Effizientes Model-Checking für CTL - Institut für Theoretische ...

3 Model-Checking für CTL
1. φ ∈ AP: φ wird akzeptiert, falls φ ∈ label(w).
In diesem Fall wird keine Markierung vorgenommen, da label(w) mit η(w) initialisiert
wird;
2. φ = ¬γ: markiert werden die Zustände, die mit γ nicht markiert sind.
∀v ∈ W, γ ∉ label(v): label(v) = label(v) ∪ φ.
3. φ = γ ∨ λ: betroffen sind diejenigen Zustände, die mit γ oder mit λ markiert sind.
∀v, u ∈ W, γ ∈ label(v), λ ∈ label(u): label(v) = label(v)∪φ, label(u) = label(u)∪φ.
4. φ = EXγ: markiert werden direkte Vorfahren der mit γ markierten Zustände.
∀v, u ∈ W, γ ∈ label(v), (u, v) ∈ R: label(u) = label(u) ∪ φ
5. φ = E(γUλ): markiert werden die Zustände, von denen aus ein Pfad existiert,
der aus den mit γ markierten Zuständen besteht und mit dem mit λ markierten
Zustand endet. Die Pfade werden rückwärts von den mit λ markierten Zuständen
konstruiert. Dieser Fall wird in Algorithmus 1 behandelt.
Algorithmus 1 Procedure CheckEU K, w0 ⊧ ϕ
Eingabe: eine Kripke-Struktur K = (W, R, η), w0 ∈ W , ϕ = E(αUβ)
1: T ← {s ∣ β ∈ label(s)}
2: for all s ∈ T do
3: label(s) ← label(s) ∪ {E(αUβ)}
4: end for
5: while T is not empty do
6: choose s ∈ T
7: T ← T /{s}
8: for all t such that (t, s) ∈ R do
9: if ϕ ∉ label(t) and α ∈ label(t) then
10: label(t) ← label(t) ∪ {E(αUβ)}
11: T ← T ∪ {t}
12: end if
13: end for
14: end while
6. φ = EGγ: hier werden diejenigen Zustände markiert, von denen aus ein Pfad
existiert, entlang dessen nur die mit γ markierten Zustände vorkommen. Um solche
Pfade zu finden, wird aus der Kripke-Struktur eine reduzierte Kripke-Struktur
K ′ = (W ′ , R ′ , η ′ ) konstruiert, in die nur die mit γ markierten Zustände aus W und
zugehörige Relationen aufgenommen werden. Formal: W ′ = {w ∈ W, γ ∈ label(w)},
R ′ = R∣W ′ ×W ′ und η′ = η∣W ′. K′ wird mit Hilfe des Algorithmus von Tarjan
[AHU74] in nicht triviale Zusammenhangskomponenten zerlegt. Eine Zusammenhangskomponente
(strong connected component) C ist ein maximaler Teilgraph,
in dem jeder Knoten in C von jedem anderen Knoten aus C über einen gerichteten
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