Komplexe Analysis und Geometrie - Benjamin Jurke

5. Die verallgemeinerte Cauchy-Formel
5.1. Umlaufzahlen
In den nächsten zwei Abschnitten werden wir nun Umlaufzahlen und Wegkomponenten einführen,
um später auf Seite 36 die verallgemeinerte Cauchysche Integralformel zu beweisen. Wir
beginnen mit dem folgenden Satz zur Wohldefiniertheit der Umlaufzahlen.
Satz 93: Sei γ : [0, 1] −→ C \ {0} ein geschlossener Integrationsweg. Dann existiert genau eine
Zahl n ∈ Z, sodass γ homotop in C \ {0} zum Weg an : [0, 1] −→ C \ {0} mit t ↦→ e2πint ist, der
die Null n-mal gegen den Uhrzeigersinn umläuft. Außerdem gilt
n = 1
2πi
�
γ
dz
z .
Durch Verschiebung können wir die Umlaufzahl um einen beliebigen Punkt dann wie folgt
definieren.
Definition 94: Sei γ : [0, 1] −→ C \ {a} ein geschlossener Integrationsweg. Wir definieren die
Umlaufzahl n(γ, a) des Wegs γ um den Punkt a wie im vorigen Satz.
5.2. Wegkomponenten
Als nächstes betrachten wir nun die Eigenschaften von Wegzusammenhangskomponenten, die
wir kurz Wegkomponenten nennen. Ihre Definition lautet:
Definition 95: Sei M ⊂ R n . Für zwei Punkte p, q ∈ M definieren wir
p ∼ q ⇐⇒ es existiert ein stetiger Weg von p nach q in M .
Dies definiert eine Äquivalenzrelation auf M. Die Äquivalenzklassen heißen Wegkomponenten
von M. Falls M ⊂ R n offen ist, so ist auch jede Wegkomponente von M offen. Ist M außerdem
zusammenhängend, so hat M auch nur eine Wegkomponente.
Satz 96: Sei γ ein Integrationsweg in C \ {a}. Dann ist z ↦→ n(γ; z) eine stetige Abbildung
C \ Sp(γ) −→ Z, und deswegen konstant auf jeder Wegkomponente von C \ Sp(γ). �
Beispiel: Sei γ(t) := z0 + reit mit t ∈ [0, 2π] und r > 0 ein kreisförmiger Weg vom Radius r
um z0. Falls |a − z0| > r ist, so ist w ↦→ 1
�
w−a holomorph in der konvexen Menge K, also gilt
dw
γ w−a = 0 nach Cauchy, und somit ist die Umlaufzahl n(γ, a) = 0. Ist |a − z0|
�
< r, so gilt
= 2πi.
γ
dw
w−a
Der folgende Satz zeigt, dass zwei unterschiedliche Wegkomponenten von C \ Sp(γ) stets
auch unterschiedliche Umlaufzahlen aufweisen. Die anschauliche Aussage zu beweisen erfordert
allerdings einigen technischen Aufwand, wie wir sehen werden.
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