Komplexe Analysis und Geometrie - Benjamin Jurke

2. Integration komplexer Funktionen
2.4.2. Zweige des Logarithmus
Die Frage ist nun, ob sich der so definierte komplexe Logarithmus auch in den übrigen Eigenschaften
genauso wie der reelle verhält. Was ist etwa mit Log(z1z2) = Log(z1) + Log(z2)? Bei
z1 = i = z2, also z1z2 = −1, ist Log(−1) beispielsweise nicht definiert.
Satz 48: Für j = 1, 2 sei zj := rjeiθj mit rj > 0 und −π < θj < π. Dann gilt z1z2
r1r2e
=
i(θ1+θ2) . Für θ1 + θ2 = ±π ist Log(z1z2) nicht definiert. Ansonsten gilt
⎧
⎨ 2πi : −2π < θ1 + θ2 < π
Log(z1z2) − Log(z1) − Log(z2) = 0
⎩
−2πi
:
:
−π < θ1 + θ2 < π
π < θ1 + θ2 < 2π
.
Kommen wir nun zu den bereits erwähnten Zweigen eines Logarithmus, die wir einfach allgemein
als Funktionen definieren, die innerhalb ihres Definitionsgebietes die komplexe Exponentialfunktion
umkehren.
Definition 49: Sei G ⊂ C \ {0} ein Gebiet. Eine holomorphe Funktion f : G −→ C mit
e f(z) = z für z ∈ G heißt Zweig des Logarithmus auf G.
Für einen solchen Zweig des Logarithmus f gilt dann für die Ableitung innerhalb des Definitionsgebietes
wieder
1 = ∂ ∂
z =
∂z ∂z ef(z) = f ′ (z)e f(z) ⇐⇒ f ′ (z) = 1
z .
Der zuvor definierte Hauptzweig eines Logarithmus ist also nichts anderes als ein besonderer
Zweig, den wir auf sehr natürliche Weise gemäß der obigen Definition erhalten.
Man kann nun allerdings zeigen, dass wir für einen Großteil der Gebiete stets einen Zweig des
Logarithmus, also eine lokale Logarithmusfunktion definieren können.
Satz 50: Auf jedem einfach zusammenhängenden Gebiet G ⊂ C \ {0} gibt es einen Zweig des
Logarithmus.
Wir können den Satz allgemeiner formulieren: Sei G ⊂ C ein einfach zusammenhängendes
Gebiet und f : G −→ C holomorph und ohne Nullstellen. Dann gibt es eine holomorphe Funktion
g : G −→ C mit e g(z) = f(z) für alle z ∈ G.
Von nun an bezeichnen wir einen beliebigen Zweig des komplexen Logarithmus mit Lg(z). Mit
der Exponentialfunktion und dem nun wohldefinierten Logarithmus können wir auch komplexe
Potenzen, also Potenzen der Form „komplex hoch komplex“ definieren.
Definition 51: Sei G ⊂ C \ {0} ein Gebiet und Lg ein Zweig des Logarithmus auf G. Wir
definieren
a b b Lg(a)
:= e
für alle b ∈ C und a ∈ G .
Die Potenz-Funktion G −→ C mit z ↦→ z b heißt Zweig der b-ten Potenz auf G.
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Natürlich verhält sich auch die komplexe Potenz genau wie die reelle, d.h. es gilt
∂
∂z zb = ∂
∂z eb Lg(z) = b · 1
z eb Lg(z) = bz b−1 .