Komplexe Analysis und Geometrie - Benjamin Jurke

3. Holomorphe Funktionen
(vgl. Abbildung 3.2). Dann gilt für alle Punkte z ∈ D := DR(z0) des Kreises die Cauchysche
Integralformel
f(z) = 1
�
f(w)
dw .
2πi ∂D w − z
R
U
z0
3.1.2. Taylorreihen-Entwicklung
Eine überaus wichtige direkte Folgerung aus der Cauchy-Formel
lautet wie folgt.
Satz 55: Jede holomorphe Funktion ist beliebig oft komplex differenzierbar.
Falls f holomorph in einer Umgebung einer abgeschlossenen
Kreisscheibe D ist, so gilt für alle z ∈ D
f (n) (z) = n!
�
2πi ∂D
f(w)
dw .
(w − z) n+1
Abbildung Für die folgenden 3.2.: Cauchy- Ausführungen erinnern wir uns, dass für einen beliebigen Integrationsweg
γ : [a, b] −→ CVorausset und eine Folge stetiger Funktionen fn : Sp(γ) −→ C mit n ∈ N aus der
gleichmäßigen Konvergenz
zungen.
von fn → f die Vertauschbarkeit von Grenzwert und Integral folgt
(vgl. Satz 18 auf Seite 8), d.h.
�
�
lim
n→∞
fn(z) dz =
γ
lim
γ
n→∞ fn(z)
�
= f(z) dz .
γ
Dies folgt unter Einsatz von γ direkt aus dem entsprechenden Satz aus der reellen Analysis,
denn (fn ◦ γ) · γ ′ → (f ◦ γ) · γ ′ konvergiert gleichmäßig auf [a, b].
Damit beweisen wir nun den Satz über die Taylor-Entwicklung einer Funktion.
Satz 56 (Taylorreihe): Sei f : DR(z0) −→ C eine holomorphe Funktion mit dem Kreisradius
R > 0, durch welche die Koeffizienten an := 1
n! f (n) (z0) definiert sind. Dann gilt für |z − z0| < R
die Taylorreihen-Darstellung
f(z) =
∞�
an(z − z0) n .
n=0
a
z0
Abbildung 3.3.: Die zwei Pole a und b der Funktion
mit dem Konvergenzkreis um den Entwicklungspunkt
z0.
22
b
Taylorreihe
von Log(z)
z0
Taylorreihe von
Log(z) − 2πi
Abbildung 3.4.: Konvergenzkreis der Taylorreihen-Entwicklung
des Logarithmus.