Komplexe Analysis und Geometrie - Benjamin Jurke

2. Integration komplexer Funktionen
Mit den im ersten Kapitel erläuterten und wiederholten Elementen gelangt man zu keinen tieferen
Aussagen bei der Betrachtung komplex differenzierbarer Funktionen. Ein sehr wesentliches
Werkzeug für die Untersuchung holomorpher Funktionen sind Integrale innerhalb der komplexen
Zahlenebene C, die wir nun untersuchen. Daraus werden wir die Existenz von Stammfunktionen
folgern können und zudem einen komplexen Logarithmus als Umkehrfunktion zur Exponentialfunktion
definieren.
2.1. Kurvenintegrale
Zuerst betrachtet man nun sogenannte Kurvenintegrale. Diese entsprechen einfach ausgedrückt
dem Integral einer Funktion entlang eines eindimensionalen Weges innerhalb der komplexen
Ebene, wobei das Integral parametrisierungsunabhängig ist.
2.1.1. Integrationswege und Kurvenintegrale
Als erstes benötigen wir eine saubere Definition eines Integrationsweges und des darauf definierten
Kurvenintegrals.
Definition 25: Eine stetige und stückchenweise stetig differenzierbare Abbildung γ : [a, b] −→
C heißt Integrationsweg, d.h. es existieren a = a0 < · · · < ak = b, sodass die Einschränkung
γ| [aj−1,aj] für j = 1, . . . , k stetig differenzierbar ist.
Außerdem bezeichnen wir mit Sp(γ) := γ([a, b]) die Spur von γ, d.h. das Bild des Weges als
Punktmenge in der komplexen Zahlenebene.
L(γ) :=
� b
|γ ′ (t)|
� �� �
dt
a
„Geschwindigkeit“
gibt die Länge der von γ beschriebenen Kurve an. Der Integrand des Längenintegrals lässt sich
dabei als die Momentangeschwindigkeit der Parametrisierung γ interpretieren. 1
Definition 26: Sei γ : [a, b] −→ C ein Integrationsweg und f : Sp(γ) −→ C stetig. Dann ist
das Kurvenintegral über γ definiert durch
�
� b
f(z) dz := f � γ(t) � · γ ′ (t) dt .
γ
a
Bemerkung: Im Bezug zur Analysis III-Vorlesung können wir das Kurvenintegral auch anders
interpretieren. Falls f auf einer offenen Menge definiert ist, so ist f dz eine komplexwertige
1-Form, also gilt
� �
f dz = γ ∗ � b
(f dz) = f � γ(t) � · γ ′ (t) dt
γ
[a,b]
a
1 Man beachte, dass die Länge L(γ) der „Parametrisierungslänge“ entspricht, aber nicht unbedingt der Weglänge
in der Ebene, da gleiche Linien mehrfach überlaufen werden können.
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