Komplexe Analysis und Geometrie - Benjamin Jurke

1. Grundlagen komplexer Funktionen
1.2.3. Die Cauchy-Riemann-Differentialgleichungen
Sei nun U ⊂ C offen und g, h : U −→ R zwei reell differenzierbare Funktionen, wir betrachten
f := g + ih. Wann ist die Funktion f : U −→ C dann holomorph? Nach dem vorigen Satz 7 ist
eine reell differenzierbare Funktion genau dann holomorph, wenn ∂f = 0 gilt, sprich
2 · ∂f def
� � � � � �
∂ ∂
∂g ∂h ∂h ∂g
= + i (g + ih) = − + i + = 0 ,
∂x ∂y
∂x ∂y ∂x ∂y
also müssen die folgenden beide Gleichheiten gelten:
f holomorph ⇐⇒ ∂f = 0 ⇐⇒
�
∂g
∂x
∂h
∂x
= ∂h
∂y
= − ∂g
∂y
Die letzten beiden Gleichungen heißen Cauchy-Riemann-Differentialgleichungen. Sie bieten
ein relativ einfach anzuwendendes Kriterium, um zu entscheiden, ob eine Funktion holomorph
ist.
1.2.4. Differenzierbarkeit komplexer Polynome
Betrachten wir nun, welche Polynome der allgemeinen Form
P (x, y) := �
0≤j,k≤n
ajkx j y k
mit ajk ∈ C
holomorphe Funktionen auf C definieren. Mittels der üblichen Zerlegung z = x+iy und z = x−iy
(z − z) das Polynom in die Form
können wir umgekehrt durch x = 1
1
2 (z + z) und y = 2i
P (z) = �
0≤j,k≤n
bjkz j z k
mit bjk ∈ C
als passende Koeffizienten umschreiben. Falls U ⊂ C eine offene Teilmenge ist und die Funktio-
nen f, g : U −→ C reell differenzierbar sind, so gilt nach der Produktregel ∂
∂x
und analog für ∂
∂y
. Für unsere Differentialoperatoren folgt damit
∂(f · g) = (∂f) · g + f · (∂g) und ∂(f · g) = (∂f) · g + f · (∂g) .
�
(f · g) = ∂f
∂x
g + f ∂g
∂x
Satz 8: Die Polynom-Funktion P (z) := �
0≤j,k≤n bjkz jzk ist genau dann eine holomorphe
Funktion auf ganz C, wenn bjk = 0 für alle k ≥ 1 gilt. In diesem Fall ist P (z) = �n j=0
bj,0zj ein komplexes Polynom.
Dieses Ergebnis ist nicht unerwartet, da wir im Beispiel von Seite 4 bereits gesehen haben, dass
die komplexe Konjugation nicht komplex differenzierbar ist. Nach dem Satz sind die komplexen
Polynome somit von der „altbekannten“ Form
6
P (z) =
n�
aiz i .
i=1