Komplexe Analysis und Geometrie - Benjamin Jurke

3. Holomorphe Funktionen
Definition 58: Sei A ⊂ R n eine Teilmenge. A heißt diskret, wenn für alle a ∈ A ein r > 0
existiert, sodass Dr(a) ∩ A = {a} gilt, d.h. man kann um jeden Punkt der Menge einen offenen
Ball legen, der nur den Punkt a der Menge A enthält.
Definition 59: Sei A ⊂ R n eine Teilmenge. Der Punkt a ∈ R n ist ein Häufungspunkt, wenn
eine der folgenden Bedingungen erfüllt ist:
1. a ∈ A \ {a},
2. Für alle r > 0 gilt Dr(a) ∩ (A \ {a}) �= ∅.
Ist also A diskret, so enthält A nach dieser Definition keine Anhäufungspunkte. Die Umkehrung
gilt ebenfalls. Ein paar Beispiele sollen die Begriffe erläutern:
Beispiel: 1. Die Menge Z ⊂ R ist diskret.
2. Die Menge A := � 1
n : n ∈ N� hat einen Häufungspunkt bei Null, da für den Abschluß
A = � 1
n : n ∈ N� ∪ {0} gilt.
Nun können wir einen weiteren nützlichen Satz für holomorphe Funktionen beweisen.
Satz 60 (Identitätssatz): Sei die Funktion f holomorph auf einem Gebiet G ⊂ C. Dann sind
die folgenden drei Aussage äquivalent: 1
1. f ≡ 0, d.h. f ist mit der Nullfunktion identisch.
2. Das Urbild f −1 (0) der Null enthält Häufungspunkte.
3. Es existiert ein z0 ∈ G, sodass f (n) (z0) = 0 für alle n ≥ 0 gilt. 2
Setzt man dieses Ergebnis nun mit der Aussage des letzten Lemmas zusammen, wonach eine
holomorphe Funktion, die nicht identisch der Nullfunktion ist, nur diskrete Nullstellen hat, so
erhalten wir für holomorphe Funktionen die Äquivalenz
diskrete Nullstellen ⇐⇒ nicht identisch der Nullfunktion .
3.2.2. Cauchy-Ungleichung und Gebietstreue
Nach dem Identitätssatz kommen wir nun zur erwähnten Cauchy-Ungleichung, die eine einfache
Abschätzung der Taylor-Koeffizienten einer Funktion durch das Verhalten der Funktion auf
einem kleinen Kreis um den Entwicklungspunkt erlaubt.
1 Der Name „Identitätssatz“ wird bei einer leicht abgewandelten Fassung des Satzes deutlicher:
Satz (Identitätssatz): Die folgenden drei Aussagen sind für zwei auf einem Gebiet G ⊂ C holomorphe
Funktion f und g äquivalent:
1. f ≡ g, d.h. die beiden Funktionen sind identisch.
2. Es gibt eine nichtdiskrete Menge I ⊂ G mit f(z) = g(z) für alle z ∈ I.
3. Es gibt ein z0 ∈ G mit f (n) (z0) = g (n) (z0) für alle n ∈ N.
Zum Beweis wende man die ursprüngliche Formulierung des Identitätssatzes auf die Differenz f − g an.
2 Einen solchen Fall werden wir später eine Nullstelle der Ordnung ∞ nennen.
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