungen problematische Beobachtung
besteht darin, dass die Schätzung der Position eines Roboters R1 anhand zweier Roboter
R2 und R3 zu einer neuen Unsicherheitsgröße führt. Da sich die Entfernung zu
einem anderen Roboter mit der angeführten Positionsberechnung nur auf ein Intervall
[dmin, dmax] eingrenzen lässt, handelt es sich bei den beiden Kreisen eigentlich um zwei
als Ringe benennbare Flächen, deren Ränder jeweils durch Kreise mit Radien dmin und
dmax definiert sind (vgl. Abbildung 4.5 Mitte). Hieraus entsteht eine nicht-triviale Fläche,
innerhalb der sich die Position von R1 befinden muss. Die Ausmaße der Fläche
variieren mit dem Abstand zwischen R2 und R3 wie auch mit dem zwischen R1 und
diesen Robotern. Für die Lokalisierung nützlich, aber für eine formale Bestimmung dieses
Bereichs erschwerend, kommt hinzu, dass sich die Lage von R2 in dem Bereich weiter
spezifizieren lässt; in Kapitel 3.4 wurde argumentiert und exemplarisch gezeigt, dass die
Abweichung des Winkels ϕsupp bei der Projektion eines Roboters Rproj auf die Bildebene
eines Roboters Rloc im Allgemeinen verhältnismäßig sehr gering im Vergleich zur
Abweichung der vermuteten Entfernung dsupp ist. Die Summe der Projektionswinkel ϕ2
und ϕ3 zu R2 und R3 findet sich nun im Umkreis des durch die Mittelpunkte der drei
Roboter definierten Dreiecks an R1 wieder. Da sich die Unsicherheit dieses Umkreises
in der Genauigkeit der Berechnung der Projektionswinkel gründet, kann ein weiterer
„Ring“ in die Schnittmenge mitaufgenommen werden, aus der der Unsicherheitsbereich
der Position von R1 hervorgeht, wie Abbildung 4.5 rechts illustriert.
Es würde den Umfang dieser Arbeit übersteigen, auch für diesen Ansatz der Lokalisie-
3
2
1
3

4 Explizite Verwendung kooperativer Bewegungsstrategien 81
2
1
1
3
2
Abbildung 4.6: (links) Sind R2 und R3 nahezu gleich weit von R1 entfernt und sieht keiner
davon R1, lässt sich ohne weiteres Vorwissen keiner der Kreisschnittpunkte als Position von
R1 ausschließen. (Mitte) Wenn dmax zu R2 kleiner als dmin zu R3 ist, kann zwar einer der
Schnittpunkte als Position von R1 ausgeschlossen werden, jedoch bleibt die Doppeldeutigkeit
der Situation bestehen. (rechts) Die Pose eines Roboters, hier die von R1, lässt sich auch über
den Schnittpunkt zweier Kreise aus den Sichtbereichen mehrerer Roboter bestimmmen.
rung mathematische Ergebnisse herzuleiten, weswegen dies als offener Punkt verbleibe.
Stattdessen werden in den anstehenden Teilkapiteln sowohl Verfahren mit Verwendung
von Regel 3 als auch welche, die diese Regel auslassen, entwickelt werden. Im nächsten
Teilkapitel wird dafür eine Abschätzung des resultierenden Fehlers gemacht, ohne die
jegliche weitere Betrachtung auf Regel 3 aufbauender Konzepte unnütz wäre. So lässt
sich anschließend zumindest überlegen, ob eine weitere Beschäftigung mit dem hier nur
oberflächlich analysierten Unsicherheitsbereich sinnvoll wäre.
Mit der Frage nach weiteren Lokalisierungsmöglichkeiten ließe sich noch ausgiebiger befassen.
Abbildung 4.6 (links) zeigt den zu Regel 3 entgegengesetzten Fall; obwohl beide
im günstigen Bereich befindlichen Roboter ihre Pose geschätzt kennen, hilft dies Roboter
R1 nicht beim Ermitteln seiner Position. Vermeintlich könnte vermutet werden, dass
aber Nutzen aus einer deutlich unterschiedlichen Entfernung von R2 und R3 geschlagen
werden kann, wie es in Abbildung 4.6 (Mitte) dargestellt ist. Ohne Verlust der Allgemeingültigkeit
liege R2 näher als R3 an R1; wenn die maximale Entfernung dmax2 von
R2 geringer als die minimale Entfernung dmin3 von R3 ist, bleibt wegen der horizontalen
Lage der Projektionen im Kamerabild nur noch ein Schnittpunkt der Kreise für R1 übrig.
In diesem Fall liegen sich die beiden Punkte allerdings nicht diametral gegenüber. Es
folgt, dass R1 trotzdem nicht weiß, von welcher Seite aus er zu R2 und R3 blickt, sofern
er sie nicht auseinanderhalten kann, denn die Entfernungsberechnung ergäbe in beiden
Fällen die gleichen Werte, was Abbildung 4.6 (Mitte) verdeutlicht. Die Lösung des
Problems mehrerer aus Entfernungsberechnungen entstehender Positionsmöglichkeiten
wird also von dem der Mehrdeutigkeit mangels Orientierung unterlaufen.
Davon unabhängig gibt es andere Mechanismen, die wiederum tatsächlich zur Posenfindung
benutzt werden könnten. Abbildung 4.6 (rechts) illustriert etwa die Kooperation
dreier Roboter; lässt sich R1 von R2 wegen gerade beendeter Bewegungen identifizieren,
so kann R1 ableiten, dass er R3 sieht, da der Abstand zwischen R2 und R1 sowie
1
1
3
2
3
1

82 4.2 Kooperative Posenschätzung innerhalb eines globalen Koordinatensystems
R1 und R3 berechnet werden kann und der zwischen R2 und R3 aus deren Positionen
folgt. Von den verbleibenden zwei Kreisschnittpunkten kann nur einer die Position von
R1 bezeichnen, weil R3 aufgrund bekannter Pose und seinem Sichtbereich weiß, dass
der andere nicht besetzt ist. Solche Abläufe lassen sich auch auf größere Zahlen von
Robotern ausdehnen, jedoch werden sie schnell komplex und helfen damit wenig bei
allgemeinen Techniken zur gemeinsamen Fortbewegung. Daher werden sie im Folgenden
nicht mehr beachtet, ebenso wie sicherlich weitere Methoden, die hier überhaupt
nicht berücksichtigt wurden. Die aufgezeigten Regeln 1 bis 3 sollen und werden hingegen
ausreichen, um sich mit koordinierten Bewegungsfolgen beschäftigen zu können.
Kommunikation im Zuge kooperativer Lokalisierung
Ehe untersucht wird, wie sich die entwickelten Lokalisierungstechniken auf die zunehmenden
Fehler der Posenschätzungen bei der Fortbewegung eines Roboter-Teams auswirken,
sei noch die Frage behandelt, welche Kommunikation für kooperative Lokalisierung
gebraucht wird. Einen generell wichtigen Aspekt verkörpert die Teamleitung;
damit kooperative Bewegungsstrategien erst Sinn machen, bedarf es eines Grunds, sich
in eine bestimmte Richtung fortbewegen zu wollen. Entsprechend Kapitel 4.1 liegt der
Schwerpunkt hier allerdings nicht auf spezifischen Anwendungen, weswegen globale Entscheidungen
über den verfolgten Weg nicht erörtert werden können. Daher sei unten
jeweils davon ausgegangen, dass eine geplante aktuelle Bewegungsfolge (etwa von einem
dafür durchweg zuständigen Roboter) vorgegeben sei und nur deren Umsetzung interessiere.
Alle wissen also immer darüber bescheid, wann sich wer wohin zu bewegen hat,
wozu sich natürlich Statusnachrichten benutzen ließen.
Auch nicht Teil der Analyse wird sein, wie stillstehende Roboter einen Roboter Rmov
während dessen Bewegung koordinieren, um ihn von seinem Startpunkt A zur Zielposition
B unterstützend zu führen. Hierbei wird angenommen, dass Rmov beispielsweise
in regelmäßigen Abständen seine aktuell vermutete Position broadcastet und jeder Roboter,
der einen Teil des Pfads von A nach B beobachtet, eigenständig Rückmeldung
darüber gibt, ob Rmov sich an der erwarteten Stelle aufhält, und ansonsten Kurskorrekturen
vorschlägt. (bei den Verfahren muss später darauf geachtet werden, dass ein Pfad
die dafür nötigen Voraussetzungen erfüllt). Dies lässt sich also als temporäre Lokalisierung
von Rmov durch die anderen begreifen, die bei anschließenden Posenbestimmungen
keine Rolle mehr spielt, und ähnelt daher Ansätzen, wie sie in Kurazume & Hirose
2000a umschrieben werden.
Durchaus im Fokus liegt aber die gemeinsame Schätzung neu erreichter Standorte der
Roboter, was letztlich auf die soeben erarbeiteten Lokalisierungstechniken zurückgeht.
Anhand verschiedener Pseudocode-Methoden wird dazu explizit unterschieden werden,
wann nur unter zwei Robotern kommuniziert wird und wann alle am Wissen einzelner
teilhaben sollen, wobei sich zeigen wird, dass nur drei Arten von Nachrichten bei einem
sie verschickenden Roboter zum Einsatz kommen: Mittels tellPosition(R_i) teilt er
Ri sein Wissen über dessen Position mit, broadcastPosition(R_i) diene dazu, die
Position von Ri an alle zu verbreiten, und durch broadcastOwnPose() wird Selbiges
schließlich für die eigene Pose getan, die wie gehabt nur ein Roboter bei sich selbst final
ermitteln kann. Die konkrete Adressierung von Robotern demonstriert die Verwendung

4 Explizite Verwendung kooperativer Bewegungsstrategien 83
von Code in dieser Arbeit: alle dadurch veranschaulichten Strategien werden passend
zu den schon eingeführten Abbildungen von außen beschrieben, das heißt, die entsprechenden
Algorithmen definieren das Verhalten der Robotergruppe, als wenn diese global
gesteuert wäre. Intern wird ein Roboter wissen, welcher Roboter gerade in seinen Sichtbereich
getreten ist oder welchen er nach Abschluss seiner Bewegung sehen muss, so dass
das direkte Ansprechen eines speziellen Roboters auch im Team so umgesetzt werden
könnte. Alles Weitere zum Pseudocode, der sich an bekannten Programmiersprachen
orientiert, aber auf deutlich abstrakterer Ebene formuliert ist, sei an den betreffenden
Stellen geklärt und hier nicht weiter ausgeführt.
4.3 Fehlerakkumulation bei der kooperativen Lokalisierung
Als erste wichtige Erkenntnis zur Fehlerakkumulation lässt sich festhalten, dass keineswegs
davon auszugehen ist, dass die Ungenauigkeiten der Winkel- und Entfernungsberechnungen
stets Fehler gleicher Ausprägung sind, wie es manch anderem Verfahren
(z.B. Odometriemessungen) inneliegen kann: Es besteht keine erhöhte Wahrscheinlichkeit
dafür, dass Projektionen an einer bestimmten Stelle eines Pixels ihren Rand haben.
Das heißt etwa, kontinuierliche Unterschätzungen von Abständen zwischen Robotern
sind mittelfristig auszuschließen. Mag dies in der Praxis äußerst günstige Auswirkungen
für die Aufrechterhaltung vernünftiger Posenschätzungen haben, so hilft es bei deren
theoretischer Analyse wenig. Weiter liegt es gerade bei der Einhaltung spezifischer Bewegungsstrategien
durchaus im Bereich des Möglichen, dass die Positionsberechnungen
für einen Roboter stets von ähnlichen relativen Standorten aus geschehen, womit der
maximale Fehler ∆d entsprechend ähnlichen Abweichungsrichtungen entspringt. Aus
solchen Gründen wird hier nur der schlechtest mögliche Fall angeschaut, bei dem der
jeweils maximal mögliche Fehler als tatsächlich eintretender angenommen wird (eine
Besprechung probabilistischer Modelle folgt in Kapitel 5).
In Kapitel 3.3 hat sich herausgestellt, dass die Obergrenzen von Abweichungen in verschiedene
Richtungen unterschiedlich ausfallen können. Ohne dass es explizit untersucht
wurde, erscheint es intuitiv so, als würde die vorgestellte Positionsberechnung zu einer
ovalförmigen Fläche möglicher Standorte des projizierten Roboters führen, die je nach
Projektionswinkel ggf. verzerrt sein kann. Dies macht aber eine Beschäftigung mit Fehlerakkumulationen
schwierig, da sie innerhalb der günstigen Bereiche nicht gleichartig
aussehen. Daher wird der Unsicherheitsbereich einer Positionsschätzung bewusst größer
definiert als er real besteht, nämlich vorerst als Kreis mit Radius ∆d um den vermuteten
Mittelpunkt Msupp des zu lokalisierenden Roboters herum. Weiter unten wird noch die
stärkere Ausweitung gemacht, dass der Radius durch die frei zu wählende Obergrenze ε
möglicher Abweichungen (vgl. Kapitel 3.5) gegeben ist, was das Konzept der günstigen
Bereiche in seinem Kern repräsentiert.
Modell der Fehlerentwicklung aufeinander folgender Posenschätzungen
Sei zunächst ein Blick auf die im letzten Teilkapitel vorgestellte Kooperation der Roboter
über Regel 1 und 2 geworfen. Dort wurde bereits gesagt, dass nur eine Entfernungs-

84 4.3 Fehlerakkumulation bei der kooperativen Lokalisierung
(1) (2) (3)
1
1 1
2
2
Abbildung 4.7: Entwicklung der Unsicherheit über die Pose der Roboter: (1) R1 bewegt sich,
woraufhin ein anderer seine Position schätzt, die innerhalb einer Kreisfläche mit Radius ∆d
liegen muss. (2) R1 schätzt nun anhand von R2 seine Orientierung, für die zwei Möglichkeiten
dargestellt sind. Außerdem könnte er die Unsicherheit seiner Position mittels dmin und dmax zu
R2 wie eingezeichnet verringern. (3) Schätzt R1 dann die Position eines Roboters R3, entsteht
die zugehörige Fläche aus einer Kombination der Unsicherheit der Orientierung und der Position
von R1 sowie neuer Unsicherheit aus der Entfernungsberechnung zu R3.
berechnung mit der Verknüpfung dieser Regeln einhergeht. Eine zweite könnte aber
sogar der Unsicherheit bezüglich der Position eines Roboters Rk entgegenwirken, da
sich durch erneute Berechnung von dmax und dmin zu einem Roboter mit geschätztem
Positionswissen ggf. bestimmte Standorte ausschließen ließen; diese Werte könnten aufgrund
geringer Pixelunterschiede anders ausfallen, als entsprechende bei der Positionsberechnung
von Rk. Solche Verbesserungen bleiben wegen der steigenden Komplexität
der Unsicherheitsbereiche im weiteren Verlauf jedoch außen vor. Keinesfalls erhöht die
geteilte Posenschätzung aber zumindest die Ungenauigkeit des Wissens über den Standort
eines Roboters. Die Winkelmessung aus Regel 2 hängt hingegen mit der Schätzung
von Orientierungen zusammen, auf die gleich noch eingegangen wird.
Es wird nun exemplarisch betrachtet, wie sich Abweichungen von Posenschätzungen
durch die Akkumulation verschiedener Fehler entwickeln. Nur Regel 1 und 2 werden
dafür untersucht, denn für Regel 3 existieren mit den Begründungen aus Kapitel 4.2
zu wenig Grundlagen, um tiefergehende Aussagen machen zu können. Nichtsdestotrotz
wird hinterher auch zu Regel 3 noch etwas gesagt werden. Zur Illustration der Fehler
bei Regel 1 und 2 diene jetzt erst einmal Abbildung 4.7, bei der angemerkt sei, dass
die verschiedenen Abweichungen allesamt zur Verdeutlichung in ihrer Größe deutlich
überspitzt eingezeichnet sind.
Angenommen, ein Roboter R1 lässt seine Position von einem Roboter mit exaktem
Posenwissen nach Regel 1 schätzen. Die maximale Abweichung ∆d der Entfernungsberechnung
führt zu einer kreisförmigen Fläche mit eben diesem Radius, in der die
Position von R1 liegen muss (Abbildung 4.7, Schritt 1). Sieht R1 daraufhin einen Roboter
R2, kann er nach Regel 2 seine Orientierung schätzen. Abbildung 4.7 stellt in Schritt
2 zwei mögliche Blickrichtungen durch Angabe des günstigen Bereichs und der Position
von R2 dar. Diese Positionen liegen auf einem Kreissstück um R1 herum, dessen
Größe aus der zwischen R1 und R2 vermuteten Entfernung dsupp resultiert. Zusätzlich
könnte R1 die Unsicherheit seines Standorts durch Berechnung von dmin und dmax zu
3

4 Explizite Verwendung kooperativer Bewegungsstrategien 85
R2 wie beschrieben ggf. verringern, was die Abbildung durch den schraffierten Anteil
des Positionsbereichs von R1 schematisch zeigt. Akkumulierende Fehler treten nun auf,
wenn R1 die Position eines weiteren Roboters R3 schätzt (Abbildung 4.7, Schritt 3):
Wiederum kann die Positionsschätzung nur auf eine Kreisfläche eingegrenzt werden. Wo
diese Fläche liegt, kann weiter wegen der Unsicherheit der Orientierung von R1 nicht
eindeutig bestimmt werden; vielmehr führt Letztere dazu, dass eine aus Kreisen zusammengesetzte
Fläche für die Position von R2 entsteht, wie sie dick schwarz umrandet
in der Abbildung skizziert ist. Darüber hinaus muss die Unsicherheit der Position von
R1 miteingerechnet werden, die den Bereich in alle Richtungen gleichmäßig vergrößert
(äußere gestrichelte Linie in Schritt 3 von Abbildung 4.7).
Schon nach einer solchen Verknüpfung von Fehlern wird der Unsicherheitsbereich (hier
der von R3) durch eine nicht-triviale Fläche verkörpert. Ihre Ausdehnung würde bei
weiteren Messungen in der Regel gar komplizierte Formen annehmen und ließe sich
daher schlecht analysieren. Da zusätzlich in dieser Arbeit keine Schranken für die Ungenauigkeit
der Orientierung hergeleitet wurden, diese sich aber nach allen beispielhaften
Betrachtungen aus Kapitel 3 für bereits 720 Pixel horizontaler Auflösung als sehr niedrig
vermuten lassen, wird untenstehend ein vereinfachtes Modell der Fehlerentwicklung
angesetzt, bei dem Abweichungen der Orientierungen vollständig vernachlässigt werden.
Abbildung 4.8 zeigt, was sich dadurch für die Akkumulation der Unsicherheit ändert;
sie kann auf exakt kreisförmige Bereiche zurückgeführt werden, die sich mit jeder neu
hinzukommenden Messung vergrößern. Dabei wird als Radius allgemein die gewählte
Grenze ε zugrunde gelegt, anstatt jeweils differerierende Werte ∆d bedenken zu müssen.
Ansonsten bleibt das Konzept gleich, weswegen Abbildung 4.8 nach der Beschreibung
von Abbildung 4.7 als selbsterklärend angesehen wird. Es sei betont, dass diese Art der
Problemreduzierung in der Praxis geringere Auswirkungen haben sollte als es erscheinen
mag, denn, wie gesagt, sind kontinuierliche Abweichungen gleicher Art (auch bei der
Orientierung) mit der vorliegenden Lokalisierungstechnik nicht zu erwarten. Außerdem
übersteigt der angenommene Unsicherheitsbereich aufgrund der Wahl von ε als obere
Schranke ohnehin seine realen Ausmaße. Das heißt natürlich nicht, dass Orientierungsfehler
damit ausgeblendet werden sollen (vgl. dazu Kapitel 6), vielmehr geht es darum,
ein handhabbares Maß für die weiteren Analysen zu erhalten.
Abschätzung des aus Regel 3 hervorgehenden Fehlers
Hinsichtlich eines Vergleichs der vorzustellenden Algorithmen werden sich nun Schwierigkeiten
durch die Anwendung von Regel 3 ergeben, da für sie keine formal hergeleitete
Güte existiert. Es sei aber aus Gründen der Praktikabilität davon ausgegangen, dass
sich die Unsicherheit einer Schätzung nach Regel 3 durch einen Wert λ > 0 angeben
lässt; während Regel 1 eine neue Messung bedingt, bewirke Regel 3 sozusagen λ neue
Messungen. Abbildung 4.5 (rechts) legte dabei die Vermutung nahe, dass die maximal
möglichen Abweichungen von Regel 3 größer als die soeben besprochenen sein können,
weswegen erwartungsgemäß λ > 1 gilt. Ein formaler Beweis dieser Eigenschaft wird hier
nicht angestellt; trotzdem lässt sie sich für sehr wahrscheinlich halten, denn die Abweichungen
gehen aus zwei verschiedenen Entfernungsberechnungen hervor, was kaum zu
einer Verkleinerung möglicher Ungenauigkeiten führen wird.

86 4.3 Fehlerakkumulation bei der kooperativen Lokalisierung
(1) (2) (3)
1
1 1
2
Abbildung 4.8: Vereinfachtes Modell der Entwicklung der Unsicherheit über die Roboterposen:
(1) Die Positionsberechnung bleibt im Grunde unverändert, die resultierende Kreisfläche
habe aber stets den Radius ε. (2) Bei der Posenschätzung wird die Unsicherheit der Orientierung
vernachlässigt. (3) Dadurch reduziert sich die akkumulierte Unsicherheit auf eine Kreisfläche,
da sie nur noch von Positionsberechnungen abhängt.
Die Ungenauigkeit der Berechnung verkörpert aber nicht das einzige Problem in diesem
Zusammenhang, denn weiter bleibt auch fraglich, inwiefern die aus Regel 3 resultierende
Schätzung eines Roboters Rk die Unsicherheit der zwei Roboter Ri und Rj
übernimmt, deren Projektionen für die Anwendung der Regel genutzt werden. Ohne
Einschränkung habe Ri ungenaueres Wissen über seine Position als Rj. In späteren
Analysen sei dann angenommen, dass die neue Unsicherheit von Rk aus der von Ri und
der möglichen Abweichung der aktuellen Berechnung entsteht. Genauer gesagt: beruht
die Posenschätzung von Ri auf mi Schätzungen, dann sei die Anzahl an Messungen,
auf der das Posenwissen von Rk basiert, als mi + λ definiert. Diese Festsetzung unterstellt,
dass die Größe des in Kapitel 4.2 für Regel 3 umschriebenen, nicht-trivialen
Bereichs möglicher Positionen im Wesentlichen durch die höhere der bereits bei Ri und
Rj existierenden Ungenauigkeiten beeinflusst wird.
Es ist wichtig, deutlich darauf hinzuweisen, dass keinerlei Beweis dafür vorliegt, dass bei
der Fehlerakkumulation nicht etwa die Summe der Abweichungen von Ri und Rj oder
eine davon abhängige Funktion zum Tragen kommt. In diesem Fall würde Regel 3 aber
grob überschlagen jeweils zur doppelten Unsicherheit der bislang mittleren Posenabweichung
bei Rk führen. Daraus folgt, dass bei fortlaufender Lokalisierung mittels dieser
Regel die Entwicklung des hinzukommenden, maximalen Fehlers quadratisch zunähme,
was vernünftige Posenschätzungen auf längere Sicht verhindern würde. Wenn also eine
Beschäftigung mit Regel 3 gerechtfertigt sein sollte, dann ausschließlich unter der
Annahme, dass ihre inneliegende Abweichung nur auf der von einem der projizierten
Roboter fußt. Natürlich wird aber nicht vergessen werden, dass dieses Defizit bei der
Analyisierbarkeit der Lokalisierung anhand zweier Roboter vorliegt.
Ein Qualitätsmaß auf Grundlage der Anzahl notwendiger Messungen
Eine entscheidende Feststellung besteht nun vielmehr darin, dass die Unsicherheit der
neu geschätzten Pose eines Roboters Rk nicht von der bisherigen, sondern von der
aktuellen Posenunsicherheit der an der Schätzung aktiv beteiligten Roboter abhängt.
Das bedeutet, dass der Unsicherheitskreis der Position von Rk einen Radius der Grö-
3

4 Explizite Verwendung kooperativer Bewegungsstrategien 87
ße (i + 1) · ε hat, wenn er aus der Positionsschätzung eines Roboters nach Regel 1
hervorgeht, dessen Unsicherheitsbereich zu diesem Zeitpunkt auf i Messungen basiert.
Folglich steht die Fehlerentwicklung im Einklang mit der Annahme, dass sich früheres
Wissen über die Pose eines Roboters nach dessen Bewegung ohnehin nicht mehr einsetzen
lässt. Ferner könnte diese Tatsache bei den Basisaktionen der Bewegungsstrategien
genutzt werden, indem bevorzugt diejenigen Roboter Entfernungen berechnen, deren
Unsicherheit teamintern vergleichsweise gering ist.
Die Genauigkeit der Lokalisierung lässt sich also wie angekündigt direkt aus den notwendigen
Messungen ableiten. Das vereinfachte Modell ermöglicht ferner, konkrete Berechnungsabweichungen
auszublenden, was zur vorausgesetzten Verwendung günstiger
Bereiche passt. Aufgrund dieses Ergebnisses lässt sich ein Qualitätsmaß Q für das in
Kapitel 4.1 definierte globale Ziel festsetzen: Q bezeichne den Quotienten zwischen der
Summe aller neu hinzukommenden Messungen bei einer Fortbewegung eines Roboter-
Teams und der dabei insgesamt zurückgelegten Strecke des Teams. Hierbei interessiert
nicht die allererste Teambewegung, denn dort gehen alle Roboter noch von der gleichen
Unsicherheit aus, was danach im Allgemeinen nicht mehr so ist. Die dadurch entstehenden
Unterschiede sind auf längere Sicht irrelevant. Es wird sich vielmehr anbieten,
diesen Quotienten für einen beliebigen (späteren) Zeitraum zu berechnen, innerhalb
dem sich jeder Roboter genau einmal bewegt. Entsprechend gibt Q somit gleichzeitig
die durchschnittliche Anzahl notwendiger Messungen pro vorangeschrittener Strecke eines
Roboters an und eignet sich damit zur Abschätzung der mittleren Posenabweichung.
Aus Gründen der Machbarkeit wird sich darauf beschränkt werden, das Qualitätsmaß
für die Vorwärtsbewegung des Teams zu bestimmen; die Güte anderer Bewegungsschemata
wird zumindest aber oberflächlich besprochen.
In den folgenden Teilkapiteln werden nun drei Ansätze für Bewegungsstrategien vorgestellt,
die verschiedene Zielsetzungen haben und vorerst nur auf ihre inhärenten Eigenschaften
hin analysiert werden. Q wird dort jeweils angegeben und findet auch Einzug
in einen Vergleich der Güte dieser Ansätze, wo die jeweiligen Vor- und Nachteile untersucht
werden (Kapitel 4.8). Allen Ansätzen ist gemein, dass sie vom Spielraum Gebrauch
machen, der durch einen günstigen Bereich ˜ G als Gegenmittel zur nicht exakten Positionierungsmöglichkeit
eröffnet wird, um kooperative Abläufe vernünftig benutzen zu
können: Geringfügige Versetzungen der Roboter bezüglich der idealen Anordnung einer
Ausgangsformation lassen sich wegen der Ausmaße von ˜ G kompensieren und können
wieder ausgeglichen werden, was in allen anstehenden Betrachtungen zu beachten sei.
4.4 Ansatz 1: Kontinuierlicher Aufenthalt innerhalb eines
günstigen Bereichs
Eine nahe liegende Idee zur fortdauernden Ermöglichung kooperativer Lokalisierung
könnte sein, eine Formation aufrechtzuerhalten, in der kein Roboter je den günstigen
Bereich eines anderen verlässt. Unter der an dieser Stelle vorerst gestellten Bedingung,
dass jeder Roboter dabei genau einen anderen sehen soll, was nahezu unabhängig der
Größe des Bildwinkels einer Kamera funktioniert, sind zwei prinzipielle Varianten denk-

88 4.4 Ansatz 1: Kontinuierlicher Aufenthalt innerhalb eines günstigen Bereichs
1
2
3
1
8
Abbildung 4.9: (links) R1 kann die Position von R2 mit dem Verfahren aus Kapitel 3 nicht
bestimmen, da sich die Projektionen von R2 und R3 überlagern. (rechts) Zur Vermeidung von
Überlagerungen könnten die Roboter versetzt angeordnet werden, was aber die Komplexität
möglicher Bewegungsabläufe unnötig erhöht.
bar: Entweder die Roboter ermitteln ihre Position reihum oder sie lokalisieren sich paarweise.
Bei Formationen ohne festgelegte Größe erscheint ersteres intuitiver, weswegen
dieses Konzept gleich als Ansatz diene. Nichtsdestotrotz wird zweiteres noch in Kapitel
4.7 eine Rolle spielen, wenn es um das Überwinden schmaler Durchgänge geht.
Was in der Theorie einfach klingt, birgt bei der Umsetzung Probleme; beobachtet ein
Roboter Rk−1 einen Roboter Rk und Rk einen weiteren Rk+1, so muss darauf geachtet
werden, dass sich Rk und Rk+1 aus Sicht von Rk−1 nicht hintereinander befinden,
denn dies verhindert wie angesprochen die Positionsbestimmung. Daher kommen Reihen
in ähnliche Richtungen ausgerichteter Roboter nicht in Frage, was aus Abbildung
4.9 (links) klar wird. Ein Ausweg dafür könnte in einer schrittweisen Versetzung der
Roboter bestehen (Abbildung 4.9 rechts). Dies führt jedoch, ohne es hier genauer zu
thematisieren, bei manchen Basisaktionen zu häufig nötigem Wechsel des sich bewegenden
Roboters, was dem Ziel weniger Messungen entgegensteht. Alternativ lässt sich die
absolute Orientierung für jeden anders gestalten, was den Ausgangspunkt für die im
Folgenden vorgestellte Formation und deren Aktionen repräsentiert.
CIRCLE: Eine Bewegungsstrategie mit kreisartiger Ausgangsformation
Abbildung 4.10 (links) zeigt anhand von Beispielen das Prinzip der wiederkehrenden
Ausgangsformation einer ersten Bewegungsstrategie; jeder der n Roboter Ri hat einen
anderen Roboter Ri+1 in seinem günstigen Bereich ˜ Gi (Rn entsprechend R1). Ri+1 hält
sich zentral in ˜ Gi an einem Punkt Prel auf, der zu den Sichtgrenzen und der Abweichungsgrenze
einen möglichst gleichen Abstand dP hat, welcher für die Vorwärtsbewegung
wichtig sein und unten analytisch ermittelt werden wird. Die Orientierung des
i+1-ten Roboters unterscheidet sich dabei um etwa ∆θ = − 360◦
n
2
7
3
6
4
5
von der des i-ten (Spie-
geln der Formation ändert das Vorzeichen von ∆θ). Hieraus entsteht eine kreisförmige
Anordnung, weswegen Strategie und Formation als CIRCLE benannt seien.
Wenn ein Roboter Rk nie den Bereich ˜ Gk−1 von Rk−1 verlässt, kann Rk−1 die Position
von Rk stets nach dessen Bewegung mittels Regel 1 schätzen (sofern er seine eigene Pose
geschätzt kennt). Sieht darüber hinaus Rk einen Roboter Rk+1 mit ebenfalls bekannter
Posenschätzung, kann Ri anschließend seine eigene Pose nach Regel 2 ermitteln. Diese

4 Explizite Verwendung kooperativer Bewegungsstrategien 89
1
4
5
2
3
1 2
4
3
8
7
1 2
6
Abbildung 4.10: (links) Stabile Ausgangsformation der Bewegungsstrategie CIRCLE für vier,
fünf und acht Roboter. Jeder der n Roboter hält sich mittig im Bereich eines anderen auf und
hat eine Orientierung, die um etwa − 360◦
n von der seiner Nachbarn abweicht. Alle Orientierungen
stellen mögliche Richtungen der Vorwärtsbewegung dar. (rechts) Ermittlung der unteren
Grenze ∆θmin, ab der sich Roboter bei der gegebenen Ausgangsformation im Kamerabild nicht
überlagern. Angenommen wird, dass die Roboter ideal formiert sind.
Methodik unterliegt der Ausgangsformation und lässt sich aufgrund des kreisförmigen
Aufbaus des Teams bei allen umsetzen. Leicht sichtbar könnte sie weiter prinzipiell für
jede beliebige Teilnehmerzahl aufgebaut werden, sogar bereits für zwei, die sich dann
gegenseitig sehen würden. Jedoch ergeben sich bei steigender Anzahl Schwierigkeiten:
Nicht nur, dass der allgemein nötige Platz der Formation durch jeden weiteren Roboter
zunimmt, wie Abbildung 4.10 (links) untermauert (vgl. hierzu Kapitel 4.7). Vielmehr
noch sinkt dabei auch stets die Größe des Werts ∆θ, so dass es ab einer gewissen Anzahl
doch zu Überlagerungen in den Kamerabildern kommt.
Einen allgemeinen Mindestwinkel ∆θmin anzugeben erweist sich als schwierig, da dieser
nicht nur vom Radius r abhängt, sondern auch von der wirklichen Position der Roboter
innerhalb der günstigen Bereiche. Grob abschätzen lässt er sich aber durch eine geometrische
Analyse der idealen Formierung, also unter der Annahme, dass die Roboter
exakt an der gleichen Stelle im günstigen Bereich des sie beobachtenden Roboters (und
damit auch im gleichen Abstand d zueinander) stehen, wie Abbildung 4.10 (rechts)
veranschaulicht: Wenn die von R1 ausgehende Tangente t an R2 den Roboter R3 mindestens
berührt, überlagern sich R2 und R3 aus Sicht von R1, was nicht passieren darf.
Der Unterschied zwischen θ1 von R1 und θ2 von R2 muss also größer als ∆θmin sein,
das sich aufgrund der gleichen Lage der Roboter in den günstigen Bereichen an der
abgebildeten Stelle wiederfinden lässt. ∆θmin berechnet sich aus ξ1 und ξ2 offensichtlich
als ξ1 + ξ2 − 180 ◦ . Da t im rechten Winkel zum eingezeichneten Radius r des Roboters
verläuft, ergeben sich die gesuchten Winkel über den Arcuscosinus:
r
ξ1 = arccos
d
2 · r
, ξ2 = arccos
d
5
3
4
2
d
Δθ min
ξ2 ξ1 1
t
r
•
d
3

90 4.4 Ansatz 1: Kontinuierlicher Aufenthalt innerhalb eines günstigen Bereichs
(1) (2) (3)
5
1 1 2
5
4
1 2
4
3
3
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1 2
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5
(4) (5) (6)
3
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4
2
3
5
1 2
4
4
3
1 2
Abbildung 4.11: Vorwärtsbewegung der CIRCLE-Formation (hier aus Sicht von R1) für fünf
Roboter mit je einer Bewegung pro Roboter bis zur Wiederherstellung der stabilen Ausgangsformation.
Die Roboter bleiben stets im günstigen Bereich eines gleichen anderen, jedoch verläuft
die Gesamtbewegung rein sequentiell und ist durch dP in ihrer Schrittweite beschränkt.
Die Berechnung von ξ2 rührt daher, dass t die Strecke zwischen R2 und R3 nachprüfbar
in der Mitte (bei d
2 ) schneidet. Sind nun beispielsweise r = 0, 25 m und d = 2 m
gegeben, so führt das zu ξ1 ≈ 82, 8◦ und ξ2 ≈ 75, 5◦ , woraus ∆θmin = −21, 7◦ resultiert.
Um einen moderaten Toleranzbereich zu gewähren, ließe sich der Minimalunterschied
der Orientierung in diesem Fall etwa großzügig auf 30◦ ansetzen, was eine maximale
Größe der Formation von n = 360◦
30◦ = 12 bedeuten würde. Solche Überlegungen wären
aber bei realen Ausmaßen der Roboter und günstigen Bereiche praktisch zu verifizieren.
Konzepte und Algorithmen für Basisaktionen der Strategie CIRCLE
Ein sichtbarer Vorteil der Formation resultiert aus der gleichförmigen Anordnung um
ihren Mittelpunkt herum, aus der sich Richtungen der Vorwärtsbewegung in Anzahl
der Roboter ergeben, die den jeweiligen Orientierungen der Roboter entsprechen. Dies
macht eine Rotation der Formation nahezu irrelevant, da bei n Robotern bereits n − 1
Drehwinkel ohne jegliche Bewegung implizit vorliegen; die Szenarien in Kapitel 4.7 werden
Hinweise darauf geben, dass sich mit derlei Bewegungsflexibilität einiges anfangen
lässt. Aus solchen Gründen seien Rotationen für CIRCLE vernachlässigt.
Abbildung 4.11 illustriert nun den Ablauf einer Vorwärtsbewegung für fünf Roboter
(ähnlich ließen sich auch leicht schräge Teambewegungen umsetzen): Nachdem die Orientierung
eines Roboters als Richtung festgelegt wurde, bewegt sich der Roboter Rk
(hier R1) mit der aktuell größten Posenunsicherheit in die gewählte Richtung bis kurz
vor den Rand des günstigen Bereichs von Rk−1 (R5). Dabei kann er auf Basis seines
Kamerabilds, in dem Rk+1 (R2) zu sehen ist, und seiner alten Posenschätzung frühere
4
3

4 Explizite Verwendung kooperativer Bewegungsstrategien 91
Versetzungen von der Idealformation ausgleichen. Bei Bewegungsabschluss bestimmt
Rk−1 nach Regel 1 die Position von Rk und teilt sie ihm mit, so dass Rk anhand von
Rk+1 nach Regel 2 seine Pose schätzen kann. Daraufhin bewegt sich Rk−1 in gleichem
Maße in dieselbe Richtung, wobei er seine ursprüngliche Orientierung beibehält, weshalb
sich dies von außen betrachtet als Verschiebung begreifen lässt. Auch die Posenbestimmung
verläuft analog. Diesen Vorgang vollführen reihum rückwärts alle verbleibenden
Roboter, bis nach n Bewegungen bei n Robotern wieder eine stabile Ausgangsformation
erreicht wird. Dass die Anordnung rückwärts durchlaufen wird, dient der Geringhaltung
der Fehlerakkumulation, da so außer beim letzten immer Roboter Positionsberechnungen
ausführen, deren Unsicherheit noch nicht durch die aktuelle Gesamtbewegung erhöht
wurde. Deshalb startet auch der Roboter mit der höchsten Unsicherheit, da seine
Schätzung dann direkt durch eine neue ersetzt wird.
Der folgende Pseudocode beschreibt das skizzierte Vorgehen, bei dem sich jedes Mitglied
des Teams in Richtung direction weiterbewegt, und unterstreicht die Einfachheit
des Konzepts. Hier werden die Roboter in einer listenartigen, geordneten Datenstruktur
circle (mit Indizes von 1 bis #circle) verwaltet, deren letztes Element das erste als
Nachfolger habe. Zur Vereinfachung sei angenommen, dass jeder Index dafür „modulo
#circle“ aufgefasst wird. Weiter bewirke die Operation translateAndAdjust die
besprochende Verschiebung samt möglicher Korrektur. Ansonsten sollte der Code mit
Ausnahme von minDistanceToBorder nach Kapitel 4.2 selbsterklärend sein.
CIRCLE_FORWARD(direction, k)
1 for (i from k downto (k+1 modulo #circle)) do
2 distance := minDistanceToBorder({circle[i-1], circle[i+1]});
3 circle[i].translateAndAdjust(distance, direction);
4 circle[i-1].estimatePositionOf(circle[i]); // Regel 1
5 circle[i-1].tellPosition(circle[i]);
6 circle[i].estimateOwnPoseFrom(circle[i+1]); // Regel 2
7 circle[i].broadcastOwnPose();
Damit dieser Algorithmus für verschiedene Formationsgrößen anwendbar ist, muss eine
Bedingung für die zu wählende Schrittweite distance eingehalten werden, und zwar,
dass sie im idealen Fall gleich dem oben definierten Abstand dP und im realistischen Fall
bei der Bewegung jedes Roboters Ri um einen gewissen Wert εP > 0 kleiner ist, was für
spätere Betrachtungen als d ′ P = dP − εP definiert sei. Da die Positionen von Ri−1 und
Ri+1 mit maximaler Abweichung bestimmbar sind, lässt sich distance berechnen, was
in minDistanceToBorder passiere. Wird dieser Bedingung nachgekommen, kann ein
Roboter Ri nach seiner Bewegung weder ˜ Gi−1 von Ri−1 verlassen, noch Ri+1 aus seinem
Sichtbereich ˜ Gi verloren haben. Der permanente Aufenthalt in den günstigen Bereichen
führt allerdings auch dazu, dass sich die einzelnen Bewegungen der Roboter schlecht
unabhängig konkreter Teamgrößen parallelisieren lassen. Darüber hinaus erscheint die
zurückgelegte Gesamtstrecke des Teams hinsichtlich der notwendigen Entfernungsmessungen
gering; dies wird noch problematisiert werden.
Zwar erlauben die diversen möglichen Vorwärtsbewegungen bereits flexible Richtungs-

92 4.4 Ansatz 1: Kontinuierlicher Aufenthalt innerhalb eines günstigen Bereichs
(1) (2) (3)
1 2
4
3
1 2
4
Abbildung 4.12: Spiegelung der CIRCLE-Formation an einer Mittelachse mit je einer Bewegung
pro Roboter. Die Roboter bleiben stets im günstigen Bereich eines gleichen anderen, durch
Parallelisierung sind nur zwei bzw. drei Schritte nötig und der benötigte Platz ist minimal.
wechsel, jedoch existiert bislang kein wirkliches Umdrehen. Diese Aktion ist vor allem
für ungerade Anzahlen nodd an Robotern nützlich, da hierbei nicht je zwei Roboter in
entgegengesetzte Richtung blicken, und daher durch Umdrehen nodd weitere Richtungen
für das Voranschreiten entstehen. Generell macht aber diese Aktion für eine Formation
wie CIRCLE Sinn, da sich die Relevanz des Sehens in unbekannten Umgebungen nicht
auf andere Roboter beschränkt, sondern auch das Wahrnehmen umliegender Objekte
wichtig sein kann. Der Aufbau der Ausgangsformationen (Abbildung 4.10 links) legt nahe,
dass sich die Umkehrung der Ausrichtung von CIRCLE einfach umsetzen lässt, indem
jeder Roboter Ri, anstatt Ri+1 weiter zu beobachten, fortan Ri−1 in seinem Bereich ˜ Gk
entspricht also der invertierten, des Ri
behält. Die zu erreichende neue Orientierung θ ′ k
bislang sehenden Roboters Ri−1, die sich um ∆θ von der alten Orientierung θk unterscheidet.
Mit dem Wissen, dass ∆θ negativ ist, wenn die formationsinterne Ausrichtung
im Uhrzeigersinn verläuft, und positiv sonst, folgt:
θ ′ k = 180◦ + θk−1 mod 360 ◦ = θk + (180 ◦ + ∆θ) mod 360 ◦
Jeder Roboter muss sich also auf der Stelle um 180 ◦ + ∆θ drehen, um den gewünschten
Effekt zu erzielen, was durch eine Operation turnAndAdjust geschehe, wobei ∆θ als
Eigenschaft von circle definiert sei, die nur bei Ausfall eines Roboters anzupassen
ist. Folgende Methode beschreibt die auszuführenden Operationen bei Ri. Der Index j
hat dabei je nach beobachtendem Roboter den Wert i − 1 oder i + 1 (siehe unten):
CIRCLE_TURN(i, j)
1 circle[i].turnAndAdjust(180 ◦ + circle.∆θ);
2 circle[j].estimatePositionOf(circle[i]); // Regel 1
3 circle[j].tellPosition(circle[i]);
4 circle[i].estimateOwnPoseFrom(circle[i-1]); // Regel 2
5 circle[i].broadcastOwnPose();
Die verfolgte Strategie lässt sich aus Abbildung 4.12 für vier Roboter ersehen, welche
verdeutlicht, dass es sich dabei gleichzeitig um eine Spiegelung der Gesamtformation an
3
1
4
2 3

4 Explizite Verwendung kooperativer Bewegungsstrategien 93
einer senkrecht zur Orientierung eines Roboters verlaufenden Mittelachse handelt. Da
sich die Auswirkung der Drehung eines Roboters nur auf seine Nachbarn erstreckt, kann
das Vorhaben parallelisiert werden, so dass sich erst jeder in circle mit ungeradem
Index umorientiert, anschließend jeder mit geradem Index. Hier ist zu berücksichtigen,
dass die Position jedes sich zuerst drehenden Roboters vom bislang dafür zuständigen
geschätzt wird, die der anderen (mit geradem Index) aber vom neu zuständigen. Dies
regelt der zweite Parameter von CIRCLE_TURN (oben: j). Außerdem muss sich bei ungerader
Teamgröße der letzte Roboter mit ungeradem Index einzeln bewegen, damit nie
zwei Roboter nebeneinander zur gleichen Zeit das geschätzte Wissen über ihre Pose verlieren.
Folgender Pseudocode repräsentiert das Umdrehen bzw. Spiegeln der Formation.
In der letzten Zeile wird das Vorzeichen von ∆θ modifiziert, so dass die Ausrichtung
von CIRCLE (mit oder gegen den Uhrzeigersinn) jederzeit bekannt ist.
CIRCLE_REFLECT()
1 parallel (every i from 1 to ⌊#circle/2⌋) do
2 CIRCLE_TURN(2·i-1, 2·i-2);
3 if (#circle modulo 2 = 1) then CIRCLE_TURN(#circle);
4 parallel (every i from 1 to ⌊#circle/2⌋) do
5 CIRCLE_TURN(2·i, 2·i+1);
6 circle.∆θ := − circle.∆θ;
Zu beachten sei, dass es zur Vermeidung unnötiger Fehlerakkumulationen besser wäre,
auf parallele Bewegungen zu verzichten. Stattdessen müsste dafür wie oben der Roboter
mit der höchsten Posenunsicherheit mit dem Drehen beginnen und die anderen hätten
entsprechend sequentiell nachzufolgen. Es sollte aber an dieser Stelle gezeigt werden,
dass parallele Handlungen im Allgemeinen durchaus denkbar sind.
Geringer Bewegungsfortschritt pro hinzukommender Messung
Nach der ersten Vorwärtsbewegung der CIRCLE-Formation wurde die Pose jedes Roboters
einmal mittels Regel 1 und 2 neu bestimmt. Die Messung der Position des letzten
Roboters Rk+1 wurde jedoch von einem Roboter ausgeführt, dessen Pose bereits mit
Unsicherheit behaftet ist. Dies ergibt n+1 Messungen für die erste Teambewegung in der
Zählweise des im vorigen Kapitel definierten Maßes Q. Startet allerdings bei jeder folgenden
Bewegung wie besprochen stets der Roboter mit einer Messung mehr, so kommt
für jede Pose genau eine weitere Messungen hinzu; somit basieren die Posenschätzungen
nach je einer Bewegung pro Roboter im allgemeinen Fall auf genau n neuen Messungen.
Jeder Roboter Ri beginnt dabei an einem Punkt Prel, der idealerweise exakt dP
von den Sichtgrenzen gL und gR und der Abweichungsgrenze ˜gH des günstigen Bereichs
˜Gi−1 eines Roboters Ri−1 entfernt ist, und bewegt sich um d ′ P voran; das Team legt
zusammen also eine Strecke von n · d ′ P zurück.
Abbildung 4.13 (links) verdeutlicht, dass sich dP wie folgt über eine der Sichtgrenzen
(hier gR) berechnen lässt: Zu ˜gH gehört die Entfernung ˜ dsupp (vgl. Kapitel 3.5), womit
Prel im egozentrischen Koordinatensystem von Rk−1 die Koordinaten (0 | ˜ dsupp − dP )
hat. Der Abstand von gR zu Prel ist bekanntlich dort minimal, wo gR von einer zu ihr

94 4.4 Ansatz 1: Kontinuierlicher Aufenthalt innerhalb eines günstigen Bereichs
senkrecht und durch Prel verlaufenden Gerade hP geschnitten wird. hP hat also die
Steigung − 1
s(gR) und schneidet gR in Entfernung dP zu Prel, welcher sich ebenso wie der
Punkt VG von gR auf der y-Achse des Koordinatensystems von Rk−1 befindet. Für die
Bestimmung von dP bietet sich eine Vektordarstellung der beiden Geraden an:
hP =
Prel + m1 ·
, gR =
VG + m2 ·
1
s(gR)
1
− 1
s(gR)
Das Teilstück von hP muss am Schnittpunkt der beiden Vektoren die Länge dP haben.
Dies wird durch Normierung mit der Länge | h| = q
1 +
1
s(gR) 2 des Richtungsvektors h von hP und anschließendes Multiplizieren mit dP erreicht, so dass folgende Gleichung
für den Schnittpunkt gilt:
0
˜dsupp − dP
+ dP
| h| ·
=
0
+ m2 ·
1
s(gR)
1
− 1
s(gR)
Aus der ersten Zeile der Vektoren ergibt sich m2 = dP , was sich in die zweite Zeile
einsetzen lässt. Daraufhin kann die Gleichung umgeformt werden, bis dP isoliert ist:
dP +
˜dsupp − dP −
dP
| h| · s(gR)
yvG
| h|
dP
= yvG +
| · s(gR)
h|
dP
s(gR) · | dP
+
h| | h| · s(gR) = ˜ dsupp − yvG
dP =
s(gR) · | h|
s(gR) · | h| + 1 + s(gR) 2 · ( ˜ dsupp − yvG )
Da sich somit dP und d ′ P analytisch ermitteln lassen, kann der Quotient QCIRCLE für
den idealen Fall der Vorwärtsbewegung also angegeben werden als:
QCIRCLE = n
n · d ′ P
= 1
d ′ P
d ′ P ist dabei mindestens durch die halbe Breite der günstigen Bereiche in Entfernung
˜dsupp − dP nach oben beschränkt. Dieses Verhältnis wirkt mit Blick auf die exemplarischen
Größenberechnungen eines günstigen Bereichs bei einer nicht zu überschreitenden
Grenze ε = 1 cm aus Kapitel 3.5 noch unzureichend; Abweichungen würde bereits auf
kurzer Strecke schnell zunehmen. Selbst die Annahme, dass sich die Gesamtbewegung
von CIRCLE so gestalten ließe, dass weitere Drehungen als die der Formation inneliegenden
nicht nötig wären, wirkt wenig hilfreich. Es erscheint so, als könnte das Aufgeben
der Bedingung, stetig in einem bestimmten günstigen Bereich zu verweilen, helfen, was
im nächsten Teilkapitel geschehen wird. Zuvor sei der Vollständigkeit halber noch zum
Umdrehen (respektive Spiegeln) von CIRCLE gesagt, dass auch hier für jeden Roboter
durch die Neubestimmung der Pose eine Messung hinzukommen würde, wenn auf die
Parallelisierung verzichtet wird und wie bei der Vorwärtsbewegung der Roboter mit der
höchsten Unsicherheit beginnt.

4 Explizite Verwendung kooperativer Bewegungsstrategien 95
g L
~
d supp
y
~
g H
d P d P
→
V G
g→ R
→
P
→ h
rel
P
x
1
3
2 4
1
3
2 4
Abbildung 4.13: (links) Berechnung der Länge dP über den Schnitt der senkrecht zueinander
liegenden Vektoren gR und hP . (rechts) Ausgangsformation von HALLWAY für vier und fünf
Roboter. Die Roboter stehen in zwei zueinander gewandten Reihen, jeder Roboter hat hinten
links und hinten rechts in seinem günstigen Bereich einen anderen, die Roboter am Rand nur auf
einer Seite. Senkrecht zu den Orientierungen der Roboter verlaufen die Richtungen möglicher
Vorwärtsbewegungen der gesamten Formation.
4.5 Ansatz 2: Effizientes Voranschreiten bei dauerhafter
Beobachtung
Für die realistischen Werte der Beispiele aus Kapitel 3 boten die günstigen Bereiche ohne
Probleme Platz für zwei Roboter nebeneinander. Dies eröffnet neue Möglichkeiten, denn
dadurch lässt sich der Bereich ˜ Gk eines Roboters Rk für verschiedene Zwecke gleichzeitig
nutzen; einerseits kann sich Rk bei Erreichen eines Zielort auf Basis von ˜ Gk wie gehabt
so ausrichten, dass er einen Roboter Ri sieht, anhand dessen er sich lokalisieren will.
Andererseits kann ein sich nach ihm bewegender Roboter Rj zusätzlich eine Position in
˜Gk ansteuern, so dass sich Rj und Rk gegenseitig sehen und nach Regel 1 und 2 zum
Ermitteln der Pose von Rj zusammenarbeiten. Von diesem Konzept geht der zweite
Ansatz aus. Er versucht dabei insbesondere das Problem häufiger Messungen, welches
bei CIRCLE auftritt, in Angriff zu nehmen. Dennoch wird die stetige Kontrolle über die
aktuellen Standorte aller Roboter größtenteils aufrechterhalten werden. Darüber hinaus
werden sich weitere Vorzüge, etwa was die Beliebigkeit der Anzahl an Robotern der
Formation betrifft, ebenso wie neue Schwierigkeiten ergeben.
HALLWAY: Ein Korridor aus Sichtbereichen als Ausgangsformation
Die stabile Ausgangsformation der nun vorzustellenden Bewegungsstrategie HALLWAY
besteht aus zwei beliebig langen Reihen A und B einander zugewandter Roboter, wie
in Abbildung 4.13 (rechts) exemplarisch für vier und fünf Roboter zu sehen. In beiden
Reihen stehen maximal um eins unterschiedlich viele Roboter. Alle Roboter der Reihe
A haben dabei idealerweise exakt die gleiche Orientierung θA und stehen in einer Entfernung
dspace zu ihren Reihennachbarn. Entsprechend verhält es sich mit den Robotern
aus Reihe B, wobei diese in die umgekehrte Richtung θB = (θA + 180◦ mod 360◦ ) blicken.
Außerdem ist jeder Roboter der Reihe B gegenüber denen der Reihe A um dspace
2
seitlich versetzt. Zwischen A und B liege ein Abstand drow, so dass sich die Roboter
jeder Reihe nahe der Abweichungsgrenze der günstigen Bereiche der Roboter der jeweils
5

96 4.5 Ansatz 2: Effizientes Voranschreiten bei dauerhafter Beobachtung
anderen Reihe (aber innerhalb dieser Bereiche) befinden. Zwischen drow und dspace besteht
also eine ganz bestimmte Relation, die sich aus dem zum günstigen Bereich ˜ G der
Roboter gehörenden Sichtwinkel ηG ergibt: Mit Blick auf Abbildung 3.12 in Kapitel 3.5
gilt das Winkelverhältnis tan ηG
2
= w ˜ G
2·drow , wobei w ˜ G die Breite von ˜ G in Entfernung
drow bezeichne. Logischerweise gilt im Idealfall dspace = wG ˜; realistisch betrachtet wird
aber wieder Spielraum benötigt, etwa εspace > 0 für beide Seiten zusammen und damit
dspace = wG˜ − εspace, so dass insgesamt folgende Gleichung resultiert:
ηG
dspace = w ˜ G − εspace = 2 · tan
2
· drow − εspace
Um auch nach hinten und vorne Abweichungen der Positionierungen der Roboter zu erlauben,
gelte zusätzlich drow = cos ηG
2 · dsupp
˜ −εrow für irgendein εrow > 0. Der Cosinus
des halben Sichtwinkels geht hierbei auf die Näherung von ˜ G zurück und sichert, dass
drow die Entfernung der Roboterreihe zu den Schnittpunkten von Sicht- und Abweichungsgrenze
nicht überschreitet. Diese Anordnung führt dazu, dass eine Art Korridor
zwischen den Reihen entsteht, innerhalb dem sich Roboter beobachtet bewegen können,
was sich dazu benutzen lassen wird, ein Fortschreiten des Teams zu ermöglichen und
dabei wiederkehrend die stabile Ausgangsformation herzustellen. Offensichtlich muss
prinzipiell keine Einschränkung bei der Teamgröße getroffen werden, schon für zwei
Roboter funktioniert das Konzept und lässt sich um beliebige Anzahlen erweitern.
Konzepte und Algorithmen für Basisaktionen der Strategie HALLWAY
Die Vorwärtsbewegung von HALLWAY basiert auf der Idee, schon nach der Umpositionierung
eines einzelnen Roboters die stabile Ausgangsformation wieder zu erreichen,
was Abbildung 4.14 (links) zweimal in Folge für drei und Abbildung 4.14 (rechts) einmal
für sechs Roboter illustriert. Dabei stehen diejenigen zwei Roboter zur Auswahl,
die sich ganz außen befinden und nur einen anderen sehen. Somit sind zwei Bewegungsrichtungen
denkbar, welche senkrecht zu den Orientierungen aller Roboter verlaufen
(was nebenbei ein Umdrehen der Formation hinfällig macht). Der Ablauf wirkt von
außen simpel, wird allgemein definiert aber von mehreren Faktoren beeinflusst und sei
daher direkt anhand des untenstehenden Pseudocodes erklärt: Eine Boole’sche Variable
firstMoves entscheide als Parameter der Hauptmethode HALLWAY_FORWARD zu
Beginn, in welche Richtung das Team fortschreitet. Hierfür werden die Roboter in einer
linearen Liste hallway verwaltet, in der die Roboter von einem zum anderen Ende der
Formation (also alternierend für beide Reihen) angeordnet sind. firstMoves = true
bedeutet, dass sich der erste Roboter in hallway in den günstigen Bereich des letzten
bewegen soll, Umgekehrtes gilt sonst. Je nach Wert wird die Reihenfolge der Parameter
einer Methode HALLWAY_MOVE festgelegt und die Listenstruktur aktualisiert.
HALLWAY_FORWARD(firstMoves)
01 if (firstMoves = true)
02 then HALLWAY_MOVE(1,#hallway);
03 hallway.addLast(hallway.removeFirst());
04 else HALLWAY_MOVE(#hallway, 1);
05 hallway.addFirst(hallway.removeLast());

4 Explizite Verwendung kooperativer Bewegungsstrategien 97
(1) (2)
1
2
3
3
1 2 1
2
1
3
2 4
Abbildung 4.14: Vorwärtsbewegung (hier nach rechts) und gleichzeitiges Spiegeln der Formation
HALLWAY, bei der sich unabhängig der Teamgröße nur ein Roboter bewegt und stets im
Sichtbereich der anderen bleibt. Dadurch verläuft die Gesamtbewegung der Formation scheinbar
zwar rein sequentiell, jedoch könnten weitere Bewegungen in die gleiche Richtung vor Ende
der ersten begonnen werden. (links) Zwei aufeinander folgende Vorwärtsbewegungen für drei
Roboter. (rechts) Eine Vorwärtsbewegung für sechs Roboter.
In HALLWAY_MOVE (siehe unten) wird nun die Bewegung und darauf folgende Posenbestimmung
des Roboters mover geregelt. Enthält die Formation eine ungerade Zahl an
Robotern, so wechselt mover zum Voranschreiten der Formation die Seite (vgl. Abbildung
4.14 links). Er muss also seiner aktuellen Orientierung entsprechend unter Anderem
um dRow vorwärts fahren, was in forward gespeichert wird. Bei einer geraden Zahl
bleibt er hingegen in der gleichen Reihe (Abbildung 4.14 rechts), weswegen forward auf
0 gesetzt wird. In Zeile 4 bis 6 des Codes wird anhand des Kamerabilds von mover dann
automatisch ermittelt, ob seine Zielposition links oder rechts von ihm liegt, woraus das
Vorzeichen von right resultiert. Unabhängig der Teamgröße unterscheidet sich die x-
Koordinate dieser Position dabei relativ betrachtet um dSpace·#hallway/2 von der
vorherigen, wie die Abbildungen schnell erschließen lassen. Damit sind die Variablen
der zurückzulegenden Strecke ermittelt, so dass sich mover unter Beibehaltung seiner
Orientierung (moveAndKeepHeading, Zeile 7) entsprechend forward und right
bewegen und danach um 180 ◦ drehen kann.
HALLWAY_MOVE(mover, observer)
01 if (#hallway modulo 2 = 1)
02 then forward := dRow;
03 else forward := 0;
04 if (hallway[mover].cameraImage.robotIsLeft = true)
05 then right := - dSpace·#hallway/2;
06 else right := dSpace·#hallway/2;
07 hallway[mover].moveAndKeepHeading(forward, right);
08 hallway[mover].turnAndAdjust(180 ◦ );
09 hallway[observer].estimatePositionOf(hallway[mover]); // Regel 1
10 hallway[observer].tellPosition(hallway[mover]);
11 hallway[mover].estimateOwnPoseFrom(hallway[observer]);// Regel 2
12 hallway[mover].broadcastOwnPose();
5
6
1

98 4.5 Ansatz 2: Effizientes Voranschreiten bei dauerhafter Beobachtung
Um den exakten Bewegungspfad gehe es hier nicht, der Roboter könnte in echt entlang
der verschiedenen Roboter und von diesen per Kommunikation unterstützt fahren,
um den „Korridor“ zu durchqueren. Ist er schließlich im Sichtbereich von observer
angekommen, findet zwischen mover und observer die bekannte Kooperation über
Regel 1 und 2 statt, so dass mover seine neue Pose geschätzt kennt (Zeile 9 bis 12). Als
positiver Nebeneffekt zeigt sich vor allem für größere Teams, dass sich bei einer längeren
Gesamtbewegung in dieselbe Richtung aufeinander folgende Einzelbewegungen zeitlich
überschneiden dürften, da nur derjenige Roboter (eben observer genannt), dem der
sich bewegende zuletzt begegnet, am Lokalisierungsprozess beteiligt ist. Hierdurch lässt
sich also eine scheinbar reine Sequentialität der Abläufe verhindern. Weiter bedeutet
jede einzelne Vorwärtsbewegung sowohl für gerade als auch ungerade Formationsgrößen
gleichzeitig eine Spiegelung an der Mittelachse zwischen den Roboterreihen, wie
Abbildung 4.14 entnommen werden kann. Diese Eigenschaft reduziert die notwendige
Beschäftigung mit einer Rotation der Formation auf eine Drehrichtung.
Es stellt sich die Frage, inwieweit sich die überwiegend eindimensionale Ausdehnung der
HALLWAY-Formation negativ auf solcherlei Rotationen auswirkt. Am Anfang von Kapitel
4.4 wurde aufgezeigt, welche Schwierigkeiten sich aus langen Reihen von Robotern
ergeben können. Diese würden bei naiven Ansätzen wie einem versuchten Drehen der
Formation auf der Stelle sofort aufkommen. Ferner erscheint das in Kapitel 4.1 beschriebene,
allgemein anwendbare stückweise Mitdrehen intuitiv betrachtet für HALLWAY bei
größeren Anzahlen nahezu endlos, was eine stärkere Zunahme an Unsicherheit der Posen
impliziert. Für spezielle Winkel ζ lassen sich aber ausgeklügeltere Verfahren entwickeln,
wie im Folgenden für ζ = 45 ◦ demonstriert. Generell erweist sich für solche Mechanismen
ein Vorhandensein mindestens dreier Roboter als wichtig, da der stetige Aufenthalt
in den günstigen Bereichen bei normalen Bildwinkeln eine Einschränkung bedeutet, die
für nur zwei Roboter kaum Bewegungsfreiheit zulässt.
Die hier verfolgte Strategie zielt darauf ab, auch beim Rotieren weitest möglich den
gangartigen Aufbau zu erhalten und die Drehung jeweils in eine Voranbewegung der
Roboter zu integrieren. Auf Code wird an dieser Stelle verzichtet, stattdessen diene
Abbildung 4.15 als Grundlage; sie stellt einen möglichen Ablauf für die Rechtsdrehung
um 45 ◦ bei sechs Robotern dar. Eine besondere Rolle spielen unabhängig der Teamgröße
n die drei vorderen Roboter Rn, Rn−1 und Rn−2 auf derjenigen Seite, wo die Drehung
eingeleitet werden soll (hier R6, R5 und R4).
Rn−1 (R5) beginnt in Schritt 1 damit, sich im günstigen Bereich von Rn (R6) so zu
platzieren, dass sich seine Orientierung um −45 ◦ ändert und sich die Projektion von
Rn−2 (R4) in seinem Kamerabild auf der gegenüberliegenden Seite wie vorher wiederfindet.
Rn ermittelt die Position von Rn−1, so dass dieser seine Pose anhand von Rn−2
schätzen kann. Daraufhin dreht sich Rn−2 ebenfalls um −45 ◦ auf der Stelle, hat also
hinterher wieder Rn−1 in seinem Bereich ˜ Gn−2 (Schritt 2), weshalb sich Regel 1 und 2
zur Posenbestimmung anwenden lassen. Nun begibt sich Rn auf die andere Seite von
˜Gn−2, wechselt somit die Reihe, was eine Drehung um −225 ◦ erfordert (Schritt 3). Dabei
startet er seine Bewegung zwar völlig unbeobachtet, kann sich aber zumindest selbst
über die Lage von Rn−1 in seinem Kamerabild orientieren. Die Schätzung seiner Pose
erfolgt analog wie direkt zuvor. In Schritt 4 bis 6 ziehen dann die übrigen Roboter geordnet
nach und nehmen jeweils die nächste Position am Rand der Formation ein, bis

4 Explizite Verwendung kooperativer Bewegungsstrategien 99
(1) (2) (3)
1 3 5
5
1 3
5
1
2 4
6
2 4 6
(4) (5) (6)
1
2
3
4
1
5
6
2
3
4
1
5
6
3
5
2 4 6
Abbildung 4.15: Drehung der HALLWAY-Formation um 45 ◦ , hier für sechs Roboter nach
rechts. Jeder Roboter muss sich nur einmal bewegen, die Gesamtdrehung geschieht aber sequentiell
und benötigt in etwa den doppelten Platz der Ausgangsformation.
diese wieder vollständig hergestellt ist. Auch der letzte Roboter (R3 in Abbildung 4.15)
muss sich wie Rn dabei dem Problem stellen, anfangs nicht gesehen zu werden.
Offensichtlich geht die Rotation der Formation auch mit einer gewissen Weiterbewegung
des Teams einher. Das mag sich zwar nutzen lassen, wenn es bei der globalen Pfadplanung
bedacht wird, hat allerdings den Nachteil, dass die Umsetzung dieser Basisaktion
Platz benötigt, der in etwa doppelt so groß wie der der eigentlichen Formation ist;
mit Ausnahme zweier Roboter befinden sich alle nach Abschluss der Gesamtbewegung
außerhalb der Fläche, auf der das Team zuvor stand. Dies kann in Umgebungen, die
vermehrt Hindernisse aufweisen, selbstredend problematisch sein.
Effizientere Vorwärtsbewegung auf vernünftigen Bewegungspfaden
Lediglich eine Entfernungsberechnung beinhaltet die Vorwärtsbewegung eines Teams der
Größe n. Die zugehörige Schätzung wird fällig, nachdem sich ein Roboter um n
2
2
3
4
1
5
3
6
6
2
· dspace
voranbewegt hat. Solange eine Bewegungsrichtung beibehalten wird, wird der Standort
des umpositionierten Roboters dabei von demjenigen bestimmt, der sich zuvor bewegt
hat; pro Bewegung erhöht sich also die Anzahl zugrunde liegender Messungen bei der
Schätzung um 1. Nach den ersten n Bewegungen folgen daraus 1 + 2 + .... + n = n2 +n
2
Messungen. Danach allerdings geht die Schätzung der Pose eines Roboters immer von
einem aus, dessen Pose bereits auf n − 1 Messungen mehr basiert. Daher kommen im
allgemeinen Fall für jeder der n Roboter n neue Messungen bei seiner Pose hinzu; das
Team hat sich in dieser Zeit zusammen um n · n
2 · dspace weiterbewegt. Damit resultiert
folgender Quotient QHALLWAY zwischen Messungen und zurückgelegter Strecke:
QHALLWAY = n 2 ·
2
n 2 · dspace
= 2
dspace

100 4.6 Ansatz 3: Erschließung von Raum unter Verlust der stetigen Kontrolle
Dieser Wert übertrifft QCIRCLE: dspace kann die doppelte Größe von d ′ P
deutlich übersteigen,
da eine größere Entfernung zum beobachtenden Roboter vorliegt (ein Beispiel
dazu folgt in Kapitel 4.8). Als interessant erweist sich eine Änderung der Richtung; hier
entsteht die Unsicherheit des sich zuerst bewegenden Roboters aus der des Roboters, der
sich vorher am längsten nicht bewegt hat, weshalb die maximal mögliche Abweichung
der Posenschätzungen vorerst wieder abnimmt. Entgegen CIRCLE muss für HALLWAY
nun aber angemerkt werden, dass die Pfade der Roboter nicht optimal hinsichtlich der
Bewegungsrichtung des Teams sind, denn die Einzelbewegungen verlaufen nicht nur in
diese Richtung. Jedoch bleiben sie nahe daran, und zwar um so mehr, je größer n ausfällt,
weshalb die beschrittenen Pfade guten Gewissens als vernünftig bezeichnet werden
können. Spiegeln und Umdrehen der Formation ist durch das Konzept der Vorwärtsbewegung
darüber hinaus schon gegeben und lässt sich effektiver kaum machen.
Auch der Aufwand einer Drehung sieht vertretbar aus, da nur bedingt Rotationsstrategien
denkbar sind, bei denen sich nicht das Wissen über die Pose jedes Roboters zumindest
geringfügig verschlechtert. Hier bewegt sich jeder einmal und somit ist erneut
nur eine Entfernungsschätzung pro Roboter nötig, womit n Schätzungen für n Roboter
folgen. Allerdings bleibt die Problematik des großen Platzbedarfs bestehen. Außerdem
ist natürlich noch zu untersuchen, wie sich HALLWAY in den besprochenen Szenarien
behauptet, was passiert, wenn der hier letzte Ansatz für die kooperative Bewegung eines
Teams im folgenden Teilkapitel vorgestellt worden ist.
4.6 Ansatz 3: Erschließung von Raum unter Verlust der
stetigen Kontrolle
Bislang wurde kein Bewegungsschema entwickelt, bei dem ein Roboter die von den Sichtbereichen
der anderen abgedeckte Fläche aktiv verlässt. Grund dafür ist, dass stetige
Kontrolle über die Situation aller Roboter gewährleistet werden sollte. Einzig bei der
Rotation von HALLWAY tauchten überhaupt Bewegungen außerhalb der Sicht anderer
auf; hier jedoch sah der voranschreitende Roboter zumindest selbst Roboter vom bestehenden
Anteil der Ausgangsformation. Bringen solche Umstände zwar besonders dort
Sicherheit, wo sich mit ungenauen Bewegungen der Roboter rechnen lässt, so schränken
sie doch die Möglichkeiten denkbarer Vorgehensweisen stark ein.
Weiter muss bei den ersten beiden Ansätzen hinterfragt werden, ob sie sich zum Lernen
unbekannter Umgebungen eignen; vor allem während der Vorwärtsbewegung von
CIRCLE bekommen die Roboter wenig von umliegenden Objekten mit, stören sich sogar
teilweise gegenseitig beim Sehen in den aktuell zu erkundenden Raum. Der sich
bewegende Roboter der HALLWAY-Formation blickt zumindest beim Durchqueren des
durch die Reihen definierten Gangs ungehindert in die angestrebte Richtung des Teams.
Die folgende Bewegungsstrategie geht aber noch weiter, indem die zu betretende Fläche
zuerst über einige Kameras erschlossen wird, ehe sich überhaupt ein Roboter auf den
Weg dorthin macht. Wie in Kapitel 4.2 bereits implizit angemerkt, hat ein solches Vorgehen
allerdings als Konsequenz, dass bestimmte Roboter zwischenzeitlich das Wissen
über ihre Pose verlieren. Dies wird sich zwar handhaben lassen, resultiert gegenüber

4 Explizite Verwendung kooperativer Bewegungsstrategien 101
den bisherigen Strategien jedoch in komplexeren Bewegungsabläufen und erfordert bis
hierhin noch ungenutzte Lokalisierungstechniken.
ZIGZAG: Neue Verwendungsart einer schon bekannten Ausgangsformation
Die Anordnung der Roboter, welche bei diesem Ansatz als stabile Ausgangsformation
diene, gleicht der von HALLWAY in jeder Hinsicht, weswegen noch einmal auf Abbildung
4.13 (rechts) verwiesen sei. Auch hier wird also von einem Aufbau in zwei Reihen mit den
bereits spezifizierten Abständen drow und dspace ausgegangen. Ebenso gibt es prinzipiell
keinerlei Einschränkung bei den erlaubten Teamgrößen, außer dass hier mindestens drei
Roboter notwendig sein werden; dies hat sich aber in den letzten Teilkapiteln ohnehin
als Voraussetzung herausgestellt, um vernünftig Mechanismen für Gesamtbewegungen
zu entwickeln, die über das simple Geradeausfahren hinausgehen.
Anders als bei HALLWAY verhält es sich jedoch mit den möglichen Bewegungsrichtungen
der Strategie, die hier direkt aus den Orientierungen der Roboter hervorgehen und somit
senkrecht zu denen von HALLWAY verlaufen. Während sich diesbezüglich Letztere bei
größerer Roboteranzahl als in die Länge gezogen begreifen ließ, geht die jetzt vorgestellte
Formation demnach in die Breite. Dabei wird eine der beiden Reihen als hintere, die
andere als vordere angesehen. Das unterliegende Konzept der Strategie basiert auf einem
abwechselnden Voranschreiten dieser Reihen, wie im Folgenden vorgestellt werden wird.
Dies wird „zickzack“-artige Bewegungspfade zur Folge haben, weswegen diese Strategie
(und zur Unterscheidung auch die Formation) den Namen ZIGZAG trage.
Konzepte und Algorithmen für Basisaktionen der Strategie ZIGZAG
Es sei bereits zu Anfang gesagt, dass Spiegelungen und Drehungen hier außen vor bleiben;
sie können genauso wie im vorigen Teilkapitel umgesetzt werden. Bei der Vorwärtsbewegung
von ZIGZAG ergeben sich nun Unterschiede für gerade und ungerade
Roboteranzahlen. Vorerst sei eine ungerade Teamgröße angenommen und für diese eine
hintere Reihe definiert, nämlich diejenige, welche einen Roboter mehr enthält. Die für eine
gerade Zahl notwendigen Modifikationen werden hinterher aufgezeigt. In Kapitel 4.1
wurde gesagt, dass sich eine Vorwärtsbewegung aus einer leichten „Schräg-links“- und
„Schräg-rechts“-Bewegung zusammensetzen kann. Davon macht ZIGZAG Gebrauch, wobei
sich auf eine Beschreibung für zweitere beschränkt wird. Es wird aber leicht sichtbar
sein, dass das Vorgehen für die andere Richtung spiegelverkehrt verliefe.
Abbildung 4.16 veranschaulicht für fünf Roboter die rechtslastige Vorwärtsbewegung der
ZIGZAG-Formation. Sie lässt sich für jede ungerade Anzahl an Robotern sinnvoll in die
vier dargestellten Schritte unterteilen, so dass in der Hauptmethode ZIGZAG_RIGHTFWD
des folgenden Pseudocodes dazu passend je eine Untermethode aufgerufen wird. Zwei
geordnete Listen back und front werden für die beiden Reihen der Formation verwendet.
Da sich die Zugehörigkeit einzelner Roboter zu den Reihen dynamisch während des
Fortbewegungsprozesses ändert, dies aber nicht bedeutsam für das Verständnis der verfolgten
Strategie ist, wird aus Platzgründen weiter unten eine Methode updateRows
benutzt, die dafür sorge, dass die zum aktuellem Zeitpunkt gültige Partition der Roboter
in den beiden Datenstrukturen korrekt repräsentiert wird.

102 4.6 Ansatz 3: Erschließung von Raum unter Verlust der stetigen Kontrolle
(1) (2)
1
2
3
4
5
1
(3) (4)
2
3
4
5
1
2
3
Abbildung 4.16: Die leicht nach rechts gehende Vorwärtsbewegung der ZIGZAG-Formation
verläuft für jede ungerade Teamgröße in vier Schritten: (1) Ein Roboter der hinteren Reihe zieht
in die vordere und erschließt unter Verlust seiner Orientierung neuen Raum. (2) Jeder zweite der
sonstigen vorderen Reihe dreht sich auf der Stelle, um Gleiches zu tun. (3) Die restliche hintere
Reihe bewegt sich in den erschlossenen Raum und dreht sich zwecks Lokalisierung anschließend
um. (4) Die bisher stationären Roboter der neuen hinteren Reihe drehen sich zur neuen vorderen.
ZIGZAG_RIGHTFWD(back, front)
01 ZIGZAG_RIGHTFWD_STEP1(back, front);
02 ZIGZAG_RIGHTFWD_STEP2(back, front);
03 ZIGZAG_RIGHTFWD_STEP3(back, front);
04 ZIGZAG_RIGHTFWD_STEP4(back, front);
In Schritt 1 begibt sich der erste Roboter der hinteren Reihe (R1 in Abbildung 4.16)
unter versuchter Beibehaltung seiner Orientierung an den rechten Rand der vorderen
Reihe. Zeile 1 von ZIGZAG_RIGHTFWD_STEP1 gibt wieder, dass er sich also relativ betrachtet
um dRow nach vorne und #front·dSpace nach rechts umpositionieren muss,
um die gewünschte Stelle im günstigen Bereich des letzten Roboters (hier R3) zu erreichen,
der daraufhin die resultierende Position schätzen kann. Die Orientierung des
vorangeschrittenen Roboters bleibt hingegen vorerst unbekannt. Es sei hier zu beachten,
dass ein Umdrehen der Formation sich in diesen Schritt der Vorwärtsbewegung einbauen
ließe, indem sich R1 anstelle der Weiterbewegung auf der Stelle dreht, was zum gleichen
Resultat für die entgegengesetzte Bewegungsrichtung führen würde.
2
3
4
5
1
4
5
1
2
3

4 Explizite Verwendung kooperativer Bewegungsstrategien 103
ZIGZAG_RIGHTFWD_STEP1(back, front)
01 back[1].moveAndKeepHeading(dRow, #front·dSpace);
02 updateRows();
03 back[#back].estimatePositionOf(front[#front]); // Regel 1
04 back[#back].broadcastPosition(front[#front]);
Durch Schritt 1 wurde begonnen, die vor dem Team liegende Umgebung zu erschließen.
Diesen Vorgang setzen weitere Roboter fort und zwar jeder zweite der vorderen Reihe
links vom vorangegangenen (in der Abbildung nur R4), wofür sie sich um möglichst
genau 180 ◦ auf der Stelle drehen. Das Ganze lässt sich parallelisieren, wie im folgenden
Code, wo gleichzeitig für die betreffenden Roboter Zeile 2 bis 5 abgearbeitet werde.
Die Korrektur der Drehung (turnAndAdjust) kann sich dabei natürlich nur auf die
Position des Roboters beziehen und muss über Kooperation mit den beobachtenden
Robotern der hinteren Reihe erfolgen, welche auch anschließend für die Positionsschätzung
zuständig sind. Es kann sich als Problem herausstellen, dass keine Gewährleistung
besteht, dass die Roboter wirklich annähernd geradeaus in den freien Raum blicken,
denn als Anhaltspunkt kommt nur in Frage, dass sie keinen anderen Roboter sehen.
Größere Abweichungen kann die Strategie daher nur durch Anpassungen der entsprechenden
Orientierungen nach Schritt 3 (siehe unten) kompensieren; dies kann aber die
Beobachtung anderer Roboter in der Zwischenzeit verhindern.
ZIGZAG_RIGHTFWD_STEP2(back, front)
01 parallel (every i from 1 to ⌊#front/2⌋) do
02 index := #front-2i;
03 front[index].turnAndAdjust(180 ◦ );
04 back[index].estimatePositionOf(front[index]); // Regel 1
05 back[index].broadcastPosition(front[index]);
Wurde der erschlossene Raum als ausreichend für eine Weiterbewegung des Teams erkannt,
ziehen als nächstes (Schritt 3) alle verbleibenden Roboter der hinteren Reihe
durch die Lücken der vorderen an dieser vorbei, bis sie im Idealfall nach einer Strecke
von 2 · drow im günstigen Bereich der vorausblickenden Roboter erscheinen, wobei sie
temporär den beobachteten Bereich der vom Team eingenommenen Fläche verlassen.
Als Ergebnis bilden sie die neue vordere Reihe der Formation. In Zeile 1 und 2 der
Methode ZIGZAG_RIGHTFWD_STEP3 werden diese Bewegungen wieder parallelisiert.
Die Roboter drehen sich dann auf der Stelle, bis sie links und rechts vor sich je einen
Roboter der neuen hinteren Reihe sehen, so dass sie ihre Pose selbst nach der hier zum
ersten und einzigen Mal angewendeten Regel 3 ermitteln können (Zeile 4 bis 7). Sollte es
kritisch erscheinen nach Bewegungsabschluss zu erkennen, welcher Roboter welcher ist,
könnte eine Sequentialisierung des Vorgangs aber Abhilfe leisten. Schritt 3 in Abbildung
4.16 illustriert die gesamte, soeben beschriebene Bewegungsfolge.
Da die Roboter, für die es aktuell keine Orientierungsschätzung gibt, nun einen Roboter
mit bekannter (geschätzter) Position vor sich haben, können sie ihre Pose nach Regel 2
ableiten, was in Zeile 8 bis 13 passiert. Die gesonderte Implementierung für den Roboter

104 4.6 Ansatz 3: Erschließung von Raum unter Verlust der stetigen Kontrolle
ganz rechts in der hinteren Reihe (Zeile 12 und 13) ist notwendig, da dieser als einziger
die Projektion eines Roboters links in seinem Kamerabild nutzen muss, wodurch sich
der zugehörige Index nicht im parallelen Codestück definieren lässt. Selbstredend könnte
aber diese Schätzung zur gleichen Zeit wie die anderen stattfinden.
ZIGZAG_RIGHTFWD_STEP3(back, front)
01 parallel (every i from 1 to #back) do
02 back[i].moveAndKeepHeading(2·dRow);
03 updateRows();
04 parallel (every i from 1 to #front) do
05 front[i].turnAndAdjust(180 ◦ );
06 front[i].estimateOwnPoseFrom(back[i], back[i+1]); // Regel 3
07 front[i].broadcastOwnPose();
08 parallel (every i from 1 to ⌊#front/2⌋) do
09 index := #front-2i;
10 front[index].estimateOwnPoseFrom(back[index]); // Regel 2
11 front[index].broadcastOwnPose();
12 front[#front].estimateOwnPoseFrom(back[#back]); // Regel 2
13 front[#front].broadcastOwnPose();
Zwar existiert nach Schritt 3 wieder für alle Roboter unsicheres Wissen über deren Pose,
jedoch ist die stabile Ausgangsformation noch nicht wiederhergestellt. Dies geschieht
im letzten Schritt, bei dem sich die noch zurückblickenden Roboter der hinteren Reihe
umdrehen und dann zwecks Posenbestimmung zusammen mit einem sie sehenden Roboter
der vorderen Reihe Regel 1 und 2 in Kooperation ausführen, wie in Abbildung
4.16 unten rechts zu sehen und im folgenden Codestück festgehalten ist:
ZIGZAG_RIGHTFWD_STEP4(back, front)
01 parallel (every i from 1 to ⌊#back/2⌋) do
02 index := #back+1-2i;
03 back[index].turnAndAdjust(180 ◦ );
04 front[index].estimatePositionOf(back[index]); // Regel 1
05 front[index].tellPosition(back[index]);
06 back[index].estimateOwnPoseFrom(front[index]); // Regel 2
07 back[index].broadcastOwnPose();
Seien schließlich die bei einer geraden Anzahl an Robotern erforderlichen Abwandlungen
betrachtet: Leicht nachvollziehbar macht es wenig Sinn, in diesem Fall Schritt 1 auszuführen,
denn dadurch würde die vordere Reihe unnötig groß werden. Schritt 1 entfällt
somit, so dass der zu beschreitende Raum vollständig durch die Drehungen um die eigene
Achse aus Schritt 2 erschlossen wird. Für sechs Roboter ergäbe sich die in Abbildung
4.17 (links) illustrierte Situation. Dort tritt ein Problem auf, nämlich dass einer der Roboter
der hinteren Reihe (R1) bei Ausführung der nächst anstehenden Einzelbewegung
(oben: Schritt 3) an einen Ort gelangen würde, an dem sich weder Position noch Pose

4 Explizite Verwendung kooperativer Bewegungsstrategien 105
1
2
3
4
5
6
2
3
1 1
Abbildung 4.17: (links) Bei einer geraden Teamgröße bleibt derjenige Roboter der hinteren
Reihe, welcher nur einen Roboter der vorderen sieht, bei der Vorwärtsbewegung vorerst stehen,
während der Rest der hinteren Reihe nach vorne zieht. (rechts) Der zurückgebliebene Roboter
zieht nach, wenn die Basisaktion ansonsten komplett durchgeführt worden ist.
eindeutig bestimmen ließe. Aus diesem Grund verschiebt der Roboter sein Vorhaben,
bleibt also vorerst zurück. Stattdessen wird der verbleibende Teil der Basisaktion umgesetzt,
als wenn dieser Roboter nicht existieren würde. Hat sich die Formation soweit
aufgebaut, dass sie mit Ausnahme des stehengebliebenen Roboters stabil ist, so zieht
dieser in einem letzten und zusätzlichen Schritt nach und kann sich am Zielort über
Regel 1 und 2 lokalisieren (vgl. Abbildung 4.17 rechts).
Objektiv gesehen wirkt der Algorithmus der Vorwärtsbewegung von ZIGZAG zweischneidig;
auf der einen Seite bietet er einen hohen Grad an Parallelisierbarkeit, die sich bewegenden
Roboter legen eine verhältnismäßig weite Strecke zurück und die Erkundung
der anszusteuernden Zielregion lässt sich sicherlich als sinnvoll bezeichnen. Auf der anderen
Seite bleibt fraglich, ob der Algorithmus in realistischen Umgebungen vernünftig
eingesetzt werden kann, da er auf der Annahme basiert, dass die Roboter eigenständig
in der Lage sind, eine gewisse Genauigkeit bei der eigenen Ausrichtung einzuhalten. Ehe
eine weitere Diskussion zweckmäßig wäre, sei aber zunächst ein Blick auf die Qualität
der Strategie hinsichtlich des globalen Ziels geworfen.
Geringe maximale bei durschnittlicher mittlerer Posenabweichung
Die Analyse der Anzahl notwendiger Messungen im Vergleich zur absolut zurückgelegten
Strecke der Vorwärtsbewegung bei n Robotern fällt für ZIGZAG etwas komplizierter
als bei den vorigen Ansätzen aus. Zwar ist der Umfang der Weiterbewegung einfach
erkennbar, von außen gesehen verschiebt sich das Team um drow in die angestrebte
Richtung, wenn sich jeder einmal bewegt; zusammen legen die Roboter also eine Strecke
von n·drow zurück. Die Zahl dabei auftretender Messungen wird aber durch die Summe
mehrerer, einzeln zu untersuchender Größen definiert.
Sei zuerst betrachtet, was zu Beginn der Fortbewegung des Teams passiert, um davon
ausgehend die Anzahl an Messungen einer beliebigen Vorwärtsbewegung errechnen zu
4
5
6
2
3

106 4.6 Ansatz 3: Erschließung von Raum unter Verlust der stetigen Kontrolle
können. Hierfür wird ohne Einschränkung angenommen, dass die Position des sich zuerst
bewegenden Roboters erst nach Schritt 2 geschätzt wird. Das heißt, an dieser Stelle
werden für aufgerundet jeden zweiten Roboter der vorderen Reihe, welche aktuell ⌈ n
2 ⌉
Roboter enthält, Positionen anhand einer ersten Messung ermittelt. Alle betreffenden
Roboter werden dann als Landmarken benutzt, wenn in Schritt 3 zuerst die ⌊ n
2 ⌋ verbleibenden
Roboter der alten hinteren Reihe, nachdem sie nach vorn gezogen sind, Regel
3 anwenden, um ihre Pose herausfinden. Entsprechend Kapitel 4.3 wird die Grundlage
jeder Schätzung dieser Roboter als 1+λ Messungen angesehen. Schritt 3 umfasst weiter
die Wiedergewinnung des Wissens über die verlorenen Orientierungen der Roboter, für
die bislang nur die Position bestimmt wurde. Zu ihrer Unsicherheit kommt also die der
vorangezogenen hinzu, was in 2+λ Messungen resultiert. Gleiches gilt für die Posen der
anderen Roboter aus derselben Reihe, welche zuletzt über Regel 1 und 2 in Kooperation
mit Robotern der vorderen Reihe geschätzt werden. Das Wissen aller ⌈ n
2 ⌉ Roboter der
neuen hinteren Reihe basiert somit auf 2 + λ Messungen.
Offensichtlich entspringt der Unterschied im Posenwissen der hinteren zur vorderen Reihe
nach Abschluss der Vorwärtsbewegung demnach genau einer zusätzlichen Messung,
was natürlich stets so gelten muss. Sei daher jetzt der Zeitpunkt betrachtet, wo sich
bislang für alle Roboter der hinteren Reihe i + 1 und für alle der vorderen i Messungen
ergeben haben. Bei der nächsten Bewegung kommt nach Schritt 2 analog zu oben
bei jedem zweiten Roboter der vorderen Reihe eine i + 2-te Messung hinzu, denn ihre
Schätzungen fußen auf dem Wissen der hinteren Reihe. Deshalb gründet sich danach
die Schätzung der ⌊ n
2
⌋ in Schritt 3 voranschreitenden Roboter in i + 2 + λ Messungen
und die aller ⌈ n
2 ⌉ anderen anschließend folgerichtig in i + 3 + λ Messungen. Daraus
lässt sich direkt ableiten, dass bei einer Vorwärtsbewegung des Teams (wie gehabt mit
Ausnahme der allerersten) insgesamt n · (2 + λ) neue Messungen zur Aufrechterhaltung
aller Posenschätzungen notwendig sind.
Diese Zählung der Messungen bezieht sich eigentlich nur auf ungerade Teamgrößen;
bei gerader Anzahl hätte der nachrückende Roboter (R1 in Abbildung 4.17 rechts)
gegenüber der hinteren Reihe eine Messung mehr zu verzeichnen. Wenn der temporär
zurückbleibende Roboter aber stets so gewählt werden würde, dass er in der darauf
folgenden Vorwärtsbewegung keiner der sich in Schritt 2 drehenden ist, gleicht sich
diese höhere Unsicherheit sofort wieder aus, wie sich durchspielen ließe. Um eine für die
vorliegenden Zwecke nicht wesentliche Fallunterscheidung zu vermeiden, sei die Zählung
daher auch für gerade Teamgrößen akzeptiert. Unter der Annahme, dass die in Kapitel
4.3 gemachte Abschätzung zu Regel 3 korrekt ist, kann also folgendes Ergebnis für den
Quotienten QZIGZAG zwischen der Anzahl an Messungen und der zurückgelegten Strecke
einer idealen Vorwärtsbewegung festgehalten werden:
QZIGZAG
4.3 n · (2 + λ)
≈ =
n · drow
2 + λ
drow
Die entstehende Unsicherheit der anderen Basisaktionen ist dem vorigen Kapitel entnehmbar,
da keine echten Neuerungen gegenüber HALLWAY hier vorgestellt wurden.
Ein erster Vergleich zwischen QZIGZAG und QHALLWAY unter Beachtung der schlüssi-

4 Explizite Verwendung kooperativer Bewegungsstrategien 107
gen Vermutung λ > 1 (vgl. Kapitel 4.3) lässt schon hier erahnen, dass die Werte für
λ ≈ 1 bei normalen Bildwinkeln nah aneinander liegen. QHALLWAY hängt zwar entgegen
QZIGZAG nicht von drow sondern von dspace ab, diese Werte unterscheiden sich je nach
Sichtwinkel aber nicht unbedingt deutlich, wie ein Beispiel in Kapitel 4.8 verdeutlichen
wird. Für λ ≫ 1 werden dementsprechend Vorteile auf Seiten der HALLWAY-Strategie
sein. Entgegen HALLWAY liegt dafür bei ZIGZAG aber eine sehr einheitliche maximale
Posenabweichung der Roboter vor.
An diesem Punkt angelangt, sind die drei vorgestellten Algorithmen bezüglich ihrer
inhärenten Eigenschaften angemessen untersucht worden. Dabei hat sich für die implizit
angenommenen Sichtwinkel bislang kein deutlicher Favorit hervorgetan, was die
Möglichkeit zur kooperativen Aufrechterhaltung vernünftiger Posenschätzungen betrifft.
Hinsichtlich anderen Kriterien, wie der Flexibilität der jeweils zugrunde liegenden Formation
oder der Planbarkeit anzustrebender Ziele, ergaben sich differenziertere Ergebnisse;
ZIGZAG mangelt es etwa im Vergleich zu den anderen an stetiger Kontrolle über
die Roboterposen, dafür können beispielsweise Hindernisse im Allgemeinen früher erkannt
werden. Es bleibt der Einsatz der Verfahren in Problemsituationen zu betrachten,
die in unbekannten Umgebungen auftreten können.
4.7 Szenarien für den Einsatz der Bewegungsstrategien
Im Folgenden werden nur Lösungen für grundlegende Probleme auf Basis der in Kapitel
4.1 eingeführten Szenarien S1 bis S3 anschaulich besprochen. Viele weitere in der
Realität auftretende Probleme werden somit selbstredend vernachlässigt; schon durch
Verknüpfung der Szenarien ließen sich Situationen konstruieren, in denen die unten beschriebenen
Methoden nicht bestehen könnten. Tiefergehende Beschäftigungen übersteigen
allerdings den Umfang dieser Arbeit; darum steht hier auch nicht die Minimierung
der Anzahl an Messungen, sondern vorwiegend nur der Erfolg der Handlungen im Mittelpunkt.
Zumindest wird dies für die Abschlussdiskussion in Kapitel 4.8 ausreichen, in
der alle wesentlichen Eigenheiten der drei Ansätze wieder aufgegriffen werden.
Ausweichen eines Hindernisses
Trifft eine Formation auf ein Hindernis, das den geplanten Weg versperrt, so muss eine
Ausweichbewegung stattfinden (Szenario S1). Es wird hier vereinfacht betrachtet,
dass die Roboter frontal auf solch ein Hindernis zufahren und es auf einer Seite (der
linken) umgehen können, ohne dass weitere Objekte die notwendigen Bewegungsschemata
erschweren. In diesem Fall ist nach Erkennen des Hindernisses eine angemessene,
alternative Bewegungsfolge anzusetzen, die bis zum Rand des Hindernisses eingehalten
werden muss, um danach mit der eigentlichen Bewegung fortfahren zu können. Weil
auch dunkle Welten hier im Fokus stehen, sei angenommen, dass Hindernisse erst dann
gesehen werden, wenn sie im günstigen Bereich eines Roboters auftauchen.
Abbildung 4.18 zeigt ein solches Szenario für die CIRCLE-Strategie mit drei Robotern.
Bei der Vorwärtsbewegung der Formation (Schritt 1) können die Roboter je nach dem,

108 4.7 Szenarien für den Einsatz der Bewegungsstrategien
(1) (1) (1) (2) (2) (2) (3) (3)
(3)
2
2
1
3
1
3
2
2
1
3
2
1
3
2
1
3
1
3
2
(4)
Abbildung 4.18: Umgehen eines Hindernisses mit drei Robotern bei CIRCLE: (1) Die Formation
bewegt sich entsprechend der Orientierung eines Roboters, hier R3, vorwärts. (2) Sieht
ein Roboter ein Hindernis, dient die Orientierung eines anderen, R1, als Ausweichrichtung der
Formation. (3) Die Formation wiederholt das Heranfahren und Ausweichen, bis das Hindernis
1 1
1
umgangen wurde. (4) Jetzt lässt sich die ursprünglich geplante Bewegung fortsetzen.
2
wie die vordersten ihre Verschiebung umsetzen (siehe Kapitel 4.4), nur geringfügig in
3 3
3
den zu befahrenden Raum blicken. Spätestens wenn derjenige, dessen Orientierung die
Bewegungsrichtung des Teams bezeichnet (hier R3), ein Objekt erkennt, das ein weiteres
Voranziehen unmöglich macht, muss das Team seine Richtung umplanen (Abbildung
4.18, Schritt 2). Da auf die Entwicklung expliziter Rotationen für CIRCLE verzichtet wurde,
unterliegt dieses Ausweichen Einschränkungen; nur die aktuellen Orientierungen der
Roboter stehen für einen Alternativkurs zur Auswahl, ggf. könnte die Formation zuvor
gespiegelt werden. Für n ≥ 3 Roboter existiert aber auf jeden Fall eine mögliche Richtung,
die von der Tendenz her richtig verläuft, denn die Orientierungen benachbarter
Roboter unterscheiden sich um weniger als 180◦ . Darüber hinaus kommen bei steigender
Roboterzahl immer mehr solche Richtungen in Frage, was intuitiv gesehen sogar vorteilhaft
erscheint, würde das Hindernis komplexere Formen aufweisen. Im Beispiel macht
aber für das Umgehen nach links nur die Blickrichtung von R1 Sinn. Dadurch entfernt
sich die Formation nach und nach vom Hindernis, so dass zwischenzeitlich wieder die
eigentliche Vorwärtsbewegung (bei größerem n ggf. auch eine ähnliche) aufgenommen
werden muss, um den Hindernisrand nicht zu verpassen (Schritt 3). Dieses Verfahren
wiederholt sich, bis der die Richtung vorgebende Roboter feststellt, dass die ursprüngliche
Bewegung wieder aufgenommen werden kann (Schritt 4).
CIRCLE bietet also zwar Verhaltensweisen für Szenarien wie S1, die Güte der verfolgbaren
Bewegungspfade hängt dabei aber von der Teamgröße ab. Nun könnte eine analoge
Beschreibung für die beiden anderen Strategien folgen, welche auf der in Kapitel 4.5
vorgestellten 45 ◦ -Rotation beruhen würde: Nachdem die Roboter realisiert hätten, dass
die geplante Bewegung zu modifizieren ist, müsste die Rotation zweimal in Folge vom
Hindernis weg ausgeführt werden, um mit genügend Abstand an diesem entlangfahren
zu können. Die verschiedene Nutzung der gleichen Ausgangsformation bei HALLWAY
und ZIGZAG erlaubt jedoch, ein Verfahren für S1 zu entwickeln, dass beide kombiniert,
indem eine Strategie die Voranbewegung und die andere das Ausweichen regelt. Dies
wird im Folgenden mit ZIGZAG für die Geradeaus- und HALLWAY für die Linksbewegung
illustriert; eine Vertauschung der beiden ließe sich natürlich ebenso umsetzen.
2
1
3
(4)
2
2
3
2
(4)
2
1
3
(4)
1
3
2
2
2
1
1
3
3
1
3

)
1
(1)
ZIGZAG
(4)
3
4 Explizite Verwendung kooperativer Bewegungsstrategien 109
(1)
1
ZIGZAG
3 1
ZIGZAG
2 4 2 4 2 4
ZIGZAG
2
(2)
3
(2)
HALLWAY
1
2
(2)
ZIGZAG ZIGZAG ZIGZAG ZIGZAG ZIGZAG ZIGZAG
HALLWAY
3
1
4
2
HALLWAY
3 1
4 2
(3)
3
4
3
(3)
HALLWAY
4
3
(3)
2
HALLWAY
1
4
(4)
HALLWAY
113
2 4
Abbildung 4.19: Kombination von ZIGZAG und HALLWAY zum Umgehen eines Hindernis-
(4) (4)
ses: ZIGZAG (1) Die ZIGZAG Formation bewegt sich auf Basis der ZIGZAG-Strategie vorwärts. (2) Einer der
vorausblickenden Roboter, hier R4, sieht ein Hindernis. Er dreht sich zurück, so dass mittels
HALLWAY eine Ausweichbewegung stattfinden kann. (3) Nach einer gewissen Strecke prüft die
4 2 4 2 4
Formation mittels ZIGZAG, ob das Hindernis noch im Weg ist, und führt in diesem Fall die
Vorwärtsbewegung von HALLWAY fort. (4) Sieht kein vorausblickender Roboter bei ZIGZAG
mehr ein Hindernis, kann die ursprüngliche Kursrichtung wieder aufgenommen werden.
Nähert sich eine Formation mittels ZIGZAG-Strategie einem Hindernis (Abbildung 4.19,
Schritt 1), so wird dieses im schlechtesten Fall in dem Moment entdeckt, wo der vor
den Robotern liegende Raum erschlossen wird (vgl. Kapitel 4.6). Dies bedingt, dass
die Vorwärtsbewegung abgebrochen werden muss, weshalb sich die vorausblickenden
Roboter (in Schritt 2 der Abbildung nur R4) zurückdrehen. Anschließend wird eine
senkrecht dazu verlaufende Richtung durch Verwendung der Vorwärtsbewegung von
HALLWAY eingeschlagen und über eine gewisse Strecke beibehalten (etwa könnte sich
jeder Roboter einmal voranbewegen). Der letzte Roboter auf Seite des Hindernisses
startet dann erneut die Vorwärtsbewegung von ZIGZAG; wurde das Hindernis noch
nicht überwunden (Abbildung 4.19, Schritt 3), verfährt das Team analog zu Schritt 2,
ansonsten kann die ursprüngliche Kursrichtung fortgesetzt werden (Schritt 4).
Offensichtlich kann dieser Ablauf für jede Roboteranzahl in gleicher Weise vollzogen
werden. Es erscheint, als wäre er dem von CIRCLE zumindest bei Szenario S1 überlegen,
da nur wenig ungeeignete Bewegungen ausgeführt werden und somit auch nur wenig zusätzliche
Posenbestimmungen notwendig sind. Nichtsdestotrotz sei darauf hingewiesen,
dass HALLWAY und ZIGZAG wie oben skizziert auch für sich allein Lösungen ermöglichen.
Insbesondere bedeutet die Verwendung der jeweils anderen Strategie nicht, dass
Rotationen überflüssig sind, denn eine reine Fortbewegung über die beiden Arten der
Vorwärtsbewegung würde dazu führen, das jegliche zurückzulegende Strecke die Länge
der zugehörigen Manhattan-Distanz hätte.
ZIGZAG
Wechseln der Formation zum Passieren eines schmalen Durchgangs
Vor allem die Breite der Formationen CIRCLE und ZIGZAG kann für eine Fortbewegung
in realistischen Umgebungen nachteilig sein, da sich etwa enge Durchgänge mit den
2 24
31
42

110 4.7 Szenarien für den Einsatz der Bewegungsstrategien
(1)
(2)
1
1 3 3 5 5
Abbildung 4.20: Formation samt Vorwärtsbewegung zum Passieren schmaler Durchgänge,
hier nach rechts
1
3
für sechs Roboter: Das Team steht in zwei längs ausgerichteten Reihen, innerhalb
denen der Abstand drow zwischen den Robotern besteht. Die Roboter einer Reihe blicken
leicht
1
gedreht nach vorne 3 zur anderen Reihe, die der anderen entsprechend
1
3 nach hinten. Jeder
beobachtet also einen gegenüberliegenden
2
4
Roboter, weshalb
2
die nach hinten 4 gewandte Reihe
um drow nach vorn versetzt ist. (1) Die vorausblickende Reihe bewegt sich unter Beibehaltung
der Orientierung exakt vorwärts. (2) Die andere Reihe zieht in die
2
gleiche Richtung4nach. (1) (2)
1
2
2
3
4
5
2 4 4 6 6
vorgestellten Basisaktionen unter Umständen nicht durchqueren lassen. Aber auch die
von HALLWAY sei für die folgenden Betrachtungen als zu groß angenommen. Somit
bedarf es der Möglichkeit eines Formationswechsels (Szenario S2), wofür gleich eine
spezielle Roboteranordnung skizziert wird. Es sei darauf hingewiesen, dass ein Wechsel
der Anordnung sicherlich die aufwändigste, in dieser Arbeit behandelte Bewegungsfolge
bezeichnet, besonders weil der Sinn der vorgestellten Strategien natürlich nicht in erster
Linie darin besteht, deren Formation zu ändern. Daher wird eher die Machbarkeit des
Wechsels demonstriert, als dass die Entwicklung optimaler Zugfolgen im Vordergrund
stände. Auch hier wird entsprechend S1 davon ausgegangen, dass die jeweilige Formation
frontal auf den Durchgang zugefahren ist.
Abbildung 4.20 zeigt in Schritt 1 die stabile Ausgangsformation zum Passieren schmaler
Durchgänge für sechs Roboter, deren Bewegungsrichtung dort nach rechts verläuft. Die
Roboter stehen in zwei Reihen, etwa jeweils im bekannten Abstand drow zueinander
(vgl. Kapitel 4.5). Alle Roboter der in der Abbildung oberen Reihe blicken schräg in
einem Winkel ξ (hier −20 ◦ ) nach vorne zu jeweils einem der unteren Reihe, weswegen
Letztere um drow nach vorn versetzt ist. Die Orientierungen der Roboter der unteren
Reihe unterscheiden sich um möglichst genau 180 ◦ von denen der oberen Reihe, so dass
jeder dieser Roboter zum ihn beobachtenden schaut. Je zwei Roboter halten sich also
paarweise in ihrem günstigen Bereich, wobei der Winkel ξ Überlagerungen in Kamerabildern
vermeidet. Diese Hilfsformation kann sich nun in zwei Schritten vorwärts bewegen,
indem sich erst alle Roboter der oberen Reihe unter Beibehaltung der Orientierung
voranbewegen (Abbildung 4.20, Schritt 1) und dann alle der unteren in gleicher Weise
nachfolgen (Schritt 2). Diese Bewegungen lassen sich also (wie etwa die von CIRCLE)
6

4 Explizite Verwendung kooperativer Bewegungsstrategien 111
als Verschiebungen begreifen; ihre Schrittweite wird so gewählt, dass nie ein Roboter
den günstigen Bereich des ihm gegenüberliegenden verlässt.
Es ist wichtig ist festzustellen, dass die genauen Abstände und Winkel der Hilfsformation
an konkrete Ausmaße von Robotern und günstigen Bereichen angepasst werden
müssen, um die Anwendbarkeit des Lokalisierungsverfahrens aus Kapitel 3.2 zu gewährleisten.
Aus diesem Grund sei die Formation hier nur grob umrissen; Abbildung 4.20
verdeutlicht aber, dass mit den bislang stets angenommenen Werten eine wesentlich
schmalere Anordnung als bei den drei vorgestellten Strategien möglich ist. Dafür würden
etwa Richtungsänderungen der Hilfsformation Schwierigkeiten bereiten. Deutlich
andere Anordnungen für das Voranschreiten an engen Stellen sind bei den vorliegenden
Mechanismen zur kooperativen Lokalisierung schwer vorstellbar, wenn die Roboter
beieinander bleiben und zeitgleich die Breite der Projektionen anderer im Kamerabild
eindeutig bestimmen können sollen. Deshalb wird im Folgenden der Wechsel von den
Formationen aus Kapitel 4.4 bis 4.6 zur Hilfsformation exemplarisch beschrieben. Die
Rückrichtung bleibt außen vor, da keine neuen Erkenntnisse daraus entnehmbar wären.
Zusätzlich wird nur der Fall einer geraden Teamgröße behandelt; für ungerade Anzahlen
müsste ein Roboter der Hilfsformation ganz hinten oder ganz vorn zusätzlich von seinem
Reihennachbarn beobachtet werden. Hieraus ergeben sich zwar neue bei Bewegungen
zu beachtende Probleme; diese sind aber zweifelsfrei lösbar und für die Beschäftigung
mit einem Formationswechsel eher uninteressant.
Ein Vergleich der sehr verschiedenen Anordnungen der CIRCLE- und der Hilfsformation
erweckt den Eindruck, dass ein Übergang von der einen zur anderen Probleme
bereiten könnte. Jedoch lässt sich zumindest leicht aus der kreisartigen eine paarweise
Beobachtungssituation erzeugen, indem sich jeder zweite Roboter umdreht (vgl.
CIRCLE_REFLECT in Kapitel 4.4). Dies wird in Schritt 1 von Abbildung 4.21 für sechs
Roboter getan, wobei die sich bewegenden gleichzeitig schon notwendige Drehbewegungen
integrieren. R1 und R2, die sich direkt vor dem zu durchschreitenden Durchgang
befinden, haben nach Schritt 2 bereits ihre Zielposen erreicht; sie werden das vordere
Ende der Hilfsformation bilden. Alle verbleibenden Roboter müssen sich gemäß der zu
erzielenden Anordnung hinter diesen postieren. Die dabei zu beschreitenden Bewegungspfade
sind allerdings schlecht verallgemeinerbar, da sie von der Anzahl zur Verfügung
stehender Roboter abhängen. In Schritt 3 bis 5 von Abbildung 4.21 lässt sich zumindest
ein prinzipielles Bewegungsschema für die sich jeweils paarweise beobachtenden
Roboter erkennen: Einer der beiden bewegt sich stets voraus, soweit wie es der günstige
Bereich des anderen erlaubt. Der andere bewegt sich danach rückwärts wieder von
diesem weg. Dabei steuern beide stückweise ihre zu erreichende Orientierung an. Alle
weiteren Schritte bleiben hier ohne Abbildung, irgendwann wird die gewünschte Formation
zustande gebracht (Abbildung 4.21, Schritt 6), so dass das Roboter-Team vorwärts
durch den Durchgang ziehen kann.
Offensichtlich kann die Pose jedes Roboters aufgrund abwechselnder Bewegungen bei
stetigem Verbleib in den günstigen Bereichen stets wieder nach Regel 1 und 2 neu bestimmt
werden. Die Gesamtoperation erfordert jedoch eine große Zahl an Entfernungsmessungen,
die bei steigender Teamgröße wegen des wachsenden Formationsumfangs
von CIRCLE noch stärker zunehmen würde. Sie könnte zwar verringert werden, wenn
die beiden zuerst fertig positionierten Roboter nicht die Spitze, sondern die Mitte der

112 4.7 Szenarien für den Einsatz der Bewegungsstrategien
(1)
(1)
1
2
1
6
2
2
5
6
3
6
4
5
3
3
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4
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(2) (2)
(2)
(3) (3)
(2) 3 3 3 3
(3) (3)
3 3 3 3
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(4) (5) (5)
(6) (6)
(4) (5)
(5) (6) (6)
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1
1
5
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4
6
6
2
2
2
32
3
5
5
Abbildung 4.21: Wechsel von der CIRCLE- zur Hilfsformation bei gerader Teamgröße, um den
oberhalb liegenden Durchgang passieren zu können. Erklärungen im Text.
6
6
Hilfsformation repräsentieren würden, dann aber müsste das Team vorher so seinen
Standort ändern, dass genügend Platz in beide Richtungen vorhanden ist. So oder so
stellt sich an dieser Stelle vielmehr die Frage, ob HALLWAY und ZIGZAG beim Formationswechsel
bessere Ergebnisse hervorbringen.
Für diese Strategien liegt paarweises Beobachten von vorne herein vor; bei geraden
Teamgrößen lässt sich die Ausgangsformation in Zweiergruppen gegenüberliegender Roboter
unterteilen, die sich gegenseitig sehen. Trotz gleicher Ausgangsformation ließe
sich nun wegen unterschiedlicher Richtungen der Vorwärtsbewegung annehmen, dass
verschiedene Verfahren zum Erreichen der Hilfsformation bei diesen Strategien sinnvoll
sein könnten. Für HALLWAY böte sich ein Mechanismus an, der den Korridor (vgl. Kapitel
4.5) sozusagen in die Länge zieht und dabei schrittweise die Orientierungen der
Roboter hin zu denen der Hilfsformation anpasst. Vor allem für größere Roboter-Teams
würde währenddessen aber ein Problem auftreten, nämlich dass die reihenartige Anordnung
beim Umpositionieren Überlagerungen hintereinander befindlicher Roboter im
4
4
5
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6
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3
(...)
(...)
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(...)
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4

4 Explizite Verwendung kooperativer Bewegungsstrategien 113
(1) (1) (2) (2) (3)
(3)
1 13 3 35
5 5
1
1 1
13 3 35
5 5
2
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6 6 2
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4 46
6 6
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(...) (...) (...)
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4 4
4
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6
6
(4)
(4)
(4)
(4)
(5) (5) (5)
(5)
(5)
(4)
(4)
(6) (6) (6)
1
1 1
1
1
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1 1
1
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3 3 2
23
3 3
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2 2 3 2 3 3
4
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4
6
5
5
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4
6
54
5
Abbildung 4.22: Wechsel von der HALLWAY-/ZIGZAG- zur Hilfsformation bei gerader Teamgröße,
um den oberhalb liegenden Durchgang passieren zu können. Erklärungen im Text.
Kamerabild eines lokalisierenden Roboters hervorruft. Deshalb wird hier nur betrachtet,
wie sich die Formation umbauen lässt, wenn sie mit einer Reihe voran den Durchgang erreicht
hat. Dies bringt bezüglich Szenario S2 Vorteile für die ZIGZAG-Strategie mit sich;
aus dem Beispiel der Kombination von HALLWAY und ZIGZAG bei S1 lässt sich aber
ersehen, dass genauso Situationen denkbar sind, in denen die HALLWAY-Formation an
einem Hindernis entlanggeht, bevor sie zu einem Durchgang kommt, so dass dort auch
bei HALLWAY keine vorangehende 90 ◦ -Drehung erforderlich wäre.
Abbildung 4.22 zeigt nun, wie beispielsweise sechs Roboter einen Formationswechsel
durchführen könnten: Im ersten Schritt dreht sich jeder Roboter der hinteren Reihe um
ξ und positioniert sich am Rand des Sichtbereichs vom gegenüberliegenden, wobei einer
der sich bewegenden Roboter (hier R2) dadurch schon fertig ist. Während der Roboter
vor dem Durchgang (R1) daraufhin auch seine Zielpose einnehmen kann, ziehen die
verbleibenden der vordere Reihe (R3 und R5) innerhalb der günstigen Bereiche der
hinteren nahest möglich an diese heran (Abbildung 4.22, Schritt 2) und drehen sich
ebenfalls um ξ. Somit haben bereits alle Roboter an diesem Punkt die gewünschte
Orientierung, so dass sich in den folgenden Schritten jede Zweiergruppe ähnlich wie
6
5
6
5

114 4.7 Szenarien für den Einsatz der Bewegungsstrategien
bei CIRCLE weiterbewegen kann, um die Zielpositionen anzusteuern. Nach Schritt 5 in
Abbildung 4.22 sind etwa auch R3 und R4 fertig. Nur noch R5 und R6 müssen ihre
Bewegung nach gleichem Schema fortführen, was nicht mehr abgebildet ist.
Auch für HALLWAY und ZIGZAG sind folglich viele Messungen im Verlauf des Formationswechsels
notwendig, jedoch verläuft die Gesamtbewegung wesentlich strukturierter
als bei CIRCLE. Ein allgemeiner Pseudocode für eine beliebige (gerade) Roboteranzahl
wäre hier im Bedarfsfall formulierbar. Außerdem weist die Ausgangsformation von
HALLWAY und ZIGZAG eine engere Anordnung der Roboter als CIRCLE auf, weswegen
zumindest geringfügig kürzere Gesamtsstrecken zurückzulegen sind (auch hier wäre nebenbei
eine Verbesserung bei ausreichend Platz möglich, wenn nicht äußere Roboter zu
den vorderen der Hilfsformation werden würden). Dennoch muss geschlossen werden,
dass ein Formationswechsel bei allen drei Bewegungsstrategien mit deutlichen Einbußen
in der Genauigkeit des Posenwissens einhergeht. Ob sich dies durch Benutzung einer anderen
Hilfsformation wesentlich ändern ließe, bleibt zwar ein offenes Problem, erscheint
aber mit Begründung siehe oben eher unwahrscheinlich.
Kompensieren des Ausfalls eines sich bewegenden Roboters
Sei zuletzt Szenario S3 angeschaut, bei dem es um die Wiederherstellung der stabilen
Ausgangsformation nach Verlust eines Roboters geht. Hierbei lassen prinzipielle Probleme
unterscheiden; ein Roboter könnte etwa während des Bestehens der Ausgangsformation
ausfallen oder zu einem Zeitpunkt, an dem er bis zum nächsten Erreichen dieser
Formation keine Aufgaben mehr auszuführen hat. Schwieriger wirkt intuitiv noch die
Situation, in der ein Roboter bei der Umpositionierung kaputt geht oder in der er für
die Neubestimmung eines sich bewegenden verantwortlich ist. Je nach Notwendigkeit
werden gleich für diese Situationen Beispiele untersucht. Um die Auseinandersetzungen
im Rahmen zu halten, sei gegeben, dass ein Ausfall von den anderen Robotern (direkt)
bemerkt wird. Außerdem wird jeweils nur der Verlust eines Roboters analysiert.
Angenommen nun, ein Roboter der HALLWAY-Formation fällt während der Vorwärtsbewegung
aus. Dann führt dies im schlechten Fall dazu, dass er anderen die Sicht auf
die jeweils gegenüberliegenden Roboter versperrt, wie Abbildung 4.23 (links) in der oberen
Hälfte exemplarisch darstellt. Da nur die Roboter am Rand der Ausgangsformation
Bewegungen ausführen, bleibt stets der sich nicht bewegende Anteil stabil (vgl. Kapitel
4.5). Weiter gibt es schon bei Teamgrößen n ≥ 3 leicht ersichtlich nie die Möglichkeit,
dass beide in Frage kommenden Zielpositionen einer Vorwärtsbewegung durch den defekten
Roboter verdeckt werden. Daher können die verbleibenden Roboter einfach am
defekten vorbeiziehen, bis die stabile Ausgangsformation neben ihm wieder aufgebaut
wurde. In Abbildung 4.23 (links) gehen dafür nacheinander R2, R3 und R4 nach rechts,
so dass die in der unteren Hälfte illustrierte Anordnung folgt. Lediglich R3 muss ggf.
einen komplizierteren Pfad zurücklegen, um R1 auszuweichen, ansonsten finden sich bei
HALLWAY diesbetreffend keine Schwierigkeiten. Offensichtlich lassen sich die weiteren
genannten Situationen als simplere Spezialfälle der beschriebenen begreifen und werden
aus diesem Grund hier ausgelassen. Auch eine Rotation der HALLWAY-Formation (und
somit auch der von ZIGZAG) bringt keine weiteren Gefahrenstellen hervor, denn auch
dort lässt sich der gleiche Mechanismus anwenden.

4 Explizite Verwendung kooperativer Bewegungsstrategien 115
3
(1)
1
2 4
1
5
5
(2)
(3)
3
2 4
3
2 4
2
3
4
2
3
4
Abbildung 4.23: Kompensierung eines Roboterverlusts: (links) Die HALLWAY-Formation
rückt am in der Bewegung ausgefallenen Roboter, hier R1, vorbei, bis er ihnen nicht mehr
die Sicht versperrt. (Mitte) Ist ein beobachtender Roboter, R2, der hinteren Reihe bei ZIGZAG
defekt, nimmt ein äußerer Roboter der vorderen Reihe, R4, eine Position in der hinteren ein.
(rechts) Fällt ein voranziehender Roboter, R2, der ZIGZAG-Formation in Schritt 3 aus, wird er
durch den zuvor aus der hinteren in die vordere Reihe gewechselten Roboter, R1, ersetzt.
Die Vorwärtsbewegung von ZIGZAG weist hingegen komplexere Abläufe auf (vgl. Kapitel
4.6). Ein Ausfall in Schritt 1 ließe sich analog wie bei HALLWAY behandeln und
ein Versagen während der Drehungen in Schritt 2 und 4 bliebe vorerst folgenlos, da die
betreffenden Roboter ohnehin mangels Orientierung keine Lokalisierung durchführen
können. Interessant wirkt dort aber der Verlust eines Roboters, der einen sich drehenden
beobachten sollte. Abbildung 4.23 (Mitte) illustriert solch einen Umstand: R4 hat
bereits sein Posenwissen verloren, als R2 ausfällt, und kein anderer kann die Position
von R4 schätzen. Eine mögliche Lösung liefern die eingezeichneten Bewegungspfade: die
geplante Teambewegung wird abgebrochen, indem sich der zuvor nach vorn gezogene
Roboter R1 umdreht und zusammen mit R3 nach Regel 1 und 2 seine Pose schätzt.
Jetzt verlässt R4 die vordere Reihe, um die Größen der Reihen wieder auszugleichen
und so nach entsprechender Regelanwendung eine stabile Ausgangsformation herzustellen.
Wie eben bei HALLWAY sollte danach noch eine Bewegung von R5 folgen, um sich
von R2 zu entfernen, worauf in der Abbildung verzichtet wurde. Vermeintlich mag an
dieser Stelle problematisch erscheinen, dass ein beobachtender Roboter bei der Drehung
eines Roboters inmitten einer Reihe ausfällt. Dann aber existieren stets zwei, die den
drehenden sehen, weshalb sich leicht Auswege finden ließen.
(2)
4
5
1
5
1
(1)
2
2
4
5
1
4
5
1
3
1
3

116 4.7 Szenarien für den Einsatz der Bewegungsstrategien
Schritt 3 der ZIGZAG-Vorwärtsbewegung benötigt keine Untersuchung beobachtender
Roboter, da die voranziehenden ihre Pose eigenständig herausfinden und sich daraufhin
für weitere Posenschätzungen zu Rate ziehen lassen. Verendet jedoch einer dieser Roboter
selbst auf dem Weg von der hinteren Reihe an der vorderen vorbei, fehlt er für
anstehende Berechnungen, so wie R2 in Abbildung 4.23 (rechts). Sobald die anderen ihre
Voranbewegung abgeschlossen haben, kann aber ein Roboter, der in der neuen hinteren
Reihe ganz außen steht (hier R1), Abhilfe leisten, denn er wird bis zur nächsten Basisaktion
sonst nicht mehr benötigt. Folglich kann er den Platz des ausgefallenen ersatzweise
einnehmen ohne den Wiederaufbau der stabilen Ausgangsformation zu gefährden. Auch
ZIGZAG scheint also robust gegenüber Roboterausfällen zu sein; aufwändigere Problemstellen
ließen sich im Rahmen dieser Arbeit nicht finden.
HALLWAY und ZIGZAG ist gemein, dass Abhängigkeiten bei der kooperativen Lokalisierung
fast nur paarweise bestehen. Anders verhält es sich bei CIRCLE, wo ein Roboterausfall
die Anpassung der gesamten Formation bedingt: Einerseits ist ∆θ um den
Wert ε∆θ = 360◦
n−1
− 360◦
n zu modifizieren, um den Kreis aufrechtzuerhalten. Anderer-
seits müssen die Roboter näher aneinander rücken, da bei sinkender Teilnehmerzahl wie
demonstriert auch der Umfang der Formation kleiner wird (vgl. Kapitel 4.4). Sei nun
angenommen, ein Roboter Rk fällt aus. Dann liegt es einzig nahe, die Zuständigkeiten
so zu erneuern, dass Rk−1 fortan Rk+1 beobachtet. Dafür müsste schrittweise die
Orientierung jedes Roboters Ri in deren gegebenen Reihenfolge um (i − 1) · ε∆θ geändert
werden, damit als Resultat die paarweise gewünschte Differenz | 360◦
n−1 | zwischen den
Orientierungen benachbarter Roboter erreicht wird. Mit der Vergrößerung von ∆θ geht
allerdings die Verkleinerung des Formationsumfangs schon einher. Eine Umsetzung des
Vorhabens gestaltet sich deshalb schwierig, da für Posenbestimmungen bei CIRCLE wie
demonstriert ein stetiger Verbleib in den günstigen Bereichen notwendig ist, was die
Bewegungsfreiheit deutlich einschränkt. Zusätzlich gilt es auch zu bedenken, dass sich
der defekte Roboter Rk ggf. direkt zwischen Rk−1 und Rk+1 aufhält und daher in den
Kamerabildern von Rk−1 und Rk−2 Überlagerungen hervorrufen kann.
Abbildung 4.24 zeigt in zwei Beispielen die Konsequenzen dieser Problematik: Die Formation
müsste so ausweichen, dass sich R8 hinterher weder zwischen R7 und R1 noch
aus Sicht von R6 hinter R7 befindet. Es ergeben sich Zielpositionen, welche keine Bewegungsabfolge
ermöglichen, die dem Lokalisierungskonzept genügt, für jede Teamgröße
machbar ist und bei der ohne diverse Zwischenschritte die gewünschten Orte angesteuert
werden können: Unabhängig davon, welcher Roboter sich wann bewegt, käme es zu
einer Umpositionierung, bei der ein Roboter nicht im günstigen Bereich seines einen
Nachbarns verweilen und zeitgleich seinen anderen Nachbarn im eigenen günstigen Bereich
behalten könnte. Diese Behauptung ließe sich vermutlich über Betrachtungen der
Ausmaße günstiger Bereiche und der nötigen Posenänderungen nachweisen, was hier
aber nicht geschehe, da der dafür erforderliche Umfang nicht im Verhältnis zum Ertrag
stände: Zweifelsohne wäre nämlich ein in viele Teilschritte aufgesplitteter Ablauf zum
Wiedererhalt der stabilen Ausgangsformation umsetzbar, wie er ähnlich für den Formationswechsel
skizziert wurde. Hier bleibt festzustellen, dass kein vernünftiger Ansatz
für die Kompensierung eines Roboterausfalls bei der Strategie CIRCLE gefunden wurde.
Daher sei trotz nur exemplarischer Betrachtungen geschlossen, dass CIRCLE bei S3
deutliche Defizite gegenüber HALLWAY und ZIGZAG aufweist.

4 Explizite Verwendung kooperativer Bewegungsstrategien 117
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5
3
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4
4
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8
1 2
Abbildung 4.24: Fällt ein Roboter von CIRCLE aus (wie hier R8), muss bei Anpassung der
Formation neben ihrer Verkleinerung darauf geachtet werden, dass R8 nicht zu Überlagerungen
in Kamerabildern führt. Zwei denkbare Nachfolgesituationen sind hier durch die geplanten
Zielpositionen abgebildet; beide verstärken die Vermutung, dass einfache Bewegungsschemata
zum Erreichen einer neuen stabilen Ausgangsformation nicht generell möglich sind.
4.8 Diskussion der vorgestellten Ansätze
Es sei schon zu Anfang betont, dass natürlich keinerlei Beweis dafür existiert, dass
nicht bessere als die drei vorgestellten Verfahren für die kooperative Fortbewegung eines
Roboter-Teams auf Grundlage der in Kapitel 3 besprochenen Verfahren möglich sind;
sicherlich könnten zumindest in Teilen Erfolg versprechendere Strategien entwickelt werden.
Optimalität stand allerdings auch nicht im Vordergrund der Betrachtungen. Vielmehr
sollten grundsätzliche Herangehensweisen an die Nutzung der Lokalisierung aus
einzelnen Kamerabildern entwickelt werden. Nichtsdestotrotz liefern die vorangestellten
Analysen genügend Anhaltspunkte, um die Sinnhaftigkeit des im Rahmen dieser Arbeit
verfolgten Ansatzes zur kooperativen Lokalisierung abschließend diskutieren zu können.
Dies wird unten geschehen, sobald die drei vorliegenden Bewegungsstrategien zu diesem
Zwecke miteinander verglichen worden sind.
Vergleich der Eigenschaften von CIRCLE, HALLWAY und ZIGZAG
Für alle drei Bewegungsstrategien wurde gezeigt, das sich ihre stabile Ausgangsformation
nach Durchführung einer Basisaktion oder komplexerer Bewegungsabläufe wieder
herstellen lässt (Kriterium F1 aus Kapitel 4.1). ZIGZAG benötigt an mehreren Stellen
drei Teammitglieder. CIRCLE und HALLWAY funktionieren zwar partiell schon für
Teamgrößen n ≥ 2, die Rotation setzt aber ebenfalls einen dritten Roboter voraus,
wenn sie nicht nur schrittweise (wie in Kapitel 4.1 skizziert) verlaufen soll. Es kann
also geschlossen werden, dass eine minimale Formationsgröße von drei Robotern stets
angemessen ist. Nur die CIRCLE-Strategie hat eine obere Schranke für die Teamgröße,
die vom Bildwinkel der Kamera und dem Roboterradius abhängt. Sie weist bezüglich F2
6
7
6
5
1
5
4
23
4
3

118 4.8 Diskussion der vorgestellten Ansätze
folglich Schwächen gegenüber den anderen auf. Spiegeln (A3) und Umdrehen (A4) stellt
für keine der Formationen ein Problem dar. HALLWAY und ZIGZAG erlauben spezielle
Drehungen, die jedoch mit nicht geringem Platzaufwand verbunden sind. Lediglich zwei
Bewegungsrichtungen liegen der zugehörigen Ausgangsformation inne. CIRCLE schneidet
hinsichtlich Kriterium A2 besser ab; n Richtungen für die Vorwärtsbewegung sind
stets vorhanden. Das vorige Kapitel hat außerdem Anhaltspunkte für die Rotation von
CIRCLE um kleinere Winkel ζ gegeben: Jeder Roboter müsste sich gleichmäßig im günstigen
Bereich des ihn beobachtenden um ζ drehen und seine Position anpassen, so dass
sich die Gesamtformation anschließend genau um diesen Winkel gedreht hätte. So oder
so muss dennoch ausgesagt werden, dass effiziente Drehungen einer Formation um beliebige
Winkel allgemein schwierig umzusetzen sind.
Der Schwerpunkt lag nun bei der Erarbeitung der Ansätze auf deren Vorwärtsbewegung
(A1), die insbesondere auf das globale Ziel bestmöglicher Lokalisierung hin analysiert
wurde. Jeweils war das Qualitätsmaß dabei nicht unbedingt absehbar unabhängig von
der Teamgröße. QCIRCLE wirkte hierbei unterlegen, die Abschätzung von QZIGZAG schien
(unter Annahme ihrer Angemessenheit) für normale Bildwinkel vergleichbar mit dem
Quotienten QHALLWAY zu sein. Eine Fallstudie wird jetzt weitere Aufschlüsse geben:
Beispiel: Seien der Sichtwinkel ηG = 43, 4 ◦ und die Entfernung ˜ dsupp ≈ 2, 116 m der
Abweichungsgrenze gegeben, wie in Beispielen aus Kapitel 3. Die in der Verhältnis-
gleichung von dspace und drow (siehe Kapitel 4.5) auftretenden Werte εspace und
εrow seien außerdem gleich dem halben Roboterradius r
2 = 0, 125 m, um einen
gewissen Spielraum für Positionierungen zu gewähren. Dann folgt:
drow ≈ cos 43,4◦ dspace ≈
2 · 2, 116 m − 0, 125 m
2 · tan
≈ 1, 845 m
43,4◦
2 · 1, 845 m − 0, 125 m ≈ 1, 343 m
Mit den Werten s(gR) ≈ 2, 51 und yVG
≈ 0, 676 m (siehe Kapitel 3.5) resultiert
d ′ P mit ebenfalls εP = 0, 125 m aus der Berechnungsvorschrift in Kapitel 4.4:
d ′ P ≈
q
2,51· 1+ 1
2,512 q
2,51· 1+ 1 · (2, 116 m − 0, 676 m) − 0, 125 m ≈ 0, 265 m
2,512 +1+2,512
Es werde die optimistische Annahme λ = 1 gemacht. Somit gilt:
QZIGZAG ≈
QHALLWAY ≈
QCIRCLE ≈
3
1,845 m
2
1,245 m
1
0,265 m
≈ 1, 63/m
≈ 1, 49/m
≈ 3, 77/m
Bei der Bewegung über HALLWAY kommt für jede Posenschätzung eines Roboters
also im Durchschnitt 1, 49 mal pro Meter eine Messung hinzu, bei ZIGZAG schon
1, 63 mal und bei CIRCLE ganze 3, 77 mal. Obwohl die Genauigkeit von Regel 3
durch λ = 1 also als genauso gut wie die von Regel 1 angenommen wurde, ist die
HALLWAY-Stragie hier offensichtlich bereits besser.
Wäre nun etwa λ = 1, 5, so läge der Wert QZIGZAG ≈ 1, 9 schon spürbar höher als
der von ZIGZAG. Mehr noch verstärkt unter Beibehaltung von ˜ dsupp eine Erhöhung

4 Explizite Verwendung kooperativer Bewegungsstrategien 119
des Sichtwinkels um beispielsweise 10 ◦ die Dominanz von HALLWAY, denn dann
ergäbe sich QHALLWAY ≈ 1, 15/m, wie sich leicht nachrechnen lässt. Es sei zu
beachten, dass ˜ dsupp nur die Größe der Werte, nicht deren Verhältnis beeinflusst.
Das Qualitätsmaß Q alleine reicht jedoch nicht aus, um auf den Nutzen der jeweiligen
Strategie schließen zu können. Die Szenarien aus Kapitel 4.7 haben wenig qualitative
Unterschiede der Güte zwischen HALLWAY und ZIGZAG hervorgebracht, zumindest für
grundlegende Anforderungen scheinen beide die notwendige Variabilität und Robustheit
mitzubringen. CIRCLE aber konnte auch dort mit den anderen nicht mithalten, was
unter Anderem auf die mangelnde Flexibilität der zugrunde liegenden Formation zurückgeht.
Auch andere der weitergehenden Ziele aus Kapitel 4.1 lassen CIRCLE schlecht
aussehen; die rein sequentielle Vorwärtsbewegung verlangsamt die Fortbewegung, das
gegenseitige Behindern beim Sehen der umliegenden Umgebung steht hingegen einer
vernünftigen Kartenerstellung entgegen. So muss der zunächst nahe liegende Gedanke,
Roboter permanent in ein und demselben günstigen Bereich zu belassen, im Nachhinein
zumindest auf Basis der erarbeiteten Ergebnisse verworfen werden.
Den zuletzt genannten Punkten werden HALLWAY und ZIGZAG in verschiedenem Maße
gerecht: Das Erschließen der zu betretenden Umgebung gehört direkt zum Konzept
der ZIGZAG-Strategie und so ließe sich die Beschaffenheit nahe gelegener Objekte ohne
Störung den Kamerabildern entnehmen. Auch Wissen über den neben der ZIGZAG-
Formation liegenden Raum könnten sich die drehenden Roboter aneignen. In diesem
Punkt behauptet sich ZIGZAG besser als HALLWAY, denn bei Letzterer wird vornehmlich
nur gesehen, was sich in Bewegungsrichtung befindet; links und rechts erschweren die
Roboterreihen bei dieser Aufgabe ähnlich CIRCLE die Sicht.
Die Parallelisierung der Vorwärtsbewegung von ZIGZAG hat weiter nicht den Anschein
erweckt, nachteilhaft zu sein. Hierbei lässt sich wie angesprochen allerdings vermuten,
dass auch HALLWAY für größere Roboteranzahlen in der Praxis überzeugen könnte.
Allgemein wirkt vor allem aber die einfache Struktur dieser Bewegungsstrategie in realistischen
Umgebungen robuster als die von ZIGZAG: Trotz besserem Quotienten Q (im
Vergleich zu ZIGZAG) verlassen die Roboter bei HALLWAY fast nie den beobachteten
Bereich und wenn, dann sehen sie zumindest selbst die anderen Roboter. Darüber hinaus
wird nach jedem einzelnen Bewegungsabschluss das geschätzte Wissen über alle
Posen gewährleistbar zurückerhalten. Mit diesen Eigenschaften kann ZIGZAG keineswegs
konkurrieren, im Gegenteil: das beschriebene Verfahren zum Vorausblicken in den
freien Raum (vgl. Kapitel 4.5) verletzt im Grunde die Voraussetzung, dass nur der vorgestellte
Lokalisierungsmechanismus verwendet werden soll, da ansonsten die geforderte
Beobachtbarkeit der Bewegungspfade einzelner Roboter verloren gehen könnte.
Insgesamt lässt sich nach diesen Erkenntnissen HALLWAY als zu bevorzugende Bewegungsstrategie
ansehen: sie verkörpert für das gegebene Welt- und Robotermodell eine
sichere Variante, sollte in der Praxis unter den gegebenen Strategien die besten Lokalisierungsergebnisse
erzielen und vermeidet zusätzlich die Nutzung der hier nicht hinreichend
analysierten Regel 3. Zu dieser Regel sei noch angefügt, dass keine Algorithmen
gefunden wurden, in denen ihr Einsatz Vorteile bringt. Solche Verfahren müssten für
weitere Beschäftigungen mit Regel 3 aber vorliegen, da sie geringere Genauigkeiten
hervorzubringen scheint als die Posenbestimmung über Regel 1 und 2.

120 4.8 Diskussion der vorgestellten Ansätze
Tauglichkeit der Bewegungsstrategien in den behandelten Umgebungen
Für die HALLWAY-Strategie wurde eben exemplarisch QHALLWAY ≈ 1, 49/m berechnet.
Durchschnittlich etwa anderthalb mal pro zurückgelegtem Meter verschlechtert sich danach
bei der Vorwärtsbewegung also die Genauigkeit der Posenschätzung eines Roboters
maximal entsprechend der gewählten Abweichungsgrenze, die implizit aus Kapitel 3.5
hervorgehend als ε = 1 cm gegeben war. Es sei vorerst davon ausgegangen, dass die
im Laufe dieser Arbeit über die Welt und die Fähigkeiten der Roboter gemachten Annahmen
korrekt sind. In diesem Fall folgt aus Kapitel 4.3, dass der durchschnittliche
Fehler der Posenschätzung eines Roboters nach einer zurückgelegten Strecke d maximal
1,5
100 · d betragen kann; bewegt sich ein Team also beispielsweise 100 m, so können
die geschätzten Posen der Roboter im Mittel nicht mehr als 1, 5 m abweichen. Dieses
Maß an Unsicherheit übersteigt zwar die Testergebnisse der in Kapitel 2.2 angeführten
Arbeiten, fällt aber unter die gleiche Größenordnung. Darüber hinaus bezeichnet es
wohlgemerkt den worst case; mit den Begründungen aus Kapitel 4.3 sind in der Regel
deutlich geringere Fehler zu erwarten (vgl. auch Kapitel 5). Daher lässt sich bereits
an dieser Stelle schlussfolgern, dass das vorgestellte Lokalisierungskonzept mindestens
in der Theorie in unbekannten, merkmalsarmen Umgebungen, die viele Verfahren der
single-robot localization erschweren oder gar unmöglich machen, eine taugliche Alternative
zu den bestehenden Ansätzen für Roboter-Teams repräsentiert. Es sei dazu noch
einmal darauf hingewiesen, dass neben den geschilderten Vereinfachungen überwiegend
realistische Umstände zugrunde lagen (vgl. Kapitel 2.3).
Eine sicher aufkommende Frage ist, inwiefern die Vorgabe, sich nur entsprechend möglichen
Bewegungsschemata einer konkreten Strategie bewegen zu können (die sich natürlich
um viele weitere Aktionen erweitern ließe), den Nutzen der hier beschriebenen
Umsetzung von Kooperation vermindert. Die in diesem Kapitel erarbeiteten Konzepte
sind restriktiver als die in Kurazume & Hirose 2000a und Rekleitis et al. 1997,
gehen demnach mehr in die Richtung von Navarro-Serment et al. 1999 (vgl. jeweils
Kapitel 2.2). Auf der einen Seite stehen einzuhaltende Pfade der Autonomie der
Roboter entgegen oder gar deren Aufgabenerfüllung, wenn sie anderen Zielen widersprechen.
Zusätzlich kann sich der Platzaufwand aufrechtzuerhaltender Formationen in
realistischen Umgebungen als Problem herausstellen. Auf der anderen Seite bleiben bei
Nicht-Vorhandensein identifizierbarer Umgebungsmerkmale kaum Alternativen zu relativen
Lokalisierungsverfahren, weswegen die Möglichkeit des Einsatzes vernünftiger
Konzepte wie dem von HALLWAY bedacht werden sollte. Auch wenn sich die stetige
Zunahme der Ungenauigkeit in den Posenschätzungen nicht vermeiden lässt, stellen die
Strategien für Roboter-Teams also wegen ihrer universellen Einsatzbarkeit stets einen
Ausweg dar, wenn globale Lokalisierungsverfahren permanent nicht nutzbar sind, und
könnten sicherlich dort mindestens zur Überbrückung dienen, wo vorübergehend eine
ausreichende Analyse der Umgebung nicht möglich ist.
Daher wird im folgenden Kapitel die Einbettung der kooperativen Posenschätzung anhand
einzelner Kamerabilder in bestehende Ansätze behandelt, ehe die gesamten Auseinandersetzungen
dann bezüglich ihrer Bedeutung wie auch der durch die Annahmen
gegebenen Einschränkungen zur Debatte stehen.

Kapitel 5
Einbettung in bestehende Konzepte
Dieses letzte inhaltliche Kapitel bespricht die prinzipielle Einbettbarkeit des vorliegenden
Lokalisierungsverfahrens und der darauf aufbauenden kooperativen Bewegungsstrategien
in wichtige der in Kapitel 2 vorgestellten Konzepte, mit denen eine tiefergehende
Beschäftigung den Umfang dieser Arbeit überstiegen hätte.
Neben dem Gebrauch probabilistischer Ansätze zur Schätzung von Posen geht es dabei
darum, inwiefern eine Kombination mit Mechanismen zur absoluten Lokalisierung realistisch
erscheint und welche Arten der Kartenerstellung die drei beschriebenen Ansätze
für kooperative Bewegungsabläufe vernünftig erlauben. Dadurch kann bei der Diskussion
der erarbeiteten Ergebnisse im abschließenden Kapitel 6 der Fokus auf den direkt
bei den vorgestellten Verfahren aufgetretenen, offenen Problemen und gemachten Annahmen
sowie auf ihrem Nutzen und ihren Grenzen liegen.
Fehlermodellierung durch einen probabilistischen Ansatz
Die in Kapitel 4.3 eingeführte Berechnung akkumulierender Fehler bezog sich nur auf
den schlechtest möglichen Fall, der bei der fortdauernden Schätzung einer Pose auftreten
kann. Innerhalb des verwendeten, vereinfachten Modells beschreibt eine stetig gleichverteilte
Zufallsvariable die Abweichung einer einzelnen Messung mit Radius ε um die
berechnete Position herum. Dies führt bei aufeinander folgenden Messungen zu unterschiedlichen
Wahrscheinlichkeiten für verschiedene Gesamtabweichungen. Es stellt sich
die Frage, ob diese durch einen probabilistischen Ansatz zum Umgang mit unsicherem
Wissen wiedergegeben werden können. Zwar sind wegen der rein relativen Lokalisierung
erst einmal keine Verbesserungen des Posenwissens zu erwarten, jedoch könnte die
Verwendung solcher Ansätze bei einem etwaigen Zusammenspiel mit anderen Lokalisierungsverfahren
an Bedeutung gewinnen. Die in Kapitel 2.1 besprochenen Eigenschaften
zeigen deutlich auf, dass, wenn überhaupt, speziell einer der Ansätze im vorliegenden
Kontext angemessen erscheint:
Markov-Lokalisierung erwartet ein Modell der Umgebung, was aber nicht zur Verfügung
steht. Darüber hinaus geht es bei ML hauptsächlich um die globale Standortbestimmung
eines Roboters. Dieser Bereich der Lokalisierung steht aber nicht zur Debatte,
da sich allein auf Basis der erarbeiteten Vorgehensweisen kein Wissen über den absoluten
Standort eines Teams innerhalb der Weltkoordinaten herleiten lässt. Entsprechend

122
ε
ε
Gewichtung
Abbildung 5.1: Unsicherheit nach zwei Messungen im günstigen Bereich: Im worst case liegt
die Abweichung auf einem Kreis mit Radius 2 · ε um die vermutete Position herum. Gewichtung
entsprechend der Gleichverteilung einer Messung führt zu einer rotationssymmetrischen Verteilung,
deren zugehörige Wahrscheinlichkeiten von innen nach außen monoton fallen. Es sei zu
beachten, dass die Darstellung der Verteilung nur skizziert wurde.
macht die Aufrechterhaltung mehrerer Hypothesen beim position tracking keinen Sinn;
nur die relative Änderung der Roboterposen ausgehend von ihren Startpunkten muss
verfolgt werden. Damit gehen auch die Vorteile der Monte-Carlo-Lokalisierung gegenüber
Kalman-Filtern hinsichtlich der Robustheit verloren, weshalb nur Letztere wirklich
von Interesse sein könnten, da sie die höchste Effizienz bieten. Zwar wird entgegen
den Prinzipien vom KF im vorliegenden Lokalisierungskonzept nur die Art von Sensor
benutzt, deren Daten in den Bereich der observations fällt. Dennoch eignen sich zumindest
die grundlegenden Mechanismen des klassischen Kalman-Filters für die zugehörige
Posenschätzung, da der KF auf Gauß’schen Normalverteilungen beruht, was, wie im
Folgenden skizziert, die gegebenen Abweichungen sinnvoll annähern könnte.
Abbildung 5.1 illustriert exemplarisch die Möglichkeiten der Position eines Roboters
nach zwei Messungen im Rahmen günstiger Bereiche: Nach dem vereinfachten Modell
aus Kapitel 4.3 wird davon ausgegangen, dass eine vermutete Position in alle Richtungen
gleichermaßen mit dem gewählten maximalen Fehler ε behaftet sein kann. Damit liegt
die maximale Abweichung der zweiten Messung auf einem Kreis mit Radius 2 · ε um
die vermutete Position herum. Wird aber jede aus der ersten Messung hervorgehende,
in Frage kommende Position als gleichwahrscheinlich angesehen, so differiert nach der
zweiten die Wahrscheinlichkeit verschiedener Positionen je nach Lage: Einige Positionen
im Kreis mit Radius 2 · ε sind nach der ersten Schätzung von vielen der möglichen
Standorte aus denkbar, andere nur von wenigen.
Eine einzelne Messung hat nun offensichtlich eine rotationssymmetrische Dichte; damit
gilt Selbiges aber auch für jegliche Anzahl n an Messungen, wie sich über Induktion nach
n beweisen ließe: intuitiv gesprochen passt eine hinzukommende Messung die Verteilung
in jede Richtung vom Kreiszentrum aus identisch an. Die Wahrscheinlichkeit nimmt
dabei radial um das Zentrum des Kreises herum monoton ab; dies resultiert in einer
Dimension aus dem zentralen Grenzwertsatz (vgl. Patel & Read 1982, S. 136 f.),
angewendet auf die gleichverteilte Zufallsgröße der Abweichung; für das Intervall [−ε, ε]
ε
ε

5 Einbettung in bestehende Konzepte 123
ergibt sich bei stetiger Gleichverteilung einer Messung folgender Erwartungswert µ und
dessen Standardabweichung σµ:
µ =
−ε + ε
2
= 0 , σµ =
(ε − (−ε) 2
12
= ε
√ 3
Erwartungswert und Standardabweichung sind endlich, außerdem ist jede Messung von
den anderen unabhängig. Somit konvergiert die Summe von n solcher Zufallsvariablen
für n → ∞ demnach gegen die Normalverteilung. Da diese Argumentation sich auf
jede Richtung anwenden lässt, folgt die monotone Abnahme aus der bekannten Kurve
der Normalverteilung. Bei einer Positionsschätzung in zwei Dimensionen liegt allerdings
keine bivariate Normalverteilung (vgl. Patel & Read 1982, S. 288 f.) vor, da die in
jede Richtung mögliche, maximale Abweichung ε nicht zu stochastisch unabhängigen
Komponenten x und y führt (etwa kann die Abweichung nicht gleichzeitig in x- und
y-Richtung ε betragen). Rotationssymmetrie und das Verhalten im Unendlichen deuten
nichtsdestotrotz darauf hin, dass die Schätzung sich durch solch eine Verteilung mit
passenden Parametern angemessen annähern lässt.
Über die Pose jedes Roboters eines Teams müsste also eine zugehörige Wahrscheinlichkeitsdichte
aufrechterhalten werden, was der KF ermöglicht (vgl. Kapitel 2.1). Darüber
hinaus könnten auf diese Weise gespeicherte Posenschätzungen problemlos per Funk
an andere übertragen werden: „the mean and covariance matrix suffice to describe the
entire density“ (Dellaert et. al 1999, S. 1323). Letztlich würde aber für die relative
Lokalisierung die generelle Annahme einer zweidimensionalen Gaußverteilung mit
Mittelpunkt auf der vermuteten Position schon ausreichen. Somit macht auch der KF
mehr, als für das behandelte Fehlermodell notwendig wäre. Dennoch bleibt festzuhalten,
dass sich die Posenschätzungen in einen solchen Filter integrieren ließen. Dies kann
nützlich sein, wenn die Lokalisierung anhand einzelner Kamerabilder in Kombination
mit anderen Verfahren eingesetzt wird.
Zusätzliche Nutzung absoluter Lokalisierungsverfahren
Obwohl sich alle bisherigen Untersuchungen auf den Einsatz in unbekannten, merkmalsarmen
Umgebungen bezogen, lässt sich annehmen, dass die vorgestellten Bewegungsstrategien
zur Unterstützung absoluter Lokalisierungstechniken verwendet werden
können. Die Kombination relativer und absoluter Lokalisierung wird natürlich bereits
in einigen Arbeiten umgesetzt, so etwa im gegen Ende von Kapitel 2.2 angesprochenen
Paper Hidaka et al. 2005. Im vorliegenden Fall eignet sich die beschriebene
Kooperation diesbezüglich unterschiedlich gut, je nach dem, um welche Klasse von Lokalisierungsmechanismen
es sich handelt:
Für Algorithmen, wie dem des SIFT-Verfahrens (vgl. Kapitel 2.1), die ohne Vorwissen
eigenständig nur in ihrer Konstellation nutzbare Merkmale aus nahe liegenden Objekten
extrahieren, wirken Konzepte abwechselnder Bewegung störend: Die Anwendbarkeit
solcher Algorithmen gründet sich im regelmäßigen Wiedererkennen vieler fester Punkte,
deren Lagen zum Roboter zwecks Posenschätzung angepasst werden müssen. Wenn
aber zur relativen Lokalisierung Roboter im Blick behalten werden, steht dies über die

124
dadurch gegebene Sichtbehinderung hinaus generell der Orientierung anhand von Umgebungsmerkmalen
entgegen. Zusätzlich kann sich die direkte Umgebung eines Roboters,
der temporär stationär bleibt, in der Zwischenzeit durch andere, umpositionierte Roboter
vollkommen ändern. Um etwa das SIFT-Verfahren dann noch ausführen zu können,
müssten gespeicherte Informationen über Merkmale stets an sich bewegende Roboter
weitergegeben werden, was neben erhöhtem Kommunikationsaufwand die Umrechnung
der Merkmalspositionen in das jeweilige egozentrische Koordinatensystem erfordern und
damit neue Schwierigkeiten hervorbringen würde.
Praktikabler könnte in diesem Zusammenhang daher die absolute Lokalisierung anhand
von Objekten sein, die sich in ihrer Gesamtheit auch nach Unterbrechungen erneut identifizieren
lassen. Am Ende von Kapitel 2.1 wurde mit Davidon & Molton 2007 zum
Beispiel ein Ansatz beschrieben, bei dem nur wenige, aber aussagekräftige Merkmale
zur Lokalisierung mittels Kamera dienen, und bei dem die Posenschätzung, passend zu
oben, über einen Kalman-Filter stattfindet. Unter solchen Gegebenheiten lässt sich eine
Verfeinerung bzw. Korrektur der Schätzungen etwa der HALLWAY-Strategie vorstellen,
indem der jeweils nach vorne gezogene Roboter beim Sehen einer bekannten Landmarke
seine geschätzte Pose mit deren Position abgleicht. Dafür müssen natürlich, anders als
in Kapitel 4 vorausgesetzt, entsprechend prägnante Objekte existieren.
Besteht darüber hinaus auch Wissen über die Koordinaten bestimmter Orte, so ergibt
sich ein weiteres, allgemein denkbares Einsatzgebiet kooperativer Bewegungsstrategien:
In jedes Lokalisierungsverfahren, dass auf eine Karte der Umgebung oder Ähnliches zugreifen
kann, könnten die entwickelten Strategien in der Weise eingebettet werden, dass
manche Roboter ihre Pose absolut schätzen, und davon ausgehend die kooperative relative
Lokalisierung nicht etwa bezüglich des Ausgangspunkts, sondern in Abhängigkeit
zu den entsprechenden absoluten Koordinaten stattfindet. Solche Überlegungen sollten
vor allem bei Strategien, die ähnliche Konzepte wie ZIGZAG verfolgen, hinreichend
umsetzbar sein, da dort ohnehin das Betrachten der Umgebung mit der gegenseitigen
Lokalisierung im Wechsel passiert. Bietet sich dafür sicherlich speziell eine kamerabasierte
und nur unregelmäßige Lokalisierung wie in Olson 2000 (vgl. Kapitel 2.1) an,
so müsste allerdings zusätzlich darauf geachtet werden, dass die Modelle der Aufrechterhaltung
von Posen miteinander vereinbar sind.
In Kapitel 2.2 wurde schließlich als eine Herangehensweise an kooperative Lokalisierung
der Austausch von Umgebungsinformationen zur Verbesserung des Posenwissens vorgestellt.
Wie vermehrt deutlich wurde, resultiert aus der Einhaltung von Formationen
zwar, dass Roboter ihre Umwelt nicht durchweg und je nach Strategie nicht unbedingt
ausreichend wahrnehmen können; zumindest haben aber jeweils alle daran Teil, die
vom Team bei dessen Fortbewegung eingenommene Fläche zu explorieren. Dies führt
zur Betrachtung gemeinsamer Kartenerstellung, um die es nun zuletzt geht, wobei dafür
wieder von unbekannten, merkmalsarmen Umgebungen ausgegangen wird.
Kartenerstellung anhand der verfolgten Pfade eines Teams
Der Schwerpunkt in Kapitel 4 lag keineswegs auf dem genauen Kartographieren der
Objekte, auf die ein Roboter-Team bei der Fortbewegung trifft. In merkmalsarmen Umgebungen
widerspräche dies als vordergründiges Ziel aber auch den Voraussetzungen,

5 Einbettung in bestehende Konzepte 125
von denen ausgegangen werden kann. Dementsprechend bieten sich merkmalsbasierte
Karten kaum an, da sie womöglich nur geringfügig mit Informationen gespeist werden
könnten; auch wirken sie deswegen nicht nahe liegend, weil die Roboter ihre Umwelt
in den besprochenen Strategien zumindest zu Bewegungszwecken als zweidimensional
auffassen. Bei einigen Verfahren der cooperative multi-robot localization taucht weiter
das Problem auf, dass die gemeinsame Kartenerstellung eine Belastung für den Kommunikationsaufwand
darstellen kann (vgl. Kapitel 2.2). Um die bisher als solche dargelegte
Machbarkeit der Übermittlung von Nachrichten zur Lokalisierung nicht ad absurdum
zu führen, sollte die Notwendigkeit, größere Datenmengen zu versenden, im vorliegenden
Kontext sicherlich vermieden werden. Natürlich muss trotzdem auf eine bestimmte
Weise ein Kennenlernen der Umgebung stattfinden, damit zumindest mit der Zeit zielgesteuerte
Pfadplanungen ermöglicht werden. Die drei Ansätze für Bewegungsstrategien
aus dem vorangegangenen Kapitel haben wie besprochen nur bedingt und auch nur in
Teilen das explizite Betrachten der Umgebung zur Aufgabe gehabt. Vor allem beim Erfolg
versprechendsten Kandidaten, HALLWAY, war vielmehr nur ein Sehen der vor dem
Team liegenden Fläche kurz vor deren Betreten wirklich relevant.
Dies alles führt in Richtung der occupancy maps (vgl. Kapitel 2.1), die meist in gitterbasierter
Form benutzt werden, um mit den Ausmaßen einer Umgebung durch deren
Diskretisierung umgehen zu können. „Each cell of such an occupancy grid map contains
a numerical value representing the posterior probability that the corresponding
area in the environment is covered by an obstacle.“ (Burgard et al. 2005, S. 377).
Solche Karten repräsentieren also einen sehr grundlegenden Ansatz, die Beschaffenheit
der Umgebung festzuhalten, da letztlich nur begehbare von nicht begehbaren Stellen
unterschieden werden, wozu in der Regel stochastische Update-Regeln benutzt werden,
die eine Karte auf Grundlage des aktuellen Wissens eines Roboters anpassen. Da ein
Roboter einen Ort im Moment des Betretens als erreichbar klassifizieren kann (unter
Berücksichtigung seines unsicheren Posenwissens), lassen sie sich prinzipiell zu jeder
Umgebung aufbauen, und werden entsprechend in vielen bereits angeführten Arbeiten
verwendet (z.B. Grabowski et al. 2000, Olson 2000). „The advantage of grids is
that they do not rely on predefined features which need to be extracted from sensor
data. Furthermore, they offer a constant time access to grid cells and provide the ability
to model unknown (unobserved) areas [...]“ (Stachniss 2006, S. 34).
Occupancy grid maps erfordern allerdings im Allgemeinen viel Speicherplatz, selbst
wenn dieser von der Größe der Karte und der einzelner Zellen abhängt. Auch werden
eigentlich die Ausmaße der Karte vorgegeben, was in unbekannten Umgebungen nicht
unbedingt sinnvoll wirkt. Zu beidem lassen sich aber Auswege erarbeiten; beispielsweise
ließe sich überlegen, Quadtrees (vgl. Samet 1990) zur Repräsentation der Karte
einzusetzen, mithilfe derer etwa unbesuchte Regionen ohne Platzverbrauch implizit gespeichert
werden. Dann könnte mit einer Default-Kartengröße begonnen werden, die sich
jederzeit durch Erzeugung eines neuen Wurzelknotens der unterliegenden Baumstruktur
ausweiten ließe. Dies bedürfte im gegebenen Fall aber weiterer Untersuchungen.
Ein wesentlicher Vorzug dieses Kartentyps resultiert für die kooperative Erstellung nun
wieder daraus, dass sie grundsätzlich effiziente Operationen zum Mergen verteilten Wissens
erlauben, da nicht unbedingt komplette Karten, sondern nur geschätzte Daten über
aktuell gesehene Bereiche passend zur Gitterstruktur eingearbeitet werden müssen. Dies

126
Abbildung 5.2: Vier Experimente zur Erstellung von occupancy grid maps durch einen der fünf
Roboter eines Teams bei Grabowski et al. 2000 anhand des Wissens aller: Hellere Stellen
bezeichnen als freie Fläche vermutete Bereiche, dunklere werden als Hindernisse angenommen.
Zum Vergleich wurden die Wände der Testumgebung mit in die Darstellung integriert.
steht im Einklang mit der Geringhaltung der Kommunikation, insbesondere wenn nur
einer der Roboter für die Kartenerstellung zuständig ist, was entsprechend der Argumentation
am Ende von Kapitel 4.2 hier geeignet erscheint. Solche Mechanismen wurden
bereits implementiert, etwa im erwähnten Verfahren aus Grabowski et al. 2000
(vgl. Kapitel 2.2), dessen Lokalisierungs- und Bewegungskonzepte denen der vorliegenden
Arbeit ähneln. „During operation, each robot collects information locally about its
surroundings. This data is transmitted to the team leader where it is used to build a
local map centric to that robot.“ (Grabowski et al. 2000, S. 302). Abbildung 5.2
zeigt dazu exemplarisch Karten aus vier Experimenten.
Es lässt sich also schließen, dass die kooperativen Bewegungsstrategien aus Kapitel 4
nicht den Voraussetzungen für die gemeinsame Erstellung von occupancy maps widersprechen;
vielmehr ist anzunehmen, dass sich die Repräsentation freier Fläche sogar gut
dafür eignet, Bewegungsabläufe der platzaufwändigen Formationen besser planen zu
können, was aber hier nicht mehr eingehender untersucht wird. Sicherlich können auch
andere Mechanismen zur kooperativen Modellierung der Umgebung gefunden werden,
die im Zusammenspiel mit den Bewegungsstrategien funktionieren. Hier sollte nur exemplarisch
demonstriert werden, dass trotz der vorgegebenen Verfolgung bestimmter Pfade
verbreitete Verfahren zur Kartenerstellung anwendbar sind.

Kapitel 6
Zusammenfassung, Fazit und
Ausblick
Ziel dieser Arbeit war, ein kamerabasiertes Lokalisierungsverfahren formal zu entwickeln,
auf dessen Basis die kooperative Posenschätzung eines Roboter-Teams in einem globalen
Koordinatensystem ermöglicht wird, um davon ausgehend Strategien zur gemeinsamen
und koordinierten Fortbewegung von Robotern in unbekannten, merkmalsarmen Umgebungen
theoretisch aber anschaulich zu erarbeiten (Kapitel 1).
Die Lokalisierung eines Roboters verkörpert ein grundlegendes Problem der Robotik:
um sich zielgesteuert bewegen zu können, müssen Position und Orientierung bekannt
sein, wofür in unbekannten Umgebungen oft gleichzeitig eine Karte zu erstellen ist.
Zum Umgang mit Ungenauigkeiten werden Posenschätzungen dabei meist durch Wahrscheinlichkeitsdichten
repräsentiert. Kameras erweisen sich als relevanter Sensor für die
Wahrnehmung der Umwelt, da sie vielfältig auswertbare Daten liefern; über sie erfolgt
die Lokalisierung durch Identifizierung bekannter Objekte oder eigenständiges Klassifizieren
wiedererkennbarer Merkmale (Kapitel 2.1). Vor allem Einsatzgebiete, über die
kein Vorwissen besteht und die wenig Struktur besitzen, machen bei der Lokalisierung
Schwierigkeiten. Kooperieren die Roboter eines Teams, kann das Posenwissen durch
Informationsaustausch über Positionen von Landmarken und Robotern verbessert werden,
was aber die Verarbeitung großer Datenmengen erfordert. Eine stets umsetzbare
Alternative ist die rein relative Lokalisierung anhand der Teammitglieder, bei der explizit
Bewegungen der jeweils anderen beobachtet werden. Auch können Roboter für
andere als Landmarken fungieren, indem sie vorübergehend stationär bleiben, was zu
den in dieser Arbeit behandelten Strategien abwechselnder Bewegung führt, die jedoch
unausweichlich eine monotone Zunahme an Posenunsicherheit implizieren (Kapitel 2.2).
Für die vorliegenden Betrachtungen wurde neben einer flachen Umgebungsoberfläche
angenommen, dass Roboter, die ungehindert vom Standort einer Kamera aus gesehen
werden können, in ihrer Projektion korrekt erkennbar sind (Kapitel 2.3).
Güte des entwickelten Lokalisierungsverfahrens
Bei der Analyse digitaler Kamerabilder muss deren Abbildungsoptik passend genutzt
werden, um sowohl relativ nah am Objektiv liegende als auch entferntere Objekte scharf

128
zu projizieren, was dann erlaubt, die Abbildungsgeometrie durch das Lochkameramodell
zu beschreiben. Allerdings lässt sich die Breite einer Projektion nie exakt bestimmen,
denn es besteht kein Wissen darüber, an welcher Stelle eines Pixels sich ihr Rand genau
befindet. Wird hierfür stets die Mitte des Pixels vermutet, minimiert dies den maximal
möglichen Unterschied zur realen Projektionsbreite (Kapitel 3.1). Für die Berechnung
der vermuteten Entfernung des Mittelpunkts eines zylinderförmigen Roboters anhand
eines einzelnen Kamerabilds bedarf es der Kenntnis über dessen Radius r. Anhand der
Lage und Breite seiner Projektion lassen sich die Einfallswinkel derer Randlinien ermitteln,
aus denen zusammen mit r die Entfernung und darauf aufbauend die Koordinaten
des Mittelpunkts relativ zum Projektionszentrum der Kamera abgeleitet werden können
(Kapitel 3.2). Es wurde formal gezeigt, dass der maximal mögliche Fehler ∆d einer Entfernungsberechnung
aus der Differenz der resultierenden Entfernungen der maximalen
und vermuteten Projektionsbreite hervorgeht (Kapitel 3.3).
Auf Basis von ∆d lässt sich anschauen, wo sich ein Roboter vor der Kamera befinden
muss, um ihn vernünftig lokalisieren zu können. Orientierungsabweichungen waren in allen
Beispielen nahezu verschwindend gering (Kapitel 3.4). Die seitlichen Grenzen dieses
Bereichs hängen von r, dem Bildwinkel der Kamera und der Breite ihrer Bilder in Pixeln
ab. Für sie lassen sich ebenso allgemeine Formeln angeben wie für ihren Schnittpunkt,
der die nahest mögliche Position eines lokalisierbaren Roboters bezeichnet. Eine genaue
hintere Grenze, bis zu der der Fehler der Entfernungsberechnung einen zu wählenden
Wert ε nicht übersteigt, konnte nicht als Funktion bestimmt werden, jedoch wurde eine
Näherung entwickelt und deren Korrektheit bewiesen. Insgesamt wird so vollständig ein
günstiger Bereich definiert, innerhalb dem sich eine Berechnung mit maximaler Abweichung
ε unter den gegebenen Voraussetzungen garantieren lässt (Kapitel 3.5).
Es stellt sich die Frage, als wie realitätsnah die erarbeiteten Ergebnisse anzusehen sind.
Eine wie hier letztlich als zweidimensional angenommene Oberfläche kann es zwar real
nicht geben; die Bodenunebenheit einer indoor-Umgebung etwa würde sich aber ab
einer gewissen Radgröße der Roboter nicht mehr merkbar auswirken. Zumindest in solchen
Fällen lässt sich diese Annahme als gerechtfertigt erachten. Darüber hinaus verliert
das Verfahren in echten 3D-Umgebungen nicht seine Anwendbarkeit: Da die gesamte
Frontseite eines Roboters dem Kamerabild entnommen werden kann, ließe sich der Unterschied
der vertikalen Ausrichtung zwischen projiziertem und lokalisierendem Roboter
bestimmen und könnte entsprechend in die Berechnungen miteinbezogen werden. Allerdings
ginge dies mit weiteren Ungenauigkeiten einher, welche formal herzuleiten wären;
auch sie entspringen der begrenzten Pixelauflösung des Kamerabilds.
Die Vermutung, dass die Projektion eines Roboters dessen sichtbare Breite korrekt wiedergibt,
muss zweischneidig beurteilt werden; einerseits wirkt es machbar, einen Roboter
so zu markieren, dass er sich eindeutig vom Hintergrund absetzt. Andererseits besteht
im Rahmen dieser Arbeit kein gesichertes Wissen darüber, dass die Optik einer Linse
nicht Projektionsfehler bewirken kann, welche Pixelgrenzen überschreiten. Ähnliches
könnten unscharfe Abbildungen insbesondere sehr nahe gelegener Roboter hervorrufen,
so dass der günstige Bereich vorne ggf. einzuschränken wäre. Antworten auf die unterliegenden
Fragen dieser Probleme erfordern tiefergehende physikalische Untersuchungen
oder praktische Experimente, was beides hier außen vor geblieben ist.

6 Zusammenfassung, Fazit und Ausblick 129
Dennoch lässt sich insgesamt annehmen, dass mit dem entwickelten Verfahren eine qualitativ
hochwertige Lokalisierung anhand einzelner Kamerabilder ermöglicht wird, mag
deren Güte unter realen Bedingungen auch nicht vollends an die theoretischen Ergebnisse
heranreichen. Verbesserungen wären außerdem denkbar; so ließe sich betrachten, wie
eine gleichzeitige Entfernungsberechnung von zwei Kamerastandorten zur Verringerung
der Ungenauigkeit beitragen könnte. Ebenso wäre eine Erweiterung der Fehleranalyse
um die Berechnung formaler Grenzen der Winkelabweichung sinnvoll, was speziell
Nutzen für auf dem Verfahren aufbauende Bewegungsstrategien bringen würde.
Diskussion der kooperativen Lokalisierung und Bewegung
Als zentrales Ziel der formationsartigen Fortbewegung in Teams wurde für den vorliegenden
Kontext eine geringe Posenabweichung der Roboter im Verhältnis zur absolut
zurückgelegten Strecke herausgearbeitet. Zum Voranschreiten wichtige Aktionen wurden
dafür genauso gefordert, wie ein wiederkehrender Zustand, in dem jeder Roboter
seine Pose geschätzt kennt (Kapitel 4.1).
Einzig auf Grundlage des entwickelten Lokalisierungsverfahrens wurden konstruktiv Mechanismen
zur absoluten Posenschätzung bei koordinierten Bewegungsabläufen aufgezeigt.
Die Orientierung eines Roboters kann dabei nur der Roboter selbst ermitteln,
wofür er seine Position kennen muss, wenn dies anhand der Projektion eines Roboters
mit vorhandener Positionsschätzung stattfindet. Stehen zwei zur Verfügung, lässt sich
die Pose komplett eigenständig berechnen, jedoch ergeben sich daraus Ungenauigkeiten,
für die keine formalen Ergebnisse vorliegen (Kapitel 4.2). Der worst case der Fehlerakkumulation
aufeinander folgender Posenschätzungen wurde unter Vernachlässigung der
Orientierung exemplarisch analysiert. Hieraus ließ sich ein Qualitätsmaß Q ableiten,
das die Güte einer Posenschätzung als Verhältnis der zugrunde liegenden Messungen
zur zurückgelegten Strecke angibt (Kapitel 4.3).
Zur Nutzung des Lokalisierungsverfahrens bei der kooperativen Bewegung können prinzipielle
Ansätze sein, dass Roboter stets in einem bestimmten günstigen Bereich oder
dass sie zumindest innerhalb der durch alle Bereiche gemeinsam abgedeckten Fläche
bleiben. Unter temporärem Verlust des Posenwissens ist auch ein zeitweises Verlassen
beobachteter Stellen möglich. Für diese drei Ansätze wurden mit CIRCLE, HALLWAY
und ZIGZAG konkrete Strategien überwiegend informell vorgestellt. Dabei lag der Fokus
auf der Vorwärtsbewegung der entsprechenden Formation, wofür jeweils Q berechnet
wurde (Kapitel 4.4 bis 4.6). Neben den inhärenten Eigenschaften der Strategien ergaben
exemplarische Fallstudien (Kapitel 4.7), dass HALLWAY für das vorliegende Modell der
Welt zu bevorzugen ist und sich deren Posenaufrechterhaltung in der Theorie mit bestehenden
Verfahren abwechselnder Bewegung messen lässt, ihre festen Bewegungsabläufe
den praktischen Nutzen aber möglicherweise einschränken (Kapitel 4.8).
Zu klären bleibt auch hier, welche Aussagekraft die besprochenen Konzepte beim wirklichen
Einsatz von Roboter-Teams haben. Eine weitere Diskussion zur Einbettung in
bestehende Verfahren findet hingegen mit Verweis auf Kapitel 5 nicht statt.
Das vorgestellte Fehlermodell reicht allein nicht aus, um die Qualität der kooperativen
Lokalisierung abschließend zu bewerten: Besonders der Verzicht auf die Betrachtung von

130
Orientierungsabweichungen erscheint problematisch, da ungewollte Drehungen der gesamten
Formation nicht erfasst werden. Jedoch wurde die Komplexität ihrer Integration
in die Analyse skizziert; ein geeigneter Umgang damit hätte den zeitlichen Rahmen der
Arbeit gesprengt. Obwohl der Orientierungsfehler in aller Regel sehr klein gegenüber
dem von Positionen sein sollte, bleibt also als offener Punkt eine genauere Untersuchung
der Fehlerakkumulation. Daher kann das eingeführte Qualitätsmaß höchstens
unter Vorbehalt als angemessen deklariert werden. Die Einschränkung, es nur für die
Vorwärtsbewegung eines Teams zu bestimmen, wirkt zwar kritisch, weil dadurch die
Verknüpfung verschiedener Fehler ausgeblendet wird. Dennoch hat das Maß seine Berechtigung;
die Güte der Posenschätzung eines Roboters gründet sich einzig in der eines
anderen, folglich gilt der jeweilige Wert zumindest für den Zeitraum einer reinen Vorwärtsbewegung
(wie gehabt mit Ausnahme von Orientierungsfehlern).
Nur ausschnittsweise wurden ferner die verfolgbaren Pfade eines Teams behandelt. Vor
allem das Voranschreiten in bereits explorierten Regionen könnte besser gestaltet werden;
alle drei entwickelten Strategien würden etwa das Einbauen geringfügiger Rotationen
in die Vorwärtsbewegung zulassen, was die Wichtigkeit Letzterer hervorhebt. Die
Strategien selbst repräsentieren gleichfalls nur grundlegende Ansätze zur Beschreibung,
was mit dem gegebenen Lokalisierungsverfahren angewandt auf das schwierige Problem,
dass sich weder Identität noch Orientierung eines Roboters von außen erkennen lassen,
in unbekannten, merkmalsarmen Umgebungen möglich ist (entsprechend oberflächlich
fiel die Beschäftigung mit Szenarien aus). Auch wurden Bewegungskonzepte untersucht,
die keinen Platz in dieser Arbeit gefunden haben, weil sich Probleme verschiedener Art
ergaben. Zum Beispiel lässt sich die pro Messung zurückgelegte Strecke von CIRCLE für
bestimmte Teamgrößen stark erhöhen, was aber dem geforderten Kriterium F2 entgegengestanden
hätte. Ausgefeiltere Konzepte wären natürlich trotzdem wünschenswert,
ebenso wie zusätzliche formale Analysen.
Weitere offene Probleme existieren; so wäre der Umgang mit einer fehlenden Vollständigkeit
der Kommunikation zu prüfen, obgleich die schrittweise Fortbewegung nicht
annehmen lässt, dass Roboter bei Nicht-Erhalt einzelner Nachrichten unwiderruflich
vom Kurs abkommen, weshalb synchronisierte Prozesse sicher Lösungsansätze liefern
würden. Dies liegt jedoch, wie auch andere Fragestellungen der Robotik, fernab des
Schwerpunkts der Betrachtungen und sei daher hier nicht genauer erarbeitet.
Alles in allem ist festzuhalten, dass hinreichend untermauert wurde, dass sich mit der
Lokalisierung anhand einzelner Kamerabilder kooperative Fortbewegung umsetzen lässt,
was das Hauptziel dieser Arbeit widerspiegelt. Das unterliegende Konzept günstiger
Bereiche, deren Spektrum an Möglichkeiten in anschaulicher Weise relativ umfassend
aufgezeigt wurde, hält dabei die These aufrecht, dass entsprechende Verfahren trotz der
nur ungenauen Bewegungs- und Lokalisierungsmöglichkeiten realer Roboter einsetzbar
sind. Viel mehr kann diesbezüglich von einem theoretischen Standpunkt im gegebenen
Rahmen nicht geleistet werden. Denn letztlich können nur Experimente Gewissheit darüber
bringen, ob sich die theoretischen Annahmen in der Praxis als haltbar erweisen.
Eine softwarebasierte Simulation kann hier zumindest ein erster Anknüpfpunkt sein:
„computer hardware is cheap enough that what cannot be performed with real robots
can now be done in simulation; though the robotics community still strongly encourages
validation of results on real robots“ (Panait & Luke 2005, S. 411).

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Anhang A
Software auf der beigefügten CD
Im Rahmen dieser Arbeit wurde ein plattformunabhängiges Software-Tool in Java implementiert,
mit dem sich Lokalisierungskarten (vgl. Kapitel 3.4) erstellen lassen. Diese
Software findet sich samt dokumentiertem Quellcode neben einer Dateiversion dieser
Arbeit auf der beigefügten CD-Rom, die im Einzelnen folgende Inhalte umfasst:
• Eine pdf-Version dieser Arbeit liegt auf oberster Ebene als WachsmuthDA.pdf vor.
• Die Software findet sich als ausführbare jar-Datei im Verzeichnis executable. Zusätzlich
sind dort betriebssystemabhängige Skripte, die das Programm mit Zugriff
auf 500 MB Arbeitsspeicher starten (Genaueres unten), wie auch die folgende Bedienungsanleitung
als HowTo.pdf vorhanden.
• Das Verzeichnis source enthält den Java-Quellcode der erstellten Software entsprechend
seiner Package-Struktur.
• Im Verzeichnis javadoc liegen schließlich Javadoc-Webseiten, die den Code der
Software dokumentieren. Die Startseite heißt index.html.
Eine Dokumentation der Architektur der entwickelten Software sei hier nicht von Interesse;
sie orientiert sich an bekannten Verfahren zur Trennung von Datenhaltung, Steuerungsmechanismen
und Benutzungsschnittstellen. Auch die unterliegenden Berechnungen
bleiben außen vor; zu ihnen sei aber angemerkt, dass sie weder Speicher- noch
Laufzeit-optimiert wurden, weil die Implementation nicht Kernaufgabe der Arbeit war.
Die grundlegende Bedienung des Programms wird aber im Folgenden beschrieben.
Bedienung der Software zum Erstellen von Lokalisierungskarten
Programmstart: Eine Java Runtime Environment 1.5 oder höher muss vorhanden
sein. Die Berechnung der Lokalisierungskarten erfordert vor allem für Kamerabilder
größerer Breite erhöhten Speicherplatz, um zu jeder möglichen Projektion eines Roboters
Daten über die resultierenden Koordinaten, deren Entfernung, Projektionswinkel
und Abweichungen zu sichern. Daher bietet es sich an, das Programm per Doppelklick
auf das passende Skript zu starten: start.command für Mac OS X, start.sh für Linux oder
start.bat für Windows. Jeweils werden 500 MB Speicher zur Verfügung gestellt, was zum

138
Abbildung A.1: Die Bedienungsoberfläche unter Mac OS X : Links oben findet sich eine mehrfach
genutzte Anzeige für geometrische Daten, darunter Eingabefelder für Parameter sowie
Buttons zum Aktualisieren und Zoomen der Karten. In der Mitte wird die erzeugte Lokalisierungskarte
angezeigt, rechts die zugehörigen Pixelbreiten der Projektionen.
Beispiel bei 1440 Pixel breiten Kamerabildern vollkommen ausreicht. Sollten wider Erwarten
Probleme auftreten, lässt sich die Software auch mit Übergabe von Argumenten
für die Virtual Machine wie folgt aus einer Konsole starten (hier für 500 MB):
java -jar -Xms500M -Xmx500M ./LocalizationMapBuilder.jar
Übersicht: Abbildung A.1 zeigt die Bedienungsoberfläche (im Folgenden GUI genannt)
der Software unter Mac OS X. Je nach Betriebssystem können geringe visuelle
Unterschiede bestehen. Die GUI enthält Anzeigebereiche für die Lokalisierungskarte
(Localization Map) und die zugehörigen Breiten der Projektionen (Projection Map). Letztere
werden beim Start des Programms nicht angezeigt; sie können bei Bedarf über das
Menü Display aktiviert werden, was die Berechnung und darauf aufbauende Darstellung
der Lokalisierungskarte allerdings verlangsamt. Erzeugte Karten können über das Menü
File als Bilddateien im png-Format exportiert werden.
Im linken Teil der GUI findet sich oben der Bereich Geometry, welcher je nach Kontext
eine schematische Darstellung der Abbildungsgeometrie oder Daten über eine Position
anzeigt (siehe unten). Darunter (in Parameters) können die relevanten Parameter
eingegeben werden und der Bereich Control beinhaltet neben dem Button Update zum
Aktualisieren der Lokalisierungskarte entsprechend der Parameter zwei Buttons + und –
zum Vergrößern bzw. Verkleinern der angezeigten Kartenausschnitte. Diese Funktionen
lassen sich auch über das Menü Edit und dort ersichtliche Tastenkürzel auslösen.

A Software auf der beigefügten CD 139
Abbildung A.2: (links) Die Parametereingabe wird durch blaue Einfärbung im Bereich Geometry
visuell unterstützt. (rechts) Befindet sich der Mauszeiger über der Lokalisierungskarte,
zeigt Geometry die entsprechende Position, ihre Entfernung und mögliche Abweichungen an.
Erzeugen einer Karte: Im Bereich Parameters muss zuerst die Anzahl horizontaler
Pixel des Kamerabildes, die Breite des Bildsensors, die Brennweite sowie der Radius des
Roboters eingegeben werden, sofern nicht die Vorgabewerte verwendet werden sollen.
Zur visuellen Unterstützung wird dabei der betreffende Teil des Projektionsschemas
innerhalb von Geometry blau eingefärbt, wie Abbildung A.2 (links) für die Anzahl horizontaler
Pixel veranschaulicht. Über die Eingabefelder Max. ∆d of a good pose in m
und Min. ∆d of a bad pose in m lässt sich außerdem beeinflussen, bis zu welchem ∆d
eine Position in reinem Grün und ab welchem ∆d sie in reinem Rot dargestellt wird.
Drücken von Update führt dann zur Berechnung und anschließenden Anzeige der Lokalisierungskarte.
Dieser Vorgang benötigt aufgrund umfangreicher Berechnungen oder der
Ausführung der Zeichenmethode eine gewisse Dauer; für 720 Pixel breite Kamerabilder
müssen beispielsweise die vermutete Position samt Entfernung und Projektionswinkel
sowie mögliche Abweichungen für mehr als 250.000 in Frage kommende Projektionen
(gegeben durch verschiedene Größen und horizontale Lagen) gezeichnet werden. Das
verwendete Testsystem mit 2.4 GHz Intel Core 2 Duo benötigte dafür knapp sieben
Sekunden bei einem Kartenausschnitt von 8 m in y-Richtung.
Anzeigeoptionen: Über + und – lässt sich der anzuzeigende Ausschnitt der Lokalisierungskarte
anpassen. Da dies eine Neuzeichnung der Karte erfordert, spart es Zeit,
die alte Anzeige zu löschen, um dann die gewünschte Zoom-Stufe einzustellen und erst
zum Schluss wieder Update zu betätigen. Die Reset-Funktion der Lokalisierungskarte
wird über den Menüpunkt Reset Map in Edit oder per Tastenkürzel [CTRL]+[R] (bzw.
[CMD]+[R] unter Mac OS X ) ausgeführt.
Zusätzlich zur farblichen Codierung werden bei Überfahren einer Position mit dem
Mauszeiger im Bereich Geometry mittig deren Koordinaten Msupp sowie direkt darunter
deren Entfernung dsupp und der Winkel ϕ ′ supp ausgegeben, wie Abbildung A.2 (rechts)
exemplarisch zeigt. Ebenso lassen sich dort die maximalen Abweichungen zu Mmax,
Mmin, Mleft und Mright ersehen (vgl. Kapitel 3).

Anhang B
Eidesstattliche Erklärung
Paderborn, den 16. Januar 2009
Ich versichere, dass ich die vorliegende Arbeit selbständig und ohne unerlaubte fremde
Hilfe sowie ohne Verwendung anderer als der im Literaturverzeichnis angegebenen
Quellen angefertigt habe. Alle Ausführungen, die wörtlich oder sinngemäß übernommen
wurden, sind als solche gekennzeichnet.
Der Inhalt der Arbeit hat nach meinem bestem Wissen in gleicher oder ähnlicher Form
noch keiner anderen Prüfungsbehörde vorgelegen.
Henning Wachsmuth