Komplexe Analysis und Geometrie - Benjamin Jurke

Inhaltsverzeichnis
11.2.2. Eigenschaften und Fortsetzbarkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
11.3. Körpererweiterungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
11.3.1. Algebraische Hilfsmittel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
11.3.2. Der induzierte Meromorphiemonomorphismus . . . . . . . . . . . . . . . . 83
11.3.3. Rationale Funktionen und irreduzible Polynome . . . . . . . . . . . . . . . 83
12.Polynome und Riemannsche Flächen 85
12.1. Nullstellenmengen komplexer Polynome . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
12.2. Diskriminanten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
12.3. Der Locus und Riemannsche Flächen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
12.3.1. Die Nullstellenmenge als Riemannsche Fläche . . . . . . . . . . . . . . . . 86
12.3.2. Decktransformationen und Überlagerungen . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
12.3.3. Existenz kompakter Riemannscher Flächen . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
12.4. Anwendungen und Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
12.5. Isomorphiesätze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
12.5.1. Isomorphie mit der homogenen Form eines Polynoms . . . . . . . . . . . . 91
12.5.2. Meromorphe Funktion und die Koordinatenfunktionen . . . . . . . . . . . 91
12.5.3. Abschließende Isomorphiesätze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
12.6. Das Geschlecht einer Mannigfaltigkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
12.7. Topologie von Hyperflächen in CP n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
13.Garben und Garbencohomologie 96
13.1. Garben, Prägarben und Halme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
13.2. Der Étale-Raum einer Prägarbe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
13.3. Garben-Abbildungen und algebraische Objekte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
13.3.1. Homomorphismen und die Verbindung zu Schnitten . . . . . . . . . . . . 98
13.3.2. Quotienten, Kern, Bild und Exaktheit von Garben . . . . . . . . . . . . . 99
13.3.3. Beispiele zur Exaktheit von Garbenhomomorphismen . . . . . . . . . . . . 101
13.4. Čech-Konstruktion und Garbencohomologie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
13.4.1. Čech-Coketten, Čech-Ableitungsoperator und Čech-Cohomologie . . . . . 102
13.4.2. Verfeinerungen von Überdeckungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
13.4.3. Der induktive Limes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
13.4.4. Garbencohomologie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
14.Vektorbündel- und Prägarben-Cohomologie 106
14.1. Holomorphe Vektorbündel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
14.2. Die Čech-Cohomologie von Geradenbündel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
14.2.1. Konstruktion der Geradenbündel-Čech-Cohomologieklassen . . . . . . . . 107
14.2.2. Isomorphismen-Klassifikation holomorpher Geradenbündel . . . . . . . . . 108
14.3. Gleichheit der Čech- und Garben-Cohomologie-Gruppen . . . . . . . . . . . . . . 108
14.4. Abstrakte Cohomologietheorie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
14.4.1. Allgemeine Cohomologie und induktiver Limes . . . . . . . . . . . . . . . 109
14.4.2. Exakte Cohomologiesequenzen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
14.5. Prägarben-Cohomologie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
15.Anwendung der Cohomologietheorien 114
15.1. Verbindung zwischen Garben- und Prägarben-Cohomologie . . . . . . . . . . . . 114
15.2. Gleichheit von Cohomologietheorien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
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