Komplexe Analysis und Geometrie - Benjamin Jurke

5. Die verallgemeinerte Cauchy-Formel
5.3. Verallgemeinerte Cauchy-Formel
Im verallgemeinerten Cauchy-Satz werden die Umlaufzahlen
sehr wichtig, wir führen daher noch die
folgenden beiden Begriffe ein.
Definition 101: Sei γ ein geschlossener Integrationsweg
in der offenen Teilmenge U ⊂ C.
1. γ heißt nullhomotop in U, falls γ homotop
in U zu einem konstanten Weg ist.
2. γ heißt nullhomolog in U, falls die Umlaufzahl
n(γ; z) = 0 für alle z ∈ C \ U ist.
Die Eigenschaft nullhomotop impliziert dabei
nullhomolog, die Umkehrung gilt aber nicht, wie
in Abbildung 5.3 zu sehen ist.
γ2
Abbildung 5.3.: γ1γ2γ −1
1 γ−1 2
γ1
ist nullhomolog,
aber nicht nullhomotop.
Satz 102 (Morera): Sei U ⊂ C eine offene Teilmenge und die Funktion f : U −→ C stetig.
Dann sind die folgenden beiden Aussagen äquivalent:
1. Die Funktion f ist holomorph.
2. Für jedes abgeschlossene Dreieck △ ⊂ U gilt �
∂△
f(z) dz = 0.
Satz 103 (Allgemeiner Cauchy-Integralsatz): Sei U ⊂ C eine offene Teilmenge und γ
ein nullhomologer geschlossener Integrationsweg in U. Sei außerdem die Funktion f : U −→ C
holomorph. Dann gelten die folgenden beiden Aussagen:
1. Es gilt �
f(z) dz = 0.
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γ
2. Für jeden Punkt z ∈ U \ Sp(γ) und k ∈ N0 gilt
n(γ; z) · f (k) (z)
k!
�
1 f(w)
= dw .
2πi γ (w − z) k+1