Effizientes Model-Checking für CTL - Institut für Theoretische ...

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2 Theoretische Grundlagen Definition 2.2.1 (Kripke-Struktur) Sei AP eine Menge der atomaren Aussagen (atomic propositions). Eine Kripke-Struktur K über AP ist ein 4-Tupel K = (W, W0, R, η), wobei 1. W eine endliche Menge der Zustände ist; 2. W0 ⊆ W die Menge der Start-Zustände ist; 3. R ⊆ W × W eine totale Transitionsrelation ist, d. h. für jeden Zustand w ∈ W gibt es einen Zustand w’ ∈ W mit (w, w’) ∈ R; 4. η ∶ W → P(AP ) eine Beschriftungsfunktion (labelling function) ist, die jedem Zustand die Menge der atomaren Aussagen zuordnet, die in diesem Zustand erfüllt sind. Bemerkung: • Manchmal wird die Menge der Start-Zustände nicht explizit angegeben. In diesen Fällen wird W0 aus der Definition ausgelassen. • Üblicherweise wird die Menge der atomaren Aussagen AP im Hinblick auf die gewünschte Spezifikation konstruiert. (vgl. [Sch]) In Abschnitt 2.4 ist ein Beispiel zu finden, wie sich ein System als eine Kripke-Struktur gestalten lässt. 2.3 CTL als eine von temporalen Logiken Temporale Logik wurde als eine Erweiterung der Aussagenlogik mit dem Ziel definiert, zeitliche Änderungen beschreiben zu können. Die Zeit wird hier als Folge (oder später als Pfad) von Zuständen betrachtet. In diversen Zuständen können Aussagen verschiedene Wahrheitswerte annehmen. Temporale Logik ermöglicht es, für eine logische Aussage ϕ solche Beziehungen zu modellieren, wie z. B. ” ϕ gilt immer“, ” ϕ wird nie wahr“, ” ϕ wird zum nächsten Zeitpunkt gelten“ usw. Dies erfolgt mittels der sogenannten temporalen Operatoren. Um auszudrücken, dass eine Eigenschaft des Systems gelten muss bzw. kann, werden die Pfad-Quantoren A bzw. E verwendet. Temporale Operatoren und Pfad-Quantoren sind in den Tabellen 2.1 und 2.2 aufgelistet und erläutert. Temporale Logik wurde im Jahr 1977 in der Arbeit von A. Pnueli ” The Temporal Logic of Programs“ als eine Formalisierungssprache für Spezifikation und Verifikation von vergleichbaren Programmen zum ersten Mal vorgestellt und hat sich als eine Spezifikationsmethode zur Erfassung von Systemanforderungen beim Model-Checking etabliert. 5
2 Theoretische Grundlagen Operator Syntax Bedeutung Semantik Beispielpfad F F ϕ ” in the future“ oder ” eventually“ ϕ gilt irgendwann auf dem nachfolgenden Pfad G G ϕ X X ϕ U ϕ U ψ R ϕ R ψ ” globally“ oder ” always“ ϕ gilt in jedem Zustand auf dem Pfad ” next time“ ϕ gilt im nächsten Zustand ” until“ ϕ gilt in jedem Zustand, bis der Zustand erreicht wird, in dem ψ wahr ist ” release“ ψ gilt bis zu einem Zustand, in dem ϕ gilt oder für immer, wenn ϕ immer falsch ist Tabelle 2.1: Temporale Operatoren. ϕ, ψ sind temporal-logische Formeln Quantor Syntax Name Semantik A A ϕ Allquantor Für alle Pfade gilt ϕ E E ϕ Existenzquantor Es existiert ein Pfad, für den ϕ gilt Tabelle 2.2: Pfad-Quantoren In Abhängigkeit von verwendeten Operatoren und von deren Semantik werden folgende Klassen von temporalen Logiken unterschieden: LTL: Linear Temporal Logic betrachtet die Zeit als eine lineare Abfolge von Zeitpunkten bzw. Zuständen CTL: Computational Tree Logic charakterisiert die Zeit als ein verzweigender Ablauf von Zuständen CTL*: Extended Computation Tree Logic. CTL* ⊃ LTL ∪ CTL. Ausdruckskraft von CTL*, CTL und LTL ist nicht vergleichbar, da sich nicht jede in einer Logik formulierte 6
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