Kooperative Bewegungsstrategien für Roboter in unbekannten ...

3 Relative Lokalisierung von Robotern aus Kamerabildern 49
cot(α)
-
cot(α )
min
-
cot(α )
supp
-
cot(α )
max
α
12
8
4
-4
-8
-12
cot(x)
25 50 75 100 125 150 175
cot'(x) = -
___1___
sin 2(x)
cot''(x) = 2•cos(x)
sin 3(x)
Abbildung 3.9: (links) Bei gleichem Abstand der Cotangens-Werte ist der Unterschied zwischen
αmin und αsupp im Bereich von 0 ◦ und 90 ◦ kleiner als der zwischen αsupp und αmax.
(rechts) Der Cotangens im Bereich von 0 ◦ bis 180 ◦ sowie dessen erste und zweite Ableitung.
jektion c auf jeder Seite um einen halben Pixel abweichen. Die Breite von cmax entspricht
folglich der minimal möglichen Breite von c, umgekehrt hat cmin die maximal mögliche
Breite von c (vgl. Abbildung 3.8).
Aus Lemma 3.2 folgt, dass αmax + βmax die für eine Projektion maximal mögliche
Einfallswinkelsumme ist, αmin + βmin hingegen die minimal mögliche. Für alle bei einer
gegebenen Projektion möglichen Einfallswinkelsummen σ gilt also:
αmin + βmin ≤ σ ≤ αmax + βmax
Zu zeigen bleibt daher, dass der Unterschied zwischen αmax + βmax und αsupp + βsupp
größer ist als der zwischen αmin+βmin und αsupp+βsupp. Es wird sich herausstellen, dass
dies auch für die Verhältnisse der einzelnen Winkel gilt, dass also etwa der Unterschied
zwischen αmin und αsupp kleiner als der zwischen αsupp und αmax ist. Aus Gründen
mathematischer Einfachheit wird der Beweis über den Cotangens der Winkel geführt.
Seien zu Beginn nur die Winkel α − min , α− supp und α− max für negative Werte von xA
betrachtet. Zu beachten ist, dass der größtmögliche solche Wert xA = − p
2 ist, da xA
einen Pixelmittelpunkt repräsentiert, und dass bei negativen Werten von xA für die
Winkel 0◦ < α − min < α− supp < α− max < 90◦ gilt, für die sich folgende Werte ergeben:
cot(α − min ) = |xA − p
f
2 |
, cot(α − supp) = |xA|
f , cot(α− max) = |xA + p
f
Offensichtlich ist der Abstand zwischen den Werten gleich (vgl. Abbildung 3.9 links),
es ist also cot(α− max) − cot(α− supp) = cot(α− supp) − cot(α − min ). Die Funktion cot(x) ist abschnittsweise
streng monoton fallend mit der Ableitung cot ′ (x) = − 1
sin2 , entsprechend
(x)
gilt cot(α − min ) > cot(α− supp) > cot(α − max). Abbildung 3.9 (rechts) zeigt den Cotangens
samt seiner ersten und zweiten Ableitung. Die Steigung von cot ′ (x) nimmt nun aber
im gegebenen Bereich streng monoton zu, denn cot ′′ (x) = 2·cos(x)
sin 3 (x) ist für alle Winkel
zwischen 0 ◦ und 90 ◦ größer als 0. Das bedeutet, der Bereich des Cotangens zwischen
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