Effizientes Model-Checking für CTL - Institut für Theoretische ...

2.5 Komplexitätstheorie
2 Theoretische Grundlagen
Da der Verifikationsschritt beim Model-Checking größtenteils automatisch verläuft, ist
die Frage der Berechnungskomplexität dieses Entscheidungsproblems hoch interessant.
Die Komplexität von Model-Checking für diverse temporale Logiken wurde in [CES86],
[Sch02], [EL87] untersucht. Das Model-Checking ist für CTL* PSPACE-vollständig und
für CTL P-vollständig. Theoretische Hintergründe dafür werden in diesem Abschnitt
einbezogen.
Die Komplexitätsklasse P (PTIME), die Klasse der Probleme mit effizienten Algorithmen,
wird oft als die Klasse der ” effizient lösbaren“ Probleme bezeichnet. Sie besteht
aus allen Sprachen L, die einen Polynomialzeit-Entscheidungsalgorithmus haben. Ein
Problem A heißt P-vollständig, falls A ∈ P und jedes andere Problem in P auf A reduzierbar
ist. P-vollständige Probleme werden manchmal als inhärent sequentiell (inherently
sequential) bezeichnet, da sie (wenn P ≠ NC) keine NC-Algorithmen haben.
NC-Algorithmen laufen polylogarithmisch (in O(log c n), c konstant) an einem Parallelcomputer
mit einer polynomiellen Anzahl von Prozessoren. Die Komplexitätsklasse
NC beinhaltet die parallel effizient lösbaren Entscheidungsprobleme. Daher lassen sich
P-vollständige Probleme nicht parallelisieren (wenn P ≠ NC).
Es gibt einen NC-Algorithmus zum Parsen von kontextfreien Sprachen (CFL), d. h.
CFL ⊆ NC. Deswegen ist die Klasse LOGCFL bei der Untersuchung der Komplexität des
Model-Checkings für CTL von großem Interesse. Diese Klasse enthält alle mit logarithmischem
Speicheraufwand auf CFL reduzierbaren Probleme. Daher gilt LOGCFL⊆NC.
Andererseits können Sprachen in LOGCFL von nichtdeterministischen Turing Maschinen
in Polynomialzeit entschieden werden, die ein Arbeitsband logarithmischer Größe
und zusätzlich einen Stack unendlicher Größe haben (siehe [BMT + ]). Diese Eigenschaft
von LOGCFL wird bei der Analyse der Komplexität vom Model-Checking-Problem für
CTL erzielt.
Im Rahmen dieser Arbeit werden aber nur die Algorithmen aus P ausgearbeitet.
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