Komplexe Analysis und Geometrie - Benjamin Jurke

1. Grundlagen komplexer Funktionen
1.5. Elementare Funktionen
Zum Abschluss des Kapitels untersuchen wir nun einige elementare Funktionen. Zwischen der
Exponentialfunktion und den trigonometrischen Funktionen besteht ein tiefer Zusammenhang,
der erst für komplexe Argumente in Erscheinung tritt.
1.5.1. Die Exponentialfunktion
Die Exponentialfunktion für komplexe Argumente ist durch ihre reelle Taylor-Reihenentwicklung
e z = exp(z) :=
∞�
n=0
z n
n!
mit dem Konvergenzradius R = ∞ definiert, indem man einfach komplexe Argumente einsetzt.
Wir können die reelle Eigenschaft d
dt et = e t auch im Komplexen durch
d
dz ez = d
dz
∞�
n=0
z n
n!
Satz 19
=
∞�
n=0
d z
dz
n
n! =
∞�
n=1
nz n−1
n! =
∞�
n=1
z n−1
(n − 1)! =
verifizieren. Als nächstes zeigen wir eine weitere wichtige Eigenschaft der Exponentialfunktion:
Satz 22: Es gilt e w+z = e w · e z für alle w, z ∈ C.
Damit haben wir aber noch nichts neues erhalten, sondern lediglich ein paar bekannte Gesetze
auch explizit für das Komplexe gezeigt.
1.5.2. Trigonometrische Funktionen
Die trigonometrischen Funktionen Sinus und Kosinus sind ebenfalls durch ihre Taylorreihen
cos(z) :=
∞�
n=0
(−1) n
(2n)! z2n
und sin(z) :=
∞�
n=0
(−1) n
(2n + 1)! z2n+1
für z ∈ C definiert, für ihre Ableitungen gilt folglich (da beide Reihen absolut konvergent sind)
wie im reellen Fall
cos ′ (z) = − sin(z) und sin ′ (z) = cos(z) .
Durch Einsetzen der Taylorreihen und Aufspaltung in reelle und imaginäre Beiträge folgt die
Eulersche Identität e iz = cos(z)+i sin(z), umgekehrt lassen sich somit der Sinus und Kosinus
mithilfe der Exponentialfunktion durch
cos(z) = 1
2 (eiz + e −iz ) und sin(z) = 1
2i (eiz − e −iz )
definieren. Für alle x, y ∈ R ist daher e x+iy = e x e iy = e x� cos(y) + i sin(y) � . Mit dieser Identität
lässt sich dann die trigonometrische Darstellung bzw. Polarkoordinatendarstellung durch
r = |e z | = e ℜe(z) = e x
θ = arg e z = ℑm(z) = y
⇐⇒ z = reiθ
ausdrücken. Jede komplexe Zahl lässt sich also durch z = x + iy = reiθ mit x, y ∈ R sowie
r ∈ R + 0 und θ ∈ [0, 2π[ eindeutig darstellen - mit Ausnahme der Null in der trigonometrischen
Darstellung.
10
∞�
n=0
z n
n!
= ez