PhdThesis Lipka eng - Photo Injector Test Facility at DESY, Location ...

eider Elektronen zum Zeitpunkt t 1 nichtrelativistisch berechnet werden mit
∆z 1 = eE zt 2 1
2m 0
. (3.18)
Am Zeitpunkt t 2 wäre bei konstanter Beschleunigung der Abstand ∆z 2 groß.
Dabei hat sich der zeitliche Abstand beider Elektronen zueinander nicht
verändert und der Abstand ergibt sich zu (relativistischer Fall)
∆z 2 = c · t 1 . (3.19)
Aber durch die spätere Emissionszeit hat sich die Phase des beschleunigenden
Feldes verändert. Dadurch erhält das Elektron e 3 , dass zum selben Zeitpunkt
wie e 2 emittiert wird, eine größere Beschleunigung. Darum ist der Abstand
∆z 3 kürzer als ∆z 2 .
Ist das Ergebnis der Gleichung (3.17) größer Eins, dann verlängert sich
das Elektronenpaket durch unterschiedliche Beschleunigungen der Elektronen
eines Paketes im Hohlraumresonator. Der Fall, dass der rechte Teil der
Gleichung (3.17) bei kleinen Hochfrequenzphasen negativ wird und damit eine
negative Länge berechnet werden kann, ist eine Folge der Näherung bei der
Herleitung der Gleichung (3.11). Dieser Effekt tritt bei einer numerischen 3
Lösung nicht auf.
Bei einem Laserpuls mit einer Länge von σ z0 = 1, 5 mm, einem Gradienten
von 40 MV/m, einer Hochfrequenzphase von φ 0 = 57 o und einer Resonatorfrequenz
von 1,3 GHz ergibt sich 4 , dass das Elektronenpaket am Ende der
Beschleunigungsstrecke eine Länge von σ z = 1, 1 mm besitzt 5 .
In Abbildung 3.6 ist die Verzerrung des longitudinalen Phasenraumes
nach Gleichung (3.10) skizziert. Hier ist der Lorentzfaktor als Funktion der
Endphase aufgetragen, die beide proportional zu den Achsen des longitudinalen
Phasenraums sind (vgl. Gleichung (3.15)). Die Form der Verteilung in
Abbildung 3.6 wird durch den Sinus-Term der Gleichung (3.10) bestimmt, das
Maximum des Lorentzfaktors liegt bei 90 o . Ein Elektronenpaket wird sich im
longitudinalen Phasenraum der abgebildeten Form angleichen, wenn nur die
Kraft durch das elektrische Feld des Hohlraumresonators (3.3) wirkt. Für die
Anwendung des Elektronenpaketes an einem FEL ist eine lineare Abhängigkeit
des Lorentzfaktors γ f von φ f besser geeignet. Die nach dem Photoinjektor
erhaltene Form kann mit einem weiteren Resonator, unter Nutzung der
dritten harmonischen des 1,3 GHz HF-Feldes linearisiert werden [24].
3 Die auf numerische Lösung basierende Simulation wird in Abschnitt 3.3 diskutiert.
4 im weiteren als Bedingung A bezeichnet
5 Die Länge des Elektronenpaketes nach der Emission ist hierbei σ z (t = t 1 ) = 0, 09 mm,
denn die Elektronen bewegen sich kurz nach Austritt aus der Photokathode nicht mit
Lichtgeschwindigkeit. Mit Beachtung der kinetischen Energie der Photoelektronen von
0,55 eV würde sich diese Länge um maximal 2,2 µm verlängern.
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