Effizientes Model-Checking für CTL - Institut für Theoretische ...

3 Model-Checking für CTL
Abschnitt wird aber ein in Exponentialzeit arbeitender Algorithmus CTLpos-MC(T ) vorgestellt,
der dem in Abschnitt 3.3.1 aufgeführten Algorithmus CTL-MC(T ) in Bezug auf
ihre Effizienz weiter unten gegenübergestellt wird.
Satz 3.3.2 Sei T eine Menge von CTL-Operatoren, so dass alle Operatoren in T existenziell
oder alle Operatoren in T universal sind. Dann ist CTLpos-MC(T) ∈ P.
Als Erstes wird der Fall betrachtet, dass in T nur existenzielle Operatoren erhältlich
sind. O. B. d. A. sei T ∈ {EX, EG, EU, ER}. Es wird behauptet, dass Algorithmus 3
entscheidet, ob die Kripke-Struktur K = (W, R, η) die CTLpos(T )-Formel ϕ im Zustand
w0 ∈ W erfüllt. S sei ein Stack zum Speichern von Paaren (ϕ, w) ∈ CTLpos(T ) × W .
Jede Formel wird ähnlich wie im CTL-MC(ALL)-Algorithmus abgearbeitet. Sie wird
je nach dem verwendeten Operator in die Teilformeln zerlegt und entsprechend behandelt.
Ein deutlicher Unterschied liegt in dem Fall vor, wenn eine Pfad-Formel überprüft
werden muss, z. B. ϕ = EGα oder ϕ = E(αUβ). Hier muss ein Pfad aus allen möglichen
aus dem betrachteten Zustand ausgehenden Pfaden nichtdeterministisch gefunden werden.
α wird dann in jedem Zustand entlang dieses Pfades geprüft. Im CTL-MC(ALL)-
Algorithmus werden für solche Formeln erst die Zustände gefunden, in denen α erfüllt
wird. Danach werden aus diesen Zuständen starke Zusammenhangskomponenten und
aus diesen Ergebnispfade konstruiert.
Die Konstruktion des Algorithmus macht die oben erwähnte Eigenschaft der LOGCFL-
Sprachen erkennbar. Der Algorithmus lässt sich mit einer Turing Maschine mit einem
Stack und einem Arbeitsband logarithmischer Größe entscheiden. Wenn der Algorithmus
in Polynomialzeit arbeiten würde, dann könnte man das Problem
CTLpos-MC(EX, EG, EU, ER) zu LOGCFL-Sprachen einordnen. Das ist aber für den
Fall ϕ = EGα oder ϕ = E(αUβ) unmöglich. Das Problem liegt für die Formeln vor, die
nach dem folgenden Schema geschachtelt sind. Sei ϕ = EGα0, wobei α0 eine Formel ist,
die als Teilformel EGα1 enthält usw. Z. B. ϕ = EG(x0∨EG(x1∧EG(x2...))). Für jede
Teilformel αi,i=0,... wird ein neuer Pfad geraten und jeweils |W|-mal auf den Stack gelegt.
Analog gilt dies auch für die EU-Formeln. Dies führt zum exponentiellen Bedarf in der
Stackgröße. Der Algorithmus benötigt exponentielle und nicht mehr polynomielle Zeit,
wie es bei LOGCFL gefordert wird. ER-Formeln stellen eine Kombination von EG- und
EU-Formeln dar. EX-Formeln können polynomiell mit der Turing Maschine abgearbeitet
werden. Die übrigen Formeln repräsentieren Trivialfälle. Für die EG-, EU-Formeln
besitzt der Algorithmus folgende Komplexität. Um alle Pfade abzuarbeiten, braucht
man O(2 n ) Zeit. Bei geschickter Implementierung mit dem direkten Zugriff auf Teilformeln
im Stack ergibt sich O(2 log(n) ) = O(n O(1) ) Bedarf. Folglich ist der Algorithmus für
CTLpos-MC(EX, EG, EU, ER) theoretisch polynomiell.
Die Tatsache, dass der Algorithmus immer terminiert, folgt daraus, dass jede Teilformel
von ϕ nicht mehr als |W |-mal im Stack S gespeichert wird. Außerdem zeigt die
Induktivität der Struktur von Formeln, dass der Algorithmus genau dann false zurückgibt,
wenn für alle aus dem Stack S geladenen Paare (φ, w) K, w ⊭ φ gilt. Folglich
terminiert der Algorithmus mit true, genau dann wenn K, w ⊧ ϕ.
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