Komplexe Analysis und Geometrie - Benjamin Jurke

2. Integration komplexer Funktionen
für a ≤ s ≤ b gibt und ϕ(a, t) = ϕ(b, t) stets für alle 0 ≤ t ≤ 1 erfüllt ist.
Anschaulich ausgedrückt lassen sich also zwei homotope
Wege wie mit einem „Drehregler“ stetig ineinander überführen.
Bemerkung: Für jedes t ∈ [0, 1] ist s ↦→ ϕ(s, t) mit der
oben verwendeten Abbildung ϕ ein geschlossener Weg und
{ϕt} t∈[0,1] eine einparametrige Familie von geschlossenen
Wegen (vgl. Abbildung 2.7).
Der entscheidende Homotopiesatz dieses Abschnitts ist
dank unserer Vorbereitungen nun sehr schnell bewiesen.
Satz 38: Sei U ⊂ C offen, γ0, γ1 : [a, b] −→ U zwei geschlossene
Integrationswege und f : U −→ C holomorph.
Sind die Wege γ1 ∼ γ2, so gilt
�
�
f(z) dz = f(z) dz .
γ0
γ1
γ 1
2
γ0
γ1
Abbildung 2.7.: Mehrere Wege γt aus
{γt} t∈[0,1]
Definition 39: Ein Gebiet U ⊂ C heißt einfach zusammenhängend, falls jeder geschlossene
Weg homotop in U zu einem konstanten Weg ist.
Anschaulich könnte man auch einfach sagen, dass ein einfach zusammenhängendes Gebiet
„lochfrei“ ist, d.h. wir können jeden beliebigen geschlossenen Weg auf einen Punkt zusammenziehen.
Definition 40: Eine Menge U ⊂ C heißt sternförmig, falls es einen Punkt z0 ∈ U gibt, sodass
[(1 − t)z + tz0] ∈ U für alle z ∈ U und 0 ≤ t ≤ 1 gilt.
In einer sternförmigen Menge U sind also die Verbindungsstrecken zwischen dem Bezugspunkt
z0 und jedem anderen Punkt z ∈ U vollständig in der Menge enthalten, was auch die beiden
folgenden Beispiele zeigen:
Beispiel: 1. Konvexe Mengen sind in jedem Punkt sternförmig.
2. C\ ] − ∞, 0] ist mit einem Bezugspunkt z0 ∈ ]0, ∞[ sternförmig.
Satz 41: Jede offene sternförmige Menge U ist einfach zusammenhängend.
Mit den vorigen Sätzen folgt damit trivialerweise direkt:
Satz 42: Sei U ⊂ C ein einfach zusammenhängendes Gebiet und die Funktion f : U −→ C
holomorph. Dann ist �
γ f(z) dz = 0 für alle geschlossenen Integrationswege γ in U, also hat f
eine Stammfunktion in U. �
2.4. Der komplexe Logarithmus
In der reellen Analysis ist es oft leicht das Definitionsgebiet einer Umkehrfunktion anzugeben -
anders als in der komplexen Analysis. Dieses Phänomen, auf das wir aber an dieser Stelle noch
nicht näher eingehen möchten, führt letztendlich zur Theorie der Riemannschen Flächen, auf
die wir im zweiten Teil näher eingehen werden. In diesem Abschnitt beschäftigen wir uns nun
ausschließlich mit dem Logarithmus als Umkehrfunktion der Exponentialfunktion.
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