Komplexe Analysis und Geometrie - Benjamin Jurke

1. Grundlagen komplexer Funktionen
1.3.2. Punktweise und gleichmäßige Konvergenz
Definition 15: Sei U ⊂ R n offen, f : U −→ R n eine Abbildung und {fk : U −→ R n }k∈N eine
Funktionenfolge. Dann ist
1. fk → f punktweise auf U konvergent, falls für alle Punkte x ∈ U die Differenz
|fk(x) − f(x)| → 0
für k → ∞ geht.
2. fk → f gleichmäßig auf U konvergiert, falls die maximale Differenz
max
x∈U |fk(x) − f(x)| → 0
für k → ∞ geht. Dies impliziert trivialerweise auch punktweise Konvergenz. Das Prinzip
der gleichmäßigen Konvergenz ist in Abbildung 1.2 dargestellt.
Beispiel: Natürlich gibt es auch Funktionenfolgen, die zwar punktweise konvergent, nicht aber
gleichmäßig konvergent sind. Auf U = [0, 1] betrachte man für die reellen Dimensionen m =
n = 1 die Abbildungen
⎧
⎨ kx : 0 ≤ x ≤
fk(x) =
⎩
1
k
1 2
2 − kx : k ≤ x ≤ k
≤ x ≤ 1
0 : 2
k
,
wie in Abbildung 1.3 für k = 2 dargestellt. Dann konvergiert fk → 0 punktweise auf [0, 1], aber
es gilt max x∈[0,1] |fk(x)| = 1 für alle k ∈ N.
Zwei weitere bekannte Sätze aus der Analysis I sind die Folgenden:
Satz 16: Falls die Funktionenfolge fk → f gleichmäßig konvergiert und jede einzelne Funktion
fk stetig ist, dann ist auch die Grenzfunktion f stetig. �
Satz 17: Sei {fk : U −→ R n }k∈N eine Funktionenfolge, dann konvergiert fk genau dann gleichmäßig
gegen eine Grenzfunktion f, wenn
max
x∈U |fk(x) − fl(x)| → 0
für k, l → ∞ geht. �
Die nachfolgenden zwei Sätze liefern nun zwei wichtige - allerdings ebenfalls aus der Analysis
I bekannte - Aussagen über die Vertauschbarkeit von Grenzwertbildung, Integral und Differentiation.
Satz 18: Sei {fk : [a, b] −→ Rn }k∈N eine gleichmäßig konvergente Folge von stetigen Abbildungen.
Dann gilt die Vertauschbarkeit von Limes und Integral
� b
lim
k→∞ a
� b
fk =
a
lim
k→∞ fk .
Satz 19: Sei U ⊂ R n offen und {fk : U −→ R n }k∈N eine Funktionenfolge. Sei 1 ≤ j ≤ n und
außerdem gelten die folgenden drei Bedingungen
1. ∂fk
∂xj
existiert und ist für alle k stetig,
2. {fk}k∈N konvergiert punktweise auf U,
3. � � ∂fk konvergiert gleichmäßig auf U.
∂xj k∈N
∂
Dann gilt ∂xj limk→∞ fk = limk→∞ ∂fk , d.h. die Vertauschbarkeit von Limes und Diffe-
∂xj
rentiation.
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