Komplexe Analysis und Geometrie - Benjamin Jurke

6. Residuenkalkül
γ3
−M
hi γ2
−M + hi N + hi
γr
a − r
Pole
a + r
Abbildung 6.1.: Integrationsweg für R(x)e ix mit
einem reellen Pol, der umgangen wird.
N
γ1
R
γρ α+
α−
Abbildung 6.2.: Der „Schlüsselloch-Integrationsweg“.
Damit können wir nun Satz 113 in einer verallgemeinerteren Version mit reellen Polen formulieren.
Satz 116: Sei R(z) eine rationale Funktion mit deg R ≤ −1, die auf R nur einfache Pole hat.
Dann gilt für den Hauptwert über R(x)eix P. V.
� ∞
−∞
R(x)e ix dx = 2πi · � � iw
resz R(w)e � + πi · �
ℑm(z)>0
ℑm(z)>0
sin x
x
x∈R
x∈R
� iw
resx R(w)e � .
Beispiel: Wir berechnen das Integral über wie folgt:
� ∞
� ∞
� � ∞
sin x
sin x
e
dx = P. V. dx = ℑm P. V.
−∞ x −∞ x −∞
itx
x dx
�
⎡
= ℑm ⎣2πi · �
� �
eiw resz + πi ·
w
�
� �
eix resx
x
⎤
� � ��
⎦
eiw = ℑm πi · res0
w
= ℑm(πi) = π .
6.3.5. Rationale Funktionen und das „Schlüsselloch-Integral“
Satz 117: Sei R(z) eine rationale Funktion mit deg R ≤ −2 und ohne Pole auf [0, ∞[. Sei
Lg(z) eine Stammfunktion von 1
z auf C \ [0, ∞[, also ein Zweig des Logarithmus. Dann gilt
� ∞
0
R(x) dx = − �
z∈C\[0,∞[
resz(R Lg) .
Bemerkung: Falls R(−z) = R(z) gilt, so folgt � ∞
0
sind schon bekannt.
�
1 ∞
R(x) dx = 2 −∞ R(x) dx, diese Integrale
Beispiel: Wir wollen das Integral � ∞ dx
0 1+x3 berechnen. Das Polynom p(z) := 1 + z3 hat die drei
einfachen Nullstellen −1, a und a−1 , wobei
π
i
a := e 3 = 1
2 +
√
3
2 i
42
γr