Skript mit Übungen - Hochschule Ravensburg-Weingarten

Lemma 3.1 Für jedes endliche Alphabet A ist Σ ∗ abzählbar. Die Menge aller Sprachen
über A ist überabzählbar.
Beweis: als Übung
Die interessanten Sprachen sind unendlich. Zum Beispiel sind alle Programmiersprachen
unendlich, denn wir wollen nicht die Länge von Programmen beschränken.
3.2 Grammatiken
Besonders interessant sind strukturierte Sprachen. Eine Sammlung von zufällig erzeugten
Wörtern ist für die meisten Anwendungen nicht sehr hilfreich. “Struktur” heißt hier, dass
sich die Sprache endlich beschreiben läßt. Wir werden Grammatiken verwenden um Sprachen
zu beschreiben.
Aus dem Sprachunterricht in der Schule ist die Grammatik der deutschen Sprache bekannt.
Ein Satz der deutschen Sprache kann zum Beispiel bestehen aus < Subjekt > < Prädikat >
und wiederum kann ersetzt werden durch .
Damit ist also Die Studentin spielt Schach ein wohlgeformter Satz entsprechend der einfachen
angegebenen Grammatik. Jede Programmiersprache besitzt eine Grammatik.
Beispiel 3.4 Die (unendliche) Menge der arithmetischen Terme wie zum Beispiel x · (x +
a · (b − 12)) läßt sich durch folgende Regelgrammatik charakterisieren:
→ +
→ −
→ /
→ ·
→ ()
→
→
→ x — y
→ a — b —
→ —
→ 0—1—2—3—4—5—6—7—8—9
Hier steht das Zeichen | für “oder”, das heißt, eine Regel S → u|v steht für die zwei Regeln
S → u und S → v.
Definition 3.5 Eine Grammatik ist ein 4-Tupel
G = (V, Σ, P, S)
mit
• V als endliche nichtleere Menge der Variablen.
• Σ als Menge der Konstanten oder Terminalalphabet und V ∩ Σ = ∅.
• P ⊂ (V ∪ Σ) + × (V ∪ Σ) ∗ als endliche Menge der Produktionsregeln.
∥
• S ∈ V ist die Startvariable.
Definition 3.6 Die in Beispiel 3.4 und im Folgenden verwendete Art der Darstellung
von Grammatikregeln wird nach ihren Erfindern Backus-Naur-Form oder kurz BNF
∥ genannt.
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