Komplexe Analysis und Geometrie - Benjamin Jurke

1. Grundlagen komplexer Funktionen
definiert. Eine Teilmenge U ⊂ C heißt Umgebung von z0, falls Dε(z0) ⊂ U für irgendein ε > 0
gilt, d.h. um z0 lässt sich eine ε-Kreisscheibe finden, die vollständig in U liegt. Dann heißt U ⊂ C
offen, falls für alle Punkte z0 ∈ U ein ε > 0 mit Dε(z0) ⊂ U existiert. V ⊂ C heißt umgekehrt
abgeschlossen, falls das Komplement C \ V offen ist.
1.2. Differenzierbarkeit komplexer Funktionen
1.2.1. Holomorphe Funktionen
Eine der ersten Fragen, die sich auf diesem neuen Zahlenkörper C stellt, ist wohl diejenige nach
der Form und des Verhaltens von Funktionen auf ihr - eigentlich handelt die ganze Vorlesung
von nichts anderem. Es wird sich zeigen, dass insbesondere komplex differenzierbare Funktionen
viele zunächst vom Reellen unerwartete Eigenschaften haben.
Definition 4: Sei U ⊂ C offen, f : U −→ C eine Abbildung und z0 ∈ U ein fester Punkt. f
heißt komplex differenzierbar in z0, wenn der Grenzwert
f ′ f(z) − f(z0)
(z0) := lim
z→z0 z − z0
z∈C\{z0}
existiert, d.h. aus allen Annäherungsrichtungen innerhalb der komplexen Zahlenebene den gleichen
Wert hat.
Definition 5: Eine Funktion f : U −→ C auf einer offenen Teilmenge U ⊂ C heißt holomorph,
wenn sie in allen Punkten von U komplex differenzierbar ist. Oftmals (insbesondere in der
Physik) wird eine holomorphe Funktion auch als analytisch bezeichnet.
Beispiel: 1. Sei f(z) := az + b mit konstanten Zahlen a, b ∈ C eine lineare Funktion. Dann
gilt für den Ableitungsquotienten an einem Punkt z0 ∈ C
4
f(z) − f(z0)
z − z0
= (az + b) − (az0 + b)
z − z0
= a ,
also ist f mit der Ableitung f ′ (z) = a holomorph auf ganz C.
2. Sei f(z) := z die Funktion der komplexen Konjugation. Wegen
f(z) − f(z0)
z − z0
= z − z0
z − z0
ist der Grenzwert hier nicht so einfach abzulesen. Wir linearisieren den Grenzwertprozess,
in dem wir durch ein passendes w ∈ C \ {0} den Punkt z durch z = z0 + tw darstellen.
Dann folgt im Grenzwert
z0 + tw − z0
z0 + tw − z0
= tw
tw
= w
w .
Bereits bei Betrachtung von w ∈ R und w ∈ iR erhalten wir die unterschiedlichen Grenzwerte
+1 und −1, die Konjugationsfunktion f ist also in keinem Punkt komplex differenzierbar.
3. Die Funktion f(z) := 1
z ist mit der Ableitung f ′ (z) = − 1
z 2 in C \ {0} holomorph.