Komplexe Analysis und Geometrie - Benjamin Jurke

Inhaltsverzeichnis
3.2. Folgerungen und die Cauchysche Ungleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
3.2.1. Nullstellen holomorpher Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
3.2.2. Cauchy-Ungleichung und Gebietstreue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
3.3. Minimums-/Maximums-Prinzip und Mittelwerteigenschaft . . . . . . . . . . . . . 25
3.3.1. Maximums- und Minimums-Prinzip für holomorphe Funktionen . . . . . . 25
3.3.2. Verallgemeinertes Maximums-Prinzip für stetige Funktionen . . . . . . . . 26
3.4. Ganze Funktionen und Polynome . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
3.4.1. Eigenschaften und Abschätzung von Polynomen . . . . . . . . . . . . . . . 27
3.4.2. Transzendente Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
4. Isolierte Singularitäten 29
4.1. Singularitäten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
4.2. Laurent-Reihen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
4.2.1. Zerlegung in Haupt- und Nebenteil . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
4.2.2. Taylorentwicklung von Haupt- und Nebenteil . . . . . . . . . . . . . . . . 30
4.2.3. Definition der Laurent-Reihen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
4.2.4. Laurent-Reihen und isolierte Singularitäten . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
5. Die verallgemeinerte Cauchy-Formel 34
5.1. Umlaufzahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
5.2. Wegkomponenten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
5.3. Verallgemeinerte Cauchy-Formel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
6. Residuenkalkül 37
6.1. Das Residuum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
6.1.1. Definition und Berechnung des Residuums . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
6.1.2. Residuenberechnung bei rationalen Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . 38
6.2. Der Residuensatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
6.3. Anwendung des Residuensatzes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
6.3.1. Rationale Funktionen R(cos t, sin t) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
6.3.2. Gewöhnliche rationale Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
6.3.3. Rationale Funktionen R(x)e ix ohne reelle Pole . . . . . . . . . . . . . . . . 41
6.3.4. Rationale Funktionen R(x)e ix mit einfachen reellen Polen . . . . . . . . . 41
6.3.5. Rationale Funktionen und das „Schlüsselloch-Integral“ . . . . . . . . . . . 42
7. Umkehrung von Funktion und unendliche Partialbruchzerlegung 44
7.1. Das Prinzip vom Argument . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
7.2. Umkehrung holomorpher Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
7.2.1. Der Darstellungs- und Umkehrbarkeitssatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
7.2.2. Nullstellen- und Pol-Anzahlen meromorpher Funktionen . . . . . . . . . . 46
7.3. Unendliche Partialbruchzerlegung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
7.3.1.
7.3.2.
Holomorphe Funktionenfolgen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Partialbruchzerlegung von
47
� 7.3.3.
�
π 2
sin πz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Partialbruchentwicklung des Kotangens und Tangens . . . . . . . . . . . .
47
48
7.3.4. Bernouilli-Zahlen und die Dirichlet-Reihe . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
7.3.5. Bernouilli-Zahlen als Kotangens-Taylorkoeffizienten . . . . . . . . . . . . . 50
8. Elliptische Funktionen 51
iv