FLUID MECHANIK

Inhalt 

HTI Biel - Mikrotechnik 

FLUID 

MECHANIK 

1. Physikalische Eigenschaften der Fluide 

2. Fluid-Druck 

3. Reelle Flüssigkeiten 

4. Bewegte Flüssigkeitsoberflächen 

5. Strömungslehre 

6. Umlenkung einer Strömung 

Literatur 

H. SIGLOCH / Technische Fluidmechanik / Schoedel Hannover 1980 

HERING, MARTIN, STOHER / Physik für Ingenieure / VDI Düsseldorf 1989 

HEYWANG, TREIBER, HERBERG / Physik / Handwerk und Technik Hamburg 1992 

H. LINDER / Physikalische Aufgaben / Vieweg 1991 

© C. Meier / L. Müller, Dozenten für Physik BFH / HTI Biel [V 3.0]

HTI Biel - Mikrotechnik Fluidmechanik - 2 / 34 

Inhaltsverzeichnis 

1. Physikalische Eigenschaften der Fluide ............................................. 4 

1.1. Reelle Flüssigkeiten ......................................................... 4 

1.2. Reelle Gase................................................................ 4 

1.3. Ideale Flüssigkeiten und Gase ................................................. 4 

2. Fluid - Druck .................................................................. 5 

2.1. Definition ................................................................. 5 

2.2. Die zwei Ursachen des absoluten Drucks ........................................ 5 

2.2.1. Pressdruck ........................................................... 5 

2.2.2. Schweredruck......................................................... 6 

2.3. Druckmessung ............................................................. 7 

2.4. Druckeinheiten ............................................................. 7 

2.5. Relativer und absoluter Druck ................................................. 8 

2.6. Vakuumtechnik ............................................................ 8 

2.7. Fluidkräfte auf Wandungen ................................................... 9 

2.7.1. Bodendruckkraft ...................................................... 9 

2.7.2. Seitendruckkraft....................................................... 9 

2.7.3. Senkrechte, rechteckige, ebene Seitenwand . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 

2.7.4. Gekrümmte Seitenwand................................................ 11 

2.8. Auftriebsgesetz............................................................ 11 

2.8.1. Ursache der Auftriebskraft.............................................. 11 

2.8.2. In ein Fluid eingetauchter fester Körper . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 

2.8.3. Schwimmender Körper ................................................ 12 

3. Reelle Flüssigkeiten ............................................................ 14 

3.1. Kompressibilität einer Flüssigkeit ............................................. 14 

3.2. Viskosität einer Flüssigkeit .................................................. 14 

3.2.1. Newtonsche Flüssigkeit ................................................ 14 

3.2.2. Verhalten von Schmierölen ............................................. 15 

3.3. Grenzflächeneffekt ......................................................... 15 

3.3.1. Teilchenkräfte ....................................................... 15 

3.3.2. Oberflächenspannung ................................................. 16 

3.3.3. Flüssigkeitsmembran .................................................. 16 

3.3.4. Flüssigkeit in Berührung mit einem festen Körper . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 

4. Bewegte Flüssigkeitsoberflächen ................................................. 19 

4.1. Flüssigkeit in Ruhe oder konstanter Translationsbewegung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 

4.2. Flüssigkeit in konstant beschleunigter Translationsbewegung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 

4.3. Flüssigkeit in konstanter Rotationsbewegung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 

5. Strömungslehre ............................................................... 21 

5.1. Grundbegriffe einer Strömung ................................................ 21 

5.2. Geschwindigkeitsverteilung in einem kreisförmigen Strömungsquerschnitt . . . . . . . . . . . . . 21 

5.3. Durchflussgleichungen...................................................... 22 

5.3.1. Massen- und Volumenstrom ............................................ 22 

5.3.2. Kontinuitätsgleichung ................................................. 22 

5.4. Energiegleichung (Bernoulli) ................................................ 23 



5.5. Anwendungen der Bernoulligleichung.......................................... 24 

5.5.1. Düse ............................................................... 24 

5.5.2. Diffusor ............................................................ 24 

5.6. Viskose Strömungen ....................................................... 25 

5.6.1. Strömungsarten ...................................................... 25 

5.6.2. Reynolds Zahl ....................................................... 25 

5.6.3. Widerstand umströmter Körper ......................................... 26 

5.7. Rohrhydraulik............................................................. 27 

5.7.1. Reynold-Zahl für Rohrhydraulik ......................................... 27 

5.7.2. Geschwindigkeitsverteilung............................................. 27 

5.8. Verluste in der Rohrströmung ................................................ 28 

5.8.1. Gleichung von Bernoulli mit Verlusten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 

5.8.2. Rohrverluste der laminaren Strömung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 

5.8.3. Rohrverluste der turbulenten Strömung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 

5.8.4. Rohrverluste in einem Strömungselement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 

5.8.5. Gesamte Strömungsverluste im Rohrsystem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 

5.9. Energieaufnahme und -abgabe in einem Strömungssystem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 

6. Strömungskräfte .............................................................. 31 

6.1. Impulssatz................................................................ 31 

6.2. Schubkraft im Strömungselement ............................................. 32 

6.3. Kräfte am Tragflügel ....................................................... 32 

7. Anhang ...................................................................... 33 

7.1. Widerstandsziffern umströmter Körper ......................................... 33 

7.2. Moodydiagramm .......................................................... 34 



1. Physikalische Eigenschaften der Fluide 

Die Fluidmechanik ist die mechanische Anwendung, die sich mit dem Verhalten von ruhenden und 

bewegten Flüssigkeiten, Gasen oder Dämpfen beschäftigt. 

1.1. Reelle Flüssigkeiten 

Flüssigkeiten sind Substanzen, die fliessen können. Sie weisen folgende wichtige physikalische Eigenschaften 

auf: 

- Eine Flüssigkeit hat keine eigene Form. In Ruhe nimmt sie die Gestalt des Gefässes an. 

- Im Zustand der Ruhe liegt die ganze freie Oberfläche einer Flüssigkeit in der gleichen waagrechten 

Ebene. Es entsteht eine Strömung, sobald ein Teil der freien Oberfläche höher oder tiefer als die 

übrige Oberfläche liegt (p = konstant). 

- Die Flüssigkeiten haben ein eigenes Volumen. Sie sind aber sehr wenig zusammendrückbar. 

- In Strömungen bewegen sich die Moleküle relativ zueinander und überwinden dabei eine bestimmte 

Reibkraft, die Zähigkeit oder Viskosität. 

- Die molekularen Kohäsionskräfte sind in den Flüssigkeiten viel kleiner als bei den festen Körper. 

Trotz ihrer geringen Wirkung sind sie sichtbar wie z. B. die Oberflächenspannung (Tropfenbildung, 

Kapillarität). 

- Flüssigkeiten sieden, wenn der äussere Druck kleiner als ihr Dampfdruck wird. 

- In einem offenen Gefäss verdunsten die Flüssigkeiten. 

1.2. Reelle Gase 

Gase weisen folgende wichtige physikalische Eigenschaften auf: 

- Die Gase haben keine eigene Form und kein eigenes Volumen. Sie sind bestrebt, sich überall in 

jedem nicht dicht abgeschlossenen Raum auszubreiten. Das Gasvolumen ist auch viel grösser als das 

Eigenvolumen der Gasmoleküle. 

- Die Gase sind in weiten Grenzen zusammendrückbar. 

- Die molekularen Kohäsionskräfte sind nicht mehr vorhanden. Die Moleküle bewegen sich frei und 

ganz unregelmässig. Ihre mittlere Geschwindigkeit nimmt mit der Temperatur zu. 

- Die Zähigkeit ist sehr klein. 

- Liegt die Gastemperatur unter der kritischen Temperatur, so kann ein Gas mit genügend hohem 

Druck verflüssigt werden. 

- Der Energieaustausch ist nur über die Zusammentösse der Moleküle möglich. 

1.3. Ideale Flüssigkeiten und Gase 

Die Hydro- und Aerostatik betrachtet vorwiegend ideale Flüssigkeiten und ideale Gase mit den folgenden 

Eigenschaften: 

Ideale Flüssigkeiten: Ideale Gase: 

- Keine Zähigkeit (Viskosität) - Keine Zähigkeit (Viskosität) 

- Keine Oberflächenspannung - Keine Verflüssigung 

- Keine Zusammendrückbarkeit - Keine molekularen Kohäsionskräfte 



2. Fluid - Druck 

2.1. Definition 

Der absolute Druck (auch Druck genannt) kennzeichnet den in einer ruhenden 

idealen Flüssigkeit oder Gas herrschenden mechanischen Spannungszustand. Die 

Druckerscheinung kann daraus erklärt werden, dass die sich berührenden Moleküle 

kleine Kräfte aufeinander ausüben. 

Der an einem bestimmten Ort (x,y,z) einer ruhenden Flüssigkeit oder Gas herschenden 

Druck p wird definiert durch: 

In idealen Fluiden (ohne Viskosität) bestehen keine Schubkräfte. Der Kraftvektor 

liegt parallel zum Flächenvektor . Die erzeugten Kräfte bei 

diesen idealen Bedingungen sind unabhängig von der Richtung der Fläche, auf 

die sie wirken. Der Druck wird dadurch zu einer richtungsunabhängigen 

Grösse, einem Skalar. 

p: Druck [N/m ] 

2 

dF: Kraft auf die Fläche dA [N] 

dA: Flächenelement [m ] 

2 

2.2. Die zwei Ursachen des absoluten Drucks 

Für die Entstehung des Druckes in einem ruhenden Fluid lassen sich zwei Ursachen unterscheiden: 

2.2.1. Pressdruck 

Wird bei der Vernachlässigung der Erdanziehung ein Druck auf ein Gas oder eine Flüssigkeit ausgeübt, 

so breitet sich dieser Spannungszustand im ganzen Fluidkörper unverändert aus. 

Der Druck von der Fläche A 1 auf das Fluid breitet sich aus und 

erscheint mit gleicher Grösse auf der Fläche A . 

F i: 

Kraft auf den Kolben [N] 

A : Kolbenfläche [m ] 

2 

i 

2 

Die Druckverteilung in einem Gefäss mit Gas verhält sich immer nur wie ein Pressdruck. Das Eigengewicht 

der Gasmasse ist vernachlässigbar. 



2.2.2. Schweredruck 

Das Eigengewicht, der über einem Flächenelement lastenden Flüssigkeits- oder Gassäule, verursacht den 

Schweredruck. Wegen der kleinen Dichte wird der Schweredruck für Gase nur bei sehr grossen Höhendifferenzen 

(Atmosphäre) berücksichtigt. 

2.2.2.1. Hydrostatischer Druck 

Gegeben ist eine inkompressible Flüssigkeit in Ruhe. Die Druckänderung in der Flüssigkeit zwischen den 

Punkten A und B ist durch den hydrostatischen Druck gegeben: 

�______________________________________________ 

________________________________________________ 

________________________________________________ 

p: Druck [N/m ] 

2 

�: Wichte [N/m ] 

3 

z: Höhe [m] 

h: Höhenunterschied [m] 

Der Druck in einer Flüssigkeit ist unabhängig von der Form des Gefässes und ist konstant in einer ebenen 

horizontalen Fläche. 

2.2.2.2. Atmosphärischer Druck b: 

Der Atmosphärendruck ist die Ursache des Eigengewichtes der Luftschichten. Weil die Gase zusammendrückbar 

sind, variiert der atmosphärische Druck b nicht linear in Funktion der Höhe h. Der Druck 

im Gas ist zudem auch von der Temperatur abhängig. Folglich ist der atmosphärische Druck eine 

Funktion der Höhe h und der Temperatur. 

Barometrische Höhenformel 

Änderung des atmosphärischen Drucks in Funktion der Höhe h, unter 

der Berücksichtigung einer Temperaturabnahme von 6.5°C pro 1000 

m Höhendifferenz. 

Bereich: h < 11 000 m 

� = 15�C 

b(h): Atmosphärendruck auf der Höhe h [N/m ] 

2 

h: Höhe über Meeresniveau [m] 

b : Mittlerer Atmosphärendruck auf Meereshöhe = 1.013�10 N/m 

0 

0 

5 2 



2.3. Druckmessung 

Messinstrumente für die Druckmessung werden Manometer genannt. Einfache 

Flüssigkeitsmanometer bestehen aus einem U-Rohr und enthalten eine oder 

mehrere Flüssigkeiten mit bekannten Dichten. Das eine Ende des Rohres wird an 

das Gefäss angeschlossen, dessen Innendruck gemessen werden soll. Der Höhenunterschied 

der Flüssigkeitssäulen ist proportional zum Druck. Form und Durchmesser 

beeinflussen die Messung nicht. 

Nach dem gleichen Prinzip (Torricelli Rohr) wird der Atmosphärendruck b 

gemessen. 

Einfache Flüssigkeitsmanometer mit einem U-Rohr: 

Eine Flüssigkeit Mehrere Flüssigkeiten Quecksilberbarometer 

�__________________ _______________________ ___________________ 

____________________ _______________________ ___________________ 

2.4. Druckeinheiten 

Einheitensystem Druckeinheiten 

2 

S.I.- System 1 N/m = 1 Pascal [Pa] 

2 

Technisches System 1 kp/cm = 1 technische Atmosphäre [at] 

2 

CGS - System 1 dyn/cm = 1 �bar 

Andere Einheiten 1 atm = 1 physikalische Atmosphäre = mittlerer Druck 

auf der Meereshöhe 

1 mmWS = Druck von einem Millimeter Wassersäule 

1 mmHg = Druck von einem Millimeter Quecksilbersäule 

1 Torr = 1 mmHg 

1 psi = pound per square inch 



2.5. Relativer und absoluter Druck 

Ein Manometer oder Druckmesser misst im Allgemeinen die Druckdifferenz 

zwischen zwei Flüssigkeits- oder Gasräumen. Diese 

Druckdifferenz wird oft Unterschiedsdruck genannt. Wenn in einem 

der beiden Räume das Vakuum herrscht, ist die gemessene Druckdifferenz 

gleich dem im flüssigkeits- oder gasgefüllten Raum her- 

schenden absoluten Druck p . Steht einer der beiden Räume in direk- 

a 

ter Verbindung mit dem atmosphärischen Druck b, so werden die 

beiden folgenden Fälle unterschieden: 

Absoluter Druck > Luftdruck � Überdruck 

Absoluter Druck < Luftdruck � Unterdruck 

2.6. Vakuumtechnik 

2 

p a: 

Absolutdruck [N/m ] oder [ata] 

2 

p ü: 

Überdruck [N/m ] oder [atü] 

2 

p : Unterdruck [N/m ] oder [atu] 

u 

Das ideale Vakuum ist ein Raum, wo keine Teilchen (Moleküle) vorhanden sind. In der Technik kennt 

man keine Verfahren, mit denen man ein ideales Vakuum erzeugen könnte. Die Hauptaufgabe der 

Vakuumtechnik ist, die Teilchendichte in einem vorgegebenen Volumen zu verringern. Bei konstanter 

Temperatur kommt dies immer einer Erniedrigung des Gasdruckes gleich. Der Ausgangspunkt ist jeweils 

der Atmosphärendruck b. 

In der Vakuumtechnik ist es üblich, den grossen Druckbereich, der heute mehr als 16 Zehnerpotenzen 

umfasst, in einzelne, kleine Bereiche zu unterteilen, die man im allgemeinen wie folgt begrenzt: 

Art des Vakuums Druckbereich [bar] Teilchendichte [Teilchen/m ] 

3 

Grobvakuum 

Feinvakuum 

Hochvakuum 

Ultrahochvakuum 

Interstellares Gas 

1 - 10 -3 

-3 -6 

10 - 10 

-6 -10 

10 - 10 

-10 -14 10 - 10 

� 10-18 25 22 

2.5�10 - 2.5�10 

22 19 

2.5�10 - 2.5�10 

19 15 

2.5�10 - 2.5�10 

15 11 

2.5�10 - 2.5�10 

� 105 © C. Meier / L. Müller, Dozenten für Physik BFH / HTI Biel [V 3.0]


Die aufgeführten Druckbereiche lassen sich recht gut durch Betrachtung von gaskinetischer Zusammenhänge 

und nach der Art der Gaströmung unterscheiden. Auch die Arbeitstechnik in den verschiedenen 

Bereichen ist unterschiedlich. 

Um in einem bestimmten gasgefüllten Volumen die Gasdichte und damit den Gasdruck zu verringern, 

müssen Gasteilchen aus dem Volumen entfernt werden; hierzu dienen Vakuumpumpen. Grundsätzlich 

unterscheidet man zwei Gruppen von Vakuumpumpen: 

a) solche, die über eine oder mehrere Kompressionsstuffen die Gasteilchen aus dem auszupumpenden 

Volumen entfernen und in die atmosphärische Luft befördern (Kompressionspumpen), Förderung der 

Gasteilchen durch Verdrängen oder Impulsübertragung. 

b) Vakuumpumpen, die zu entfernenden Gasteilchen an einer festen Wand, die oft einen Teil der 

Begrenzung des auszupumpenden Volumens ausmacht, kondensieren oder auf andere Weise 

(z. B. chemisch) binden. 

2.7. Fluidkräfte auf Wandungen 

2.7.1. Bodendruckkraft 

Die Bodenflächen A sind alle gleich gross. Die resultierende 

Kraft F auf die Fläche A ist gegeben mit: 

�______________________________________ 

F: Durch die Flüssigkeit auf den Boden ausgeübte Kraft [N] 

h: Höhe der Flüssigkeitssäule [m] 


3 

A: Bodenfläche [m ] 

2 

Hydrostatisches Pardoxon: Die Bodendruckkraft ist unabhängig von der Form des Gefässes, sondern nur 

von der Höhe der darüber liegenden Flüssigkeitssäule und der Wichte. 

2.7.2. Seitendruckkraft 

Unter dem Einfluss des Atmosphärendrucks wirkt auf das Flächenelement 

der Seitenwand dA die resultierende Kraft : 

�_______________________________________________ 

_______________________________________________ 



2.7.3. Senkrechte, rechteckige, ebene Seitenwand 

A: Fläche der Seitenwand [m ] 2 

S: Schwerpunkt der Seitenwand 

D: Druckmittelpunkt der Seitenwand 

F: Seitendruckkraft [N] 

a: Wandbreite [m] 

z S: 

Schwerpunktstiefe [m] 

z : Tiefe vom Druckmittelpunkt [m] 

Druckkraft auf das Flächenelement:______________________________________________________ 

Gesamtdruckkraft:____________________________________________________________________ 

____________________________________________________________________ 

F: Kraft [N] 


3 

Kraftkomponenten und Angriffspunkt der Druckkraft: 

© C. Meier / L. Müller, Dozenten für Physik BFH / HTI Biel [V 3.0] 

D 

Die resultierend Druckkraft F wirkt mit dem gleichen Moment 

wie der, auf die gesamte Fläche verteilte Druck. 

________________________________________________ 

Angriffspunkt der Druckkraft z D :_______________________________________________________ 

Angriffspunkt der Druckkraft liegt im Schwerpunkt des Ueberdruckprofils! 

F: Druckkraft [N] 

F i: 

Einzelne Druckkraft [N] 

z i: 

Tiefe der einzelnen Druckkräfte [m] 

z : Tiefe des Druckmittelpunktes [m] 

D


2.7.4. Gekrümmte Seitenwand 

Die gesamte Seitendruckkraft besteht aus einer horizontalen Komponenten F H und einer vertikalen 

Komponenten F . 

V 

= ____________________ 

dF H = ________________________________________ 

F H = _________________________________________ 

____________________________________________ 

dF V = __________________________________________ 

F V = ___________________________________________ 

2.8. Auftriebsgesetz 

F: Seitendruckkraft [N] 

F H: 

Horizontale Komponente der Seitendruckkraft F [N] 

F V: 

Vertikale Komponente der Seitendruckkraft F [N] 

A V: 

Projizierte vertikale Wand [m ] 

2 

z Sv: 

Schwerpunktstiefe der projizierten vertikalen Wand [m] 

z Dv: 

Druckpunkttiefe der projizierten vertikalen Wand [m] 

V: Volumen zwischen Wand und der projizierten vertikalen Wand [m ] 

3 

2.8.1. Ursache der Auftriebskraft 

Ein Körper, der in ein Fluid eingetaucht wird, erfährt eine senkrechte, nach oben gerichtete Auftriebskraft, 

die gleich dem Gewicht des vom Körper verdrängten Fluidvolumens 

ist. Die Auftriebskraft greift im Schwerpunkt des verdrängten Fluidvolumens 

an. 

�____________________________________________________ 

______________________________________________________ 

______________________________________________________ 

______________________________________________________ 

______________________________________________________ 



_____________________________________________________ 

F A: 

Auftriebskraft (Wirkung in der z-Richtung) [N] 

� F: 

Wichte des Fluids [N/m ] 3 

V : Körpervolumen [m ] 3 

K 

Der Angriffspunkt des Auftriebes liegt im Schwerpunkt des verdrängten Fluidvolumens. 

2.8.2. In ein Fluid eingetauchter fester Körper 

2.8.2.1. Volumen und Wichte des festen Körpers 

Das Volumen und die Wichte eines festen Körpers kann aus einer Wägung 

in der Luft 

werden. 

und aus einer Wägung in einem Fluid F bestimmt 

�_______________________________________________________ 

_________________________________________________________ 

__________________________________________________________ 

2.8.2.2. Bewegung des Körpers 

G: Körpergewicht in der Luft gemessen [N] 

G F: 

Scheinbares Köpergewicht in der Flüssigkeit gemessen [N] 

F A: 

Auftriebskraft [N] 

� F: 

Wichte des Fluids [N/m ] 

3 

� : Wichte des festen Körpers [N/m ] 

3 

K 

Je nach Grösse von Gewicht und Auftriebskraft sind drei Fälle zu unterscheiden: 

< : Der Körper steigt auf 

= : Der Körper schwebt 

> : Der Körper sinkt 

2.8.3. Schwimmender Körper 

2.8.3.1. Auftrieb des Körpers 

Der Körper ist nur mit dem Teilvolumen V' in das Fluid eingetaucht. Mit dem Körper 

im Gleichgewicht ergibt sich die folgende Bedingung: 


2.8.3.2. Aräometer 


G: Gewicht des festen Körpers [N] 

F A: 

Auftriebskraft [N] 

� F: 

Wichte des Fluids [N/m ] 3 

V': Eingetauchtes Körpervolumen [m ] 3 

In Flüssigkeiten verschiedener Dichten taucht ein schwimmender Körper verschieden tief 

ein. Aus der Bestimmung der Senktiefe kann die Dichte der Flüssigkeit bestimmt werden. 

F A:_______________________________________________________________ 

� F :______________________________________________________________ 

� F= ____________________ � F= 

____________________________ 

2.8.3.3. Stabilität des schwimmenden Körpers 

a) Die Schwimmlage ist immer stabil, wenn der Angriffspunkt der Auftriebes 

S A oberhalb vom Schwerpunkt des schwimmenden Köpers S K liegt. 

b) Die Schwimmlage ist stabil oder unstabil, wenn der Angriffspunkt des 

Auftriebes S A unterhalb vom Schwerpunkt des schwimmenden Körpers SK 

liegt. Wird der schwimmende Körper um einen kleinen Winkel aus der 

Schwimmlage herausgedreht, so bilden das Gewicht und die Auftriebskraft 

A ein Kräftepaar, dessen Moment bestrebt ist, die ursprüngliche 

Schwimmlage wieder herzustellen (stabil) oder die eingeleitete Drehung zu vergrössern (unstabil). 

Der Schnittpunkt M der Wirkungslinie des Auftriebes für die geneigte Lage mit der Wirkungslinie a des 

Auftriebes für die Gleichgewichtslage wird als Metazentrum bezeichnet. 

Die Schwimmlage ist stabil, wenn das Metazentrum höher als der Schwerpunkt des Körpers liegt. 



3. Reelle Flüssigkeiten 

In Wirklichkeit bestehen zwischen den Molekülen einer Flüssigkeit Kräfte 

elektrischen Ursprungs, die sogenannten Van der Waals Kräfte. Diese 

Kräfte wirken abstossend, wenn die Distanz zwischen den Molekülen 

unter einen Wert r 0 gedrückt wird, sie wirken anziehend, wenn die Distanz 

grösser als r ist. 

0 

Mit dieser Theorie können folgende Eigenschaften realer Flüssigkeiten 

erklärt werden: 

3.1. Kompressibilität einer Flüssigkeit 

Die Zusammendrückbarkeit oder Kompressibilität einer Flüssigkeit ist die 

Volumenänderung �V, verursacht durch die Druckänderung �p, bei konstanter 

Temperatur. Sie wird mit � bezeichnet und entspricht einem relativ kleinen Wert. 

Anstelle der Kompressibilität wird auch das Kompressionsmdul K verwendet. 

�V: Volumenäderung [m ] 

3 

�p: Druckänderung [N/m ] 

2 

V: Flüssigkeitsvolumen [m ] 

3 

2 

�: Kompressibilität [m /N] 

K: Kompressionsmodul [N/m ] 

2 

Bedingt durch die Volumenabnahme, erfolgt eine Zunahme der Dichte der Flüssigkeit 

�________________________________________________________________________________ 

�: Dichte [kg/m ] 

3 

3.2. Viskosität einer Flüssigkeit 

3.2.1. Newtonsche Flüssigkeit 

Unter der Viskosität einer Flüssigkeit versteht man die Eigenschaft, die die Grösse des Widerstandes 

bestimmt, den die Flüssigkeit einer Scherkraft entgegenwirkt. Die Viskosität rührt hauptsächlich von der 

Wechselwirkung zwischen den Flüssigkeitsmolekülen her. Sie entspricht einer inneren Reibung. Das 

folgende Model zeigt die Wirkungsweise der Viskosität. 

Zwischen zwei grossen parallelen Platten befindet sich eine dünne 

Flüssigkeitsschicht von der Dicke d. Wird die eine Platte mit 

der Fläche A konstant mit der Geschwindigkeit parallel zur 

andern bewegt, so bedarf es einer Kraft . 

Die Flüssigkeit, die mit der bewegten Platte in Kontakt steht, 

wird an ihr anhaften und sich mit der Geschwindigkeit v bewegen, während die Flüssigkeit, die in 



Kontakt mit der festen Platte ist, ruht. Sind Abstand d und Geschwindigkeit v nicht zu gross, so bleibt der 

Geschwindigkeitsunterschied zwischen den einzelnen Schichten gleich. Flüssigkeiten mit einem solchen 

Geschwindigkeitsverhalten zwischen den Schichten werden als newtonsche Flüssigkeiten bezeichnet. 

Experimente zeigen, dass die Kraft proportional, zur Fläche A der Platte, zur Geschwindigkeit und 

umgekehrt proportional zum Abstand d, ist. Daraus folgt die dynamische Viskosität �: 

�_______________________________________________________________________________ 

_________________________________________________________________________________ 

2 

�: Dynamische Viskosität [Ns/m = Pa s] 

F: Kraft [N] 

dv/dy: Gradient der Geschwindigkeit [1/s] 

Ein weiterer Zähigkeitskoeffizient, die kinematische Viskosität �, wird definiert als: 

2 

�: Kinematische Viskosität [m /s] 


3 

Die Viskosität wird oft im CGS-System mit den Grössen Poise und Stokes angegeben, wobei die Um- 

2 2 4 

rechnungen in das SI-System wie folgt gegeben sind: 1 Ns/m = 10 Poise und 1 m /s = 10 Stoke. Die 

Viskosität von Flüssigkeiten fallen mit steigender Temperatur, durch Druckänderung werden sie nicht 

merklich beeinflusst. 

3.2.2. Verhalten von Schmierölen 

Manche Schmieröle mit Zusätzen folgen nur annähernd dem Verhalten der newtonschen Flüssigkeiten. 

Die Abweichung folgt mit guter Näherung der empirischen von Ubbelohde-Walther eingeführten 

Viskosität-Temperatur Gleichung. 

3.3. Grenzflächeneffekt 

3.3.1. Teilchenkräfte 

Kräfte in einem Körper, die zwischen zwei gleichartigen Molekülen 

auftreten werden als Kohäsionskräfte (Zusammenhangskräfte) bezeichnet. 

Diese Kohäsionskräfte treten in festen Körpern und Flüssigkeiten 

auf. In den Gasen ist die Wirkung erst kurz oberhalb des 

Siedepunktes feststellbar. Wegen der leichten Beweglichkeit der Moleküle 

in Flüssigkeiten sind die Wirkung der Kohäsionskräfte leicht 

sichtbar. Im Innern einer Flüssigkeit erfährt das Molekül allseitig 

Anziehungskräfte durch die Nachbarmoleküle, die sich gegenseitig 

aufheben. Ist aber der Abstand von der Oberfläche kleiner als der 

-8 

Radius der Wirkungssphäre (� 10 m) der Molekülkräfte, so ist die Resultierende Kraft von Null verschieden 

und um so grösser, je kleiner der Abstand zur Oberfläche ist. Kräfte zwischen den Molekülen 



zweier verschiedener Stoffe werden als Adhäsionskräfte (Anhangskräfte) bezeichnet. Sie sind gut sichtbar 

zwischen festen und flüssigen Körper. 

3.3.2. Oberflächenspannung 

Die Kohäsionskräfte in den Flüssigkeiten entwickeln an den Oberflächen einen bemerkenswerten Effekt: 

die Oberflächenspannung. Um ein Molekül aus dem Flüssigkeitsinneren an die Oberfläche zu verschieben, 

muss eine Arbeit aufgewendet werden. Ein Molekül in der Oberfläche hat gegenüber einem 

Molekül im Inneren eine um den Betrag dieser Arbeit erhöhte potentielle Energie. Zur Vergrösserung der 

Flüssigkeitsoberfläche müssen Moleküle aus dem Inneren an die Oberfläche gebracht werden. Die 

dadurch bedingte Energiezufuhr pro Flächeneinheit entspricht der Oberflächenspannung �. 

Wirken keine äusseren Kräfte, so befindet sich das System im Zustand minimaler potentieller Energie. 

Das heisst, die Oberfläche ist minimal. 

Betrachten wir die Flüssigkeitslamelle, deren Fläche mit Hilfe eines 

beweglichen Bügels verändert wird. Mit der Verschiebung dx wird 

Arbeit geleistet, die als potentielle Energie erhalten bleibt. Bei dieser 

Verschiebung wird die Oberfläche vergrössert. Daraus folgt für �: 

�______________________________________________________ 

F: Kraft [N] 

e: Bügellänge [m] 

�: Oberflächenspannung [N/m] 

Die Oberflächenspannung wird mit zunehmender Temperatur kleiner. 

3.3.3. Flüssigkeitsmembran 

Betrachten wir ein Flächenelement dA der Flüssigkeitsmembrane im Gleichgewicht. Die resultierende 

Kraftdifferenz aus dem Druckunterschied auf die Fläche dA wird durch die Wirkung der Oberflächenspannung 

auf die Ränder des Flächenelementes kompensiert. 

�______________________________________ 

________________________________________ 

________________________________________ 

________________________________________ 



__________________________________________________________________________________ 

__________________________________________________________________________________ 

__________________________________________________________________________________ 

�p: Innerer Überdruck [N/m ] 2 


R , R : Radien der gekrümmten Oberfläche [m] 

1 2 

3.3.4. Flüssigkeit in Berührung mit einem festen Körper 

3.3.4.1. Benetzungsformen 

Bei der Berührung eines Flüssigkeitstropfens mit einer 

festen Unterlage entsteht der charakteristische Winkel � 

zwischen den Oberflächen der Flüssigkeit und der Unterlage. 

Je nach der Grösse des Berührungswinkels � werden 

zwei Fälle unterschieden: 

a) 0 � � � �/2: Benetzende Flüssigkeit 

Die Adhäsionskräfte sind grösser als die Kohäsionskräfte. Die Flüssigkeit breitet sich auf der 

Oberfläche des festen Körpers aus. 

b) �/2 � � � �: Nicht benetzende Flüssigkeit 

Die Adhäsionskräfte sind kleiner als die Kohäsionskräfte. Die Flüssigkeit zieht sich tropfenförmig 

zusammen. 

3.3.4.2. Kapillarität 

Je nach der Benetzungserscheinung entstehen zwei Kapillarwirkungen: 

a) Benetzende Flüssigkeit zeigt eine Kapillarsteighöhe 

(h > 0). 

b) Nicht benetzende Flüssigkeit zeigt eine Kapillardepression 

(h < 0). 



Die Kapillarsteighöhe oder die Kapillardepression h sind hauptsächlich vom Berührungswinkel � abhängig. 

Für das Gleichgewicht der Flüssigkeitssäule gilt: 

�___________________________________________________________ 

_____________________________________________________________ 

_____________________________________________________________ 

h: Höhenunterschied [m] 


�: Winkel zwischen Oberfläche und Flüssigkeit [-] 

�: Dichte der Flüssigkeit [kg/m ] 3 

R: Rohrradius [m] 



4. Bewegte Flüssigkeitsoberflächen 

Eine Flüssigkeit kann bei konstanter Beschleunigung Translations- oder Rotationsbewegungen 

durchführen, ohne dass sich die Flüssigkeitsteilchen relativ 

zueinander bewegen. Unter diesen Bedingungen befindet sich die Flüssigkeit in 

einem relativen Gleichgewicht und ist frei von Scherkräften. Es existiert im 

allgemeinen keine Relativbewegung zwischen der Flüssigkeit und dem sie 

enthaltenden Behälter. Die Moleküle der Oberfläche verschieben sich bis die 

tangentialen Kraftkomponenten null werden. 

4.1. Flüssigkeit in Ruhe oder konstanter Translationsbewegung 

Freie Oberflächen von Flüssigkeiten in Ruhe oder konstanter Translation 

sind praktisch waagrecht. 

�: Steigungswinkel der freien Flüssigkeitsoberfläche [-] 

4.2. Flüssigkeit in konstant beschleunigter Translationsbewegung 

Jedes Massenteilchen dm wirkt mit der Gewichtskraft und der Trägheitskraft 

auf die freie Flüssigkeitsoberfläche. Die resultierende Kraft wirkt 

senkrecht auf die Flüssigkeitsoberfläche. 

�__________________________________________________ 

____________________________________________________ 

a: Beschleunigung [m/s ] 

2 

g: Erdbeschleunigung [m/s ] 

2 

4.3. Flüssigkeit in konstanter Rotationsbewegung 

Jedes Massenteilchen der Flüssigkeitsoberfläche dm wirkt mit dem 

Eigengewicht und der Trägheitskraft auf die freie Oberfläche. Die 

resultierende Kraft wirkt senkrecht auf die Flüssigkeitsoberfläche. 

Der Steigungswinkel �(r) verändert sich mit dem Abstand r zur 

drehenden Achse. 

�_____________________________________________ 



__________________________________________________________________________________ 

__________________________________________________________________________________ 

__________________________________________________________________________________ 

�: Winkelgeschwindigkeit [1/s] 

r: Achsabstand [m] 

y : Lage des Parabelscheitelpunktes [m] 

0 

Die Flüssigkeitsoberfläche bildet ein Rotationsparaboloid. Die Paraboloidform ist unabhängig von der 

Dichte der Flüssigkeit. 



5. Strömungslehre 

5.1. Grundbegriffe einer Strömung 

In diesem Kapitel betrachten wir nur Strömungen mit inkompressiblen Flüssigkeiten. Zwischen den 

verschiedenen Flüssigkeitsschichten entstehen Reibungskräfte, die von der Viskosität abhängig sind. 

Diese Viskosität bestimmt auch weitgehend die Strömungsart. In einer Strömung werden die folgenden 

Elemente unterschieden. 

Bahnlinie Eine Bahnlinie ist die Gesamtmenge der Punkte, die 

von einem Teilchen durchquert werden während der 

Zeit t. (Photo mit langer Belichtungszeit) 

Stromlinie Eine Strömung kann durch Stromlinien angedeutet 

oder sichtbar gemacht werden. Eine Stromlinie zu 

einem gegebenen Zeitpunkt ist durch die Tangentenkurve 

zum Geschwindigkeitsvektor gegeben. (Photo 

mit kurzer Belichtungszeit) 

Stromröhre Unter Stromröhre versteht man elementare Teile einer 

strömenden Flüssigkeit, die durch eine Gruppe von 

Stromlinien, die die Strömung begrenzen, eingeschlossen 

werden. 

Stationäre Strömung 

Eine Stationäre Strömung liegt vor, wenn an jedem Punkt die Geschwindigkeiten 

aufeinanderfolgender Flüssigkeitsteilchen zu allen Zeiten dieselbe ist. Für einen gegebenen 

Punkt bleibt der Druck und die Dichte konstant. 

Instationäre Strömung 

Eine Strömung ist instationär, wenn sich die Strömungsbedingungen an einem Punkt 

mit der Zeit ändern. Bei Kolbenmaschinen oder Absperrvorrichtungen treten instationäre 

Strömungen auf. 

5.2. Geschwindigkeitsverteilung in einem kreisförmigen Strömungsquerschnitt 

Flüssigkeit ohne Viskosität 

Reibungsfreie, ideale Flüssigkeiten haben eine gleichmässige Geschwindigkeitsverteilung 

über den Strömungsquerschnitt. 

Viskose Flüssigkeit 

Viskose Flüssigkeiten haften an den Gefäss- oder 

Rohrwänden. Die mittlere Strömungsgeschwindigkeit 

v in einem Rohr kann wie folgt berechnet werden: 

m 

�_________________________________________ 



__________________________________________________________________________________ 

A: Strömungsquerschnitt [m ] 2 

v(r): Geschwindigkeit bei r [m/s] 

v : Mittlere Strömungsgeschwindigkeit [m/s] 

m 

In diesem Kurs entspricht die Geschwindigkeit v der mittleren Strömungsgeschwindigkeit. 

5.3. Durchflussgleichungen 

5.3.1. Massen- und Volumenstrom 

Durchströmt ein Fluid eine Stromröhre mit der Geschwindigkeit v, so stellt sich der 

folgende Massendurchfluss pro Zeit oder Massenstrom ein: 

�________________________________________________________________ 

Für ein Fluid mit konstanter Dichte wird der Volumenstrom:__________________ 

: Massenstrom [kg/s] 

3 

: Volumenstrom [m /s] 


3 

5.3.2. Kontinuitätsgleichung 

Die Kontinuitätsgleichung ergibt sich aus dem Massenerhaltungsgesetz. 

Enthält die betrachtete Stromröhre zwischen 

den Positionen 1 und 2 keine Quelle oder Senke, so bleibt 

für eine stationäre Strömung die Masse, die pro Zeiteinheit 

vorbei fliesst, für alle Strömungsabschnitten unverändert. 

�___________________________________________ 

Für inkompressiblen Flüssigkeiten (� = konstant) gilt: 

v i: 

Mittlere Geschwindigkeit der Strömung [m/s] 

A : Strömungsquerschnitt [m ] 

2 

i 



5.4. Energiegleichung (Bernoulli) 

Die Gleichung von Bernoulli beschreibt die Energieerhaltung einer stationären Strömung in einer Stromröhre. 

Der Energiesatz aus der Mechanik erhält eine neue Form. Die Deformationsenergie entfällt für - 

Flüssigkeiten. Neu erfährt die Energie der Verschiebearbeit (Energie der Druckunterschiede) eine 

Aenderung. Die mechanische Energie für eine Masse m mit dem Volumen V hat die folgenden Terme: 

Potentielle Energie: E P = mgh 

Kinetische Energie: E K = ½mv2 Verschiebearbeit: Entspricht der erforderlichen Arbeit, um in einem Raum 

vom Druck p für die Masse m das Volumen V zu schaffen. 

�______________________________________________________________ 

E V: 

Energie der Verschiebearbeit [J] 

p: Druck [N/m ] 2 

V: Volumen [m ] 3 

Jedes Massenelement �m konserviert seine Energie auf dem Weg von 1 zu 

2: 

�_________________________________________________________ 

___________________________________________________________ 

___________________________________________________________ 

___________________________________________________________ Form 1 

___________________________________________________________ Form 2 

___________________________________________________________ Form 3 

In der Folge benutzen wir die Energiegleichung in der Form 2 

z 1, z 1: 

Höhe [m] 

v 1, v 2: 

Geschwindigkeit [m/s] 

g: Erdbeschleuningung [m/s ] 

2 

�: Dichte der Flüssigkeit [kg/m ] 

3 



5.5. Anwendungen der Bernoulligleichung 

5.5.1. Düse 

In einer Düse wird Energie der Verschiebearbeit in kinetische 

Energie umgewandelt. 

�_________________________________________________ 

___________________________________________________ 

___________________________________________________ 

___________________________________________________ 

5.5.2. Diffusor 

v 1, v 2: 


p 1, p 2: 

Druck [N/m ] 

2 


3 

A , A : Fläche [m ] 

2 

1 2 

In einem Diffusor wird kinetische Energie in Energie der Verschiebearbeit 

umgewandelt. 

�__________________________________________________ 

____________________________________________________ 

____________________________________________________ 

____________________________________________________ 

v 1, v 2: 


p 1, p 2: 

Druck [N/m ] 2 

�: Dichte [kg/m ] 3 

A , A : Fläche [m ] 2 

1 2 



5.6. Viskose Strömungen 

5.6.1. Strömungsarten 

Alle Flüssigkeiten haben eine Viskosität. In einer Strömung entstehen zwischen den Flüssigkeits-schichten 

Reibungskräfte, die von der Viskosität abhängig sind. Die Viskosität bestimmt so zum grössten Teil 

die Strömungsart, da die Reibungskräfte massgebend an der Bestimmung der Strömungsform beteiligt 

sind. Eine Strömung kann durch Stromlinien angedeutet oder sichtbar gemacht werden. In Wirklichkeit 

wird die Stromlinie durch die Bahn eines Flüssigkeitsteilchens dargestellt. Man unterscheidet für eine 

reelle Flüssigkeit zwei Strömungsformen, die laminare und die turbulente Strömung. 

Die laminare Strömung ist eine geordnete Strömungsform in Schichten, 

wo jedes Flüssigkeitsteilchen an seine Schicht gebunden ist. Zwischen 

den Schichten mit den verschiedenen Geschwindigkeiten wirkt eine 

tangentiale Scherkraft F R. 

Die auftretende Schubspannung � entspricht 

der flächenspezifischen Scherkraft und ist gegeben durch: 

F R: 

Reibkraft [N] 

A: Fläche [m ] 

2 

dv/dy: Gradient der Geschwindigkeit [1/s] 

�: Schubspannung [N/m ] 

2 

Die turbulente Strömung ist eine ungeordnete Strömungsform, wo ein 

Flüssigkeitsteilchen eine ungeordnete Bahn durch Gebiete hoher und 

kleiner Geschwindigkeit beschreibt. Die Bahn wird durch das Aufeinanderstossen 

der Flüssigkeitsteilchen verschiedener Geschwindigkeiten 

bestimmt. Trotzdem, weil eine grosse Zahl von 

Flüssigkeitsteilchen an einer turbulenten Strömung beteiligt sind, 

wird das Gesamtströmungsbild bei gleichen Voraussetzungen immer gleich bleiben. Für die Behandlung 

der turbulenten Strömungsform versucht man das Modell der laminaren Strömungsform mit scheinbaren 

Schichten und Stromlinien beizubehalten. Als Widerstand wird an Stelle der Stossverluste zwischen den 

Flüssigkeitsteilchen eine Scheinreibung zwischen nicht existierenden Schichten eingeführt. Für die 

scheinbare Schubspannung kann der folgenden Ansatz gesetzt werden: 

C: Konstante [-] 


3 

v : Mittlere Durchflussgeschwindigkeit [m/s] 

m 

5.6.2. Reynolds Zahl 

Auf der Basis der Ähnlichkeitsgesetze kann der Übergang der laminaren in die turbulente Strömung 

bestimmt werden. Die Ähnlichkeitstheorie mit ihrer Dimensionsanalyse erlaubt die Lösung von technischen 

Problemen auf der Basis von verkleinerten Modellen. In Gleichungen mit charakteristischen 

Grössen, wie z.B. die Länge, die Kraft oder die Zeit muss der Zahlenwert und die Einheit im Modell und 

der Grossausführung gleich sein. Solche charakteristische Grössen sind: Strömungsgeschwindigkeit, 

Rohrdurchmesser, Profiltiefe, Kugeldurchmesser, etc. Folgende Verhältnisse führen zu einer Strömungskennzahl: 

Trägheitskraft-Druckkraft (Euler), Trägheitskraft-Schwerkraft (Froude), Trägheitskraft-Elastische 

Kraft (Cauchy), Zeitverhältnisse, Längenverhältnisse, etc. Die Reynolds-Zahl wird über das Verhältnis 

der Trägheitskraft-Zähigkeitskraft ermittelt. 



_________________________________________________________________________________ 

Re: Reynolds-Zahl [-] 

v: Geschwindigkeit [m/s] 

L: Charakteristische Länge [m] 

2 


Im Strömungslabor werden die Versuchsmessungen am geometrisch 

ähnlichen Modell im Windkanal ausgeführt. Die Reynolds- 

Zahl für das Modell schreibt sich wie folgt: 

Re M: 

Reynolds-Zahl des Modells [-] 

v M: 

Geschwind. im Versuchskanal [m/s] 

L M: 

Charakteristische Länge des Versuchsmodells [m] 

2 

� : Kinematische Viskosität im Versuchskanal [m /s] 

M 

Die kritische Reynolds-Zahl ist durch die kritische Geschwindigkeit v K gegeben, bei der die Strömung 

vom laminaren in den turbulenten Bereich übergeht. 

v K: 

Kritische Geschwindigkeit [m/s] 

5.6.3. Widerstand umströmter Körper 

Der Strömungswiderstand ist abhängig von der Art der Flüssigkeit, der Art der Strömung, der Relativgeschwindigkeit, 

der Oberflächenbeschaffenheit und der Form des Körpers. 

5.6.3.1. Widerstand in laminarer Strömung 

Stoke hat für eine Kugel in laminarer Strömung die Widerstandskraft 

berechnet. Die Bestimmung der Viskosität einer Flüssigkeit 

mit einer frei fallenden Kugel basiert auf diesem Gesetz. 

F W: 

Strömungswiderstand [N] 

2 

�: Dynamische Viskosität [Ns/m ] 

R: Kugelradius [m] 

5.6.3.2. Widerstand in turbulenter Strömung 

Die Widerstandskraft ist durch die Wirbelbildung beim 

Umströmen des Körpers gegeben. Die viskosen Reibungskräfte 

auf der Oberfläche des Körpers sind vernachlässigbar 

gegenüber der Wirbelbildung. 

c W: 

Widerstandsbeiwert [-] 

A: Querschnitt zur Strömung [m ] 2 

�: Dichte der Flüssigkeit [kg/m ] 3 



Der Widerstandsbeiwert c W ist eine einheitslose Zahl und ist von der geometrischen Form der Körperoberfläche 

und von der Reynolds-Zahl Re abhängig. Für eine geometrische Form und für einen relativ 

grossen Bereich von Re kann c als konstant betrachtet werden. 

5.7. Rohrhydraulik 

5.7.1. Reynold-Zahl für Rohrhydraulik 

W 

In der Rohrhydraulik entspricht der Rohrdurchmesser d der charakteristischen 

Länge L der Reynolds-Zahl Re. 

Re: Reynoldsche Zahl [-] 

d: Rohrdurchmesser [m] 

v: Strömungsgeschwindigkeit [m/s] 

2 


Der Übergang von einer laminaren zu einer turbulenten Strömung vollzieht sich nicht schlagartig. 

Normalerweise wird die Strömung ab ca Re = 2320 turbulent. Für die praktische Rechnung gilt: 

Re KRIT = 2300 

5.7.2. Geschwindigkeitsverteilung 

5.7.2.1. Laminare Strömung 

Die Flüssigkeit haftet an der Wand des Rohres, so dass 

die Geschwindigkeit dort null ist. Die Rauhigkeit der 

Rohrwand spielt für den Druckabfall bei der Laminarströmung 

keine Rolle, da die Unebenheiten durch das 

Medium ausgefüllt wird und somit die erste strömende 

Schicht eine glatte Fläche als Grundlage erhält. Die 

mit konstanter Geschwindigkeit bewegte Flüssigkeitssäule 

ist im Gleichgewicht mit den Kräften des 

Druckunterschiedes und der Reibung an der Oberfläche. 

Geschwindigkeitsverteilung: 

__________________________________________________________________________________ 

__________________________________________________________________________________ 

__________________________________________________________________________________ 



__________________________________________________________________________________ 

5.7.2.2. Turbulente Strömung 

v(r): Geschwindigkeitsverteilung [m/s] 

�: Dynamische Viskosität [Ns/m ] 2 

�p: Druckunterschied [N/m ] 2 

L: Rohrlänge [m] 

r a: 

Rohrradius [m] 

r: Radius im Rohrinnern [m] 

Die Geschwindigkeitsverteilung über dem Querschnitt einer turbulenten 

Rohrströmung kann nur durch Messungen ermittelt werden. Sie zeigt 

eine beinahe über den ganzen Querschnitt gleichbleibende Geschwindigkeit, 

die innerhalb einer dünnen Grenzschicht an der Rohrwand sehr 

rasch auf den Wert null absinkt. Als gute Näherung für die Geschwindigkeitsverteilung 

gilt das Potenzgesetz von Blasius: 

v(r): Geschwindigkeit an der Stelle r [m/s] 

r: Radius [m] 

r a: 

Rohrradius [m] 

v MAX: 

Maximale Geschwindigkeit [m/s] 

n: Exponent [-] 

Der Exponent n hat die Werte im Bereich zwischen 0,1 und 0,2 und ist abhängig von der Reynolds Zahl 

und der Wandrauhigkeit. Die mittlere Geschwindigkeit v � 0,8 v . 

5.8. Verluste in der Rohrströmung 

5.8.1. Gleichung von Bernoulli mit Verlusten 

m MAX 

Der Energieverlust zeigt sich in der Form eines Druckverlustes über 

2 

dem Strömungselement. Diese Verluste sind proportional zu v . 

�p: Druckverlust [N/m ] 

2 


3 


g: Erdbeschleunigung [m/s ] 

2 

Der gesamte Verlust eingeführt in der Energiegleichung ergibt: 

z: Höhe [m] 

p: Druck [N/m ] 2 

N: Anzahl Verluste [-] 



5.8.2. Rohrverluste der laminaren Strömung 

Re: Reynolds Zahl [-] 

L: Rohrlänge [m] 


5.8.3. Rohrverluste der turbulenten Strömung 

� R: 

Rohrreibungskoeffizient [-] 

� R der turbulenten Strömung ist von der Reynolds Zahl und der Rauhigkeit k der Rohrwand abhängig. Es 

ist sogar möglich, dass bei grosser Rauhigkeit k, � R nur noch von dieser abhängig ist. Dabei ist die 

relative Rauhigkeit k' massgebend, da für Vergleiche geometrisch ähnlicher Gebilde die Verhältniszahlen 

charakteristisch sind. 

k�: Relative Rauhigkeit [-] 

k: Rauhigkeit [m] 


Im laminaren Bereich hat die Rauhigkeit keinen Einfluss auf die Strömung und auf den Reibkoeffizienten 

� . Im turbulenten Bereich ist dieser Einfluss gross und wird mit der relativen Rauhigkeit berücksichtigt. 

R 

Der Reibkoeffizient ist für alle Bereiche im Diagramm von Moody � R(Re, 

k') auf Seite 34 dargestellt. 

5.8.4. Rohrverluste in einem Strömungselement 

Die Strömungsverluste in den Elementen wie Ventile, Schieber, Rohrbögen 

etc. sind proportional zum Proportionalitätsfaktor �. Die Viskosität und die 

Rauhigkeit spielen hier nur eine untergeordnete Rolle. Dabei ergibt sich der 

Strömungsverlust für die turbulente und laminare Strömung wie folgt: 

2 2 

�p/�: Verlust [m /s ] 

�: Proportionalitätsfaktor [-] 


5.8.5. Gesamte Strömungsverluste im Rohrsystem 

Der gesamte Strömungsverlust in einem Rohrsystem ist die Summe der Teilverluste. 

�: Dichte [kg/m ] 3 

2 2 

p/�: i Teilverluste [m /s ] 

2 2 

P /�: Totalverluste [m /s ] 

TOT 



5.9. Energieaufnahme und -abgabe in einem Strömungssystem 

Wird in einer Strömung Energie zugeführt (z.B. Pumpe) oder Energie 

abgeführt (z.B. Turbine), so gilt für die Energiegleichung: 

z i: 

Höhe [m] 

v i: 


p i: 

Druck [N/m ] 2 

�p: Druckverluste durch die Viskosität [N/m ] 2 

�p P: 

Druckgewinn durch eine Pumpe [N/m ] 2 

�p : Druckverlust durch eine Turbine [N/m ] 2 

T 

Die gewonnene Leistung von der Pumpe oder die verlorenen Leistung an die Turbine ist gegeben mit: 

__________________________________________________________________________________ 

__________________________________________________________________________________ 

P P: 

Gewonnen Leistung durch die Pumpe [W] 

P T: 

Verlorene Leistung an die Turbine [W] 

3 

: Volumenstrom [m /s] 



6. Strömungskräfte 

Bei der Umlenkung einer Strömung wirken Kräfte auf die Ablenkelemente 

(Rohrbogen, Turbinenschaufel, etc.). Diese Kräfte 

entstehen aus der gesamten Impulsänderung (Makrobetrachtung) 

der Massenteilchen, die abgelenkt werden. Die resultierende 

Kraft auf die Strömung (Beschleunigungskraft) wird als 

Umlenkkraft bezeichnet. Die Schubkraft (Trägheitskraft) 

ist die Reaktionskraft auf das Ablenkelement. 

�__________________________________ 

6.1. Impulssatz 

Verfolgen wir die Flüssigkeits- oder Gasmasse �m in 

einem festen Ströhmungs- oder Kontrollraum bei konstanter 

Durchströmung. Jedes Massenteilchen erfährt 

durch die äusseren Kräfte auf dem Weg von 1 nach 2 

eine Impulsänderung. 

Impulssatz:_________________________________ 

Impulsstrom:______________________________ 

__________________________________________ 

Impulsströme und Kräfte auf alle Massenteilchen �m 

im Strömungsraum ergeben sich aus der Integration über 

den gesamten betrachteten Raum. Wegen Aktion und 

Reaktion heben sich die Kräfte gegenseitig auf und 

übrig bleiben die Kräfte an der Grenzfläche. Die eintretenden 

Impulsströme (Aktion) kompensieren die 

austretenden (Reaktion) bis auf die Impulsströme über der Berandung. 

Für die Grenzfläche des Kontrollraumes gilt: 

�______________________________________________ 

F i: 

Äussere Kraft auf den Kontrollraum [N] 


: Strömungsgeschwindigkeit [m/s] 

Austretende Strömung v > 0, Eintretende Strömung v < 0 

Bei Fluiden treten die Wand-, Druck- und Reibkräfte als äussere Kräfte auf. Die Komponenten 

werden als Impulsströme bezeichnet. 



Vorzeichen des Impulsstromes. Haben Flächenvektor des Kontrollraumes 

und Geschwindigkeit der Fluids die gleiche (entgegengesetzte) 

Richtung, so wird der Impulsstrom positiv (negativ). 

�___________________________________________ 

6.2. Schubkraft im Strömungselement 

Für die Dimensionierung der Befestigung eines Strömungselementes 

muss die Schubkraft bekannt sein. Durch den Impulssatz ohne Reibkraft 

gilt: 

�_______________________ 

_____________________________________________________ 

_____________________________________________________ 

F S: 

Schubkraft [N] 

F pi: 

Druckkräfte [N] 


v : Strömungsgeschwindigkeit [m/s] 

Die Komponenten � 1 und � 2 werden als Impulskräfte bezeichnet. 

6.3. Kräfte am Tragflügel 

Bewegt sich ein Körper in einer Strömung, so kann die Summe der 

Schubkräfte, die auf ihn einwirken, in die Komponenten und 

zerlegt werden. ist die Widerstandskraft, die parallel zur 

Geschwindigkeit liegt. liegt senkrecht zum Geschwindigkeitsvektor 

und wird als Auftrieb bezeichnet. Die beiden Kräfte 

und sind vom Körperprofil und vom Winkel � abhängig. 

i 


7. Anhang 


7.1. Widerstandsziffern umströmter Körper 

Körperform Widerstandsbeiwert cw 

Kreisplatte 117 

Rechteckplatte h/b = 1 � 1.1 

h/b = 2 � 1.15 

h/b = 4 � 1.19 

h/b = 10 � 1.29 

h/b = 18 � 1.40 

h/b = � � 2.01 

Halbkugel 

von aussen angeströmt 

Halbkugel 

von innen angeströmt 

Zylinder 

von der Stirnseite angeströmt 

Kegel 

von der Spitze her angeströmt 

Kegel 

von der Grundfläche her angeströmt 

Prisma quadratisch 

senkrecht angeströmt 

Prisma quadratisch 

diagonal angeströmt 

Würfel 

senkrecht angeströmt 

Würfel 

diagonal angeströmt 

ohne Boden 0.34 

mit Boden 0.40 



L/d = 1 � 0.91 

L/d = 2 � 0.85 

L/d = 4 � 0.87 

L/d = 7 � 0.99 

� = 30� � 0.34 

� = 60� � 0.51 

� 0.58 

für b � 

� 2.05 

für b � 

� 1.55 

� 1.05 

� 0.8 



7.2. Moodydiagramm

FLUID MECHANIK

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