Effizientes Model-Checking für CTL - Institut für Theoretische ...

3 Model-Checking für CTL
Definition 3.1.2 (Model-Checking-Problem) Sei L ∈ {CTL, CTLpos }.
Problem: L-MC(T)
Eingabe: ⟨K, w, ϕ⟩, wobei für die einzelnen Komponenten gilt:
K = (W, R, η) ist eine Kripke-Struktur,
w ∈ W ist ein Zustand,
ϕ ist eine L(T)-Formel.
Frage: Erfüllt K im Zustand w die Formel ϕ, also K, w ⊧ ϕ?
Definition 3.1.3 (Semantik) Seien K, w wie in der Definition 3.1.2 und x = (x1,
x2, ...) ∈ W ω ein Pfad. Ferner seien ϕ, ψ Zustand- und χ, π Pfad-Formeln. Die Evaluierung
einer Formel zu wahr wird folgendermaßen induktiv definiert.
K, w ⊧ ⊺ immer,
K, w ⊧ nie,
K, w ⊧ p falls p ∈ AP und p ∈ η(w),
K, w ⊧ ¬ϕ falls K, w ⊧/ ϕ,
K, w ⊧ (ϕ ∧ ψ) falls K, w ⊧ ϕ und K, w ⊧ ψ,
K, w ⊧ (ϕ ∨ ψ) falls K, w ⊧ ϕ oder K, w ⊧ ψ,
K, w ⊧ Aχ falls K, x ⊧ χ ∀x = (x1, x2, ...) mit x1 = w,
K, w ⊧ χ falls K, x1 ⊧ χ,
K, w ⊧ Xχ falls K, x2 ⊧ χ,
K, w ⊧ [χUπ] falls ∃k ∈ IN, so dass K, xk ⊧ π und K, xi ⊧ χ∀1 ≤ i < k.
Die Erfüllbarkeit der Formeln, in denen die übrigen CTL-Operatoren verwendet werden,
kann mittels der in Tabelle 2.3 aufgelisteten Umwandlungsregeln überprüft werden.
Außerdem sagt man, eine Zustand-Formel ϕ wird von einer Kripke-Struktur K erfüllt,
wenn es einen Zustand w ∈ W gibt, so dass K, w ⊧ ϕ. Und analog, eine Pfad-Formel χ
wird von einer Kripke-Struktur K erfüllt, wenn es einen Pfad x = (x1, x2, ...) gibt, so
dass K, x ⊧ χ. Geschrieben:
• K ⊧ ϕ ⇐⇒ ∃w ∈ W ∶ K, w ⊧ ϕ
• K ⊧ χ ⇐⇒ ∃x = (x1, x2, ...) ∶ K, x ⊧ χ
3.2 Komplexität des Model-Checking-Problems für CTL
Im Allgemeinen gilt Model-Checking für CTL als P-vollständig. Obwohl es in Polynomialzeit
lösbar ist, lässt das Problem sich nicht parallelisieren (falls P ≠ NC). Daher werden
Fragmente von CTL betrachtet, um leichtere Teilprobleme zu finden, die effizienter zu
lösen sind.
Die in [BMT + ], [BMT + 09] erhaltenen Resultate können folgendermaßen zusammengefasst
werden.
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