Komplexe Analysis und Geometrie - Benjamin Jurke

4. Isolierte Singularitäten
Nachdem wir sie nun eigentlich schon hergeleitet und dabei spezifiziert haben, definieren wir
nun eine Laurent-Reihe noch einmal explizit.
Definition 87: Eine Laurent-Reihe ist eine Doppelreihe der Form
∞�
n=−∞
an(z − a) n .
Sei R der Konvergenzradius von �∞ n=0 anzn und 1
r der Konvergenzradius von �∞ n=1 a−nwn ,
dann konvergiert �∞ n=−∞ an(z − a) n absolut für alle z ∈ Ka(r, R). Ist r > R, so konvergiert die
Reihe �∞ n=−∞ an(z − a) n für kein z.
4.2.4. Laurent-Reihen und isolierte Singularitäten
Satz 88: Sei f(z) = � ∞
n=−∞ an(z − a) n die Laurent-Entwicklung der Funktion f in Ka(0, r) =
D ′ r(a) für den Kreisradius r > 0. Die isolierte Singularität a ist
1. hebbar genau dann, wenn an = 0 für alle n < 0 ist,
2. ein Pol der Ordnung k ≥ 1 genau dann, wenn a−k �= 0 und an = 0 für n < −k ist,
3. eine wesentliche Singularität genau dann, wenn an �= 0 für unendlich viele n < 0 gilt.
Wir können somit anhand der negativen Koeffizienten der Laurent-Reihe um eine isolierte
Singularität direkt die Art der Singularität ablesen.
Zusätzlich zu einem „Pol der Ordnung k“, den wir im vorigen Satz anhang des niedrigsten
negativen nichtverschwindenden Laurent-Koeffizienten definiert haben, definieren wir noch einen
Pol im Unendlichen wie folgt.
Definition 89: Eine holomorphe Funktion f : K0(r, ∞) −→ C auf der „gelochten“ Zahlenebene
hat einen Pol der Ordnung k ≥ 1 im Unendlichen, falls die Funktion z ↦→ f � �
1
z einen Pol
der Ordnung k im Nullpunkt hat. 2
Ähnlich definieren wie eine hebbare und wesentliche Singularität im Unendlichen. Aus
dem letzten Satz folgt dann der Bogen zurück zu Abschnitt 3.4 von Seite 26 über ganze und
transzendete Funktionen sowie Polynome.
Satz 90: 1. Ein Polynom vom Grad k ≥ 1 hat einen Pol der Ordnung k im Unendlichen.
2. Eine ganze transzendente Funktion hat eine wesentliche Singularität im Unendlichen.
Für den weiteren Verlauf der Vorlesung wir der folgende Begriff einen zentralen Stellenwert
einnehmen.
Definition 91: Sei U ⊂ C eine offene Teilmenge und A ⊂ U diskret. Eine holomorphe Funktion
f : U \ A −→ C, die in jedem Punkt von A einen Pol hat, heißt meromorphe Funktion auf
U.
Beispiel: Betrachte f(z) := 1
sin z
mit U := C und A := πZ oder etwa rationale Funktionen.
2 Es ist bei dieser Definition wichtig, dass das Holomorphiegebiet der Funktion alle „Unendlichkeiten“ enthält,
d.h. zumindest die Form K0(r, ∞) für r > 0 hat, da nur dann der Typ der Singularität wohldefiniert ist. Zur
Veranschauung des Vorgangs sei auf die Riemannsche Zahlenkugel ab Seite 57 verwiesen.
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