Komplexe Analysis und Geometrie - Benjamin Jurke

3. Holomorphe Funktionen
Definition 76: Eine Menge A ⊂ C ist genau dann dicht in C, wenn für alle offenen nichtleeren
Teilmengen U ⊂ C der Schnitt U ∩ A �= ∅ ist.
Satz 77: Sei f eine ganze transzendente Funktion. Dann ist das Bild f � C \ DR(0) � ⊂ C der
„gelochten“ komplexen Ebene dicht für alle Kreisradien R > 0. 5
Mit dieser interessanten Eigenschaft ganzer Funktionen können wir ein weiteres Polynom-
Kriterium ähnlich zu Satz 71 beweisen, welches im Gegenzug eine Abschätzung des Polynomgrades
nach unten hin ermöglicht.
Satz 78: Sei f eine ganze Funktion, n ∈ N0 und R, M > 0 mit |f(z)| ≥ M|z| n für |z| ≥ R.
Dann ist f ein Polynom mit Grad größer oder gleich n.
Betrachten wir ein zwei Anwendungen der vorigen Sätze.
Beispiel: 1. f(z) := e z �= 0 gilt für alle z ∈ C. Sei w0 := re iθ mit r > 0 und θ ∈ R, dann
definiere die Folge zn := log r + i(θ + 2πn). Dann gilt f(zn) = w0 für alle n ∈ Z, aber die
Folge divergiert wegen |zn| → ∞, während |f(zn)| beschränkt bleibt. Folglich ist das Bild
f � C \ DR(0) � = C \ {0} für alle R > 0, vergleiche auch die Fußnote zu Satz 77.
2. f(z) := cos z = 1
2 (eiz − e−iz ). Sei wieder w0 ∈ C. Suche ein z mit cos z = w0, also ein
a := eiz mit a + a−1 = 2w0, löse also a2 + 1 = 2aw0. Für diese Gleichung existiert
eine Lösung a �= 0, also gibt es wegen der Periodiziät der Kosinus-Funktion ein z mit |z|
beliebig groß, während eiz def
= a ist, und deswegen cos z = w0 gilt. Also ist für alle R > 0
das Bild cos � C \ DR(0) � = C.
5 Wir können den Satz auch in einer deutlich abgewandelten Weise formulieren:
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Satz: Sei f eine ganze transzendente Funktion. Dann gibt es zu jedem w0 ∈ C eine Folge {zm}m∈N in C mit
limm→∞ zm = ∞ und limm→∞ f(zm) = w0.