Komplexe Analysis und Geometrie - Benjamin Jurke

4. Isolierte Singularitäten
6
4
2
0
-1
-0.5
y
0
0.5
-1
1
Abbildung 4.1.: Darstellung der � wesentlichen
| bei Null.
Singularität der Funktion |exp � 1
z
-0.5
0
0.5
x
1
3
2
1
-1
-0.5
y
0
0.5
-1
1
Abbildung 4.2.: Darstellung des Pols der Funktion
� �
� 1 � im Nullpunkt.
Satz 82 (Casorati-Weierstraß): Ist a eine wesentliche Singularität von f : D ′ r(a) −→ C,
dann ist das Bild f � D ′ ε(a) � ⊂ C dicht für alle Radien ε ∈ ]0, r]. 1
4.2. Laurent-Reihen
4.2.1. Zerlegung in Haupt- und Nebenteil
Kommen wir nun zur Theorie der Laurent-Reihen, die einer Verallgemeinerung der Taylorreihen
sind. Im Gegensatz zu Taylorreihen sind Laurent-Reihen oft nicht auf einer Kreisscheibe, sondern
einem Kreisring definiert.
Definition 84: Für a ∈ C und die Radien 0 ≤ r < R ≤ ∞ definiere die Menge Ka(r, R) :=
{z ∈ C : r < |z − a| < R} als den offenen Kreisring um a.
Satz 85: Sei f : Ka(r, R) −→ C eine holomorphe Funktion. Dann gibt es genau ein Paar von
holomorphen Funktionen
Hauptteil von f : fH : C \ Dr(a) −→ C
Nebenteil von f : fN : DR(a) −→ C ,
für die f = fH + fN auf Ka(r, R) gilt und limz→∞ fH(z) = 0 ist.
4.2.2. Taylorentwicklung von Haupt- und Nebenteil
1 Man kann noch eine wesentliche stärkere Aussage zeigen, die als der Satz von Picard bekannt ist. Nähere
Details zum Satz und eine Beweis finden sich im Buch „Funktionentheorie 2“ von R. Remmert.
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Satz 83 (Großer Picardscher Satz): Sei a ∈ C eine isolierte wesentliche Singularität der Funktion f.
Dann nimmt f in jeder Umgebung von a jede komplexe Zahl mit höchstens einer Ausnahme unendlich oft als
Wert an.
z
-0.5
0
0.5
x
1